三角形的图形变换计算与证明

G

D B

E C A F

三角形的图形变换计算与证明

1、如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC =50°，∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是__________．

B E

C F O

A

D

2、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转030到正方形///AB C D ，则图中阴影部分面积为（ ）

A 、313-

B 、33

C 、314

- D 、12 8．（4分）如图所示，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD 等于（ ）

A ． 10

B ． 12

C ． 24

D ．

48

4、如图，把边长为4的等边三角形ABC 沿着高AD 分成两个全等的Rt △ABD 和Rt △ACD ，将△ACD 绕点D 逆时针旋转15°得到△A ′C ′D ，A ′D 交AB 于E ，

则DE =_________．C'A'C B A D E E D C B A 5、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =4，BC =6．将腰DC 以D 为旋转中心逆时针旋转90°至DE ，连接AE ，CE ，则△ADE 的面积为___________．

6、（2013安徽）如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的两动点，且总使AD=BE,AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则=AF

FG 7、如图，正方形纸片ABCD 和正方形EFDH 边长都是1，点E 是正方形ABCD 的中心，在正方形EFGH 绕着点E 旋转过程中，

（1）观察两个正方形的重叠部分的面积是否保持不变？

（2）如果保持不变，求出它的值；否则，请简要说明理由。

8、操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝900，将一块等腰三角形板的直角顶点放在

斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、

E两点．图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．研究：

（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明．

（2）三角板绕点P旋转，△PBE能否为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写

出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．

9、已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是____________，QE与QF的数量关系式___________ ；

（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

10、△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．

（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是_________三角形；

（2）若∠BAC=∠DAE≠60°

①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；

②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．

2019年中考几何相似三角形怎么证明

2019年中考几何相似三角形怎么证明 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 初中几何相似三角形怎么证明?很多同学一接触证明题就不会，教育网针对这个问题，给大家具体解答一下。 数学：相似三角形怎么证明 相似三角形定理 ：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似

相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比 性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方 证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DE F”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。 方法一 平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角

形相似。 方法二 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。 方法三 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似 方法四 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似 方法五 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 三个基本型 Z型A型反A型 方法六 两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。一定相似的三角形 1.两个全等的三角形

沪科版数学八年级上册专题：三角形的有关计算与证明

专题：三角形的有关计算与证明 三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一，这类试题解法比较灵活，通常以全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点，以计算题、证明题的形式出现，解答这类问题时，不仅要熟练掌握有关的公式定理，更要注意它们之间的相互联系. 例如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB 交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG. 求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE. 【思路点拨】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到； (2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF=BG，则只要证明BG=2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG=2DE，故证明DG=BG即可. 【解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC. ∴∠BCG＝∠CAB＝45°. 又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC， ∴△ACF≌△CBG(ASA), ∴CF＝BG，AF＝CG. (2)延长CG交AB于点H. ∵AC＝BC，CG平分∠ACB， ∴CH⊥AB，H为AB中点. 又∵AD⊥AB，∴CH∥AD, ∴G为BD中点，∠D＝∠EGC. ∵E为AC中点，∴AE＝EC. 又∵∠AED＝∠CEG， ∴△AED≌△CEG(AAS), ∴DE＝EG,∴DG＝2DE,∴BG＝DG＝2DE. 由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE. 方法归纳：解答与线段或角相等的有关问题时，通常将它转化为全等三角形问题来求解. 1.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.

全等三角形知识点总结

全等三角形知识梳理 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； > (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等（即对应元素相等）

3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。 （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。 （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。 ， （4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 尺规作图 < （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等， 因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找

全等三角形知识点总结

全等三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （注意对应的顶点写在对应的位置上） ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。 两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合,一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2、全等三角形的性质和表示 性质： （1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2）：全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 表示： 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF”。 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3.全等三角形的判定定理：

⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用于两个直角三角形） 4、学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”5、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 6.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 7.角平分线： ⑴画法：（课本48页，必须要掌握） ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. （在做题时，只要满足条件就可以直接运用定理） ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 7.证明命题基本方法： ⑴明确命题中的已知和求（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平 分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） ⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.

相似三角形证明的方法与技巧

相似三角形的判定和应用 一、判定相似三角形的基本思路: 1.找准对应关系：两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写，一般说来，相等的角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。 2.记住五个判定定理：判定相似三角形依据是五个定理，即预备定理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。 二、相似形的应用： 1.证比例式； 2.证等积式； 3.证直线平行； 4.证直线垂直； 5.证面积相等； 三、经典例题： 例1.如图，在ΔABC 中，D 是BC 的中点，E 是AC 延长线上任意一点，连接DE 与AB 交于F ，与过A 平行于BC 的直线交于G 。 求证： CE AE BF AF = . 变式1：如图，在ΔABC 中，A ∠与B ∠互余，CD ⊥AB ，DE//BC ，交AC 于点E ，求证： AD:AC=CE:BD. 例2：如图：已知梯形ABCD 中，AD//BC ，?=∠90ABC ，且BD ⊥CD 于D 。 求证：①DCB ABD ??~ ；②BC AD BD ?=2

例3.如图，在ΔABC 中，?=∠90BAC ，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 交BA 的延长线于D ，交AC 于E 。 求证：ME MD MA ?=2 例4.已知：在ΔABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，点E 在AD 上，点F 在AD 的延长线 上，且 AC AB DF ED = 求证：BE//FC 。 例5.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB 、AC 上一点，切BE=BF ，BP ⊥CE ，垂足为P 。 求证：PD ⊥PF.

2020年全国各地中考数学压轴题按题型(几何综合)汇编(一)三角形中的计算和证明综合(原卷版)

2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编 一、三角形中的计算和证明综合题 1.（2020贵州黔东南州）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形． 探究发现 （1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用 （2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长． （3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长． 2.（2020黑龙江牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC， 交射线CA于点F．请解答下列问题：

（1）当点E 在线段AB 上，CD 是△ACB 的角平分线时，如图①，求证：AE +BC ＝CF ；（提示：延长CD ，FE 交于点M ．） （2）当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的角平分线时，如图②；当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE ，BC ，CF 之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若DE ＝2AE ＝6，则CF ＝ ． 3.（2020武汉）问题背景：如图（1），已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ； 尝试应用：如图（2），在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，AC 与DE 相交于点F ，点D 在BC 边上， AD BD = √3，求 DF CF 的值； 拓展创新 如图（3），D 是△ABC 内一点，∠BAD ＝∠CBD ＝30°，∠BDC ＝90°，AB ＝4，AC ＝2√3，直接写出AD 的长． 4.（2020湖南常德）已知D 是Rt △ABC 斜边AB 的中点，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，过点D 作Rt △DEF 使∠DEF ＝90°，∠DFE ＝30°，连接CE 并延长CE 到P ，使EP ＝CE ，连接BE ，FP ，BP ，设BC 与DE 交于M ，PB 与EF 交于N ． （1）如图1，当D ，B ，F 共线时，求证： ①EB ＝EP ； ②∠EFP ＝30°； （2）如图2，当D ，B ，F 不共线时，连接BF ，求证：∠BFD +∠EFP ＝30°．

三角形中的五种常见证明类型

专训一：三角形中的五种常见证明类型名师点金：学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系、位置关系，线段的和差关系、倍分关系、不等关系等． 证明数量关系 题型1证明线段相等 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC 上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF. (第1题) 题型2证明角相等 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD 于F交BC于E. 求证：∠ADB＝∠CDE. (第2题) 证明位置关系 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，点G是EF的中点，求证：DG⊥EF.

(第3题) 证明倍分关系 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD. (第4题) 证明和、差关系 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求证：AB＋BD＝AC. (第5题) 证明不等关系 6．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB ＞AC，求证：AB－AC＞PB－PC.

(第6题) 专训二：构造全等三角形的六种常用方法 名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题得以较轻松地解决．常见的辅助线作法有：构造法、平移法、旋转法、翻折法、加倍折半法和截长补短法，目的都是构造全等三角形． 构造基本图形法 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF. 求证：∠ADC＝∠BDF. (第1题) 翻折法

初中数学全等三角形部分知识点整理及经典例题

《全等三角形》 一、结构梳理 二、知识梳理 （一）概念梳理 1．全等图形 定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形． 2．全等三角形 这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等． （二）性质与判定梳理 1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等． 全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2．全等三角形的判定 这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有： （1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS． 若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等． （5）注意判定三角形全等的基本思路 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有 图 2

三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有： ?? ???→→S S S S A S 找另一边找夹角 ??? ?????????→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边找这条边上的对角找这条边上的另一角边就是角的一条边 找任一角边为角的对边 ???→→AAS ASA 找任一边找两角的夹边 （6）学会辨认全等三角形的对应元素 辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应边，如已知△ABC ≌EFD ，这种记法意味着A 与E 、B 与F 、C 与D 对应，则三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角． （三）基本图形梳理 注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种： 1．平移型 如图3，下面几种图形属于平移型： 它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边 的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到． 2．对称型 如图4 ，下面几种图形属于对称型： 它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点． 3．旋转型 如图5，下面几种图形属于旋转型： 它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转 所构成的，故一般有一对相等的角隐含在 对顶角、某些角的和 或差中． 三、易混、易错点剖析 1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例 （1两个三角形不一定全等；如图6（1已知两边 已知一边一角 已知两角 图3 图4 图6（1）

三角形全等20个经典试题(图形变换)

三角形全等20个经典试题（图形变换）．1.四边形ABCD是正方形（提示：正方形四边相等，四个角都是90°）（1）如图1，点G是BC边上任意一点（不与点B、C重合），连接AG， 作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．求证：△ABF≌△DAE； （2）直接写出（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系 （3）①如图2，若点G是CD边上任意一点（不与点C、D重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，则图中全等三角形是____________，线段EF与AF、BF的等量关系是 ___________ ②如图3，若点G是CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE ⊥AG于点E，线段EF与AF、BF的等量关系是__________________ (4）若点G是BC延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG 于点E，请画图、探究线段EF与AF、BF的等量关系．

2小明、小敏两人一起做数学作业，小敏把题读到如图（1）所示，CD⊥AB，BE ⊥AC时，还没把题读完，就说：“这题一定是求证∠B=∠C，也太容易了．”她的证法是：由CD⊥AB，BE⊥AC，得∠ADC=∠AEB=90°，公共角∠DAC=∠BAE，所以△DAC≌△EAB．由全等三角形的对应角相等得∠B=∠C． 小明说：“小敏你错了，你未弄清本题的条件和结论，即使有CD⊥AB，BE⊥AC，公共角∠DAC=∠BAE，你的推理也是错误的．看我画的图（2），显然△DAC与△EAB是不全等的．再说本题不是要证明∠B=∠C，而是要证明BE=CD．” （1）根据小敏所读的题，判断“∠B=∠C”对吗？她的推理对吗？若不对，请做出正确的推理． （2）根据小明说的，要证明BE=CD，必然是小敏丢了题中条件，请你把小敏丢的条件找回来，并根据找出的条件，你做出判断BE=CD的正确推理． （3）要判断三角形全等，从这个问题中你得到了什么启发？

相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式

相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式 【知识疏理】 一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！ 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。 二， 相似三角形证明的变式 1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如： 例1、 已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。求证：DA ·AC=BA ·AE 图2 题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。 2，对特殊图形的认识 例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90o，BD ⊥AC 于点D 。 图3 （1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ （2） 用语言叙述第（1）题的结论。 （3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。 总结： （1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似； （2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等； A B C A'B'C'图（4）图1 B A C

双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。在此基础上，将双垂直图形转化 为“公边共角”，讨论、探究， A B C 得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。 【课堂检测】 一选择题 1、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（ ） A 、3100 B 、20 C 、54 D 、25 108 2、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，如果S △ODC ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值是（ ） A 、 51 B 、61 C 、71 D 、9 1 D C Ａ Ｄ O Ｐ A B Ｂ Ｃ （第2题图） （第4题图） 3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是（ ） A 、1：2 B 、1：4 C 、1：8 D 、1：16 4、已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=900，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，已知AD ：BC=3：4，则BD ：AC 的值是 （ ） Ａ、3：２ Ｂ、２：３ Ｃ、3：３ Ｄ、３：４ 5、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ） A 、AE BC AD A B = B 、AD B C AE AC = C 、AE BC DE AB = D 、AD AB AE AC =

培优专题四 三角形中角度的证明与计算

三角形中角度的证明与计算 类型一：三角形中两个角的角平分线的夹角 1、两个内角平分线的夹角 如图，在△ABC 中，O 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，求∠O 与∠A 之间的关系。 2、一个内角平分线与一个外角平分线的夹角 如图，在?ABC 中，D 点是∠ABC 和∠ACE 的角平分线的交点，求∠D 与∠A 之间的关系。 3、两个外角平分线的夹角 如图，在?ABC 中，E 点是∠ABC 和∠ACD 的角平分线的交点，求∠E 与∠A 之间的关系。 练习1、如图，在?ABC 的三条内角平分线交于点I ，AI 的延长线与BC 交于点D ，BC IH ⊥于H ，试比较∠CIH 和∠BID 的大小 练习2、如图，在?ABC 中，∠A=n o ，∠ABC 和∠ACD 的平分线交 于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2， 得2A ∠， BC A 2014∠和CD A 2014∠的平分线交于点2015A ， 求2015A ∠ = 。 类型二：三角形中两条边的高线的夹角 如图，在?ABC 中，O 点是BC 和AC 边上高的交点，求∠AOB 与∠ D C

类型三：三角形中同一顶点的高线与角平分线的夹角 如图，在 ABC 中，AD 是BC 边上高，AE 是∠BAC 的平分线，求∠DAE 与∠B 和∠C 之间的关系。 练习3、如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠B ＝40°，∠C ＝70°，F 为射线AE 上一点(不与E 点重合)，且FD ⊥BC. (1)若点F 与点A 重合，如图1，求∠EFD 的度数； (2)若点F 在线段AE 上(不与点A 重合)，如图2，求∠EFD 的度数； (3)若点F 在△ABC 外部，如图3，此时∠EFD 的度数会变化吗？是多少？ 类型四：三角形中两边中垂线的交点（锐角、直角、钝角三角形分类讨论） 如图，在△ABC 中，OD 垂直平分AB 交AB 于点D ，OE 垂直平分AC 交AC 于点E ，连接OB ，OC ，求∠BOC 与∠A 之间的关系。 练习4 （1）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，ME 和NF 分别垂直平分AB 和AC ，求∠MAN?的度数． （2）在（1）中，若无AB=AC 的条件，你还能求出∠MAN 的度数吗？若能，请求出；?若不能，请说明理由． 类型五：“8”字形图案的两条角平分线的夹角 如图，已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD ，CB ，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于点M ，N 如图2，试回答下列问题： 在图1中，直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系 在图2中，∠D 与∠B 为任意角，试探究∠P 与∠D 、∠B 之间是否存在一定的数量关系，若存在，写出它们之间的关系并证明，若不存在，说明理由。

全等三角形与旋转问题专题练习

全等三角形与旋转问题专题练习 中考要求 知识点睛 基本知识 把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度θ，得到图形G'，这样的由图形G到G'变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G'叫做G的象；G叫做G'的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形． 很明显，旋转变换具有以下基本性质： ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角． 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演． 重、难点 重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是 本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定 是整个直角三角形的重点 难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件， 决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化

【例1】 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合， 其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是_____________． 【解析】 A 【例2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG 可以看成是把菱形ABCD 以A 为中心_____________。 A ．顺时针旋转60°得到 B ．顺时针旋转120°得到 C ．逆时针旋转60° 120°得到 【解析】 D 【例3】 如图，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边 △CDE ,AD 交CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。 A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 K G F E D C B A 【解析】 C 【例4】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．求证： AN BM =． M D N E C B F A 例题精讲

初中数学相似三角形六大证明技巧(推荐)

相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法 相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型.

“旋转相似”与“一线三等角” 反A 型与反X 型 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =?

通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算 【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证： DC CF AE AD =． A B C F D E 【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=?，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于 D ，交AB 于 E ．求证：2AM MD ME =? C B A E D M 【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ， 交AD 于F ．求证： BF AB BE BC =． D B A C F E 技巧一：三点定型 比例式的证明方法

专题07 三角形及四边形的计算与证明(解析版)

专题07 三角形及四边形的计算与证明 一、三角形 1．三角形的概念及性质 概念：（1）由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．（2）三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形． 性质：（1）三角形的内角和是180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．（2）三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边． 2．三角形中的重要线段 （1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心． （2）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点． （3）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点． 3．全等三角形的性质与判定 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等． 判定：（1）有三边对应相等的两个三角形全等，简记为（SSS）； （2）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为（SAS）； （3）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为（ASA）； （4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为（AAS）； （5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为（HL）． 4．等腰三角形 等腰三角形的有关概念及分类：有两边相等的三角形叫等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形． 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一”）； （3）等腰三角形是轴对称图形．

全等三角形与旋转问题专题

全等三角形与旋转问题 中考要求 知识点睛 基本知识 把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度θ，得到图形G'，这样的由图形G到G'变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G'叫做G的象；G叫做G'的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形． 很明显，旋转变换具有以下基本性质： ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角． 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演． 重、难点 重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后 证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是 本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定 是整个直角三角形的重点 难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性 质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件， 决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化

【例1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是_____________． 【解析】A 【例2】如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心_____________。 A．顺时针旋转60°得到B．顺时针旋转120°得到 C．逆时针旋转60°得到D．逆时针旋转120°得到 G F E D C B A 【解析】D 【例3】如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。 A．1对B．2对C．3对D．4对 K G F E D C B A 【解析】C 【例4】已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．求证：AN BM =． M D N E C B F A 【解析】∵ACM ?、CBN ?是等边三角形， ∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ?? ≌，∴AN BM = 【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形． 【例5】如图，B，C，E三点共线，且ABC ?与DCE ?是等边三角形，连结BD，AE分别交AC，DC 例题精讲

相似三角形六大证明技巧

相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A ”型与“反X ”型. 示意图 结论 E D C B A 反A 型： 如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE · AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) O D C B A 反X 型： 如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC （AA ），∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . 示意图 结论 A B C D 类射影： 如图，已知△ABC ，∠ABD =∠C ，则△ABD ∽△ACB （AA ），∴2AB =AD · AC. C A B H 射影定理 如图，已知∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，则222,,AC AH AB BC BH BA HC HA HB =?=?=? 示意图 结论 相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法

A B C D E 旋转相似： 如图，已知△ABC ∽△ADE ，则 AB AD AC AE =，∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ， ∴△BAD ∽△CAE （SAS ） C B A E D 一线三等角： 如图，已知∠A =∠C =∠DBE ，则△DAB ∽△BCE （AA ） 反A 型与反X 型 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ，∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =? 通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 比例式的证明方法

三角形的证明练习题

八年级下册数学第一章提高训练 9.等腰三角形的周长是 2 + J 3，腰长为1，则其底边上的高为 _________________ . 12 .已知：如图，AB = AC,/A= 36°,AB 的垂直平分线交AC 于D,则下列结论：①/C= 72。：②总。是/AB C 的平分线；③AAB D 是等腰三角形；④ABCD 是等腰三角形，其中正确的有（ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13 .如图，已知在 AABC 中，AB = AC,/C= 30°,AB±AD,AD = 10 .以长为1、 . 2、2 ,5、3,中的三条线段为边长可以构成 个直角三角形 . （11题图） 二计算题 11 .如图，在△AEC,/C= 90° ZB= 15°,AB 的中垂线DE 交EC 于D,E 为垂足，若BD = 10 cm,^ UAC 等 于( )A. 10 cm B. 8 cm C. 5cm D. 2. 5cm 3 cm,_KU AC 的长等于（ ） A. 2 2 cm B. 2.3 cm C. 3 2 cm D. 3 .. 3 cm （13题图） 14.如图，加条件能满足 AAS 来判断/ AC*/ABE 的条件是（ A. / AEB = / ADC / C = / D B.Z AEB = / ADC CD = BE C. AC = AB AD = AE D . AC = AB / C =/ B 一、填空题（每小题2分，共20分） 1. 在△ ABD 和厶ACE 中，有下列四个论断：① AB= AC;②AD= AE ;③/ B =Z C ;④BD= CE 请以其中三个论断作为条件，余 下的一个作为结论，写出一个正确的判断（000^0的形式写出来） ________________________________ . 2. ______________________________________________________________ 如图，在△ ABC 中，AD= DE AB= BE,/ A = 80° 则/ DEC= ________________________________________________________ . （2题图） （3题图） （4题图） 4.如图，/ AO =/ BO =15°，PC// OA PDLOA 若 PC = 4,贝U PD= . 5?等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°,则其顶角的度数为 _________________ 度. 6. 已知：如图，在厶ABC 中，AB=15m AC=12m AD 是/ BAC 的外角平分线，DE// AB 交AC 的延长线于点 E ，那么CE= _cm 7. ______________________________________________________________________________________________ 如图，人。是厶ABC 的中线，/ ADC= 45°，把△ ADC 沿 AD 对折，点 C 落在C 的位置，如果 BC=2, _则BC' = ______________ &在联欢晚会上，有 A 、B 、C 三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏，要求在他们中间放一个木 ABC （6题图） （7题 （12题 图）

全等三角形基本图形

A B E D C F A B C D 123 4A B C D E F O O D C B A A B C D F O D C B A A B C D E M N 12E D C B A A B C D E A B D C E F 4321E D C B A 第八讲 全等三角形基本图形（2） 一、知识点 1、熟悉一些全等中的基本图形； 2、熟练运用全等三角形的判定方法和性质。 二、典型例题和练习 例1、已知：如图，AD ∥BC ，AD =BC .求证：AB ∥CD . 例2、已知：如图，AD ∥BC ，AD =BC ，AE =CF .求证：BE =DF . 例3、已知：如图，点E ,F 在BC 上，且BE =CF ，AB =CD ，∠B =∠C .求证：AF =DE . 例4、已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AC =AD . 例5、已知：如图，AB =CD ，BC =AD ，E 、F 是AC 上的两点，且AE =CF 求证：BF =DE . 例6、已知：如图，AB ，CD 相交于点O ，AC ∥DB ，OC=OD ，E 、F 为AB 上的两点，且AE=BF . 求证：CE =DF . 例7、已知：如图，AB ∥CD ，OA ＝OC .求证：△AOB ≌△COD . 练习： 1、已知：如图，AB =AC ，DB =CD ，F 是AD 的延长线上的一点.求证：BF =CF . 2、如图：AD ＝BC ，AC ⊥BC ，BD ⊥AD .求证：∠CAO ＝∠DBO . 3、已知：如图，AB ＝DC ，AC ＝BD .求证：∠A ＝∠D . 4、已知：如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠DAB ＝∠EAC AB 、DC 相交于点M ，AC 、 BE 相交于点N ，.求证：AM ＝AN . 5、如图，AB ＝AD ，BC ＝DE ，∠1＝∠2.求证：（1）AC ＝AE ；（2）∠CAE ＝∠CDE . 6、已知：AD ∥BC ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，直线DC 过点E 交AD 于D ，交BC 于C . 求证：AD ＋BC ＝AB . 7、已知：如图，AD ∥BC ，AE ，BE 分别平分∠A ，∠B ，点E 在CD 上. 求证：（1）E 为CD 的中点；（2）BC ＋AD =AB . 例8、已知：如图，在正方形ABCD 中AB =AD ，∠B ＝∠D ＝90°. （1）如果BE ＋DF ＝EF .求证：①∠EAF ＝45°.②FA 平分∠DFE . （2）如果∠EAF ＝45°.求证：BE ＋DF ＝EF . （3）如果点F 在DC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，满足（1）的条件，则（1）中结论是否仍然成立？ 例9、如图，△ABE 和△ACF 分别是以△ABC 的AB 、AC 为一边在形外所作的等边三角形， CE 、BF 相交于O ，求∠EOB 的度数. 三、巩固提高 1.如图，已知如图，∠B=∠DEF ，AB=DE ，要说明△ABC ≌△DEF ， （1）若以“ASA ”为依据，还缺条件 . （2）若以“AAS ”为依据，还缺条件 . （3）若以“SAS ”为依据，还缺条件 . 2. AD 是△ABC 的边BC 上的中线，AB ＝12，AC ＝8，则边BC 的取值范围是＿＿＿＿；中线AD 的取值范围是＿＿＿＿． 3. 已知EF 是AB 上的两点， AC ∥DB ， DE ∥CF ，且AE =BF ，求证：CF =DE ． 4. 已知：如图， AO 平分∠EAD 和∠EOD 求证：① △A OE ≌△A OD ②EB=DC F E D C B Ａ