广州最好补习班新王牌教育 高中数学立体几何常考证明题汇总

新课标立体几何常考证明题汇总

1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形

（2） 若

BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。

考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角

2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; 平面CDE ⊥平面ABC 。

考点：线面垂直，面面垂直的判定

3、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//AC 平面

BDE 。 。

考点：线面平行的判定

4、已知ABC ?中90ACB ∠=

,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．

A

E

D 1

C

B 1

D

C

B

A

A

H

G

F

E

D

C B A

E

B

C

S

D

C

B A

考点：线面垂直的判定

5、已知正方体1111ABCD A BC D -，

O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定

、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面.

考点：线面垂直的判定

7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，

且2

EF AC =

， 90BDC ∠= ，求证：BD ⊥平面ACD

D 1O

D

B A

C 1

B 1

A 1

C

A

1

N

M

P

C

B

A

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形

9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，

3AN NB =

（1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=

，24AB BC ==时，求MN 的长。

考点：三垂线定理

10、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，

E 、

F 、

G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）

11、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//AC 平面

BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定

12、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．

考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

13、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0

60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．

（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；

（3）求二面角A BC P --的大小．

考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）

14、如图1,在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1

AO ⊥平面MBD ．

考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，

作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．

16、证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D

A

C

考点：线面垂直的判定，三垂线定理

17、如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．

立体几何证明题定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l α βαβ∈?=∈且 ！ 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， ） 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。 二、平行关系 - 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 1.线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言： ////a b a a b ααα???????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3） 符号语言：////a b a a b βαβα??????=? 图形语言： 2.面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4） 符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=?????? 图形语言： ! 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5） 符号语言：,,//oo oo ααββ???? ⊥⊥ 图形语言：

立体几何证明垂直专项含练习题及答案

立体几何证明------垂直 一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。 2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1：如果一个平面有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行. 8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理 要点诠释：定义中“平面的任意一条直线”就是指“平面的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线 线垂直线面垂直） Ⅰ.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二 面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）

二面角的平面角的三个特征: ⅰ. 点在棱上 ⅱ. 线在面 ⅲ. 与棱垂直 Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；围：000180θ<<. 知识点四、平面和平面垂直的定义和判定 （垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼） 三．常用证明垂直的方法 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。 （4） 利用直径所对的圆周角是直角 (1) 通过“平移”,根据若则a //b,且b⊥平面α,a⊥平面α 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=2 1 DC ，中点为PD E . 求证：AE ⊥平面PDC. 2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ， ∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点．求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （第2题

高中数学立体几何教学研究

高中数学“立体几何”教学研究 一 . “立体几何”的知识能力结构 高中的立体几何是按照从局部到整体的方式呈现的，在必修2中，先从对空间几何体的整体认识入手，主通过直观感知、操作确认，获得空间几何体的性质，此后，在空间几何体的点、直线和平面的学习中，充分利用对模型的观察，发现几何体的几何性质并通过简单的“推理”得到一些直线和平面平行、垂直的几何性质，从微观上为进一步深入研究空间几何体做了必要的准备.在选修2-1中，首先引入空间向量，在必修2的基础上完善了几何论证的理论基础，在此基础上对空间几何体进行了深入的研究. 首先安排的是对空间几何体的整体认识，要求发展学生的空间想像能力，几何直观能力，而没有对演绎推理做出要求. 在“空间点、直线、平面之间的位置关系”的研究中，以长方体为模型，通过说理（归纳出判定定理，不证明）或简单推理进行论证（归纳并论证明性质定理）， 在“空间向量与立体几何”的学习中，又以几何直观、逻辑推理与向量运算相结合，完善了空间几何推理论证的理论基础，并对空间几何中较难的问题进行证明. 可见在立体几何这三部分中，把空间想像能力，逻辑推理能力，适当分开，有所侧重地、分阶段地进行培养，这一编排有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力，同时降低学习立体几何的门槛，同时体现了让不同的学生在数学上得到不同的发展的课标理念. 二. “立体几何”教学内容的重点、难点 1.重点： 空间几何体的结构特征：柱、锥、台、球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：几何体的三视图和直观图的画法； 空间几何体的表面积与体积：了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式； 空间点、直线、平面的位置关系：空间直线、平面的位置关系； 直线、平面平行的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳； 直线、平面垂直的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳. 2.难点： 空间几何体结构特征的概括：柱、锥、台球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：识别三视图所表示的几何体； 空间点、直线、平面的位置关系：三种语言的转化； 直线、平面平行的判定及其性质：性质定理的证明； 直线、平面垂直的判定及其性质：性质定理的证明.

高中数学立体几何证明定理及性质总结

一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示： 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。方法二：用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三．垂直关系： l

1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????

必修二立体几何常考证明题

必修二立体几何常考证明题 一．证明线线平行，线面平行，面面平行 1．利用三角形中位线 2. 利用平行四边形 考点1：线面平行的判定（利用三角形中位线） 例1：如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//AC 平面 BDE 。 考点2：线面平行的判定（利用平行四边形） 例2：已知正方体111 1 ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ； 练习： 1、如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，⊥PA 面ABCD ，E 、F 为别为PD 、 AB 的中点，求证：直线AE ∥平面PFC A E D 1 C B 1 D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C

2正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。 （1）求证：直线AB 1∥平面C 1DB ； 3、 如图，已知ABCD PA 矩形 所在平面，N M 、分别为PC AB 、的中点； （Ⅰ）求证：PAD MN 平面//； 4、如图，在三棱锥D-ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB=BC=a ，E 为 BC 的中点，F 在棱AC 上，且AF=3FC ． （1）求三棱锥D-ABC 的表面积；（2）求证AC ⊥平面DEF ； （3）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN ∥平面DEF ？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由． A 1 C 1 C B A B 1

考点3：面面平行的判定 例7：如图，在正方体111 1 ABCD A BC D 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、1 1 C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG . 5、棱长为a 的正方体AC 1中，设M 、N 、E 、F 分别为棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点． （1）求证：E 、F 、B 、D 四点共面； （2）求证：面AMN ∥面EFBD ．

(完整版)必修二立体几何11道经典证明题

1.如图，三棱柱 ABC — A i B i C i 中，侧棱垂直底面， 1 / ACB=90 , AC=BC= gAA i , D 是棱 AA i 的中点 (I )证明：平面 BDC i 丄平面BDC (n)平面BDC i 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的 比? 2?如图5所示，在四棱锥 P ABCD 中， AB 平面 PAD , AB//CD , PD AD , E 是 1 PB 的中点，F 是CD 上的点且 DF —AB , 2 PH PAD 中AD 边上的高? (1) 证明：PH 平面ABCD ; (2) 若 PH i , AD 2, FC i ，求三 (3)证明：EF 平面PAB . 3.如图，在直三棱柱ABC ABG 中，AB i AC i , D ,E 分 别是棱 BC , CC i 上的点(点D 不同于点C )，且AD DE , F 为B,G 的 中点. 求证：(i )平面ADE 平面BCGB,； (2)直线AF 〃平面ADE . 棱锥E BCF 的体积 ; 妥5小

4. 如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△ PAD为等腰直角三角 形，/ APD=90 面PAD丄面ABCD，且AB=1 , AD=2 , E、F分别为 PC和BD的中点. (1) 证明：EF//面PAD ; (2) 证明：面PDC丄面PAD ; (3) 求四棱锥P—ABCD的体积. 5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形， MA 平面ABCD , PD//MA , E、G、F 分别为MB、PB、 PC 的中点，且AD PD 2MA. (I)求证：平面EFG 平面PDC ; (II )求三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积之比. B

立体几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何 1、（2010一试7）正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin 【答案】4 【解析】 O E P 1B 1 A 1 C B A 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则 ???? ?=++-=?=+-=?,03, 022111111z y x z x BA ???? ?=-+-=?=-=?, 03, 022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α?=? ，即 2cos cos αα=?= .所以4 10sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 . 过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .

连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得 3,2,5111== ===PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1?中，OE P A PO O A ?=?11,即5 6,532= ∴?= ?OE OE . 11B O B E =∴===又.4 10 5 542sin sin 111= ==∠=E B O B EO B α. 2、（2011一试6）在四面体ABCD 中，已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 【解析】 因为?=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得3 2sin ,3 1cos = = θθ． 在△DMN 中，332 33232,121=??=?=== DP DN CD DM ．学科*网 由余弦定理得231312)3(1222=? ??-+=MN ， 故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径 33 22sin === θ MN OD ．故球O 的半径3=R ． 3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的

高中立体几何证明方法及例题

1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。 （一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： ?a c //) αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ? 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

高中数学立体几何知识点总结

高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定

高考立体几何大题经典例题.

N M P C B A <一 >常用结论 1.证明直线与直线的平行的思考途径:(1转化为判定共面二直线无交点; (2转化为二直 线同与第三条直线平行; (3转化为线面平行; (4转化为线面垂直; (5转化为面面平行 . 2.证明直线与平面的平行的思考途径:(1转化为直线与平面无公共点; (2转化为线线平 行; (3转化为面面平行 . 3. 证明平面与平面平行的思考途径:(1 转化为判定二平面无公共点; (2 转化为线面平行; (3转化为线面垂直 . 4.证明直线与直线的垂直的思考途径:(1转化为相交垂直; (2转化为线面垂直; (3转 化为线与另一线的射影垂直; (4转化为线与形成射影的斜线垂直 . 5.证明直线与平面垂直的思考途径:(1转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2转化为该直线

与平面内相交二直线垂直; (3转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 . 6.证明平面与平面的垂直的思考途径:(1转化为判断二面角是直二面角; (2转化为线面垂直 . 3、如图,在正方体 1111ABCD A B C D -中, E 是 1AA 的中点, 求证: 1//AC 平面BDE 。 5、已知正方体 1111ABCD A B C D -, O 是底 ABCD 对角线的交点 . 求证:(1 C1O ∥面 11AB D ; (21 AC ⊥面 11AB D . 9、如图 P 是ABC ?所在平面外一点, , PA PB CB =⊥平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是 AB 上的点, 3AN NB = A D 1 C B D C D D B A C 1

重点高中立体几何证明平行的专题

重点高中立体几何证明平行的专题

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2

3 F G G A B C D E C A B D E F D E B 1 A 1 C 1C A B F M 立体几何——平行的证明 【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1 ＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC 。 （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA E F B A C D P （第1

4 【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 【例5】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 【例6】如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 【例7】如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1； 分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是 △B 1AC 的中位线 A B C D E F G M

高中数学立体几何常考证明题汇总97186

立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成 的角。 证明：在ABD ?中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理，1 //,2 FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）BC AC CE AB AE BE =? ?⊥?=? 同理， AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?=∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC ，∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证：1//A C 平面BDE 。 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线∴1//EO AC A E D 1 C B 1 D C B A A H G F E D C B A E D B C

又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?= AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１)C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设 11111 A C B D O ?=，连结1AO ∵1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴? ∥面11AB D ，1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D （2）1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111 A C B D ⊥∵， 1111B D A C C ∴⊥面1 11AC B D ⊥即 同理可证 11A C AD ⊥， 又 1111 D B AD D ?= ∴1A C ⊥面11AB D 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证： （1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面. 考点：线面垂直的判定 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ， S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C A 1 B 1 C 1 D 1 F

高中数学立体几何重要知识点(经典)

立体几何知识点 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 （3）棱台： 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2 1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 () 22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 23 1π=圆锥 '1()3 V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=24R π

立体几何平行证明题复习过程

立体证明题（2） 1.如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥ 平面ACE． （1）求证：AE⊥平面BCE； （2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值． 2.等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=． （1）求证：平面EFP⊥平面ABFE； （2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．

3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且 PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面PAD； （Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC． 4.如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°． （1）求证：AB⊥CD； （2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值． 5.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD． （1）求证：平面PAD⊥平面PBD； （2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

6.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC 1=2，E 是AB 中点． （Ⅰ）求证：AB 1⊥平面A 1CE ； （Ⅱ）求直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值． 7.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AD=CD=2AB=2，E ，F 分别为PC ，CD 的中点． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面BEF ； （Ⅱ）若PA= ，求二面角E ﹣BD ﹣C ． 8.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=AD=2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC=4，点M 为PC 中点． （1）求证：DM ⊥平面PBC ； （2）若点E 为BC 边上的动点，且λ=EC BE ，是否存在实数λ，使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为 3 2 ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

高中立体几何证明方法及例题

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角

面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90 ° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。

高中数学立体几何常考证明题汇总

新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明：在ABD ?中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理，1//,2 FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）BC AC CE AB AE BE =??⊥?=? 同理， AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?=∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC ，∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证：1//A C 平面BDE 。 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定 A E D 1 C B 1 D C B A A H G F E D C B A E D B C

(完整word版)高中数学立体几何专项练习

立体几何简答题练习 1、正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ。求证:PQ∥平面BCE.（用两种方法证明） 2、如图所示,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E、F分别在PA、BD上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF∥平面PBC. 3、如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 的棱BC，CC 1 ，C 1 D 1 ，AA 1 的中点。 求证：（1）EG∥平面BB 1D 1 D； （2）平面BDF∥平面B 1D 1 H．

4、如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l. (1)求证：l ∥BC ； (2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论。 5、如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA=SB ，点M 是SD 的中点，AN ⊥SC ，且交SC 于点N 。 （1）求证：SB ∥平面ACM ； （2）求证：平面SAC ⊥平面AMN ； （3）求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.

7、如图,在四棱柱ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中,底面ABCD是等腰梯形,∠ DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点。 (1)求证:C 1M∥平面A 1 ADD 1 ; (2)若CD 1垂直于平面ABCD且CD 1 =3,求平面C 1 D 1 M和平面ABCD所成的角(锐角) 的余弦值。 8、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点． （1）证明：PA∥平面EDB； （2）证明：BC⊥DE．

完整word版,高中立体几何证明平行的专题

1 D B A 1 A F 立体几何——平行的证明 【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC 。 （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA （第1题图）

2 【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 【例5】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 【例6】如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 【例7】如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1； 分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是 △B 1AC 的中位线 A B C D E F G M

高中数学立体几何常考证明题汇总(全)

新课标立体几何常考证明题汇总 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 考点：线面垂直，面面垂直的判定 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 考点：线面平行的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//AC 平面BDE 。 A E D 1 C B 1 D C B A A H G F E D C B A E D B C

考点：线面垂直的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠= ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 考点：线面垂直的判定 6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面. 考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C A 1

高中空间几何所有证明题图形汇总

空间几何证明 1、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中， E 是1AA 的中点， 求证： 1//AC 平面 BDE 。 2、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 3、已知正方体1111ABCD A BC D -， O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ． A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C

N M P C B A 4、正方体''''ABCD A B C D -中， 求证：（1）''AC B D DB ⊥平面； （2）''BD ACB ⊥平面. 5、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 6、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点， 3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥； （2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。 A 1

7、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中， E 、 F 、 G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG . 8、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//AC 平面 BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . 9、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． （1）求证：DE ⊥平面PAE ； （2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．