第二节 分式线性变换(映射)
第二节 分式线性变换（映射）
本节以及下一节，我们将介绍保形变换中两类基本的保形变换---分式线性变换和某些初等解析函数构成的保形变换---及其简单的应用．
一、分式线性变换及其分解 （一）分式线性变换
形如：az b
w cz d
+=+（其中0a b ad bc c d =-≠）的变换称为分式线性变换，简记为L()w z =．
注：10 分式线性变换中，系数满足的条件不可少，否则，
0a b ad bc c d
=-=，即
a b
k c d
= ，必将导致L()z k ≡为常数，显然它不可能构成保形变换．
20 为研究的方便，在扩充平面上，我们对分式线性变换L()w z =补充定义如下：
（·）当0c ≠时，补充定义L()d c
-=∞，L()a c
∞=； （··）当0c =时，补充定义L()∞=∞．
则分式线性变换就成为整个扩充平面上线性变换．
30 补充定义后，分式线性变换成为整个扩充z 平面与整个扩充w 平面之间的一一变换，即它在整个扩充z 平面上是单叶的，换言之，它将扩充z 平面单叶地变成扩充w 平面．
事实上，在扩充平面上，分式线性变换L()az b
w z cz d
+==+具有单值的逆变换dw b
z cw a
-+=
-．
40 根据保域性定理（定理1）的推广，分式线性变换L()w z =在扩充平面上具有保域性．
50 易知，分式线性变换与分式线性变换的复合仍为分式线性变换．
（二）分式线性变换的分解（分式线性变换的四种基本形式）
分式线性变换L()w z =总可以分解成下面四种简单变换的复合： （Ⅰ）i w e z θ= ------------------ 称为旋转变换； （Ⅱ）w r z =? ------------------ 称为伸缩变换； （Ⅲ）w z h =+ ------------------ 称为平移变换； （Ⅳ）1w z
= ------------------ 称为反演变换． 事实上，当0c =时，分式线性变换变为a b w z d
d
=+， 记i a re d
θ=，它又变为
()i b
w r e z d
θ=+
， 显然，它是由下面三个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的变换
i e z θξ=，r ηξ= 和 b
w d
η=+
， 复合而成．
当0c ≠时，分式线性变换可变形为
2
1()1()1
az b c az b a cz d bc ad a bc ad w d cz d c cz d c cz d c c z c
++++--=
=?=?=+?
++++， 记 2i bc ad
re c
θ-=，它还可变形为
2
11()i a bc ad a w r e d d c c c z z c c
θ-=+?=+?++．
显然，它是由下面五个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）的变换
d z c ξ=+
，1ηξ=，i e θ?η=，r ζ?=和a
w c
ζ=+，
复合而成．
上面的四种变换中（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）可合并成形如w kz h =+（0k ≠）的分式线性变换，称为整线性变换．
为了弄清楚分式线性变换的几何性质，下面，我们分别考察上述四种简单变换的几何意义．
对于变换（Ⅰ）：它是将平面上的点z 绕原点按逆时针或顺时针（视θ的正负而定）旋转θ角；
对于变换（Ⅱ）：它是将平面上的点z 沿z 的方向扩大或缩小（视
r 大于1还是小于1而定）r 倍；
对于变换（Ⅲ）：它是将平面上的点z 平移一个向量h ；
图7.7（线性变换的示意图）
可见，上述三种变换的一个共同特点是保持平面上图形的形状不变，图形的方向也不变，因此，这三种变换都是保持平面图形方向不变的相似变换，另外，由于相似变换的复合仍是相似变换，所以整线性变换w kz h =+（0k ≠）也是保持平面图形方向不变的相似变换．
对于变换（Ⅳ）：它可以分解成下面两个更简单的变换的复合，1
ω= ------ 称为关于单位圆周的对称变换，其中z和ω称为关z
于单位圆周的点；
= ------ 称为关于实轴的对称变换，其中ω和w称为关于实wω
轴的对称点．
可见，反演变换（Ⅳ）是通过两个对称变换的复合而成，此时原象点z和象点w之间的关系可通过图7.8所示的几何方法来实现．
图7.8（反演变换的示意图）
关于单位圆周1
z=的对称点的补注：
10 补充关于单位圆周1
z=对称点的定义：若点z和ω都在从圆心
z=的两侧（即一点在圆周z=出发的同一条射线上，分属于圆周1
z=的内部，另一点在圆周1
z=的外部），并且它们到圆心的距离的1
乘积等于1（即1
z=对称，点z
zω
?=），则称点z和ω关于单位圆周1
和ω也称为关于单位圆周1
z=的对称点．
20 设点z和ω关于单位圆周1
z=对称，由于它们都在从圆心0
z=出发的同一条射线上，且1
zω
?=，从而它们的幅角相等，记i
=，
z reθ
于是
1111i i i i e e e z r re z θθθθωω-=?=
?=?==， 即1
z
ω=--------对称点的计算公式． 30 规定：圆心0z =和∞是关于单位圆周1z =的对称点． 40 关于单位圆周1z =的对称点的几何作法：（如图7.8）先过点z 作射线oz 的垂线与圆周交于一点A ，再过点A 作圆周1z =的切线与射线oz 交于一点ω，则ω就是点z 关于单位圆周1z =的对称点． 例 1 证明：除恒等变换外，一切分式线性变换在扩充平面上恒有两个相异的或一个二重的不动点（即将自己变成自己的点称为不动点）． 证明 设分式线性变换为 az b
w cz d
+=+，其中0ad bc -≠．由不动点的含义，其不动点必满足方程 az b
z cz d
+=
+，即2()0cz d a z b +--= ------------------(*) 如果方程（*）的系数全为零，则az b
w z cz d
+==+为恒等变换，与题
设矛盾，故方程（*）的系数必不全为零．
下面分两种情况证明：
（1）若0c ≠，则方程（*）有两根 1,2
z =
2()4a d bc ?=-+
当0?≠时，方程（*）有两个相异的根，即az b
w cz d
+=+有两个相异的不动点1z 和2z ；
当0?=时，方程（*）有两个相等的根，即az b
w cz d
+=+有一个二重的不动点2a d
z c
-=
． （2）若0c ≠，则方程（*）变为 ()0d a z b --=，此时az b
w cz d
+=+变为a b w z d
d
=+．
当0d a -≠时，方程（*）有一个根 b z d a =-，即az b
w c z d
+=+有一个不动点b
z d a =
-，显然z =∞也是不动点． 故az b w cz d +=+仍有两个不动点b
z d a
=-和z =∞．
当0d a -=时，此时0b ≠，方程（*）的根形式上变为b
z d a
=
=∞-，即az b w cz d +=+的不动点也变为b z d a ==∞-，因此，z =∞成为az b
w cz d
+=
+的二重不动点，即az b
w cz d
+=+有一个二重不动点z =∞．
注：归纳例1结论，关于分式线性变换az b
w cz d
+=+（其中0ad bc -≠）
的不动点，我们有如下结果：
Ⅰ、当0c ≠时，它仅有有限不动点而无无穷不动点∞．进一步，
当2()40a d bc ?=-+≠时，它有两个相异的有限不动点； 当2()40a d bc ?=-+=，它有一个二重有限不动点． Ⅱ、当0c =时，它必有无穷不动点∞．进一步，
当a d ≠时，它还有一个有限不动点；
当a d =，0b ≠时，它没有有限不动点，此时∞是二重不动点； 当a d =，0b =时，此时变换成为恒等变换w z =，扩充平面上
的任何点都是不动点．
例2 求下列分式线性变换的不动点： （1）11z w z +=
-； （2）31
1
z w z -=+； （3）1w z =+； （4）w kz =（0k ≠）． 解（1）设z 为此变换的不动点，则z 满足1
1
z z z +=-，即
2210z z --=．解得
1z =-+1z =-．
即为此变换的两个相异的不动点（没有无穷不动点）．
（2）设z 为此变换的不动点，则z 满足31
1
z z z -=
+，即 2210z z --=．显然，此方程有两个相等的根1z =，即1z =为此变换的
二重不动点（没有无穷不动点）．
（3）根据例1的结论，由于0c =，1a d ==，10b =≠，所以，此变换仅以∞为不动点，且为二重不动点（只有无穷不动点，而没有有限不动点）．
（4）显然，当1k ≠时，在此变换下0变成0，∞变成∞，则此变换有一个有限不动点0z =和一个无穷不动点z =∞（既有一个有限不动点，也有一个无穷不动点）．当1k =时，此变换为恒等变换。因此，除∞为不动点外，平面上的每一点也都是不动点． 二、分式线性变换的四个性质 （一）分式线性变换的保形性
定理1 （分式线性变换的保形性定理）分式线性变换az b
w cz d
+=
+（其中0ad bc -≠）在扩充平面上是保形的，即它把扩充z 平面保形映射成扩充w 平面．
分析：根据保形变换的定义，由于分式线性变换在扩充平面上是单叶的，因此，我们只须讨论分式线性变换在扩充平面上的保角性．又根据分式线性变换的分解，我们只须讨论（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）这四种简单变换的保角性即可．
下面，我们分别讨论上述四种简单变换的保角性．为此，先补充平面上两条曲线在无穷远点∞处的交角的定义．
定义1 平面上两条无限延伸的曲线（可看成过点∞的两条曲线）
在无穷远点的交角，是指它们在反演变换下的象曲线在原点（即∞在反演变换下的象点）处的交角。
对于（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）这三种变换，由于它们可合并成整线性变换w kz h =+（0k ≠）（实际上它们都是整线性变换的特例）．因此，我们只须考虑整线性变换即可．
由于整线性变换w kz h =+（0k ≠）将扩充z 平面映射成扩充w 平面，并且将扩充z 平面上的∞变成扩充w 平面上的∞．而且当z ≠∞时，
()0w kz h k ''=+=≠，所以它在扩充z 平面上z ≠∞的各点处是保角的；
当z =∞时，此时象点为w =∞，z 平面上过∞得两条曲线，其象曲线也是w 平面上过∞的两条曲线，根据定义1，要想说明w kz h =+在∞具有保角性，只须说明同时在两个反演变换
1
w μ
=
和1
z λ
=
下，整线性变换w kz h =+变成下面的变换
1
1
k h μ
λ
=?
+，即h k
λ
μλ=
+，
在0λ=具有保角性即可，事实上
2
1
(
)0()k h k
h k k
λλλλ
μλλ==='
'==
=
≠++， 所以变换h k
λ
μλ=
+在0λ=具有保角性，从而整线性变换w kz h =+在无穷远点∞处也具有保角性．
综上所述，整线性变换在扩充z 平面上具有保角性． 对于简单变换（Ⅳ），当0z ≠，z ≠∞时，21
1()0w z
z ''==-
≠，所以1
w z
=在平面上0z ≠，z ≠∞的各点处是保角的； 当0z =或者z =∞时，此时
0z =的象点是w =∞，而z =∞的象点是0w =，因此根据定义1，z 平面
上过0z =得两曲线在0z =的交角就是象曲线在象点w =∞处的交角，而z 平面上过z =∞得两曲线在z =∞的交角就是象曲线0w =处得交角，所以简单变换1w z =在0z =和z =∞处也是保角的。故简单变换1w z
=在扩充z 平面上也具有保角性
综合以上讨论，我们就证明了分式线性变换在扩充z 平面上具有保角性，从而分式线性变换在扩充z 平面上是保形的，这就证明了定理1．
（二）分式线性变换的保交比性
首先，我们给出扩充平面上四点交比的定义．
定义2 扩充平面上有顺序的四个相异的点1z ，2z ，3z ，4z 所构成的下面的量
31
4112344232
(,,,):z z z z z z z z z z z z --=
--， 称为它们的交比，记为1234(,,,)z z z z ，并规定：当四点中有一点为∞时，
应将包含此点的项用“1”代替．例如1z =∞时，有
2344232
11
(,,,):
z z z z z z z ∞=
--． 事实上，234423211
(,,,):z z z z z z z ∞=--可以看成131414232
lim :
z z z z z z z z z →∞----． 注：10 定义中
313
241413141
42
3242324231
:z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ------=
=?------． 20 四点的交比与四点的顺序有关，顺序不同，交比的值一般不相同．
图7.10（四点交比的示意图）
例3 求（1）(0,1,1,2)i +；（2）(1,0,1,2)i +．
解（1）2010122(1)
(0,1,1,2):2:1211112i i i i i i i i i i -+-+-+=
====+-+-+； （2）21111111
(1,0,1,2)::1(0,1,1,2)201021222
i i i i i i i i i i -+-++====-≠+=+-+-+．
例4 求（1）(,1,1,2i i +)；（2）(,1,1,2)i ∞+；（3）(,1,,2)i ∞；（4）(,1,1,)i i +∞；（5）(,,1,2)i i ∞+．
解 （1）2111
(,1,1,2):(2):(2)12211i i i i i i i i i i i -+-+=
=-=-=+++- （2）111
(,1,1,2):1:2111i i i i ∞+===-+-；
（3）21
(,1,,2):2211
i i i -∞==--；
（4）111
(,1,1,):
1:111i i i i i i i +-+∞===+-；
（5）21(,,1,2):(2):1211
i i i
i i i i -+-∞+==-=-．
定理2（分式线性变换的保交比性）在分式线性变换下，四点的交比不变。具体来说，设点1w ，2w ，3w ，4w 分别是点1z ，2z ，3z ，4z 在变换az b
w cz d
+=
+（0ad bc -≠）下的象点，则 12341234(,,,)(,,,)w w w w z z z z =．
证明 由题设，记 i i i az b
w cz d
+=
+，1i =，2，3，4，则当i j ≠时， ()()()()
i j i j i j ad bc z z w w cz d cz d ---=
++．
因此
3141314112344232423231
4112344232
()()()()()()()()
(,,,):
()()()()
()()
()()
:(,,,).ad bc z z ad bc z z cz d cz d cz d cz d w w w w ad bc z z ad bc z z cz d cz d cz d cz d z z z z z z z z z z z z ----++++=
----++++--=
=-- 根据定理2，可得到下面的分式线性变换的惟一性定理． 定理3（分式线性变换的惟一性定理）设1z ，2z ，3z 是扩充z 平面上的三个相异的点，1w ，2w ，3w 是扩充w 平面上的三个相异的点，则存在惟一的分式线性变换把1z ，2z ，3z 分别映射成1w ，2w ，3w ，并且此变换可以写成
123123(,,,)(,,,)z z z z w w w w =，
即
3131
11232232
::z z w w z z w w z z z z w w w w ----=----．（此定理表明：三对对应点惟一确定一个分式线性变换）
证明 证明分两步：
首先，证明满足要求的分式线性变换的存在性． 事实上，整理
3131
11232232
::
z z w w z z w w z z z z w w w w ----=----得， 3132111
2323122
()w w z z w w z z z z A w w w w z z z z z z -----=??
----- ， 其中3132
3231
w w z z A w w z z --?
--
，即 21112222
(1)()
1w w z z A z Az z A w w z z z z -----=?-=---， 也即2
21212()
(1)()
z z w w w w A z Az z -=-+---，显然它是一个分式线性变换，并
满足把1z ，2z ，3z 分别映射成1w ，2w ，3w ．
其次，证明满足条件的分式线性变换是惟一的．
事实上，设满足条件的分式线性变换为L()w z =，记任一点z 在
L()w z =下的象点为w ，根据定理2，我们有
123123(,,,)(,,,)z z z z w w w w =，
即
3131
11232232
::z z w w z z w w z z z z w w w w ----=----， 所以L()w z =也可表示成
2
21212()
(1)()
z z w w w w A z Az z -=-+---，
这表明满足条件的变换是惟一的．
例5 求将2，i ，2-对应地变为1-，i ，1的分式线性变换．
解 根据定理3，所求的分式线性变换为
(2,,2,)(1,,1,)i z i w -=-，
即
222111
::
21z w z i i w i i
---++=-----， 整理得
1132
4w i z w i z i
++-=?
--． 从中把w 用z 的表达式表示出来得
632
z i
w iz -=
-． 例6 求将2，∞，2-对应地变为1-，i ，1的分式线性变换．在上面三对对应点中，如果把i 换成∞，其他对应点不变，则分式线性变换是否发生变化．
解 根据定理3，所求的分式线性变换为
(2,,2,)(1,,1,)z i w ∞-=-，
即
222111
::
111z w w i i
---++=--， 整理得
112.,2(1)w z w i i z i +-=---即112
.
4w i z w i z i
++-=-- 从中把w 用z 的表达式表示出来得 (3)62(3)(2)
(3)22(3)22i z i i z i w i z i i z i
-++-+-+=
=
-+--+-。 如果把i 换成∞，所求的分式线性变换为
(2,,2,)(1,,1,)z w ∞-=-∞，
即
222111
::
1111
z w ---++=，
整理得
1
1(2)2
w z +=--，即 12w z =-，显然变换发生了变化．
第七讲 分式线性变换
第七讲 分式线性变换 形如()(,,,0)az b f z a b c d ad bc cz d +=∈-≠+￡且的分式函数,即等价于 :f → ＃,az b z w cz d +→=+为分式线性变换 . f 是￡上的双射. 设()az b w f z cz d +== +,1()b dw z f w z cw a --=?=-,即1()dw b f w cw a --+=-. 1f -也是分式线性变换. 特别地, 11(0)()lim (0)()lim z z b f d az b a f cz d c b f a dw b d f cw a c →∞--→∞?=??+?∞==?+??=-??-+?∞==--? 1 反演变换 形如1w z =的变换,称为反演变换(如图7.1). 2 相似变换 (1)平移变换:(),()f z z h h =+∈￡(如图7.2). (2)旋转变换:(),()i f z e z θθ=?∈?(如图7.3). (3)伸缩变换:(),(0)f z rz r =>(如图7.4).
综上:相似变换统一写成arg ()()i k f z kz h k e z h =+=?+. 引理1 形如()(,,,0)az b f z a b c d ad bc cz d +=∈-≠+￡且的分式线性变换必是一系列相似变换与反演变换的复合;反过来,相似变换与反演变换的复合也是某个分式线 性变换. 证明:(?) case1:0()az b a b c f z z d d d +=?==+是相似变换. case2:10()bc ad a c f z c cz d c -≠?=?++,即如下复合: 111bc ad bc ad a z cz d cz d c cz d c cz d c --→+→ →?→?++++ (?) 设''()'' a z b g z c z d +=+,要证()gf z 也是分式线性变换.经过计算,得 ('')('')()('')('') aa cb z ba db gf z ac bd z bc db +++= +++ 为分式线性变换.证毕. 反演变换的性质 ? 保圆周性 定理2 分时线性变换()az b f z cz d +=+将圆周(或直线)映为圆周(或直线). 证:(方法一)Q ()az b f z cz d +=+是1w z =和w kz h =+的复合而成的 ∴只需讨论1w z =或w kz h =+的形式,其中,后一情形显然.只讨论1w z =的情形. 圆周曲线的方程为 0Azz Bz Bz C +++=
§3 分式线性映射
装订线 §3分式线性映射 ((分式线性映射是共形映射中比较简单的但又很重要的一类映射)) 1、定义：由分式线性函数 az b w cz d + = + (,,, a b c d为复常数且0 ad bc -≠) ……(6.4) 构成的映射，称为分式线性映射。 注意：任何分式线性映射总可以分解成下面函数的复合： w z b =+，0i w zeθ =，(0) w rz r =>, 1 w z = 因为：当0 c=时,(6.4)式变为az b a b w z d d d + ==+ ,可以看做(0) w rz r =>和w z b =+的复合. 当0 c≠时，(6.4)式变为 () az b c az b ad ad acz ad bc ad a bc ad w +++-++-- ====+ 它可以看作w z b =+，(0) w rz r =>, 1 w z =参与的复合。 ((由于任何分式线性映射总可以分解成上述四个函数的复合，所以只须对这四种映射进行讨论，就可以了解分式线性映射的特点)) (1)平移映射：w z b =+, ( b为复数) ((从z,b的实部和虚部解释,也可以用向量的平行四边形法则解释))
装 订线 同样将曲线C进行旋转 θ角度。 (3)相似映射：(0) w rz r => (4)反演映射： 1 w z = 当点z在单位圆外部时，此时||1 z>，故||1 w<,即w位于单位圆内部。 当点z在单位圆内部时，此时||1 z<，故||1 w>,即w位于单位圆外部。 所以反演映射的特点是：将单位圆内部映射到单位圆外部，将单位圆外部映射到单位圆内部。 规定：反演映射 1 w z =将0 z=映射成w=∞,将z=∞映射成0 w=。 2、分式线性映射的性质 1）保形性
第二节 分式线性变换(映射)
第二节 分式线性变换（映射） 本节以及下一节，我们将介绍保形变换中两类基本的保形变换---分式线性变换和某些初等解析函数构成的保形变换---及其简单的应用． 一、分式线性变换及其分解 （一）分式线性变换 形如：az b w cz d +=+（其中0a b ad bc c d =-≠）的变换称为分式线性变换，简记为L()w z =． 注：10 分式线性变换中，系数满足的条件不可少，否则， 0a b ad bc c d =-=，即 a b k c d = ，必将导致L()z k ≡为常数，显然它不可能构成保形变换． 20 为研究的方便，在扩充平面上，我们对分式线性变换L()w z =补充定义如下： （·）当0c ≠时，补充定义L()d c -=∞，L()a c ∞=； （··）当0c =时，补充定义L()∞=∞． 则分式线性变换就成为整个扩充平面上线性变换． 30 补充定义后，分式线性变换成为整个扩充z 平面与整个扩充w 平面之间的一一变换，即它在整个扩充z 平面上是单叶的，换言之，它将扩充z 平面单叶地变成扩充w 平面． 事实上，在扩充平面上，分式线性变换L()az b w z cz d +==+具有单值的逆变换dw b z cw a -+= -．
40 根据保域性定理（定理1）的推广，分式线性变换L()w z =在扩充平面上具有保域性． 50 易知，分式线性变换与分式线性变换的复合仍为分式线性变换． （二）分式线性变换的分解（分式线性变换的四种基本形式） 分式线性变换L()w z =总可以分解成下面四种简单变换的复合： （Ⅰ）i w e z θ= ------------------ 称为旋转变换； （Ⅱ）w r z =? ------------------ 称为伸缩变换； （Ⅲ）w z h =+ ------------------ 称为平移变换； （Ⅳ）1w z = ------------------ 称为反演变换． 事实上，当0c =时，分式线性变换变为a b w z d d =+， 记i a re d θ=，它又变为 ()i b w r e z d θ=+ ， 显然，它是由下面三个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的变换 i e z θξ=，r ηξ= 和 b w d η=+ ， 复合而成． 当0c ≠时，分式线性变换可变形为 2 1()1()1 az b c az b a cz d bc ad a bc ad w d cz d c cz d c cz d c c z c ++++--= =?=?=+? ++++， 记 2i bc ad re c θ-=，它还可变形为 2 11()i a bc ad a w r e d d c c c z z c c θ-=+?=+?++． 显然，它是由下面五个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）的变换
复变函数论 第七章 共形映射
7．1解析函数的特性 教学目的：使学生掌握从映射角度来研究解析函数的概念及基本原理，从而了解 解析函数的几何理论. 重点：保角映射的概念与性质. 难点：解析变换的保域性. 课时：4课时 教学过程： 前几章我们用分析的方法研究了解析函数的性质和应用，从映射角度来研究解析函数的性质及其应用主是通常说的解析函数的几何理论.几何理论中最基本的是共形映射的理论.下面我们来介绍共形映射的概念及基本原理. 一．解析函数的保域性. 定理7.1 (保域定理)设()w f z =在区域D 内解析且不恒为常数,则D 的象()G f D =也是 一个区域. 证明：按区域的定义：要证()G f D =是一个连通开集. 首先证明G 是一个开集即证G 的每一个都是内点,设0w 是G 内的任意一点，则存在0z D ∈， 使得00()f z w =，由第六章的儒歇定理，必存在0w 的一个邻域*0w w δ-<.对于其中的任一数w A =，函数()f z A -在0z z ρ-<内（0z z ρ-<是D 内的邻域）必有根，即w A =，这记0w w G -?.表明0w 是G 的内点.由0w 的任意性知G 是开集 其次证明G 是连通集.由于D 是区域,可在D 内部取一条联结12,z z 的折线 =≤≤==121122:()[,(),()]C z z t t t t z t z z t z . 于是： 12:[()]() w f z t t t t Γ=≤≤就是联结12,w w 的并且完全含于G 的一条曲线.从而, 由柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到一条联结12,w w 内接于Γ且完全含于G 的折线 Γ. 从以上两点，表明()G f D =是区域. 推论7.2 设()w f z =在区域D 内单叶解析,则D 的象()G f D =也是一个区域. 证明：用()f z 在区域D 内单叶，必()f z 在D 内不恒为常数. 定理7.3 设函数()w f z =在点0z 解析,且' 0()0f z ≠,则()f z 在0z 的一个邻域内单叶解 析. 由此可见，符合本定理条件的解析变换()w f z =将0z 的一个充分小邻域变成00()w f z =的
分式线性变换--很好很强大
§2 分式线性变换 一、教学目标或要求：理解分式线性变换的映射性质及应用 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：分式线性变换的映射性质，例题 重点：分式线性变换 难点：应用 三、教学手段与方法： 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习：4-11 §2 分式线性变换 1、 分式线性变换及其分解 分式线性变换的概念 称变换 d cz b az w ++= (7.3) 为分式线性变换或M?bius 变换，其中的d c b a ,,,为复常数，且0≠-bc ad ．记 为 。 规定 时， ， 时， 。 线性变换将扩充平面一一变换为扩充平面,逆变换 也 是线性变换。 线性变换 可分解为以下二种类型变换的复合 (Ⅰ) 整线性变换 (当时,)
(Ⅱ)反演变换 (当时,) (Ⅰ)型变换的几何意义——整线性变换下,原象与象是不改变图形方向的相似变换。 (Ⅱ)型变换的几何意义。 其中 具有性质: ，并且对称点 都在过单位圆心 的同一射线 上。把平面上的单位圆周映成 平面上的单位圆周,并把单位圆周内(外)部映成单位圆外(内)部。规定圆心 与 为关于单位圆周的对称点。 线性变换的复合仍是线性变换。 几个初等函数的映射性质 1.h z w += (h 为常数)的映射性质： (1)是一个平移变换． (2)在复平面处处是保角的．这是因为，在复平面上处处有01≠='w ． (3)将圆周映射为圆周． 2.kz w = (k 为常数，且0≠k )的映射性质： (1)是旋转与伸长（或缩短）变换的叠加． (2)在复平面上处处是保角的．这是因为，0≠='k w 在复平面上处处成立． 3.z w 1 = 的映射性质： (1)该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个对称变换的结果，一是关于实轴对称，二是关于单位圆周对称． (2)在复平面上除0=z 外，处处是保角的．
课内第七章习题
第七章习题 （一） 1. 求2w z =在z=I 处的伸缩率和旋转角。问此变换将经过点z=i 且平行于实宙正方向的曲线的切线方向变换成w 平面上哪一个方向？并用图。 2. 试利用保域定理7.1简捷地证明第二章习题（一）6(3)、（4）。 3. 在整线性变换w iz =下，下列图形分别变成什么图形？ （1）以123,1,1z i z z ==-=为顶点的三角形； （2）闭圆|1|1z -≤. 4. 下列各题中，给出了三对对应点112233,,z w z w z w ???的具体数值，写出相应的分式线性变换，并指出此变换把通过z 1，z 2，z 3的圆周的内部，或直线左边（顺着z 1，z 2，z 3观察）变成什么区域。 （1）11,0,1i i ??-?-； （2）1,1,10i ?∞?--?； （3）0,,0i i ∞???∞； （4）0,01,1∞???∞. 5. z 平面上有三个互相外切的圆周，切点之一在原点，函数1w z = 将此三个圆周所围成的区域变成w 平面上什么区域？ 6. 如az b w cz d +=+将单位圆周变成直线，其系数应满足什么条件？ 7. 分别求将上半z 平面Im 0z >共形映射成单位圆 ||1w <的分式线性变换()w L z =,使符合条件： （1）()0,()0L i L i '=>; （2）()0,arg ()2L i L i π '==. 8. 分别求将单位圆 ||1z <共形映射成单位圆||1w <的分式线性变换()w L z =，使
符合条件： （1）10,(1)12L L ??==- ??? ; （2）110,arg 222L L π????'==- ? ????? . 9. 求出将圆 |4|2z i -<变成半平面v u >的共形映射，使得圆心变到-4，而圆周上的点2i 变到0.w = 10. 求出将上半z 平面Im 0z >共形映射成圆||w R <的分式线性变换()w L z =，使符合条件()0L i =；如果再要求()1L i '=，此变换是否存在？ 11. 求将圆||z ρ<共形映射成圆||w R <的分式线性变换，使(||)z a a ρ=<变成w=0。 12. 求出圆||2z <到半平面Re 0w >的共形映射()w f z =，使符合条件 (0)1arg (0)2f f π '==. 13. 试求以下各区域（除去阴影部分）到上半平面的一个共形映射。 （1）||2,Im 0z i z +<>（图7.20）。 （2）|||z i z i +>-7.21）。 （3）||2,|1|1z z <->（图7.22）。 14. 求出角形区域0arg 4z π <<到单位圆||1w <的一个共形映射。 15.求出将上半单位圆变成上半平面的共形映射，使z=1,-1,0分别变成1,1,w =-∞。 16. 求出第一象限到上半平面的共形映射，使,,1z θ=对应地变成0,, 1.w =∞- 17. 将扩充z 平面割去1+I 到2+2i 的线段后剩下的区域共形映射成上半平面。 18. 将单位圆割去0到1的半径后剩下的区域共形映射成上半平面。 19. 将一个从中心起沿实轴上的半径割开了的单位圆共形映射成单位圆，使符合条件：割疑寂岸的1变成1，割缝下岸的1变成-1，0变成-i 。
上海交通大学复变函数习题
复变函数习题 一：选择题： 1. 1 2 z =- 的辐角为：（A ） A ．(21)0,1,2)k arctg k π-+=±± B.(21)0,1,2)k k π-+=±± C. 20,1,2)k arctg k π+=±± D. 20,1,2)k k π+=±± 2. 221 1 c z z dz z -+-?,其中(:2)c z =(B) A ．2i π B. 4i π C. 6i π D.0 3. 2 1 (1) z z z +-在1z <<+∞洛朗级数为（B ） C A. 210112n n z z ∞+=+∑ B. 10112n n z z ∞+=+∑ C. 230112n n z z ∞+=+∑ D. 23011n n z z ∞ +=+∑ 4. 1 sin z 在(0,1,)z n n π==± 留数（A ） A ．(1)n - B.1 C.0 D. 1- 5. 将上半z 平面Im 0z >共形映射成单位圆1w <分式线性变换()w L z =符合 ' ()0,L()0L i i =>为（B ） A ．()z i L z z i -= + B. ()z i L z i z i -=+ C. 1()z L z i z i -=+ D. ()1 z i L z i z -=+ 6.复数2 3 (cos5sin 5)(cos3sin 3) i i ????+-化为指数形式：(A) A ．19i e ? B. 17i e ? C. 20i e ? D. 16i e ? 7.已知()cos cosh sin sinh f z x y i x y =?-?，则/ ()f z =(C) D A ．cos z B. sin z C. cos z - D. sin z - 8. 2 ()c x y ix dz -+?=。 。。。。（积分路径C 是连接0到1i +的直线段）B A. 13 i +- B. 13i -- C. 12i -- D. 12i - 9.幂级数 1 n n n n z ∞ =∑收敛半径(C)
第六七章练习答案
复变函数 第六、七章 练习 一、求下列函数在其孤立点处的留数（包括无穷远点）处的留数 21 1.()z e f z z -= 解：首先()f z 只以0,∞为孤立奇点. 由于1z e -以0为一阶零点，故()f z 以0为 一阶极点，于是得200011 Re ()lim lim 1 z z z z z e e s f z z z z →→=--=?== 由定理6.6可知0Re ()Re ()0,z z s f z s f z ==∞+=故Re ()1z s f z =∞ =- 2.sin cos ()z z f z z += 解：首先()f z 只以0,∞为孤立奇点. 由于分子0(sin cos )|10z z z =+=≠，故 故()f z 以0为一阶极点，于是得00 sin cos Re ()[]|1z z z z s f z z z ==+=? = 由定理6.6可知0Re ()Re ()0,z z s f z s f z ==∞+=故Re ()1z s f z =∞ =- 3.12 Re z i z i s z e -= 解：由于当0||z i <-<∞时有， 122 2 001111()[()2()1]!()!() z i n n n n z e z i i z i i z i n z i n z i ∞ ∞ -===-+=-+----∑∑ 由此可知1 2z i z e -在i 处的洛朗展式中1()z i --这一项的系数1115 213!2!6 c i i -= +-=-+。 因此1 2 Re z i z i s z e -==15 6 c i -=- +。 4. 32R e [c o s ]2z i s z z =∞ = 解：由于当0||z <<∞时有，23 3 20 2(1)(2)cos (2)!n n n n i i z z z n z ∞ =-=∑，由此可知32cos i z z 在∞处的洛朗展式中1 z -这一项的系数4112 (2)4!3 c i -= =，因此3122Re [cos ].3z i s z c z =∞=-=-