方波的傅里叶分解与合成
方波的傅里叶分解与合成
教 学 目 的 1、用RLC 串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测量它们的振幅
与相位关系。
2、将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。
3、了解傅立叶分析的物理含义和分析方法。
重 难 点 1、了解串联谐振电路的基本特性及在选频电路中的应用； 了解方波的傅立叶合成的物理意义。
2、选频电路将方波转换成奇数倍频正弦波的物理意义。
教 学 方 法 讲授与实验演示相结合。 学 时 3学时。 一、实验仪器
FD-FLY-I 傅立叶分解合成仪，DF4320示波器，标准电感，电容箱。
二、原理
任何具有周期为T 的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即：
∑∞
=++=10)
sin cos (21
)(n n n t n b t n a a t f ωω
其中：T 为周期，ω为角频率。ω＝T π
2；第一项20a 为直流分量。
所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有ｎ阶谐波的迭加。
如图1所示的方法可以写成：
h (0≤t ＜2T
)
)(t f =
-h (-2T
≤t ＜0)
此方波为奇函数，它没有常数项。
数学上可以证明此方波可表示为：
)
7sin 715sin 513sin 31(sin 4)( ++++=t t t t h t f ωωωωπ
∑∞
=--1
])12sin[()121
(
4n t n n h
ωπ
同样，对于如图2所示的三角波也可以表示为：
t
T h
4 (-4T ≤t ≤4T )
)(t f =
2h(1-T t 2) (4T ≤t ≤43T
)
)7sin 715sin 513sin 31(sin 8)(2222 +-+-
=
t t t t h
t f ωωωωπ
∑∞
=----1
2
1
2
)12sin()12(1
)1(8n n t
n n h
ωπ
（a ）周期性波形傅里叶分解的选频电路
我们用RLC 串联谐振电路作为选频电路，对方波或三角波进行频谱分解。在示波器上显示这些被分解的波形，测量它们的相对振幅。我们还可以用一参考正弦波与被分解出的波形构成李萨如图形，确定基波与各次谐波的初相位关系。
本仪器具有1KH ｚ的方波和三角波供做傅里叶分解实验，方波和三角波的输出阻抗低，可以保证顺利地完成分解实验。
实验线路图如图3所示。这是一个简单的RLC 电路，其中R 、C 是可变的。L 一般取0.1H~1H 范围。
当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应。谐振频率0ω为：
0ω=LC 1
这个响应的频带宽度以Q 值来表示：
Q ＝R L 0ω
当Q 值较大时，在0ω附近的频带宽度较狭窄，所以实验中我们应该选择Q 值足够大，大到足够将基波与各次谐波分离出来。
如果我们调节可变电容C ，在n 0ω频率谐振，我们将从
此周期性波形中选择出这个单元。它的值为：
t n b t V n 0sin )(ω= 图3 波形分解的RLC 串联电路
这时电阻R 两端电压为：
)sin()(00?ω+=t n R I t V R
此式中
R X
tg 1
==?，X 为串联电路感抗和容抗之和
Z b I n
=
0， Z 为串联电路的总阻抗。
在谐振状态X ＝0
此时，阻抗Z ＝ｒ＋R ＋R L ＋R C ＝ｒ＋R ＋R L
其中，ｒ方波（或三角波）电源的内阻；R 为取样电阻；R L 为电感的损耗电阻；R C 为标
准电容的损耗电阻。 (R C 值常因较小而忽略）
由于电感用良导体缠绕而成，由于趋肤效应，R L 的数个将随频率的增加而增加。实验证
明碳膜电阻及电阻箱的阻值在1KHz~7KHz 范围内，阻值不随频率变化。
(b) 傅里叶级数的合成
本仪器提供振幅和相位连续可调的1KHz ，3KHz ，5KHz ，7KHz 四组正弦波。如果将这四
组正弦波的初相位和振幅按一定要求调节好以后，输入到加法器，叠加后，就可以分别合成出方波、三角波等波形。 三、实验内容和使用方法
A 、方波的傅里叶分解
1KHz t sin ω
3KHz t sin ω
5KHz t sin ω
1、 求RLC 串联电路对1KHz ，3KHz ，5KHz 正弦波谐振时的电容值C 1、C 3、C 5，并与理论值进行比较。
实验中，要求学生观察在谐振状态时，电源总电压与电阻两端电压的关系。学生可从李萨如图为一直线，说明此时电路显示电阻性。
理论值
L C i i 21
ω=
表1为1KHz 、3KHz 、5KHz 正弦波谐振时测得电容值，仅供参考。
2、将1KHz 方波进行频谱分解，测量基波和n 阶谐波的相对振幅和相对相位。
将1KHz 方波输入到RLC 串联电路。如图3所示。然后调节电容值至C 1，C 3，C 5值附近，可以从示波器上读出只有可变电容调在C 1，C 3，C 5时产生谐振，且可测得振幅分别为b 1，b 3，b 5；而调节到其它电容值时，却没有谐振出现。
实验数据如下：(供用户参考) (一)取方波频率f =1000Hz ，取样电阻R=22Ω ，信号源内阻测量得r=6.0Ω电感L=0.100H 。
(二) 取方波频率f =1000Hz ，取样电阻R=500Ω，测得信号源内阻r=6.0Ω，L=1.00H 。
从上述数据中可以看出：
(1) 方波傅里叶分解时，只能得到1KHz 、3KHz 、5KHz 正弦波，而2KHz 、4KHz 、6KHz 等正弦波是不存在的。 (2)电感用铜线缠绕，由于存在趋肤效应，其损耗电阻随频率升高而增加，因此使3KHz 、5KHz 谐波振幅数值比理论值偏小，此系统误差应进行校正。
次谐波初相位相同。
3、不同频率电流通过电感损耗电阻的测定。
对1H 空心电感可采用Q5型品质因素测量仪(低频Q 表)测量。 对于0.1H 空心电感可用下述方法测定损耗电阻R 。 自己接一个如图4的串联谐振电路。测量在谐振状态时，信号源输出电压V AB 和取样电阻R 两端的电压V R ，可计算出R L =R L +R C 的值。R C 为标准电容的损耗电阻，一般较小可忽略。
测量V AB 、V R 电压可用示波器，也可用其它交流伏特表。
4、相对振幅测量时，系统误差的校正。 可用分压原理校正。
若：b 3为3KH Z 谐波校正后振幅
b ’3为3KHz 谐波未被校正时振幅。 R L1为1KHz 使用频率时损耗电阻。 R L3为3KHz 使用频率时损耗电阻。
则：
r R R R
r R R R b b L L ++++=
31'
33:
:
r R R r R R b b L L ++++?
=13'
33
对5KHz ，谐波也可作类似的校正。
例：基波1KHz, b 1=6.00cm
谐波3KHz ， b 1=1.80cm
07.20.60.220.260
.60.220.34=++++?
谐波5KHz ， b 5=0.90 × cm
3.10.60.220.260
.60.220.53=++++ 经校正后，基波和谐波的振幅为1:31:51
，与理论值符合较好。
B 、傅里叶级数合成： 1、方波的合成
)7sin 71
5sin 513sin 31(sin 4)( t t t t h
x f ωωωωπ+++=
以上式中可知，方波由一系列正弦波(奇函数)合成。
这一系列正弦波振幅比为1:31:51:71
，它们的初相位为同相。
a b
c
a 、1KHz 正弦波；
b 、1KHz 、3KHz 正弦波迭加；
c 、1KHz 、3KHz 、5KHz 、正弦波迭加。
实验步骤如下：
(1) 用李萨如图形反复调节各组移相器1KHz 、3KHz 、5KHz 、7KHz 正弦波同位相。
调节方法是示波器X 轴输入1KHz 正弦波：而Y 轴输入1KHz 、3KHz 、5KHz 、7KHz 正弦波在示波器上显示如下波形时：
图5
此时，基波和各阶谐波初相位相同。
也可以用双踪示波器调节1KHz 、3KHz 、5KHz 、7KHz 正弦波初相位同相。
(2)调节1KHz 、3KHz 、5KHz 、7KHz 正弦波振幅比为1:31:51:71
。
(3)将1KHz 、3KHz 、5KHz 、7KHz 正弦波逐次输入加法器，观察合成波形变化，最后可看到近似方波图形。方波合成过程如图6所示。 从傅里叶级数迭加过程可以得出：
(1) 合成的方波的振幅与它的基波振幅比为1:π4
；
(2) 基波上迭加谐波越多，越趋近于方波。
(3) 学生可观察迭加谐波越多，合成方波前沿、后沿越陡直。 2、三角波的合成（选做）
三角波傅里叶级数表示式：
)
77sin 55sin 33sin 1sin (8)(22222 +-+-=t t t t h t f ωωωωπ
图 6
四、实验数据及处理
1、分解
方波f=1000HZ ;取样电阻R= Ω;信号源内阻r=6.0Ω; L=0.10H 表 1
表
2、合成
（1）画出１KHz、３KHz、５KHz、７KHz各谐波初相位的图
（2）记下１KHz、３KHz、５KHz、７KHz各正旋波的振幅
（3）画出合成后的近似方波的波形图（画二个周期）
傅里叶变换定律-傅里叶变换定义定律
第2章信号分析 本章提要 信号分类 周期信号分析--傅里叶级数 非周期信号分析--傅里叶变换 脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析：从信号中提取有用信息的方法 和手段 §2－1 信号的分类 两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号， 非周期信号。
质量M 弹簧 刚度K t x (t ) o x 0 质量－弹簧系统的力学模型 x (t ) ? ?? ? ??+=0cos )(?t m k A t x 非确定性信号（随机信号）：给定条件下取值是不确定的 按取值情况分类：模拟信号，离散信号 数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。 信号描述方法 时域描述 如简谐信号
频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。
?- = 2 2 0)(1T T dt t x T a ?- = 2 2 0cos )(2T T n tdt n t x T a ω ? - = 2 2 0sin )(2T T n tdt n t x T b ω 式中 Ｔ--周期；0--基频, 0=2 /T 。 三角函数展开式的另一种形式： ) cos()(1 00∑∞ =++=n n n t n A a t x ?ωN 次谐波 N 次谐波的相角 N 次谐波的频率 N 次谐波的幅值 信号的均值，直流分量
信号系统方波与三角波的傅里叶的分解与合成
实验<编号> 学号姓名分工 11350023 韦能龙编写代码 11350024 熊栗问题分析1.问题描述 实验二信号的合成与分解
2. 问题分析 此次主要是考察傅里叶的合成与分解，运用分解公式求出系数，运用合成公式合成函数，三角波和矩形波是很典型的连个列子，这个大作业只要分解出系数还有用合成公式，基本上就解决了问题了。 3. 实验代码与实验结果 (1)周期性矩形波的系数表示 ,.....7,5,3,1),2 sin(2==n npi kpi a k 代码： t = -3:0.001:3; M = 1;%M =1,7,29,99 T = 2; W = 2*pi/T; f1 = 0*ones(1,length(t)); for n= -M:2:M a = 2/(n*pi)*sin(n*pi/2); f1 = f1+a*exp(j*n*W*t); end plot(t,f1) xlabel('t') ylabel('f(t)') title('M=1，7,29,99时的方波') ylim([-1.5 1.5]); hold on plot(t , zeros(1,length(t))) hold off 图像： M =1时：
M= 7： M = 29
M = 99 （2）三角波的系数表示：
?? --== 1 1)()(1dt e t x dt e t x T a jkwt T jkwt k )2 (sin 42 12 2 20npi pi n a a n == 代码： t = -3:0.001:3; M = 1;%M =1,7,29,99 T = 1; W = 2*pi/T; G1= 0*ones(1,length(t)); for n= -M:M if n==0 a =1/2; else a = 4/(n^2*pi^2)*(sin(n*pi/2)^2) ; end G1 = G1+a*exp(j*n*W*t); end G1 = G1-0.5; plot(t,G1) xlabel('t') ylabel('G(t)') title('M=1时的三角波') ylim([-1.5 1.5]); hold on plot(t , zeros(1,length(t))) hold off M=1 时
求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形
1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|c n |–ω和φn –ω图，并与表1-1对比。 解答：在一个周期的表达式为 00 (0)2() (0)2 T A t x t T A t ? --≤
1-2 求正弦信号0()sin x t x ωt =的绝对均值x μ和均方根值rms x 。 解 答 ： 000 2200000 224211()d sin d sin d cos T T T T x x x x x μx t t x ωt t ωt t ωt T T T T ωT ωπ ====-==??? 2 222 00rms 000 111cos 2()d sin d d 22 T T T x x ωt x x t t x ωt t t T T T -====??? 1-3 求指数函数()(0,0)at x t Ae a t -=>≥的频谱。 解答： (2)220 2 2 (2) ()()(2) 2(2)a j f t j f t at j f t e A A a j f X f x t e dt Ae e dt A a j f a j f a f -+∞ ∞ ---∞-∞ -==== =-+++??πππππππ 2 2 ()(2) k X f a f π= + Im ()2()arctan arctan Re ()X f f f X f a ==-π? 1-5 求被截断的余弦函数0cos ωt (见图1-26)的傅里叶变换。 |c n | φn π/2 -π/2 ω ω ω0 ω0 3ω0 5ω0 3ω0 5ω0 2A/π 2A/3π 2A/5π 幅频图 相频图 周期方波复指数函数形式频谱图 2A/5π 2A/3π 2A/π -ω0 -3ω0 -5ω0 -ω0 -3ω0 -5ω0 单边指数衰减信号频谱图 f |X (f )| A /a φ(f ) f π/2 -π/2
实验四方波的傅里叶分解与合成
实验四方波的傅里叶分解与合成 一、实验目的 1.用RLC 串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测量它们的振幅与相位关系。 2.将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。 3.了解傅里叶分析的物理含义和分析方法。 二、实验仪器 FD-FLY-A 型傅里叶分解与合成,示波器，电阻箱，电容箱，电感。 三、实验原理 1.数学基础 任何具有周期为T 的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即： 其中：T 为周期，ω为角频率。ω＝ T π 2；第一项20a 为直流分量。 图1方波图2波形分解的RLC 串联电路 所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有ｎ阶谐波的迭加。如图1所示的方法可以写成： 此方波为奇函数，它没有常数项。数学上可以证明此方波可表示为： = ∑∞ =--1 ])12sin[()1 21 ( 4n t n n h ωπ 2.周期性波形傅里叶分解的选频电路 我们用RLC 串联谐振电路作为选频电路，对方波或三角波进行频谱分解。在示波器上显示这些被分解的波形，测量它们的相对振幅。我们还可以用一参考正弦波与被分解出的波形构成李萨如图形，确定基波与各次谐波的初相位关系。 本仪器具有1KH ｚ的方波和三角波供做傅里叶分解实验，方波的输出阻抗低，可以保证顺利地 完成分解实验。实验原理图如图2所示。这是一个简单的RLC 电路，其中R 、C 是可变的。L 一般取0.1H ～H 范围。 当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应。谐振频率0ω为：0ω= LC 1。这个响 应的频带宽度以Q 值来表示：Q ＝ R L 0ω。当Q 值较大时，在0ω附近的频带宽度较狭窄，所以实验中我们应该选择Q 值足够大，大到足够将基波与各次谐波分离出来。
周期型方形信号的傅里叶级数展开
周期方形信号的傅里叶级数展开 提出问题： 用有限项傅里叶级数展开逼近周期方波信号。 设周期为1的方波信号由以下函数给出 ?? ???<=>=-<>=<->=+=)2且1(1)1且0()0且1(1)x (x x x x x x x x x f 。 利用Matlab 软件符号运算及绘图功能，观察方形信号由有限项傅里叶级数展开式的合成情况。 问题背景： 在信号分析与处理，特别是工程中，对于周期信号的处理通常采用傅里叶级数展开来进行分析，即频率分析法。在实际信号处理过程中，可以借助Matlab 软件来模拟傅里叶级数对于信号的逼近情况。 知识基础： 周期函数的傅里叶级数展开，Matlab 软件 实验过程： 对于周期为2π函数()f t , 满足Dirichlet 条件，则可展为傅里叶级数 经过傅里叶变换得到： ?????????--- +- =∑∑∑∞∞∞111)) 1(2sin(21)2sin(2 1))1(2sin(2 1)(x k x k x k x f πππ 将级数展开式截断到有限项可用来逼近周期函数。利用Matlab 软件，编写程序如下： clear;clc;x=linspace(-1,2,3000); y=(x+1).*(x<0)+x.*(x>=0&x<1)+(x-1).*(x>=1&x<=2); y1=0; 01()(cos sin ).2n n n a f t a nt b nt ∞==++∑1()cos n a f t ntdt πππ -=?1()sin n b f t ntdt πππ-=? 0,1,2n = 1,2,3n =
for k=1:10; y1=y1+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x+1)).*(x<0); end y1=1/2-y1; y2=0; for k=1:50; y2=y2+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*x).*(x>=0 & x<1); end y2=1/2-y2;y3=0; for k=1:100; y3=y3+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x-1)).*(x>=1&x<=2); end y3=1/2-y3;plot(x,y1)hold on plot(x,y2) plot(x,y3)plot(x,y,'r') axis equal 此图当x 属于(-1,0)时，傅里叶级数取了前10项 此图当x 属于(0,1)时，傅里叶级数取了前50项 此图当x 属于(1,2)时，傅里叶级数取了前100项 红线代表实际函数，蓝线代表傅里叶级数展开函数 拓展练习： 1. 可将周期2π扩展为任意周期T ,则此时方波信号的角频率2/T ωπ=，当方波信号 ()f t 满足Dirichlet 条件时，则可展为傅里叶级数： 01()(cos sin ).2n n n a f t a n t b n t ωω∞==++∑ 0 02()d T a f t t T =?
方波的傅里叶分解与合成
方波的傅里叶分解与合成 教 学 目 的 1、用RLC 串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测量它们的振幅 与相位关系。 2、将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。 3、了解傅立叶分析的物理含义和分析方法。 重 难 点 1、了解串联谐振电路的基本特性及在选频电路中的应用； 了解方波的傅立叶合成的物理意义。 2、选频电路将方波转换成奇数倍频正弦波的物理意义。 教 学 方 法 讲授与实验演示相结合。 学 时 3学时。 一、实验仪器 FD-FLY-I 傅立叶分解合成仪，DF4320示波器，标准电感，电容箱。 二、原理 任何具有周期为T 的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即： ∑∞ =++=10) sin cos (21 )(n n n t n b t n a a t f ωω 其中：T 为周期，ω为角频率。ω＝T π 2；第一项20a 为直流分量。 所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有ｎ阶谐波的迭加。 如图1所示的方法可以写成： h (0≤t ＜2T ) )(t f = -h (-2T ≤t ＜0)
此方波为奇函数，它没有常数项。 数学上可以证明此方波可表示为： ) 7sin 715sin 513sin 31(sin 4)( ++++=t t t t h t f ωωωωπ ∑∞ =--1 ])12sin[()121 ( 4n t n n h ωπ 同样，对于如图2所示的三角波也可以表示为： t T h 4 (-4T ≤t ≤4T ) )(t f = 2h(1-T t 2) (4T ≤t ≤43T ) )7sin 715sin 513sin 31(sin 8)(2222 +-+- = t t t t h t f ωωωωπ ∑∞ =----1 2 1 2 )12sin()12(1 )1(8n n t n n h ωπ （a ）周期性波形傅里叶分解的选频电路 我们用RLC 串联谐振电路作为选频电路，对方波或三角波进行频谱分解。在示波器上显示这些被分解的波形，测量它们的相对振幅。我们还可以用一参考正弦波与被分解出的波形构成李萨如图形，确定基波与各次谐波的初相位关系。 本仪器具有1KH ｚ的方波和三角波供做傅里叶分解实验，方波和三角波的输出阻抗低，可以保证顺利地完成分解实验。 实验线路图如图3所示。这是一个简单的RLC 电路，其中R 、C 是可变的。L 一般取0.1H~1H 范围。 当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应。谐振频率0ω为： 0ω=LC 1 这个响应的频带宽度以Q 值来表示： Q ＝R L 0ω 当Q 值较大时，在0ω附近的频带宽度较狭窄，所以实验中我们应该选择Q 值足够大，大到足够将基波与各次谐波分离出来。 如果我们调节可变电容C ，在n 0ω频率谐振，我们将从 此周期性波形中选择出这个单元。它的值为： t n b t V n 0sin )(ω= 图3 波形分解的RLC 串联电路
实验四方波的傅里叶分解与合成
实验四方波的傅里叶分 解与合成 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
实验四方波的傅里叶分解与合成 一、实验目的 1.用RLC 串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测量它们的振幅与相位关系。 2.将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。 3.了解傅里叶分析的物理含义和分析方法。 二、实验仪器 FD-FLY-A 型傅里叶分解与合成,示波器，电阻箱，电容箱，电感。 三、实验原理 1.数学基础 任何具有周期为T 的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即： 其中：T 为周期，ω为角频率。ω＝ T π 2；第一项20a 为直流分量。 图1方波图2波形分解的RLC 串联电路 所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有ｎ阶谐波的迭加。如图1所示的方法可以写成： 此方波为奇函数，它没有常数项。数学上可以证明此方波可表示为： = ∑∞ =--1 ])12sin[()1 21 ( 4n t n n h ωπ 2.周期性波形傅里叶分解的选频电路 我们用RLC 串联谐振电路作为选频电路，对方波或三角波进行频谱分解。在示波器上显示这些被分解的波形，测量它们的相对振幅。我们还可以用一参考正弦波与被分解出的波形构成李萨如图形，确定基波与各次谐波的初相位关系。 本仪器具有1KH ｚ的方波和三角波供做傅里叶分解实验，方波的输出阻抗低，可以保证顺利地 完成分解实验。实验原理图如图2所示。这是一个简单的RLC 电路，其中R 、C 是可变的。L 一般取0.1H ～H 范围。 当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应。谐振频率0ω为： 0ω= LC 1。这个响应的频带宽度以Q 值来表示：Q ＝ R L 0ω。当Q 值较大时，在0ω附近的频带宽度 较狭窄，所以实验中我们应该选择Q 值足够大，大到足够将基波与各次谐波分离出来。
方波信号展开为傅里叶级数
【例4.2-1】将下图所示方波信号展开为傅里叶级数。 解：按题意方波信号在一个周期内的解析式为 ()???????≤≤<≤--=2 02022 T t E t T E t f 分别求得傅里叶系数： cos 22cos 22200020??? ? ??+???? ??-=-T T n tdt n E T tdt n E T a ωω ()()[]0sin sin n E 20000 0=+-=-T T t n t n T ωωω ??? ? ??+???? ??-=-200020sin 22sin 22T T n tdt n E T tdt n E T b ωω ()()[]20000 0cos cos n E T T t n t n T ωωω-+=- ()[]ππn n E cos 222-= 即： ?????=为偶数为奇数n n n E b n 02π 故得信号的傅里叶级数展开式为 ()??? ??+++++= t n n t t t E t f 0000sin 15sin 513sin 31sin 2ωωωωπ 它只含有一、三、五、……等奇次谐波分量。
解: 首先将图示信号分解为奇、偶函数，如下图(a)、(b)所示。 (a) 从图(a)可见为一个半波反对称偶函数。在这种情况下，其傅里级数展开式 中将只含有余弦项，且只含奇次谐波分量而不含偶次谐波分量，即有： 06420321======== b b b b a a a ()?? ? ??+++++= t n n t t t t f ev 020002cos 15cos 2513cos 91cos 8ωωωωπ
典型信号的地傅里叶变换
例9.1 试将图9.3中所示的非正弦周期信号（称为方波信号）展成傅里叶级数。 解 根据图上所示信号的波形，可知其既对称于纵轴，又具有半波对称性质，所以它是兼有奇谐波函数性质的偶函数。依照上述定理，此信号的傅里叶级数中必定只含有余弦的奇次谐波项，因此只需按公式 ()2 04cos T km A f t k tdt T ω= ? 计算A km 。 对图上的波形图可以写出 ()04 42 T A t f t T T A t ?
图9.3 方波信号 图9.4 三角波信号 例9.2 试求图9.4所示三角波信号的傅里叶级教。 解 视察一下所给的波形可以知道，它既是原点对称又是半波横轴对称。因此，其傅里叶级数仅由正弦奇次谐波分量组成。由于 ()404 4242 A T t t T f t A T T t A t T ???=??-+??≤≤≤≤ 故有 2044444sin 2sin T T km T A A B t k tdt t A k tdt T T T T ωω??= -- ??? ?? 参照积分公式 211 sin sin cos x axdx ax x ax a a = -? 可算出 22 22 81,5,9,83,7,11km A k k B A k k ππ?=??=??-=??L L 于是所欲求的傅里叶级数 ()2222 8111sin sin 3sin 5sin 7357A f t t t t t ωωωωπ?? = -+-+ ??? L 。 例9.3 已知一如图9.5所示的信号波形，试求其傅里叶级数。 图9.5 例9.3用图
关于傅里叶级数模拟方波的实验报告
关于傅里叶级数模拟方波的实验报告 通信082班学号：3080431076 杨旭升 实验目的 1．用傅里叶级数的复指数形式来表示方波，并用MATLAB描绘出该图形。2．通过该实验来验证傅里叶级数的正确性，加深对傅里叶级数的理解。3．熟悉MATLAB的操作环境，学会利用MATLAB这种工具分析理论问题。 实验内容 利用傅里叶展开式X(t)= t jk k k i k jkwt k k i k e a e a)2/(π? - = - = ∑ ∑= 来描述 在区间4T～4T+2 幅度为1 在区间4T+2～4（T+1）幅度为0 的方波。 通过计算可以得出系数a k=(1-exp(j*k*pi))/(j*2*k*pi)，然后通过累加得到n项的傅里叶展开项。根据这个思想，编写出源程序。 t=0:0.001:8; n=100;k=-n;x=0; while k plot(t,x); 其实，程序的表达并不唯一，但有一点得注意，直流量a0还有就是保证从-k到+k项都累加进去。 实验结果 实验结果分析及预测 当级数项越来越多时，图形越来越逼近方波，当级数项趋向于无穷项的时候，就可以看作为方波了。从而证明了傅里叶级数的正确。 问题的分析及解决 1．运用数组的时候，遇到了问题，所以后来利用for语句进行每一项的叠加，其中借鉴了C语言中的算法。 2．在累加直流量的时候，不能在while语句中进行累加，得另外加进去。所以这里，利用到了if和else语句。 3．还有就是求系数a k时的问题，所以得熟悉MATLAB中运算符号的用法。 4．要对傅里叶级数有一定的了解，所以先要弄懂书上的公式，会运用来解决一些实际性问题。 傅里叶变换 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复 杂列? 傅里叶变换(Fourier transform)是一种线性的积分变换。因其基本思想首先 由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂: 以下就是傅里叶变换的4种变体(摘自，维基百科) 连续傅里叶变换 一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。连续傅里叶变换将平方可积的函数f(t)表示成复指数函数的积分或级数 形式。 这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。连续傅里 叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为: 即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。一般可称函数f(t)为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里 叶变换对(transform pair)。除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通信或是信号处理方面，常以来代换，而形成新的变换对: 或者是因系数重分配而得到新的变换对: 一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换(Fractional Fourier Transform)。分数傅里叶变换(fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅里叶变换(Fourier transform,FT)的广义化。 分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换 a 次，其中 a 不一定要为整数; 而做了分数傅里叶变换之后，信号或输入函数便会出现在介于时域(time domain)与频域(frequency domain)之间的分数域(fractional domain)。 当f(t)为偶函数(或奇函数)时，其正弦(或余弦)分量将消亡，而可以称这时的变换为余弦变换(cosine transform)或正弦变换(sine transform). 另一个值得注意的性质是，当f(t)为纯实函数时，F(?ω) = F*(ω)成立. 傅 里叶级数 连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier series)的推广，因为积 分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的: 实验四 方波的傅里叶分解与合成 一、实验目的 1.用RLC 串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测量它们的振幅与相位关系。 2.将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。 3.了解傅里叶分析的物理含义和分析方法。 二、实验仪器 FD-FLY-A 型傅里叶分解与合成,示波器，电阻箱，电容箱，电感。 三、实验原理 1.数学基础 任何具有周期为T 的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即： ∑∞ =++=1 0)sin cos (21 )(n n n t n b t n a a t f ωω 其中：T 为周期，ω为角频率。ω＝ T π 2；第一项20a 为直流分量。 图1 方 波 图2 波形分解的RLC 串联电路 所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有ｎ阶谐波的迭加。如图1所示的方法可以写成： ?? ?? ? <≤-< ≤-=)02()20()(t T T t h h t f 此方波为奇函数，它没有常数项。数学上可以证明此方波可表示为： )7sin 7 1 5sin 513sin 31(sin 4)(ΛΛ++++= t t t t h t f ωωωωπ = ∑∞ =--1 ])12sin[()1 21 ( 4n t n n h ωπ 2.周期性波形傅里叶分解的选频电路 我们用RLC 串联谐振电路作为选频电路，对方波或三角波进行频谱分解。在示波器上显示这些被分解的波形，测量它们的相对振幅。我们还可以用一参考正弦波与被分解出的波形构成李萨如图形，确定基波与各次谐波的初相位关系。 本仪器具有1KH ｚ的方波和三角波供做傅里叶分解实验，方波的输出阻抗低，可以保证顺利地 完成分解实验。实验原理图如图2所示。这是一个简单的RLC 电路，其中R 、C 是可变的。L 一般取～H 范围。 当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响 应。谐振频率0ω为： 0ω=LC 1。这个响应的频带宽度以Q 值来表示：Q ＝ R L 0ω。 方波的傅里叶分解与合成 【实验目的】 1.用RLC 串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测量它们的振幅与相位关系。 2.将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。 3.了解傅里叶分析的物理含义和分析方法。 【实验仪器】 FD-FLY-A 型傅里叶分解与合成,示波器，电阻箱，电容箱，电感。 【实验原理】 1.数学基础 任何具有周期为T 的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即： ∑∞ =++=1 0)sin cos (21 )(n n n t n b t n a a t f ωω 其中：T 为周期，ω为角频率。ω＝ T π 2；第一项2 0a 为直流分量。 所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有ｎ阶谐波的迭加。如图1所示的方法可以写成： ?? ?? ?<≤-< ≤-=)02()20()(t T T t h h t f 此方波为奇函数，它没有常数项。数学上可以证明此方波可表示为： )7sin 7 1 5sin 513sin 31(sin 4)( ++++= t t t t h t f ωωωωπ = ∑∞ =--1 ])12sin[()1 21 ( 4n t n n h ωπ 同样，对于如图2所示的三角波也可以表示为： ) 434()44()21(24)(T t T T t T T t h t T h t f <≤<≤-?? ?? ?-= )7sin 7 1 5sin 513sin 31(sin 8)(2222 +-+-=t t t t h t f ωωωωπ = ∑∞ =----1 2 1 2 )12sin() 12(1 )1(8n n t n n h ωπ 2.周期性波形傅里叶分解的选频电路 我们用RLC 串联谐振电路作为选频电路，对方波或三角波进行频谱分解。在示波器上显示这些被分解的波形，测量它们的相对振幅。我们还可以用一参考正弦波与被分解出的波形构成李萨如图形，确定基波与各次谐波的初相位关系。 本仪器具有1KH ｚ的方波和三角波供做傅里叶分解实验，方波和三角波的输出阻抗低，可以保证顺利地 完成分解实验。实验原理图如图3所示。这是一个简单的RLC 电路，其中R 、C 是可变的。L 一般取0.1H ～H 范围。 当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应。谐振频率0ω为：0ω= LC 1。这个响应的 频带宽度以Q 值来表示：Q ＝R L 0ω。当Q 值较大时，在0ω附 近的频带宽度较狭窄，所以实验中我们应该选择Q 值足够大，大到足够将基波与各次谐波分离出来。 如果我们调节可变电容C ，在n 0ω频率谐振，我们将从此周期性波形中选择出这个单元。它的值为：t n b t V n 0sin )(ω=，这时电阻R 两端电压为： )sin()(00?ω+=t n R I t V R ，此式中 R X tg 1 ==?，X 为串联电路感抗和容抗之和Z b I n =0，Z 为串联电路的总阻抗。 在谐振状态X ＝0，此时，阻抗Z ＝ｒ＋R ＋R L ＋R C ＝ｒ＋R ＋R L ，其中，ｒ方波（或三角波） 电源的内阻；R 为取样电阻；R L 为电感的损耗电阻；R C 为标准电容的损耗电阻(R C 值常因较小而忽略）。电感用良导体缠绕而成，由于趋肤效应，R L 的数个将随频率的增加而增加。实验证明碳膜电阻及电阻箱的阻值在1KHz~7KHz 范围内，阻值不随频率变化。 图3 波形分解的RLC 串联电路 电学四、方波的傅里叶分解 任何周期信号如三角波、矩形波、半波、全波等谐波都是由多个频率和多个频率和振幅各不相同的正弦波构成的，反过来，这些在有限频谱内无论多么复杂的谐波波形，又都是由非常多的不同频率振幅的正弦波叠加而成。利用不同的方法，可以从周期信号中分解出它的各次谐波的幅值和相位，也可将各次谐波叠加得到所期望的信号，用这种方法对信号进行分析处理，称为傅里叶分析。 傅里叶分析是一种最常用的分析电信号波形的方法，信号分析在科学研究和工程技术中具有重要地位和广泛的应用。 本实验根据带通滤波器的“滤波”特性，采用串联谐振电路和带通滤波器选频电路，构筑了周期电信号谐波的分解电路。并通过加法合成器等电路分信号的合成叠加电路，通过频率计、万用表或示波器等器材测定信号的频率、相位和振幅，来验证其傅里叶分析(级数)的正确性。 一、实验目的 1.用RLC 串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测量它们的振幅与相位关系。 2.了解傅里叶分析的物理含义和分析方法。 二、实验仪器 FD-FLY-A 型傅里叶分解合成仪,示波器，电阻箱，电容箱，电感。 三、实验原理 1.数学基础 任何具有周期为T 的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即： ∑∞ =++=10) sin cos (21 )(n n n t n b t n a a t f ωω 其中：T 为周期，ω为角频率。ω＝T π 2；第一项20a 为直流分量。 所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有ｎ阶谐波的迭加。方波可以写成： ???? ? <≤-<≤-=) 02()20()(t T T t h h t f 此方波为奇函数，它没有常数项。数学上可以证明此方波可表示为： ) 7sin 715sin 513sin 31(sin 4)( ++++=t t t t h t f ωωωωπ （正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 简介 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。 傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。 傅里叶变换定义 f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换， ②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做 F(ω)的象原函数。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象。 ①傅立叶变换 ②傅立叶逆变换 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。傅里叶变换相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； 注意事项 1、 分解时，观测各谐波相位关系，可用本机提供的1KH 2正弦波。 2、 合成方波时，当发现调节5KH 2或7KH 2正弦波相位无法调节至同相位 时，可以改变1KH 2或3KH 2正弦波相位，重新调节最终达到各谐波同相位 。 方波的傅里叶分解与合成 一、目的 1、 用RLC 串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测量它们的 振幅与相位关系。 2、 将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。 3、 了解傅里叶分析的物理含义和分析方法。 二、原理 任何具有周期为T 的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即： ∑∞ =++=1 0)sin cos (21 )(n n n t n b t n a a t f ωω 其中：T 为周期，ω为角频率。ω＝ T π 2；第一项2 0a 为直流分量。 所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有ｎ阶谐波的迭加。 如图1所示的方法可以写成： h (0≤t ＜2 T ) )(t f = -h (-2 T ≤t ＜0) 此方波为奇函数，它没有常数项。 数学上可以证明此方波可表示为： )7sin 7 1 5sin 513sin 31(sin 4)( ++++= t t t t h t f ωωωωπ = ∑∞ =--1 ])12sin[()1 21 ( 4n t n n h ωπ 同样，对于如图2所示的三角波也可以表示为： t T h 4 (-4T ≤t ≤4 T ) )(t f = 2h(1- T t 2) (4 T ≤t ≤43T ) )7sin 7 1 5sin 513sin 31(sin 8)(2222 +-+-=t t t t h t f ωωωωπ 龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/4e14064019.html, 用方波代替正弦波作傅里叶变换的一种算法研究 作者：包开云 来源：《无线互联科技》2014年第10期 摘要：用方波替代正弦波进行离散傅里叶变换（DFT）的一种算法，以便能在一些计算能力不是很强的嵌入式系统内作傅里叶变换。此算法本身不存在变换误差。对方波的离散总是存在误差，但是随着奇次频项数的增加，误差逐渐减小。总体运算效率还是明显提高。 关键词：正交方波；正弦波；DFT；奇次倍谐波；误差 The calculation method of using square wave being an alternative to sine wave to practice DFT Bao Kai Yun（Johnson Electric Group，SHENZHEN 518100） Abstract：The calculation method of using square wave being an alternative to sine wave to practice DFT. So， we can do the Fourier transformation in a weak calculation ability embedding style system. In theory， there is no existence of errors in inverter. In actual practice， there are errors in square wave disintegration though. As the odd number multiples frequency item numbers has an increasing sequence， there will be fewer and fewer errors. All in all， the operation efficiency has enhanced significantly. Key words：Middle cross square wave；sine wave；DFT；odd number multiples frequency item numbers；error 1 引言 传统离散傅里叶变换（DFT）或线性调频z变换（CZT）是以正弦波sin（x）作为核进行傅里叶变换，当计算时如果点数不确定，将无法预先计算并保存好固定点数的sin（x）值，所以在实时计算sin（x）时计算量都很大，这在一些嵌入式系统如8051，ARM内，由于没有sin 指令，计算sin值时需做多次乘法才能得出，几乎无法实现稍长点数的DFT运算。为此，本文专门提出用方波替代正弦波进行离散傅里叶变换（DFT）的一种算法，以便能在一些计算能力不是很强的嵌入式系统内作傅里叶变换，并对算法进行编程以及验证。 2 用方波代替正弦波作离散傅里叶变换（DFT）的算法分析 2.1 算法的理论推导傅里叶变换
实验四 方波的傅里叶分解与合成
方波的傅里叶分解与合成
方波的傅里叶分解
傅里叶变换常用公式
方波的傅里叶分解与合成
用方波代替正弦波作傅里叶变换的一种算法研究