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高中数学重点难点知识备课

高中数学第一章集合第一部分集合考点：

1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．

3.本章网络结构

重点：

1.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 2集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?；②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集；④如果B A ?，同时A B ?，那么 A = B ；⑤如果C A C B B A ???，那么，.⑥ 空集的补集是全集.

3.n 个元素的子集、真子集、非空真子集的关系

①n 个元素的子集有2n 个②n 个元素的真子集有2n －1个③n 个元素的非空真子集有2n －2个。

4.原命题、否命题、逆命题、逆否命题之间的关系 (1)否命题、逆命题之间的关系

一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. (2)原命题、逆否命题之间的关系

一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.

解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②，且21≠≠y x 3≠+y x . 解：逆否：x + y =3

x = 1或y = 2.

1≠≠∴y x 且3≠+y x

,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件.

(3)小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 5.集合运算：交、并、补交集：}{B x A x B A ∈∈?且；并集：}

{B x A x B A ∈∈?或；

补集：

}

{B x A x B A ∈∈?或

6.主要性质和运算律 (1)包含关系：

,,,,

,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ???????????C

(2)等价关系：

U A B A B A A B B A B U ??=?=?=C

(3)集合的运算律：

交换律：.;A B B A A B B A ==

结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U

A U Φ

=ΦΦ===

等幂律：.,A A A A A A ==

求补律：A ∩CUA=φ；A ∪CUA=U ； CUU=φ ； CU φ=U 反演律：CU(A ∩B)= (CUA)∪(CUB)；CU(A ∪B)= (CUA)∩(CUB) 7.有限集的元素个数

定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card(A)规定 card(φ) =0. 基本公式：

（１）card )(B A ＝card(Ａ)＋card(Ｂ)－card )(B A

（２）card )(C B A ＝card(Ａ)＋card(Ｂ)＋card(Ｃ)－card )(B A －card )(C B －card )(A C ＋card )(C B A （３）card( UA)= card(U)- card(A)

难点：点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A ∩B =?）

第二部分含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）

①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)

②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点； ④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.（自右向左正负相间）

x 1

x 2

x 3

x m-3

x m-2x

m-1

x m

则不等式)0)(0(0022110

><>++++--a a x a x a x a n n n n 的解可以根据各区间的符号确定.

特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论； ②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.

0>?

0=?

二次函数

c bx ax y ++=2

（0>a ）的图象

一元二次方程

()的根

2>=++a c bx ax

有两相异实根

)(,2121x x x x <

有两相等实根

a b

x x 221-

无实根

的解集)0(0

2>>++a c bx ax

{}2

x x x x x ><或

??-≠a b x x 2

R 的解集)0(02><++a c bx ax

{}

21x x x x <<

2.分式不等式的解法

（1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()

(x g x f ≤0)的形式，

（2）转化为整式不等式（组）???≠≥?≥>?>0

)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f

3.含绝对值不等式的解法

原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题

若q 则p

逆否命题若┐q 则┐p 互为

逆否互

逆

否互

为逆否互互逆

否互（1）公式法：

b ax <+,与

)

0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.

（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.

（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0) （1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之. （2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. 第三部分简易逻辑

1.命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

2.逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 3.“或”、 “且”、 “非”的真值判断（1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反；（2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假；（3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真．

4.四种命题的形式：原命题：若P 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．

5.四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题?逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6.如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q.

7.反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

高中数学第二章-函数

考点：

1.了解映射的概念，理解函数的概念．

2.了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．

3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．

4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质

5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．

6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．

7.本章知识网络结构：

性质图像反函数

F:A →B

对数

指数对数函数

指数函数二次函数具体函数一般研究

函数

定义

映射

重点：映射与函数

1.函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.

2.反函数

设函数))((R x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=?(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=?(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=?(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=?(y) (y ∈C)叫做函

数))((R x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成

)(1

x f y -=. （二）函数的性质 ⒈函数的单调性

定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, ?若当x1f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. (3)单调性性质：①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数； ③增函数一减函数=增函数；④减函数一增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 (4)复合函数的单调性：函数单调

单调性

内层函数 ↓ ↑ ↑ ↓ 外层函数 ↓ ↑ ↓ ↑ 复合函数

↑

↓

(5)等价关系：https://www.wendangku.net/doc/4714466445.html, (1)设

[]1212

,,,x x a b x x ∈≠那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?[]

b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --

b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?<--上是减函数.

2.函数的奇偶性

偶函数的定义：如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)(x f -＝)(x f ，那么函数)(x f 就叫做偶函数．

)(x f 是偶函数?)(x f -＝)(x f ?)(x f -－)(x f ＝０?)

0)((1)()

(≠=-x f x f x f

奇函数的定义域：如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)(x f -＝－)(x f ，那么函数)(x f 就叫做奇函数．

)(x f 是奇函数?)(x f -＝－)(x f ?)(x f -＋)(x f ＝０?)

0)((1)()

(≠-=-x f x f x f

(1)正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：

①定义域在数轴上关于原点对称是函数)(x f 为奇函数或偶函数的必要不充分条件； ②)(x f -＝)(x f 或)(x f -＝－)(x f 是定义域上的恒等式

(2)奇函数的图像关于原点成中心对称图像，偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形。反之亦真，因此也可以利用函数图像的对称性去判断函数的奇偶性。 (3)奇函数在对称区间同增同减，偶函数在对称区间增减性相反。

(4)如果)(x f 是偶函数，则)(x f ＝)

(x f ，反之亦成立，若奇函数x ＝０时有意义，则)

(x f ＝０.

3.奇函数，偶函数： ?偶函数：)()(x f x f =-

设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点.

偶函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于y 轴对称，例如：

+=x y 在)1,1[-上不是偶函数. ②满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，1

)()

(=-x f x f .

?奇函数：)()(x f x f -=-

设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于原点对称，例如：3

x y =在)1,1[-上不是奇函数. ②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时，1

)()

(-=-x f x f .

(3)奇偶函数间的关系：新课标第一网

①奇函数2偶函数=奇函数； ②奇函数2奇函数=偶函数；

③偶奇函数2偶函数=偶函数； ④奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的） ⑤偶函数±偶函数=偶函数； ⑥奇函数±偶函数=非奇非偶函数 4. 函数的周期性：定义：对函数f （x ），若存在T ≠0，使得f （x+T ）=f （x ），则就叫f （x ）是周期函数，其中，T 是f （x ）的一个周期。周期函数几种常见的表述形式： (1)f （x+T ）= - f （x ），此时周期为2T ；

（2)

()()f x m f x +=-

，此时周期为2m 。

5. 对称变换：①y = f （x ））（轴对称x f y y -=???→? ②y =f （x ））（轴对称

x f y x -=???→?

③y =f （x ））（原点对称

x f y --=???→?

5.判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：

在进行讨论.

6.外层函数的定义域是内层函数的值域.

例如：已知函数f （x ）= 1+x x -1的定义域为A ，函数f[f （x ）]的定义域是B ，则集合A 与

集合B 之间的关系是 .

解：)(x f 的值域是))((x f f 的定义域B ，)(x f 的值域R ∈，故R B ∈，而A {}1|≠=x x ，故A B ?.

212221212

22121)()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-=+-+=-）（A B ?

▲

7.常用变换：

①

)

()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =

-?=+.

证：

)()(])[()()

()

()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=?=

②

)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x

f +=??-=

证：)

()()()(y f y

f y y x f x f +=?=

8.?熟悉常用函数图象：例：①

|2x y =→||x 关于y 轴对称.

▲

②

2|21+???

??=x y →

|21x y ??? ??=→|

2|21+???

??=x y

▲

(0,1)

▲

(-2,1)

③

122|2-+=x x y →

|y 关于x 轴对称.

?熟悉分式图象：

例：

372312-+

=-+=x x x y ?定义域},3|{R x x x ∈≠，值域},2|{R y y y ∈≠→值域≠x 前的系数之比. (3)指数函数和对数函数

a>1

y=a x

a>1

1y=log a x

▲

x y

（三）指数函数的图象与性质

y=ax a>1

图象

定义域 R 值域（0，+∞）

性质

（1）过定点（0，1）（2）当x>0时，y>1; x<0时,0

(2) 当x>0时，01

(3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数

（四）对数与对数函数 1、对数的概念

如果(01)x

a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作

log N

a x =，其

中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 2、对数函数的图象与性质

图象

1a >

01a <<

性

质

（1）定义域：（0,+∞）

（2）值域：R

（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）（4）当01x <<时，(,0)y ∈-∞；当1x >时，(0,)y ∈+∞ （4）当1x >时，(,0)y ∈-∞；当01x <<时，(0,)y ∈+∞ （5）在（0,+∞）上为增函数

（5）在（0,+∞）上为减函数

（五）幂函数 1、幂函数的定义

形如y=x α（a ?R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 2、幂函数的图象

注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x ，12

y x =，y=x-1方法：可画出x=x0；当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2， y=x ，12

y x =， y=x-1；当0

y x = ，y=x ， y=x2，y=x3 。 3、幂函数的性质

y=x y=x2 y=x3

y x =

y=x-1

定义域 R R R [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且

值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且

奇偶性奇偶

奇

非奇非偶奇

单调性

增

x ?[0，+∞）时，增； x ?(,0]-∞时，减

增

x ?(0,+∞)时，减； x ?(-∞,0)时，减

定点

（1，1）

4. 分数指数幂与根式的性质：

(1)

m n m

a a =（0,,a m n N *

>∈，且1n >）.

（2）

m n

a a

（0,,a m n N *

>∈，且1n >）.

（3）

()n n

a a =. （4）当n 为奇数时，n n

a a =；当n 为偶数时，

,0||,0n

a a a a a a ≥?==?-

log b

a N

b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. (1)指数性质：

①1

p p a a -=

②01a =（0a ≠） ③()mn m n

a a =

④(0,,)r

r s

a a a

a r s Q +?=>∈ ⑥m n m n

a a =

(2)指数函数：

(1)

(1)x

y a a =>在定义域内是单调递增函数；（2）

(01)x

y a a =<<在定义域内是单调递减函数。注: 指数函数图象都恒过点（0，1） (3)对数性质：

①

log log log ()a a a M N MN += ②

log log log a a a

M N N -= ；

③log log m

a a

b m b =? ；④

log log m n a a n

b b

m =

? ⑤

log 10a = ⑥

log 1a a = ⑦ log a b a b =

(4)对数函数： ① log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数； ②

log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数；

注：对数函数图象都恒过点（1，0） ③log 0,(0,1),(1,)a x a x a x >?∈∈+∞或

④

log 0(0,1)(1,)a x a x

6. 对数的换底公式 :

log log log m a m N

N a =

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).

对数恒等式：log a N

N =(0a >,且1a ≠, 0N >).

推论

log log m n a a n

b b m =

(0a >,且1a ≠, 0N >).

高中数学第三章数列考点：

理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．

3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题．

4.网络知识结构

（一）核心梳理

等差数列

等比数列

文

字

定

义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。

数列

数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项项数通项等差数列

等差数列的定义

等差数列的通项等差数列的性质

等差数列的前n 项和

等比数列等比数列的定义

等比数列的通项

等比数列的性质

等比数列的前n 项和

符

号定义

n n

a a d

n n

a a

a+-

1(0)

q q

+=≠

(0)

n n n n

a a a a

=?≠

分类递增数列：0

递减数列：0

常数数列：0

递增数列：11

01001

a q a q

>><<<

，或，

递减数列：11

01001

a q a q

<<><<

，或，

摆动数列：

常数数列：

通项

(1)()

n m

a a n d An B a n m d

=+-=+=+-

其中1

A d

B a d

==-

n n m

n m

a a q a q

（

q≠）

前n 项和

()(1)

n a a n n d

S na An Bn

==+=+

其中

d d

A B a

==-

(1)

a q

S q

na q

≠

中项

,,2

a b c b a c

成等差的充要条件:2

a b c b ac

成等比的必要不充分条件：

主要性质等和性：等差数列

{}

若

m n p q

+=+则m n p q

a a a a

+=+

推论：若

m n p

+=则2

m n p

a a a

n k n k n

a a a

12132

n n n

a a a a a a

+=+=+=???

即：首尾颠倒相加，则和相等

等积性：等比数列

{}

若

m n p q

+=+则m n p q

a a a a

?=?

推论：若

m n p

+=则2

()

m n p

a a a

()

n k n k n

a a a

12132

n n n

a a a a a a

?=?=?=???

即：首尾颠倒相乘，则积相等

其1、等差数列中连续m项的和，组成的新数列是

等差数列。即：

232

,,,

m m m m m

s s s s s

--???

等差，公差为

m d则

有32

3()

m m m

s s s

2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是

一个等差数列。

1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是

等比数列。即：232

,,,

m m m m m

s s s s s

--???

等比，

公比为

q。

2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列

是一个等比数列。

如：14710

,,,,

a a a a???

（下标成等差数列）

它性质如：14710

,,,,

a a a a???

（下标成等差数列）

3、

{}{}

n n

a b

等差，则

{}

，

{}

-，

{}

ka b

，

{}

n n

pa qb

也等差。

4、等差数列

{}

的通项公式是n的一次函数，

即：n

a An B

=+(0)

d≠

等差数列

{}

的前n项和公式是一个没有常

数项的n的二次函数，

即：

S An Bn

≠

(0)

An B d

=+≠

是一次函数

点列(1,a1)、(1,a2)、…、(1,an)共线，斜率为d

点列

(1,)

、

(2,)

、…、

(,)n

n共线，斜率

为2

5、项数为奇数21

n-的等差数列有：

s n

奇

偶n

s s a a

-==

奇偶中

(21)

n n

s n a

项数为偶数2n的等差数列有：

s a

奇

偶，

s s nd

偶奇

()

n n n

s n a a

6、

n m

a m a n

则

m n

n m

s s

则

0()

m n

s n m

=≠

3、

{}{}

n n

a b

等比，则

{}

，

{}

-，

{}

也等比。其中0

k≠

4、等比数列的通项公式类似于n的指数函数，

即：

a cq

，其中

等比数列的前n项和公式是一个平移加振

幅的n的指数函数，即：

(1)

s cq c q

=-≠

等比数列中连续相同项数的积组成的新数列

是等比数列。

以下不属于等比数列的性质，属于常用公式

①1+2+3 …+n =

()

②

()()

③

()2

④1+3+5+...+(2n-1) =

(

)

(

)

(

)

(

⑤数列{n a}的前n项和n S与通项n a的关系：

≥

(

[注]：①熟悉常用通项：9，99，999，…

10-

a；

②5，55，555，…

()1

,n m s m s n ==则()m n s m n +=-+

7、若a1＞0，d ＜0，Sn 有最大值，可由不等式

组100n n a a +≥??

若a1＜0，d ＞0，Sn 有最小值，可由不等式组

100n n a a +≤??

>?来确定n.

或用

n S An Bn =+是二次函数来确定最值证明

方法

证明一个数列为等差数列的方法： ①定义法：1()n n a a d +-=常数

②中项法：112(2)n n n a a a n -++=≥ ③b kn a n +=(k n ,为常数).

证明一个数列为等比数列的方法：

①定义法：1

()n n a q a +=常数

②中项法：

11(2,0)n n n n a a a n a -+?=≥≠2

（） ③n

n cq a =(q c ,为非零常数).

④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1 x ）成等比数列.

设

元

技

巧

三数等差：,,a d a a d -+ 四数等差：3,,,3a d a d a d a d --++ 三数等比：2

,,,,a

a aq a aq aq q 或

四数等比：23

,,,a aq aq aq

联

系 1、若数列{}n a 是等差数列，则数列{}n

a C 是等比数列，公比为d C ，其中C 是常数，d 是{}n

a 的公差。

2、若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是

常数且0,1a a >≠，q 是

{}n a 的公比。

（二）等比数列的前n 项和公式的常见应用题：

?生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1

)

1(-+n r a ，且过n 年后总产量为：

)

1(1])1([)

1(...)1()1(1

2r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++-

?银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n

r a )1(+元. 因此，第二年年初可存款：

)1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=

)

1(1]

)1(1)[1(12r r r a +-+-+.

?分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率.

()()

()

()()

()()()1111111 (1112)

-++=

?-+=+?++++++=+--m m

m m

m m m

r r ar x r r x r a x r x r x r x r a

（三）求解数列通项公式的方法

类型1

)(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为

)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1. 已知数列{}n a 满足

211=

a ，n n a a n n ++=+2

，求n a 。

类型2

n n a n f a )(1=+

解法：把原递推公式转化为)(1

n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例1:已知数列

{}n a 满足

321=

a ，n

n a n n a 11+=+，求n a 。

例2:已知31=a ，n

n a n n a 23131+-=

+ )1(≥n ，求n a 。

类型3

q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）

。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中

p q

t -=

1，再利用

换元法转化为等比数列求解。例１:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

例2：在数列

{}n a 中，

若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________

类型 4 n

n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。（或

1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1

+n q ，得：

q q a q p q a n n n n 1

11+?=++引入辅助数列{}n b （其中

n n n q a b =

），得：

q b q p b n

n 1

1+=+再待定系数法解决。例1:已知数列

{}n a 中，

651=

a ,1

1)21

(31+++=n n n a a ，求n a 。

例2:设数列

{}n a 的前n 项的和

1412

2333n n n S a +=

-?+，1,2,3,

n =;求通项

n a ；

类型5 递推公式为

n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）

。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为

)(112n n n n sa a t sa a -=-+++

其中s ，t 满足?

?-==+q st p t s

解法二(特征根法)：对于由递推公式

n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，

方程02

=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方程的两个根，当2

1x x ≠时，数列{}n a 的通项为1

211--+=n n n Bx Ax a ，其中

A ，

B 由βα==21,a a 决定（即把

2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1

211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为1

1)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1

1)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。

解法一（待定系数——迭加法）: 例1:数列

{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的

通项公式。

例2:已知数列

{}n a 中，11=a ,22=a ,

n n n a a a 31

3212+=

++，求n a 。

例3:已知数列{}n a 满足

12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈

（I ）证明：数列

{}1n n a a +-是等比数列；

（II ）求数列{}n a 的通项公式；

类型6 递推公式为

n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)

解法：这种类型一般利用

?≥???????-=????????????????=-)2()1(11n S S n S a n n n 与

)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去

n a 进行求解。

例１：已知数列

{}n a 前n 项和

221

4--

-=n n n a S ；求通项公式n a .

例２：已知数列{an}的前n 项和Sn 满足Sn －Sn －2=3,

,1),3()2

1(211-==≥--S S n n 且求数列{an}的通项公式.

类型7

)()()(1n h a n g a n f a n n

n +=

+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为

q pa a n n +=+1。

例1：已知数列｛an ｝满足：

,13111

=+?=

--a a a a n n n ，求数列｛an ｝的通项公式。例2：若数列的递推公式为1111

2()n n

a n a a +==-∈，则求这个数列的通项公式。

例3：已知数列{

n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项公式。

例4：已知数列｛an ｝满足：

,13111

=+?=

--a a a a n n n ，求数列｛an ｝的通项公式。

例5：若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n n

a a n ?N +，求通项a n ．

（四）数列求和的基本方法和技巧１、利用常用求和公式求和

(1)等差数列求和公式：

d n n na a a n S n n 2)

1(2)(11-+=+=

(2)等比数列求和公式：???

??≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q

a a q q a q na S n n n

(3))1(211+==∑=n n k S n

k n (4))

12)(1(61

12++==∑=n n n k S n

k n

(5)2

13)]1(21

[+==∑=n n k S n

k n

[例1] 已知

3log 1

log 23-=

x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和.

解：由

2log log 3log 1log 3323=?-=?-=

x x x

由等比数列求和公式得 n

n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）

＝x x x n

--1)1(＝

1)21

1(21--n ＝1－n

21 [例2] 设Sn ＝1+2+3+…+n ，n ?N*,求

1)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得

)1(21+=

n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式）

∴

1)32()(++=

n n S n S n f ＝64342++n n n

＝

n n 64341+

+＝

50)8

(12+-n n 501

≤ ∴ 当

88-

n ，即n ＝8时，501

)(max =

n f

2、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an 2 bn}的前n 项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：1

32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S …………①

解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x }的通项之

积

设n

n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………. ② （设制错位）

①－②n

n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n

n n x n x x x S x )12(1121)1(1

----?+=--

∴2

1)1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+

[例4] 求数列?

?????,22,,26,24,2232n n

前n 项的和.

解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n

}的通项之积

设

n n n S 2226242232+???+++=

……………………①

14322226242221++???+++=n n n S …………………② （设制错位） ①－②

432222222222222)211(+-+???++++=-n n n n

S （错位相减） 11

22212+--

=n n n

∴

1224-+-

=n n n S

３、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个

)(1n a a +.

[例5] 求证：n

n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++

证明：设n n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=……. ①把①式右边倒转过来得 0

113)12()12(n

n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- （反序）