八年级数学下册 1 三角形的证明 课题 线段的垂直平分线学案 新版北师大版

课题线段的垂直平分线

【学习目标】

1．会用学过的公理和定理证明线段的垂直平分线的性质、判定定理．

2．能够利用尺规做已知线段的垂直平分线．

【学习重点】

线段的垂直平分线的性质、判定定理的证明．

【学习难点】

尺规做已知线段的垂直平分线．

行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．

行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知

识．情景导入生成问题

如图所示，有一块三角形田地，AB＝AC＝10 cm，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC 的周长为17 cm，你能帮测量人员计算BC的长吗？

解析：引导学生观察△BDC周长＝BC＋CA，∴BC＝7 cm

答：我们曾经用折纸的方法得到线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可知DA＝DB，则BD＋CD＝AC ＝10 m，△BDC周长为17 m，则BC为7 m.

自学互研生成能力

知识模块一线段垂直平分线性质定理及判定定理的证明

【自主探究】

阅读教材P22的内容，回答下列问题：

1．线段垂直平分线性质定理是什么？如何证明？

方法指导：根据线段垂直平分线性质定理，在几何图形中，凡有垂直平分线必能得到等腰三角形，而对于等腰三角形，可知其顶点在底边的垂直平分线上．

学习笔记：

行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．

学习笔记：

检测可当堂完成．

答：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等．

证明：如图，直线l⊥AB，垂足为C，且AC＝BC，D是直线l上任意一点，求证：DA＝DB.

证明：∵直线l⊥AB，∴∠DCA＝∠DC B＝90°，∵AC＝BC，DC＝DC，∴△DCA≌△DCB(SAS)，∴DA＝DB.

2．写出上述定理的逆命题，它是真命题吗？试证明．

解：逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．是真命题，证明如下：

已知：如图线段AB，PA＝PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上．

证明：取线段AB的中点C，作直线PC，∴AC＝BC.在△PAC和△PBC中，PA＝PB，AC＝BC，PC＝PC，∴△PAC ≌△PBC(SSS)，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB.又C是线段AB的中点，∴PC是线段AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上．

归纳：我们证明了线段垂直平分线性质定理的判定定理，它们互为逆命题．

知识模块二线段垂直平分线性质定理及判定定理的综合运用

范例：

如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝30°．

仿例1：

如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E，若△EDC的周长为24，△ABC 与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为6．

仿例2：

如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段____的垂直平分线上( B)

A．AB B．AC C．BC D．不能确定

仿例3：如图，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝DB，AC与DB交于点M.求证：

(1)△ABC≌△DCB；

(2)点M在BC的垂直平分线上．

证明：(1)∵在△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，∴△A BC≌△DCB；

(2)由(1)知△ABC≌△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∴MB＝MC，∴点M在BC的垂直平分线上．

归纳：线段的垂直平分线的性质定理和判定定理与直角三角形和全等三角形紧密相联．做题时，要注意它们的灵活运用．

交流展示生成新知

【交流预展】

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】

知识模块一线段垂直平分线性质定理及判定定理的证明

知识模块二线段垂直平分线性质定理及判定定理的综合运用

检测反馈达成目标

【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．

课后反思查漏补缺

1．收获：________________________________________________________________________

2．存在困惑：________________________________________________________________________