2.微积分基本定理
§2.
微积分基本定理
※ 学习目标
1．理解掌握微积分基本定理；
2．能根据微积分基本定理解较为简单的积分题目. 积分的概念
复习2：
求函数积分的基本方法、步骤
二、研读课本 微积分基本定理：
如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)=F /
(x)，则有
?
b
a
dx x f )(=F(b )－F(a)
定理中的式子成为牛顿-莱布尼兹公式，通常称F(x)是f(x)的一个原函数.
在计算定积分时，常常用记号F(x)
b
a
来表示F(b )
－F(a)，于是牛顿—莱布尼兹公式也可以写作：
?
b
a
dx x f )(= F(x)
b a
=F(b )－F(a)
常用关于积分的结论：
1、速度的积分等于路程；
2、加速度的积分等于速度；
3、力的积分等于功；
4、曲线的积分等于面积（这里要注意面积并非完全意义上的面积------x 轴上的面积为正，x 轴下的面积为负）；
5、面积的积分等于体积 课本例一、计算下列定积分： （1）?
1
02xdx （2）?1
2dx x
（3）
?
π20
cos xdx (4)
?
2
1
dx e x
新知总结
微积分基本定理建立了积分与导数间的密切联系.它使求定积分的问题变得简捷，在求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以利用牛顿-莱布
尼兹公式求出这个函数的积分，这是求定积分的一种非常重要的方法.
积分问题的关键就是找到导函数的一个原函数. 课本例二 求定积分
?
1
dx x
课本例三 求定积分
?
π
cos xdx ，并解释其意义
三 典型例题
例3、 求下列函数的导函数，并利用所求结果求
?1
2xdx
（1）x 2 （2）x 2+5 （3）x 2－π （4）x 2
－a （其中a 是一个常数） 解：∵（x 2）/=2x ；
（x 2+5）/=2x ； （x 2
－π）/
=2x ； （x 2
－a ）/
=2x ． ∴
?1
2xdx = x 2
10
=（12
）－（02
）=1 ?1
2xdx =（x 2
+5）
10
=(12
+5)－(02
+5)=1 ?1
2xdx =
（x 2
－π）10
=(12
－π)－(02
－π)=1
?1
2xdx =（x 2
－a ）
10
=(12－a )－(02
－a )=1
小结：由上可知，题中4个不同函数得到函数都是2x ，而计算定积分
?1
2xdx 时，选择不同的原函数，
结果却都一样．观察不难发现，这些原函数之间只是差了一个常数，而常数的导数为零，故导函数相同；积分时“－”的前后算式中都有这个常数，故常数并不影响定积分的结果．
故，为了计算简便一般在选择原函数计算定积分时，选择常数是0的原函数．
例4 、将一根弹性系数为0.5N/m 的弹簧自80cm 压缩至60cm ．求这一过程中弹簧弹力所做的功． 解：由胡克定理知F=kx=0.5x ，而功W=Fx ，由积分的意义可知克服弹力所做的功就是变力对弹簧改变长度x 的积分，80cm=0.8m ，60cm=0.6m ．
W=
?
6
.08
.05.0xdx
而易知(0.25x 2)/=0.5x 故W=
?
8
.06
.05.0xdx =(0.25x 2
)
6.08
.0
=0.25×0.62－0.25×0.82 =－0.07
小结：定积分在物理中的其中一个应用就是计算变力F 做功，这里只要能够得到变力F 的大小就可以计算．
这里从定积分的定义出发更为形象的理解--- “∫”连加求和符号“∑”，分割细度“△x ”就是“dx ”，即
∑=?ξn
i i
i
x f 1
)(=?
b
a
dx x f )(．
四 动手试试
练1. 求下列定积分 （1）
?
1
dx e x （2）?π0
2
cos xdx (3)
?
1
3dx x
练2. 计算下列定积分：
（1）?-1
03
)1(dx x （2）?4
31dx x
（3）?π
402cos 1dx x
※ 总结提升 学习小结
1. 求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以利用牛顿-莱布尼兹公式求出这个函数的积分，这是求定积分的一种非常重要的方法.
2. 因为常数的导数为零，故选择原函数计算定积分时，为了简化运算一般不要带常数. ※ 课后练习：
1．
?
b
a
dx 2=
A.b 2－a 2
B. 2(b －a )
C. a 2－b 2
D. 2(b －a)
2．?2121
dx x =
A.21
B. －2
1
C. 2ln2
D. －2ln2
3．
?-1
1
sin xdx =
A.2cos1
B.0
C. －2cos1
D. 2 sin1 4．已知F(x)=sinxcosx ，f(x)=F /(x),则定积分
?
π
)(dx x f =________________．
5．（1）求sinx ，sinx+2，sinx+c （其中c 为任意常数）的导数；
（2）求定积分
?
ππ-22
cos xdx ．
6．一辆汽车在一段时间内，行使过程中的速度v （单位：m/s ）是时间t （单位：s ）的函数v(t)=2t +t+2,t ≥0．求汽车在5—10s 这段时间内走过的路程．
7．求定积分?
ππ-22
)(dx x f ，其中
f(x)=???<≥-0
sin x x x x ΛΛΛΛΛ．
8．求出下列定积分 （1）
?
-2
1
2)1(dx x （2）?-+0
1
2)1(dx x
你能得出什么结果？把以上定积分用图像表示出来，解释你的结果． 9．若?
+1
2)3(dx m x =4，求常数m 的值.