全国二卷数学理2017
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
课标II 理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.
31i
i
+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2.设集合{}1,2,4A =，{}
2
40x x x m B =-+=。若{}1A B = ，则B =（ ）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） A ． 90π B ．63π C ．42π D ．36π
5.设x ，y 满足约束条件2330
233030x y x y y +-≤??
-+≥??+≥?
，则2z x y =+的最小值是（ ）
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．
5
9.若双曲线C :22221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()22
24x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离
心率为（ ）
A ．2 B
C
D
10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB = ，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ） A
B
C
D
11.若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.3
2e -- C.3
5e - D.1
12.已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+ 的最小是（ ）
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。
14.函数(
)2
3sin 4f x x x =+-
（0,2x π??
∈????
）的最大值是 。 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k
S ==∑ 。 16.已知F 是抛物线C :2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。若M 为FN 的中点，则FN = 。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）
ABC ?的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2
sin 8sin 2
B
A C +=， （1）求cos
B ；
（2）若6a c +=，ABC ?的面积为2，求b 。 18.（12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率分布直方图如下：
（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量
不低于50kg”，估计A 的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
附：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19.（12分）
如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等比三角形且垂直于底面ABCD
，
o
1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点。 （1）证明：直线//CE 平面P AB ；
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o
45 ，求二面角M AB D --的余弦值。
20. （12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：22
12
x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP = 。 (1) 求点P 的轨迹方程；
(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ?=
。证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。
21.（12分）
已知函数()2
ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。
(1)求a ；
(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2
202e f x --<<。
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。 22。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为
cos 4ρθ=。
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为(2,)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值。
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知330,0,2a b a b >>+=。证明： （1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤。
答案与解析
1．D 【解析】()()3+13212
i i i i i -+==-+，故选D 。
2．C
【解析】由{}1A B = 得1B ∈，所以3m =，{}1,3B =，故选C 。 3．B
【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由
()71238112
x -=-可得3x =，故
选B 。
4．B
【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为
221
3634632
V πππ=
???+??=，故选B. 5．A
【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B -- 处取得最小值
12315z =--=- ，故选A.
6．D
【解析】222
34236C C A = ,故选D 。
7．D
【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D 。 8．B
【解析】01234563S =-+-+-+= ,故选B. 9．A
【解析】圆心到渐近线0bx ay ±=
=
，所以222b
c a e c
==?=，故选A. 10．C
【解析】补成四棱柱1111ABCD A BC D - ,
则所求角为1111,BC D BC BD C D AB ∠=====
因此1cos BC D ∠==，故选C. 11．A
【解析】由题可得12121()(2)(1)[(2)1]x x x f x x a e x ax e x a x a e ---'=+++-=+++- 因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)x f x x x e -=--，故21()(2)x f x x x e -'=+-
令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞单调递增，在(2,1)-单调递减 所以()f x 极小值(1)f =11(111)1e -=--=-，故选A 。 12．B
【解析】以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立坐标，
则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，
设(,)P x y
，所以()PA x y =- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--
所以(2,2)PB PC x y +=--
，22233
()22)22(22
PA PB PC x y y x y ?+=-=+--≥-
当P 时，所求的最小值为32-，故选B 。
13．1.96
【解析】()~100,0.02X B ，所以()11000.020.98 1.96DX np p =-=??=. 14．1
【解析】(
)2
2311cos cos 44
f x x x x x =-+-
=-++
2
cos 12x ??=--+ ? ???
，0,2x π??
∈????，那么[]cos 0,1x ∈
，当cos 2x =时，函数取得最大值1. 15．21
n n +
【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，所以112343
4102
a d a d +=??
??+=?? ，解得11
1
a d =??
=? ，所以
()1,2
n n n n a n S +==
，那么
()1211
211n S n n n n ??==- ?++??
，那么
11111111221......21223111n
k k n S n n n n =?????????
?=-+-++-=-= ? ? ? ??
?+++????
??????∑ . 16．6
【解析】设()0,N a ，()2,0F ，那么1,2a M ??
???
，点M
在抛物线上，所以228324a a a =?=?=±，
所以(0,N ±，那么
6FN ==.
17．（1）15
cos 17
B =
（2）2 【解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简sin()A C +，利用降幂公式化简2
sin
2
B
，结合22sin cos 1B B +=求出cos B ；利用（1）中结论090B =，利用勾股定理和面积公式求出a c ac +、，从而求出b ．
试题解析：（1）由题设及2
sin 8sin
2
A B C B π
π++==得，故
sin 4-cosB B =（1）
上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15
cosB=cosB 17
1（舍去），= （2）由158cosB sin B 1717==
得，故14a sin 217
ABC S c B ac ?== 又17
=22
ABC S ac ?=，则
由余弦定理及a 6c +=得
2222
b 2cos a 2(1cosB)
1715
362(1)
217
4
a c ac B
ac =+-=-+=-??+=（+c ） 所以b=2
【点睛】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意2
2
,,a c ac a c ++三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎． 18．（1）()0.4092P A =；（2）详见解析；（3）52.50 【解析】（1）记事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”为事件B
记事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C 则()()()P A P B P C =?
()5(0.0120.0140.0240.0340.040)0.62P B =?++++= ()5(0.0680.0460.0100.008)0.66P C =?+++= ()0.4092P A =
（2）
2200(626615.70510.82810010096104
K ??=
=>???
有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。 （3）第50个网箱落入“5055 ”这组； 取平均值52.50即为中位数的估计值。
19
．
z
y
x
M 'M
O
F
P
A
B
C
D
E
（1）详见解析
（2）cos |cos ,||
5θ=<>==n k 【解析】（1）取PA 中点F ，连接EF 、BF 、EC ∵E 、F 分别为PD 、PA 中点 ∴1
2EF AD ∥，又∵12
BC AD ∥
∴EF BC ∥，∴四边形BCEF 为平行四边形 ∴CE ∥平面PAD
（2）取AD 中点O ，连PO ，由于PAD △为正三角形 ∴PO AD ⊥
又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∧平面ABCD AD = ∴PO ⊥平面ABCD ，连OC ，四边形ABCD 为正方形。 ∵PO ?平面POC ，∴平面POC ⊥平面ABCD 而平面POC 平面ABCD OC =
过M 作MH OG ⊥，垂足为H ，∴MH ⊥平面ABCD ∴MBH ∠为MB 与平面ABCD 所成角，45MBH ∠=? ∴MH BH =
在PCO △中，MH PO ∥，∴
MH CH
PO CO
=， 设AB BC a ==，2AD a =，PO =，CO a = CH
a =，∴MH =
在Rt BCH △中，222BH BC CH =+，∴2223CH a CH =+ ∴2CH =
，2
MH a =，2OH a =- 以O 为坐标原点，OC 、OD 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，()2M a a -
，(0,,0)A a -，(,,0)B a a -，
(,,)2MA a a a =-- ，(,0,0)AB a =
设平面MAB 的法向量为(0,,1)y =n ，0MA ay ?=--= n ，∴y = ∴(0,=n ，而平面ABCD 的法向量为(0,0,1)=k 设二面角M AB D --的大角为θ（θ为锐角）
20．
⑴点P 的轨迹方程2
2
2x y +=。 ⑵详见解析
【解析】（1）设(,)P x y ，(,)M x y ''，(,0)N x '
NP =
(,))x x y y ''-=
即0x x
x x y y '=?'-=??????'='=????
代入椭圆方程2
212
x y ''+=，得到222x y += ∴点P 的轨迹方程2
2
2x y +=。
（2）设()11,P x y ，()23,Q y -，椭圆的左焦点为()1,0F -
()11,OP x y = ，()1213,PQ x y y =---
()()1112131OP PQ x x y y y ?=?--+-=
221112131x x y y y --+?-=
()221121131x y y x y -+?-+=，即11233x y y -+?= ①
OQ l ：2
3
y y x =-
? ∴过P 与直线OQ 垂直的直线为：()112
3
y y x x y -=
?- 当1x =-时，()112
3
1y y x y =+
-- 1
12233x y y y -=+
-
1122
33
x y y y =-
- 12122
33
y y x y y ?-=
-
①代入得0y =
∴过P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。 21．⑴ a=1 ⑵ 详见解析
【解析】（1）()f x 的定义域为()0，+∞
设()g x =ax -a -lnx ，则()()()≥f x =xg x ,f x 0等价于()0≥g x 因为()()()()()1
1=0，0,故1=0,而,1=1,得1≥=--=g g x g'g'x a g'a a x
若a=1，则()1
1-
g'x =x
.当0＜x ＜1时，()()＜0,g'x g x 单调递减；当x ＞1时，()g'x ＞0，()g x 单调递增.所以x=1是()g x 的极小值点，故()()1=0≥g x g 综上，a=1
（2）由（1）知()2ln ,'()22ln f x x x x x f x x x =--=-- 设()1
22ln ,则'()2h x x x h x x
=--=-
当10,2x ??∈ ??
?
时，()'＜0h x ；当1,+2
x ??∈∞ ???
时，()'＞0h x ，所以()h x 在10,2?? ??
?
单调递减，在1,+2
??∞ ???
单调递增
又()
()21＞0,＜0,102h e h h -??= ???
，所以()h x 在10,2?
? ??
?有唯一零点x 0，在1,+2
??
∞????
有唯一零点1，且当()
00,x x ∈时，()＞0h x ；当()0,1x x ∈时，()＜0h x ，当()1,+x ∈∞时，()＞0h x . 因为()()'f x h x =，所以x=x 0是f(x)的唯一极大值点 由()()000000'0得ln 2(1),故=(1)f x x x f x x x ==-- 由()00,1x ∈得()01
'＜
4
f x 因为x=x 0是f(x)在（0,1）的最大值点，由()()
110,1,'0e f e --∈≠得
()()
120＞f x f e e --=
所以()2-20＜＜2e f x -
22．⑴2C 的直角坐标方程为()()2
2
240x y x -+=≠
⑵△OAB 面积的最大值为 【解析】（1）设P 的极坐标为
()()，＞0ρθρ，M 的极坐标为()()1
1
，＞0ρθρ，由题设知
cos 14
=，=
ρρθ
OP OM = 由16OM OP = 得2C 的极坐标方程()cos =4＞0ρθρ
因此2C 的直角坐标方程为()
()2
2240x y x -+=≠
（2）设点B 的极坐标为
()()，＞0B
B
ραρ,由题设知
cos =2，=4B ραOA ,于是△OAB 面积
1
=
sin 2
4cos sin 32sin 232B S OA AOB ρπααπα∠??
=- ?
????=--
???≤+
当=-12
πα时，S
取得最大值所以△OAB
面积的最大值为23．⑴详见解析 ⑵详见解析 【解析】（1）
()()()()
()
5
5
6
5
5
6
2
3
333
4
4
2
2
2244
++=+++=+-++=+-≥a b a
b a ab a b b
a b a b ab a b ab a b
（2）因为
()()()()
()3
3223
2
3
3323+3+3+2+
+24
4
a +=+++=+≤=+
b a a b ab b ab a b a b a b a b
所以()
3
+8≤a b ，因此a+b≤2.