2013届人教A版理科数学课时试题及解析(31)数列的综合应用
课时作业(三十一)[第31讲数列的综合应用]
[时间：45分钟分值：100分]
基础热身
1．“lg x，lg y，lg z成等差数列”是“y2＝xz”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S9＝－18，S13＝－52，等比数列{b n}中，b5＝a5，b7＝a7，那么b15的值为( )
A．64 B．－64 C．128 D．－128
3．设正项等比数列{a n}，{lg a n}成等差数列，公差d＝lg3，且{lg a n}的前三项和为6lg3，则数列{a n}的通项公式为( )
A．n lg3 B．3n C．3n D．3n－1
4．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{a n}的公比为( )实用文档
实用文档
A ．2
B ．3 C.12 D.1
3
能力提升
5． 成等比数列的三个数a ＋8，a ＋2，a －2分别为等差数列的第1、4、6项，
则这个等差数列前n 项和的最大值为( )
A ．120
B ．90
C ．80
D ．60
6． 已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝32＋f (x )，x ∈R ，且f (1)＝5
2
，则数列{f (n )}(n ∈N *)
的前20项的和为( )
A ．305
B ．315
C ．325
D ．335
7． 已知等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项和为S n ，若a 1>1，
a 4>3，S 3≤9，设
b n ＝
1
na n
，则使b 1＋b 2＋…＋b n <99
100
成立的最大n 值为( )
A ．97
B ．98
C ．99
D ．100
8．2011年，我国南方省市遭遇旱灾以及洪水灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图K31－1，在区域{(x，y)|x≥0，y≥0}内植树，第一棵树在点A1(0,1)，第二棵树在点B1(1,1)，第三棵树在点C1(1,0)，第四棵树在点C2(2,0)，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么第2011棵树所在的点的坐标是( ) A．(13,44) B．(12,44)
C．(13,43) D．(14,43)
9．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )
A．①和?B．⑨和⑩C．⑨和?D．⑩和?
10．已知等差数列{a n}，对于函数f(x)＝x5＋x3满足：f(a2－2)＝6，f(a2 010－4)＝－6，S n是其前n项和，则S2 011＝________.
11．已知a n＝2n－1(n∈N＋)，把数列{a n}的各项排成如图K31－2所示的三角数阵，记S(m，n)表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应数阵中实用文档
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
……
图K31－2
12．如图K31－3所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是________，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之实用文档
实用文档
13． 已知奇函数f (x )是定义在R 上的增函数，数列{x n }是一个公差为2的等差数
列，满足f (x 8)＋f (x 9)＋f (x 10)＋f (x 11)＝0，则x 2 011的值等于________．
14．(10分) 某旅游景点2010年利润为100万元，因市场竞争，若不开发新项
目，预测从2011年起每年利润比上一年减少4万元.2011年初，该景点一次性投入90
万元开发新项目，预测在未扣除开发所投入资金的情况下，第n 年(n 为正整数，2011
年为第1年)的利润为100? ??
??
1＋13n 万元．
(1)设从2011年起的前n 年，该景点不开发新项目的累计利润为A n 万元，开发新
项目的累计利润为B n 万元(须扣除开发所投入资金)，求A n 、B n 的表达式；
(2)依上述预测，该景点从第几年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的
累计利润？
15．(13分) 已知直线l 的方程为3x －2y －1＝0，数列{a n }的前n 项和为S n ，点
(a n ，S n )在直线l 上．
实用文档
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)b n ＝
n 2S n ＋1
a n
，数列{b n }的前n 项和为T n ，求f (n )＝
b n
T n ＋24
(n ∈N ＋)的最大
值．
难点突破
16．(12分) 某市为了解决交通拥堵问题，一方面改建道路、加强管理，一方面
控制汽车总量增长，交管部门拟从2012年1月起，在一段时间内，对新车上牌采用摇
号(类似于抽签)的方法进行控制，制定如下方案：①每月进行一次摇号，从当月所有申
请用户以及以前没有摇到号的申请用户中，摇出当月上牌的用户，摇到号的用户不再参
加以后的摇号；②当月没有摇到号的申请者自动加入下一个月的摇号，不必也不能重复
申请，预计2012年1月申请车牌的用户有10a 个，以后每个月又有a 个新用户申请车
牌．计划2012年1月发放车牌a 个，以后每月发放车牌数比上月增加5%.以2012年
1月为第一个月，设前n (n ∈N *)个月申请车牌用户的总数为a n ，前n 个月发放车牌的
总数为b n ，使得a n >b n 成立的最大正整数为n 0.(参考数据：1.0516＝2.18,1.0517＝
实用文档
2.29,1.0518＝2.41)
(1)求a n 、b n 关于n 的表达式，直接写出n 0的值，说明n 0的实际意义；
(2)当n ≤n 0，n ∈N *时，设第n 个月中签率为y n ，求证：中签率y n 随着n 的增加
而增大．
? ??
??第n 个月中签率＝第n 个月发放车牌数第n 个月参加摇号的用户数
课时作业(三十一)
【基础热身】
1．A [解析] 若lg x ，lg y ，lg z 成等差数列，则2lg y ＝lg x ＋lg z ，即lg y 2＝lg xz ，
则y 2＝xz ，
若y 2＝xz ，当x ，z 都取负数时，lg x ，lg z 无意义，故选A.
2．B [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则
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?????
S 9＝9a 1＋9×82d ＝－18，
S
13＝13a 1＋13×12
2
d ＝－52，解得???
??
a 1＝2，d ＝－1，
∴b 5＝a 5＝a 1＋4d ＝－2，b 7＝a 7＝a 1＋6d ＝－4，
设等比数列{b n }的公比为q ，则q
2＝
b 7b 5
＝2，
b 15＝b 7q 8＝－4×24＝－64，故选B.
3．B [解析] 依题意有3lg a 1＋3lg3＝6lg3，即a 1＝3.
设等比数列{a n }的公比为q ，则
q ＝a 2
a 1
，lg q ＝lg a 2－lg a 1＝d ＝lg3，解得q ＝3，
所以a n ＝3×3n －1＝3n ，故选B.
4．D [解析] 设公比为q ，又4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋
a 1q 2)，解得{a n }的公比q ＝1
3
.
【能力提升】
5．B [解析] 由a ＋8，a ＋2，a －2成等比数列，得
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(a ＋2)2＝(a ＋8)(a －2)，解得a ＝10，
设等差数列为{a n }，公差为d ，则a 1＝18，a 4＝12，a 6＝8，
∴2d ＝a 6－a 4＝－4，d ＝－2，
则这个等差数列前n 项和为
S n ＝18n ＋
n n －1
2
×(－2)
＝－n 2＋19n ＝－? ??
??n －1922＋192
4，
∴当n ＝10或n ＝9时，S n 有最大值90，故选B.
6．D [解析] 由已知f (x ＋1)－f (x )＝32，则数列{f (n )}是等差数列，公差为3
2
，其前
20项和为20×52＋20×192×3
2
＝335，故选D.
7．B [解析] 由a 4>3，S 3≤9，得a 1＋3d >3，且3a 1＋3d ≤9，