湖北省八校(荆州中学襄阳五中襄阳四中等)2017届高三下学期第二次联考 数学文科试题

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2017届高三第二次联考 文 科 数 学 试 题

命题学校：荆州中学 命题人：谢 俊 魏士芳 张 静 审题人：周金林 万莲艳

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(1)已知全集U={2，3，4，5，6，7}，集合A={4,5,7}，B={4,6}，则A ∩（eU B ）=（ ） A. {5} B. {2} C. {2, 5} D. {5, 7} (2)复数z 与复数(2)i i -互为共轭复数（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A. 12i - B. 12i + C. 12i -+

D. 12i --

(3)已知直线50x y +-=与两坐标轴围成的区域为M ，不等式组0y x

x y x -??

???

≤5≥≥3所形成的区域为N ，现在

区域M 中随机放置一点，则该点落在区域N 的概率是（ ） A.

34 B. 12 C. 14 D. 23

(4)如图所示的程序框图中，输出的S 的值是（ ） A. 80

B. 100

C. 120

D. 140

(5)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>与抛物线)0(22

>=p px y

有相同的焦点F ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点

(3)M t -，

，MF =

，则双曲线的离心率为（ ） A.

22 B. 3

3 C. 25 D. 5 否 第4题图

(6)已知ABC Δ的面积为35，6

A π

=

,5=AB ,则=BC （ ）

A. 62 C. 23

(7)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 6012π- B. 606π- C. 7212π-

D. 726π-

(8)为得到函数x y 2sin =的图象，只需将函数sin(2)4

y x π

=-的图象

（ ） A. 向右平移

4π个单位 B. 向左平移4π个单位 C. 向右平移8π个单位 D. 向左平移8

π

个单位 (9)函数23

ln(44)

()(2)x x f x x -+=-的图象可能是（ ）

A B C D

(10)已知函数()21,x

f x x =++2()lo

g 1,g x x x =++2()log 1

h x x =-

的零点依次为,,a b c 则（ ） A. c b a << B. b c a << C. a c b << D. c a b <<

(11)如图，在长方体1111ABCD A B C D －中，16,3,8AA AB AD ===，点

M 是棱 AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA ＝，P 是侧面四边形11ADD A

内一动点(含边界)，若1C P ∥平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ）

A. ??

B. []4,5

C. []3,5

D. ??

(12)已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为()f x '，若方程()0f x '=无解,且

()20172017,x

f f x ??-=??当()sin cos

g x x x kx =--在,22ππ??-????

上与()f x 在R 上的单调性相同时，则实数k 的取值范围是 （ ）

第11题图

第16题图

A. (]

,1-∞-

B. (-∞

C. ?-?

D. )

+∞

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

(13)

已知(cos ,sin ),(22

x x m n x R ==∈

，则m n - 的最大值是 .

(14)已知圆的方程22(2)1x y -+=，过圆外一点)43(，

P 作一条直线与圆交于,A B 两点，那么 PA PB ?=

.

(15)已知函数()()

x

f x x m e -=+（其中e 为自然对数的底数），曲线()y f x =上存在不同的两点，

使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数m 的取值范围是 . (16)祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子.他提

出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积， “势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面

围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图）（称为椭球 体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出 椭球体体积，其体积等于______ ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(17)（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，,26,683==a a n S 为等比数列{}n b 的前n 项和，且

11231,4,3,2b S S S =成等差数列.

（Ⅰ）求数列{}{}n n b a ,的通项公式；

（Ⅱ）设,n n n b a c ?=求数列{}n c 的前n 项和n T .

(18)（本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD －中，2,AD DC ==

,AD DC ⊥,AC CB =4AB =，平面ADC ⊥平面,ABC M 为AB 的中点.

（Ⅰ）求证：BC ⊥平面ADC ；

（Ⅱ）求直线AD 与平面DMC 所成角的正弦值.

(19)（本小题满分12分）传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词

大会》火爆荧屏。将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图. （Ⅰ）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据

此资料你是否有95﹪的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？ 优秀 合格 合计 大学组 中学组 合计

注：2

2()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++，其中n a b c d =+++.

20()P k k ≥

0.10 0.05 0.005 0k

2.706

3.841

7.879

（Ⅱ）若参赛选手共6万人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；

（Ⅲ）在优秀等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6，在良好等级的选手中取6名，

依次编号为1，2，3，4，5，6，在选出的6名优秀等级的选手中任取一名，记其编号为,

a 在选出的6名良好等级的选手中任取一名，记其编号为

b ，求使得方程组3

22ax by x y +=??+=?

有

唯一一组实数解(,)x y 的概率.

第18题图

(20)（本小题满分12分）已知抛物线()2

:20C y px p =>的焦点F 与椭圆2

2:12

x y Γ+=的一个焦

点重合，点()0,2M x 在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程以及MF 的值；

（Ⅱ）记抛物线C 的准线与x 轴交于点H ，试问是否存在常数R λ∈，使得AF FB λ=

且

2285

||||4

HA HB +=

都成立？若存在，求出实数λ的值； 若不存在，请说明理由. (21)（本小题满分12分）已知函数22

1()()ln 2

f x ax a b x a x =-++(,)a b R ∈.

（Ⅰ）当1b =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当1,0a b =-=时，证明：2

1()12

x

f x e x x +>-

-+（其中e 为自然对数的底数）. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22)（本小题满分10分）

已知过点(,0)P a 的直线l

的参数方程是12

x a y t ?=+??

?

?=??

（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，试问是否存在实数a ，使得6PA PB += 且4AB =

？

若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由.

(23)（本小题满分10分）

已知函数,01

()1,1x x f x x x

<

=?≥??()()1g x af x x =--.

（Ⅰ）当0a =时，若b x x g +-≤2)(对任意()+∞∈,0x 恒成立，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）当1a =时，求)(x g 的最大值.

2017届高三第二次八校联考数学（文）

参考答案

一、选择题：1—6 DACCCD 7—12 DDCAAA

12. 解析：若方程()0f x '=无解，则 ()()00f x f x ''><或恒成立,所以()f x 为R 上的单调函数，

x R ?∈都有()20172017,x f f x ??-=??

则()2017x f x -为定值，设()2017x

t f x =-,则()2017x f x t =+，易知()f x 为R 上的增函数，(

)cos sin 4g x x x k x k π?

?'=+-=+- ??

? 又

()g x 与()f x 的单调性相同，所以()g x 在,22ππ??-????上单调递增，则当,22x ππ??

∈-????

，()0g x '≥恒

成立，当,22x ππ??∈-????时3,,444x πππ??+∈-???

?sin 4x π????+∈?? ?????

4x π???+∈- ????,此时k ≤﹣1.故选A 二、填空题

13. 3 14. 16 15. ()

20,e - 16. 2

43

b a π?

15.解析：曲线存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，等价于 函数()f x 有两个不同的极值点，等价于方程()0f x '=有两个不同的实根. 令()0x

x f x m e xe --'=+-=，得：1x x m e

-=

令()1x x g x e

-=

，则条件等价于直线y m =与曲线()y g x =有两个不同的交点.

()()()

2

12x x

x x e x e x

g x e e ---'=

=

当2x =时，()0g x '=；当2x >时，()0g x '<；当2x <时，()0g x '>； 从而当2x =时有最大值()2

2g e -=，()g x 在(),2-∞上递增，在()2,+∞上递减.

当x →-∞时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →；如右图所示，从而()

2

0,m e -∈

16. 解析：椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积

V=2（V 圆柱﹣V 圆锥）=2

2

21423

3b a b a b a πππ????-?=? ??

?

故答案为：24

3

b a π? 三、解答题 17.

解

（

1

）

83526620

a a d -==-=

∴

公差

4d =

3(3)46n a a n d n ∴=+-=-……………2分

又213642S S S =+. 即1211233()2b b b b b b +=+++

322b b ∴=则公比2q = 12n n b -∴=…………4分

（2）1

462

232n n n c n n -=-?=-?……………………5分

1°当1n =时，230n -<，∴12T =………………6分

2°当2n ≥时，230n ->，(23)2n n c n =-?，2342123252(23)2n n T n =+?+?+?++-?

341

241232(23)2n n T n +∴=+?+?++-?

34122(222)(23)2n n n T n +∴-=+++--? …………8分

3212(12)

22(23)212

n n n -+-=+?--?- 114(52)2n n +=-+-? 1(25)214n n T n +∴=-?+ ………

10分

当1n =时，满足上式 1(25)214n n T n +∴=-?+……………………12分

18.解（1）2AD DC == 且AD DC ⊥ AC CB ∴==4AB =

满足222

AC BC AB += BC AC ∴⊥ ……………………4分

平面ABC ⊥平面ADC ，BC ?平面ABC ，平面ABC 平面ADC AC =

BC ∴⊥平面ADC ……………………6分

（2）取AC 中点N 连MN ，DN

在Rt ADC ?中，DN AC ⊥且DN =，又平面ABC ⊥平面ADC ，DN ∴⊥平面ABC

在ABC ?中，MN ∥BC 且1

2

MN BC =

=

由（1）知BC ⊥平面ADC ，则MN ⊥平面ADC ，又DN ? 平面ADC

MN DN ∴⊥

，即2DM ==，……………………8分

在ABC ?

中，42AC BC AB CM ===∴=，

4DMC S ?∴=

=10分 设点A 到平面DMC 的距离为h ，则由A DMC D AMC V V --=得11

3

3

DMC AMC S h S DN ????=

??

解得3h =，设AD 与平面DMC 所成角为θ

，则3sin 2h AD θ===

∴

直线AD 与平面DMC

……………………12分 19.（1）由条形图可知2×2列联表如下

22

100(45151030)100 3.030 3.8417525455533

K ??-?==≈

∴没有95﹪的把握认为优秀与文化程度有关.…………………………（5分）

（2）由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为

753

1004

=. ∴所有参赛选手中优秀等级人数约为3

6 4.54

?

=万人.……………………（8分） （3）a 从1，2，3，4，5，6中取，b 从1，2，3，4，5，6中取，故共有36种，

要使方程组322

ax by x y +=??+=?有唯一组实数解，则1

2a b ≠，共33种情形.

故概率3311

3612

P ==.…………………………（12分）

20.解：（1）依题意，椭圆2

2:12

x y Γ+=中，222,1a b ==，故2221c a b =-=，

故()1,0F ，

故12

p

=，则24p =，故抛物线C 的方程为24y x =，将()0,2M x 代入24y x =，解得01x =， 故122

p

MF =+

=. ……………………4分 （2）（法一）依题意，()1,0F ,设:1l x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，

联立方程241y x x ty ?=?=+?

，消去x ，得2

440y ty --=.121244y y t y y +=?∴?=-?………………①

且112211

x ty x ty =+??

=+?，又AF FB λ=

则()()11221,1,x y x y λ--=-，即12y y λ=-，代人 ①

得()22

2144

y t y λλ-=???-=-??， ……………………6分 消去2y 得2

1

42t λλ

=+

-，且()1,0H -，………………8分

()()()2

2

22222222

1122121212||||1122HA HB x y x y x x x x y y +=+++++=++++++则()()()2

2

22

12121211222ty ty ty ty y y =+++++++++()()()2221212148

t y y t y y =+++++()()22421168448164016t t t t t t =+++?+=++.由4285

1640164

t t ++=

，……………………10分 解得2

18t =

或2

218t =-（舍），故2λ=或12

. ……………………12分 （法二）若设直线斜率为K,讨论K 存在与不存在，酌情给分 21. （1）当1b =时，2

21()(1)ln 2

f x ax a x a x =

-++ 2(1)()

()(1)a ax x a f x ax a x x

--'=-++=…………………………1分

讨论：1°当0a ≤时，1

0,0,10()0x a ax f x x

'->>-

此时函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间 ……………………2分 2°当0a >时，令1

()0f x x a

'=?=

或a

①当1(0)a a a =>，1a =即时，

此时2

(1)()0(0)x f x x x

-'=≥> 此时函数()f x 单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间 ……………………3分

②当10a a

<

< ，即1a >时，此时在1

(0,)a 和(,)a +∞上函数()0f x '>，

在1(,)a a 上函数()0f x '<，此时函数()f x 单调递增区间为1

(0,)a

和(,)a +∞；

单调递减区间为1

(,)a a ……………………4分

③当10a a

<<，即01a <<时，此时函数()f x 单调递增区间为(0,)a 和1

(,)a +∞;

单调递减区间为1

(,)a a

……………………6分

（2）证明：（法一）当1a =时 2()1x f x e x x +>++

只需证明：ln 10x e x --> 设()ln 1x g x e x =-- (0)x > 问题转化为证明0x ?>，()0g x > 令1()x

g x e x

'=-

， 21()0x

g x e x ''=+>，

∴1()x g x e x '=-为(0,)+∞

上的增函数，且1

()20,(1)102

g g e ''=<=->………8分

∴存在惟一的01(,1)2

x ∈，使得()0o g x '=，001x

e x =

()g x ∴在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增………………10分

0min

000

1

()()ln 11211

o

x g x g x e x x x ∴==--=+-≥-= min ()0g x ∴> ∴不等式得证 ………………………12分

（法二）先证：1ln x x -≥ （0x >）

令()1ln (0)h x x x x =--> 11()101x h x x x x

-'∴=-

==?= ∴()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增

min ()(1)0h x h ∴== ()(1)1ln h x h x x ∴≥?-≥ …………8分 1ln 11ln(1)x x x x x ∴+≤+-=?+≤

ln(1)x x e e +∴≤ ………………………10分 11ln x e x x x ∴≥+>≥+ 1ln x e x ∴>+

故ln 10x e x --> 证毕 ………………12分

22.（1）消t

由22

x y a =

?+ ∴直线l

的普通方程为0x a -= ………………3分 由4cos ρθ= 24cos ρρθ∴=

∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-= ……………………5分

（2） 4AB =

，而圆的直径为4，

故直线l 必过圆心（2,0），此时2=a 与6PA PB +=

矛盾

∴实数a 不存在. …………………10分

23.（1）当0a =时，()1g x x =-- 12x x b ∴--≤-+ 12b x x -≤-+- 12121x x x x -+-≥-+-= 1b ∴-≤ 1b ∴≥-………………5分

（2）当1a =时，21,01

()11,1x x g x x x x

-<

=?-+≥?? …………………………6分

可知()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减 ……………………8分

max ()(1)1g x g ∴==.……………………10分