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重点中学高三数学质量检查试题答案

福建省重点中学高三数学质量检查试题答案 一、 8.(理)A (文)C 11.(理)C (文)A

二、13 .(理)23 (文)7 =334

15. 45° 16. 10

17.(理)解法一:∵z 1=2z 2

∴m +(2-m 2)i =2c os θ+(2λ+2sin θ)i 2分

?????+=-=∴θλθ

sin 222cos 22m m 4分

∴2-4c os 2θ=2λ+2sin θ 6分

∴λ=1-2c os 2θ-sin θ=2sin 2θ-sin θ-1=2(sin θ-41)2-89

. 8

分 当sin θ=41时λ取最小值-89

,当sin θ=-1时λ取最大值2

10分

∴λ的取值范围是[-89

,2] 12分

解法二:∵z 1=2z 2

?????+=-=∴θ

λθ

sin 222cos 22m m 4分 ???????--==∴2

22sin 2

cos 2λθθm m

∴42m +4)

22(2

2λ--m =1 6分

∴m 4-(3-4λ)m 2+4λ2-8λ=0

设t =m 2,则0≤t ≤4,令f (t )=t 2-(3-4λ)t +4λ2-8λ

依题意,有

?????????≥≥≤-≤≥?0

)4(0

)0(424300

f f λ

或f (0)·f (4)≤0

????

?????≤≥≤≤--≥∴0

24

3459

8

λλλλ或或0≤λ≤2 8分

∴-89

≤λ≤0或0≤λ≤2 10分

∴λ的取值范围是[-89

,2] 12分

(文)解法一:A 、B 、C 成等差数列,∴2B =A +C

∵A +B +C =180°

∴B =60°,A +C =120° 3分 又∵a +2b -2c =0,由正弦定理,得

sin A +2sin B -2sin C =0 5分

∴sin(120°-C )+ 2sin60°=2sin C .

∴3sin C -c os C =2 7分

∴sin(C -30°)=2

2,0°<C <120° 即-30°<C -30°<90°

∴C -30°=45°,∴C =75° 10分

∴sin C =sin75°=426+ 12分

解法二:同解法一得3sin C -c os C =2,即c os C =3sin C -2 ① 7分 又∵sin 2C +c os 2C =1 ②

把①代入②得:4sin 2C -26sin C +1=0,

∴sin C =4

26± 10分 又由已知有:sin C =

22sin B +21sin A =46+21sin A >46. ∴sin C =

426-不合题意,舍去 ∴sin C =4

26+ 12分 18.(Ⅰ)依题意,得?????==πππ

π8051622r rh ,

∴??

???==452h r 4分 (Ⅱ)令α与底面所成二面角为θ

若α与底面垂直,当AB =BC =4时,ABCD 为正方形,这时

θ=2

π 6分 若α与底面所成二面角为锐角,设下底面圆心为O ,作AE ⊥面BOC 于E ,则E 必在圆周上,连结EB 、EC

∵AB ⊥BC ,

∴EB ⊥BC

从而∠ABE 就是平面α与底面所成二面角的平面角,即∠ABE =θ 7分

又EC 必过圆心O ,在Rt △AEB 中,EB =4ctg θ,AB =BC =

θsin 4 在Rt △EBC 中,(45)2=(4ct gθ)2+(θ

sin 4)2

5=ct g2θ+1+ct g2θ ∴ct gθ=2,θ=arcct g2. 10分

综上,平面α与底面所成二面角为2

π或arcct g2或π-arcct g2 12分 19.解:(Ⅰ)∵a n =S n -S n -1(n ≥2),

3S 2n =a n (3S n -1),(n ≥2) ∴3S 2

n =(S n -S n -1)(3S n -1) 2分

∴3S n S n -1=S n -1-S n

∴n S 1

-1

1

-n S =3(n ≥2) 4分

∴{n

S 1 }是以3为公差的等差数列 6分 (Ⅱ)∵a 1=1,∴11S =1

1

a =1,

∵n

S 1

=1+(n -1)·3=3n -2 ∴S n =231

-n 8分

b n =)13()23(1

+?-n n =31(231-n -131

+n ) 10分

T n =31 (1-131

+n )

∴∞→n lim T n =31

12分

20.(理)解法一:设AD =BC =x ,DC =y ,单位长度的水槽造价为P 则P =a ·2x ·1+23a ·y ·1=2ax +23

ay 3分

∵s=(y +h ctg α)·h ∴y =h s

-h ctg α

又∵x =αsin h

∴P =αsin 2ah

+23

a (h s

-h ctg α)= h as 23+ah (αsin 2-23ctg α)= h as 23+2ah ·α

α

sin cos 34- 6分

故欲使P 最小,只须m =αα

sin cos 34-为最小

而m =ααsin cos 34- =2

1222

12

134222ααα

α

tg tg tg tg ++-?-=2

21αtg

+27tg 2α≥7 10分

当且仅当221αtg =27t g 2α 即t g 2α=7

7时,等号成立 ∴当α=2arctg 7

7时,单位长度的水槽造价最小. 12分 解法二:同解法一得m =

ααsin cos 34-,m sin α+3c os α=4 6分 ∴sin(α+?)=

942+m (其中t g ?=m 3,?为锐角) ∵94

2+m ≤1得m ≥7或m ≤-7(不合题意,舍去) 10分

当m 取最小值7时,sin(α+?)=1.

∴α=

2π-?,即α=2π-arctg 773 ∴α=2π-arctg 773时,单位长度的水槽造价最小 12分 (文)解:(Ⅰ)图象如图 2分

从图象发现:(35,57),(40,42),(45,27),(50,12)

似乎在同一直线上,为此假设它们共线于直线l :y =kx +b .

先由(50,12),(40,42)确定出l 的解析式y =162-3x . 4分

再通过检验知道,点(45,27),(35,57)也在此直线上

∴x 与y 的一个函数关系式为y =162-3x . 6分

(Ⅱ)依题意有:P =xy -30y 8分

=x (162-3x )-30(162-3x )=-3(x -42)2+432. 10分

∴当x =42时,P 有最大值是432.

即销售单价为42元时,才能获得最大日销售利润. 12分

21.(理)解法一:(Ⅰ)设△AOB 外心为点M (x ,y ),作

MN ⊥AB 于N

连结MA ,由平面几何知识,得∠AMN =

4

π 2分 在Rt △AMN 中,

∴c os 4π=AM MN =OM MN 即222

y x y ++=2

2. 整理,得(y +4)2-x 2=8 4分

所以所求的轨迹方程是

(y +4)2-x 2

=8(y ≥22-4). 6分

(Ⅱ)设直线OA 方程为y =kx (k ≠±1),C 、D 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)

将y =kx 代入方程(y +4)2-x 2=8,得

(kx +4)2-x 2=8.

∴(k 2-1)x 2

+8kx +8=0.

∴???????-=-=+18

18221221k x x k k x x ∵

OC CD =-4,∴OC OD =-3 ∴12x x =-3 即x 2=-3x 1 8分 ∴???

????-=---=-18

318222121k x k k x 解得k 2=71 11分 ∵当OA 方程是y =-77

x 时,不满足∠AOB =

4π且AB 在直线y =-2上,故应舍去 ∴所求直线OA 的方程为y =77

x 12分

解法二:(Ⅰ)设M 、A 、B 的坐标分别为M (x ,y )、(a ,-2)、(b ,-2) 当ab ≠0时,∵∠AOB =45°,根据两条直线的夹角公式,得 ab

a b 4122+---=1,化简为|2(b -a )|=|4+ab | ① 2分 又M 为△AOB 的外心,则|MA |=|MB |=|MO |

x 2+y 2=(x -a )2+(y +2)2=(x -b )2+(y +2)2

∴???+==+)

1(42y ab x b a 4分 由①,得4[(a +b )2-4ab ]=(ab +4)2 ④

将②、③代入④整理,得(y +4)2-x 2=8.

当ab =0时,点M 的坐标为(1,-1)或(-1,-1)适合上式

∴所求的轨迹方程(y +4)2-x 2=8(y ≥-4+22) 6分

(Ⅱ)∵OC CD =-4 ∴OC OD =-3 |OD |=3|OC |

设直线OA 方程为x =ty (y ≠±1),C 、D 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2) 又∵(Ⅰ)中双曲线的准线方程是y =-2,焦点是原点,离心率为2 ∴2(y 2+2)=32(y 1+2)

∴y 2=3y 1+4 8分

将x =ty 代入(Ⅰ)中方程,整理得

(1-t 2)y 2+8y +8=0

∴y 1+y 2=182-t y 1y 2=2

18t - 10分 以上各式消去y 1,y 2,得t 4-6t 2-7=0.

(t 2-7)(t 2+1)=0

② ③

∴t =7 (t =-7舍去).

∴所求直线OA 方程为y =77

x 12分

(文)(Ⅰ)设△AOB 外心为M (x ,y )

作MN ⊥AB 于N ,连结MA ,在⊙M 中依垂径定理,得

|AN |=2

1|AB |=2 2分

又∵|MA |=|OM |=22y x +

|MN |=|y +2| 4分

在Rt △AMN 中,由勾股定理得

x 2+y 2=4+(y +2)2,x 2=4y +8 6分

(Ⅱ)设C 、D 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),直线OA 方程为y =kx

∴??

???+==842y x kx y 由①、②得,x 2-4kx -8=0

∴??

?-==+842121x x k x x 8分 ∵OC OD =-3,∴x 2=-3x 1 ∴?????-=-=-8

342211x k

x 10分 ∴k 2=32,∴k =±3

6. ∴所求直线OA 的方程为y =±

36x . 12分 22.(理)(Ⅰ)证明:由?????+=++=b

ax y c

bx ax y 2,得ax 2+(b -a )x +(c -b )=0 ① 其判别式为:Δ=(b -a )2-4a (c -b ).

∵f (1)=0,即a +b +c =0,且a >b >c

∴???<->0b c o a ,∴Δ>0

∴函数y =f (x )与y =g (x )的图象有两个交点 4分

(Ⅱ)解:设方程①的两根为x 1、x 2,则

x 1+x 2=a b a -,x 1·x 2=a

b c - 而|A 1B 1|=|x 1-x 2|=212214)(x x x x -+ 5分

=a b c a b a ---4)(2=a

c a a c a 24)2(2+-+ =a c a c

4

)(2-=4)2(2--a c . 7分 ① ②

∵???=++>>0c b a c b a ???????--=>>>?c

a b a

c a b a 10

∴1>a c a -->a c ,即1>-1-a c >a

c 8分 ∴-2<

a c <-21 ∴49<(a c -2)2-4<12 ∴23

<|A 1B 1|<23.

即|A 1B 1|的取值范围是(2

3,23) 10分

(Ⅲ)证法一:令F (x )=f (x )-g (x ),要证f (x )>g (x ),只要证F (x )>0 F (x )=(ax 2+bx +c )-(ax +b )=ax 2-(a -b )x +c -b .

函数y =F (x )图象的对称轴方程为x =

a b a 2-. ∵a >0,a >b ∴a b a 2->0. 设F (x )=0的两根为x 1、x 2,且x 1<x 2.

由(Ⅱ)得x 2-x 1<23

∴0<a

b a 2--x 1<3 12分 ∴-3<a b a 2--3<x 1<a

b a 2- ∴当x ≤-3时,x <x 1<

a b a 2- ∵a >0,∴F (x )在(-∞, a

b a 2-)递减 ∴F (x )>F (x 1)=0,即F (x )>0. 14分

∴f (x )>g (x ).

证法二:∵令F (x )=f (x )-g (x )

∴F (x )=ax 2-(a -b )x +c -b =ax 2-(2a +c )x +(a +2c )

∵x ≤-3

∴x 2

≥3且-x ≥3≥1

又∵2a +c >0

∴-x (2a +c )>2a +c 12分

∴F (x )>ax 2+(2a +c )+(a +2c )>3a +(2a +c )+(a +2c )=3(2a +c )>0

∴f (x )>g (x ) 14分

(文)(Ⅰ)证明:由?????+=++=b ax y c bx ax y 2,得ax 2+(b -a )x +(c -b )=0 ① 2分

其判别式为:Δ=(b -a )2-4a (c -b ).

∵f (1)=0,即a +b +c =0,且a >b >c

∴???<-<0

0b c a ,∴Δ>0

故函数y =f (x )与y =g (x )的图象有两个交点 4分 (Ⅱ)证明:(方法一)

∵a >b >c

∴a +2c <a +b +c <2a +c 6分

又∵a +b +c =0,a >0

∴1+a c

2<0<2+a c

∴-2<a c

<-21

8分

(方法二)∵a >b >c 且知a +b +c =0

∴a >0,b =-a -c

∴1>a c a -->a c

6分

∴1>-1-a c >a c

.

∴-2<a c

<-21

8分

(Ⅲ)解:设方程①两根为x 1、x 2,则

且x 1+x 2=a b

a -,x 1·x 2=a b

c -,

∴|A 1B 1|=|x 1-x 2|=)(4)(4)(221221a b

c

a b a x x x x ---=-+ 10分

又∵b =-a -c ,

∴|A 1B 1|=4

)2(4)()2(4)2(222--=-=+-+a c

a c a c a c a a c

a 12分 由(Ⅱ)知-2<a c

<-21

∴49<(a c

)2-4<12 ∴23

<|A 1B 1|<23.

即|A 1B 1|取值范围为(23

,23) 14分