1991——2011年全国初中数学联赛试题【共21份有答案】
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一、选择题
本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １．
设等式y a a x a y a a x a --
-=
-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是
两两不同的实数，则
2
22
2
3y
xy x y xy x +--+的值是
（A ）3 ； （B ）3
1
； （C ）2； （D ）3
5
．
答（ ）
２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是
（A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是
（A ）
25
1±； （B ）
25
1±
-；
（C ）251±或2
5
1±
-； （D ）2
5
1±
-±．
答（ ） ４．
已知：)1991
1991
(2
111
n
n
x -
-=
（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是
（Ａ）1
1991-； （Ｂ）11991--；
（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）1
1991)1(--n ．
答（ ） ５．
若M n 1210099321=????? ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自
然数，则Ｍ
（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ）
６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么
d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７．
如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，
32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是
（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） ８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则
（Ａ）
2
1< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤
2
1；
答（ ）
（C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题
１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．
２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，
=
+a
c b 32 ．
3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，
q
p
n
m
x
x x
x )1(1)1(+=
-+恒成立，则
=++q
p n m 22
)
2( ．
４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，
CD = 6，则AD = ．
第二试
1
1=S 3S =1
32=S
120
135
x
x + y，x －y，x y，
y
四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．
二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且
BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．
求证：BF＝AF＋CF
三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．
1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一.选择题
本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是
(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.
2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=?与平方式
2
0)
2(b ax M +=的关系是
(A)?>M (B)?=M (C)?>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是
(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )
4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为
(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )
5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)
0(>=
k x k y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ?和COD ?的面积分别为S 1和S 2,则S 1
与S 2的关系是
(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定
答( )
6.在一个由88?个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则
2
1S S 的整数部分是
(A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )
7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD , ?=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .
则AE :EB 等于
(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )
8.设9321,,,,x x x x ???均为正整数,且
921x x x
921=+???++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小
值是
(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题
1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.
2.若0≠x ,则
x
x
x
x 4
4
2
11+-++的最大值是__________.
3.在ABC ?中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若
3,2==AC BC ，则=
?EB AE .
4.若b a ,都是正实数，且0
111=+-
-b
a b a ，则=+33)()(b
a
a
b .
第二试
一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.
二、如图，在ABC ?中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且
A
CED BED ∠=∠=∠2.
求证：CD BD 2=.
三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：
A ：320651
B ：105263
C ：612305
D ：316250
已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.
1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一.选择题
本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.
请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是
(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ; 2.对于命题
Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.
Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;
Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;
Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.
其中正确的是
(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组
?????????=++=++=++=++=++.
;;;;5215
4154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x 其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是 (A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>; (C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解
(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于5 6.在ABC ?中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是
(A)2
2-
(B)2
2
(C)
2
3 (D)2
1-
.
答( )
7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,
p ,那么m :n :p 等于
(A)
c
b a 1
:1:1
; (B)c b a ::
(C)C
B A cos :cos :cos (D)
C B A sin :sin :sin .
答( ) 8.1
3
3
3
3)9
19
294(3-+
-
可以化简成
(A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( )
二.填空题
1.当x 变化时,分式1
5
632
2
1
2++++x x x x 的最小值是___________.
2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.
3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,
则k =____________.
4.锐角三角形ABC 中,?=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们
的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.
第二试
一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的
距离变小,这时乘积HBC ABC S S ???的值变小,变大,还是不变?证明你的结
论.
二.ABC ?中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点
D ,
E ,
使线段DE 将ABC ?分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.
三.已知方程002
2=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及2
1,x x '',且
,021>x x 021
>''x x . (1)求证:;0,0,0,02
121<'<'< 1994年全国初中数学联赛试题 第一试 (4月3日上午8：30—9：30) 考生注意：本试共两道大题，满分80分. 一、选择题（本题满分48分，每小题6分） 本题共有8个小题都给出了A ，B 、C ，D ，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分； 不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分. 〔答〕( ) 2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z A．都不小于0B．都不大于0 C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( ) 3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长 A．等于4B．等于5 C．等于6D．不能确定 〔答〕( ) A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕 ( ) 5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD 相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角 A．4对B．8对 C．12对D．16对 〔答〕( ) 〔答〕( ) 7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是 〔答〕( ) A．1001B．1001,3989 C．1001,1996D．1001,1996,3989 〔答〕( ) 二、填空题（本题满分32分，每小题8分） 各小题只要求在所给横线上直接填写结果. 3．在△ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE=______. 4．把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于______. 第二试 (4月3日上午10：00—11：30) 考生注意：本试共三道大题，满分60分. 一、（本题满分20分） 如图所示，在△ABC中，AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ.求证：△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。 思路一：△OCP≌△OAQ→→∠CPO=∠AQO→→OAPQ四点共圆（视角定理.） 思路二：△PAO≌△QBO→→∠OPA=∠AQO→→OAPQ四点共圆（视角定理.） 连接OB、OA。 ∠OBA=∠OAB=∠OAC ∴∠PAO=∠QBO PA=QB AO=BO ∴△PAO≌△QBO ∠OPA=∠AQO 所以O与A，P,Q,四点同园 二、（本题满分20分） 周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？ 三、（本题满分20分） 某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,……,15)个题的人数的一个统计. n0123 (12131415) 做对n个题的人数781021 (15631) 如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人？ 1994年全国初中数学联赛参考答案 第一试答案 一、选择题； 小题号12345678 答案A D B B D C B C 二、填空题： 第二试提示及答案. 一、连结OA，OC，OP，OQ.证明△OCP≌△OAQ，于是 ∠CPO=∠AQO，所以O，A，P，Q四点共圆. 三、这个表至少统计了200人. 1995年全国初中数学联赛试题 第一试 一、选择题 1．已知a ＝355,b ＝444,c ＝533,则有［ ] A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．a ＜c ＜b A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．如果方程(x －1)(x 2－2x －m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是 4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 ［ ] A ．62π B ．63π C ．64π D ．65π 5．设AB 是⊙O 的一条弦，CD 是⊙O 的直径，且与弦AB 相交，记M ＝｜S △CAB －S △DAB ｜，N ＝2S △OAB ，则 [ ] A ．M ＞N B ．M ＝N C ．M ＜N D ．M 、N 的大小关系不确定 6．设实数a 、b 满足不等式｜｜a ｜－(a ＋b)｜＜｜a －|a ＋b ｜｜，则[ ] A ．a ＞0且b ＞0 B ．a ＜0且b ＞0 C ．a ＞0且b ＜0 D ．a ＜0且b ＜0 二、填空题 1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。 4．以线段AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆周上的点，且OC 2＝AC ·BC ，则∠CAB ＝______． 第二试 一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D 三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。 二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数 理由。 三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。