一次函数基础知识梳理
基础知识梳理
1、正比例函数
一般地，形如kx y = (k 是常数，)0(≠k )的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例
系数。
2、正比例函数图象和性质
一般地，正比例函数kx y =（k 为常数，)0(≠k ）的图象是一条经过原点和（1，k ）
的一条直线，我们称它为直线kx y =。当k>0时，直线kx y =经过第一、三象限，从左向
右上升，即随着x 的增大，y 也增大；当k<0时，直线kx y =经过第二、四象限，从左向右
下降，即随着x 的增大y 反而减小.
3、正比例函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =)0(≠k 中的常数k ，其基本
步骤是：（1）设出含有待定系数的函数解析式kx y =)0(≠k ；（2）把已知条件（自变量与
函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程；（3）解方程，求出待定系数
k ； （4）将求得的待定系数的值代回解析式.
4、一次函数
一般地，形如b kx y += (k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，
b kx y +=即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
考点一：一次函数的概念
例1、一根弹簧长15㎝，它所挂的物体质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 就伸长2
1㎝.写出挂上物体后的弹簧长度y （㎝）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式 例2、下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）y=-
21x ； （2）y=-x
2； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2. 练习
（1）当m 为何值时，函数y=-（m-2）x
32-m +（m-4）是一次函数？
（2）当m 为何值时，函数y=-（m-2）x
32-m +（m-4）是正比例函数？
5、一次函数的图象
（1）一次函数b kx y += )0(≠k (的图象是经过（0，b ）和（k
b -
，0）两点的一条直线，因此一次函数b kx y +=的图象也称为直线b kx y +=.
（2）一次函数b kx y +=的图象的画法. 根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可。一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b ），（k
b -
，0）.即横坐标或纵坐标为0的点. 考点二：一次函数的图像
例3. 已知一次函数y=(4m+1)x-(m+1).
（1）m 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 。
（2）m 为何值时，直线与y 轴的交点在x 轴上？ 。
（3）m 为何值时，直线位于第二、三、四象限？ 。
练习
（1）对于函数y ＝5x+6，y 的值随x 值的减小而___________。 （2）一次函数y=kx+b 满足kb>0，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图象不经过_______象限。
（3）一次函数 y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是__________。
例4. 下列图形中，表示一次函数y=mx+n 与正比例函数y=mnx （m ，n 为常数，且mn ≠0）的图象的是（ ） A 、
B 、
C 、
D 、
练习：（1）已知直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k 经过第_______象限。
（2）无论m 为何值，直线y=x+2m 与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。
（3）y=23
x 与y=-2x+3的图像的交点在第_________象限． （4）无论实数m 取什么值，直线y=x+m 与y=-x+5的交点都不能在（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
6、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数b kx y +=的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.
7、直线y=kx ＋b 的图象和性质与k 、b 的关系如下表所示： b>0
b<0 b=0 k>0
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小
8、直线b kx y +=1与kx y =2图象的位置关系：
(1)当b>0时，将kx y =2图象向x 轴上方平移b 个单位，就得到b kx y +=1的图象．
(2)当b<0时，将kx y =2图象向x 轴下方平移－b 个单位，就得到了b kx y +=1的图象．
9、直线1l ：111b x k y +=与2l ：222b x k y +=的位置关系可由其解析式中的系数k 和常数b 来确定：当21k k ≠时，l 1与l 2相交
考点三：一次函数图像的变换
例5.将直线y=2x 向右平移2个单位所得的直线的解析式是（ ）
A 、y=2x+2
B 、y=2x-2
C 、y=2（x-2）
D 、y=2（x+2）
例6.一次函数y=2x+3的图象沿y 轴向下平移2个单位，那么所得图象的函数解析式是（ ）
A 、y=2x-3
B 、y=2x+2
C 、y=2x+1
D 、y=2x
例7.函数x k y 11=的图象过点P （2，3），且与函数x k y 22=的图象关于y 轴对称，那么他们的解析式1y = ； 2y =
练习：
（1）若正比例函数y=kx 与y=2x 的图象关于x 轴对称，则k 的值=
（2）如图，是一个正比例函数的图象，把该图象向左
平移一个单位长度，得到的函数图象的解析式为
（3）直线x y 3
1=向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。（4）已知直线y=2x+1．
①求已知直线与y 轴交点A 的坐标；
②若直线y=kx+b 与已知直线关于y 轴对称，求k 与b 的值．
10、直线b kx y += (k ≠0)与坐标轴的交点．
(1)直线y=kx 与x 轴、y 轴的交点都是(0，0)；
(2)直线b kx y +=与x 轴交点坐标为(k
b -，0),与 y 轴交点坐标为(0，b)． 11、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
考点四 用待定系数法求函数解析式
例8.若点A （2，-3）、B （4，3）、C （5，a ）在同一条直线上，则a 的值是（ ）
A 、6或-6
B 、6
C 、-6
D 、6和3
例9.如图，已知点A 的坐标为（1，3），点B 的坐标为（3，1）．
1.写出一个图象经过A ，B 两点的函数表达式
2.指出该函数的两个性
质．
例10、如图所示，已知直线y=x+3的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1的两部分，求直线l 的解析式．
例11、一次函数41-=x k y 与正比例函数x k y 2=的图象都经过点（2，-1）.
（1）分别求出这两个函数的解析式.
（2）求这两个函数图象与x 轴围成的三角形的面积.
练习：
（1）如果一次函数y=kx+b 的图象经过点（0，-4），那么b 的值是（ ）
A 、1
B 、-1
C 、-4
D 、4
（2）已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）
A 、y=-x-2
B 、y=-x-6
C 、y=-x+10
D 、y=-x-1
12、正比例函数和一次函数的图象、性质
考点五：一次函数与一元一次方程及一元一次不等式
例12已知一次函数y=ax+b（a、b为常数），x与y的部分对应值如下表：
x -2 -1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 -2 -4
那么方程ax+b=0的解是；不等式ax+b＞0的解是。
练习：（1）一元一次方程3x-1=5的解就是一次函数与x轴的交点横坐标．（2）如图，直线y=kx+b交坐标轴于A，B两点，则不等式kx+b＞0的解集是（）
A、x＞-2
B、x＞3
C、x＜-2
D、x＜3
(3）作出函数y=2x-4的图象，并根据图象回答下列问题：
①当-2≤x≤4时，求函数y的取值范围；
②当x取什么值时，y＜0，y=0，y＞0；
③当x取何值时，-4＜y＜2．
能力提升：
1．设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，?则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）
2．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过第（）象限．（A）一（B）二（C）三（D）四
3．一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（）
（A）y随x的增大而增大（B）y随x的增大而减小
（C）图像经过原点（D）图像不经过第二象限
4．无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（）
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
5.已知一次函数y=-6x+1，当-3≤x≤1时，y的取值范围是________．
6．若一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，?则一次函数的解析式为________
7.已知函数y=y1+y2,y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当X=1时Y=4 X=2时Y=5
1求Y与X得函数关系
2当X=-2时Y的值
8．已知y+3与x+2成正比例，且当x=3时，y=7；
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当x=-1时，求y的值；
9.如图，直线l1的解析表达式为：y=-3x+3，且L1与x轴交于点D，直线L2经过点A，B，直线L1，L2交于点C．（1）求直线L2的函数关系式；（2）求△ADC的面积；
（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、
D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
高中数学三角函数基础知识点及答案
高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
一次函数的基本知识点
一次函数的基本知识点 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定 的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y 是x的函数。 *判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）； 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 9、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式y=kx (k不为零) ①k不为零②x指数为1 ③b取零当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，?直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小． (1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0） (2)必过点：（0，0）、（1，k） (3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限 (4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小 (5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴 10、一次函数及性质 一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注：一次函数一般形式y=kx+b (k不为零) ①k不为零②x指数为1 ③b取任意实数
三角函数图像与性质知识点总结
三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z)
3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.
《一次函数》知识点串讲及考点透视.
第十一章《一次函数》知识点串讲及考点透视 同学们已经知道了一次函数是研究函数的入门知识，也是今后学习其它函数的基础．为了使大家能牢固地掌握一次函数的性质与简单应用，现从以下几个方面帮助同学们搞好一次函数重点知识的回顾． 一、要点解读 1，知识总揽 一次函数是函数大家族中的主要成员之一，是研究两个变量和学习其它函数的基础，它的表达式简单，性质也不复杂，但在我们的日常生活中的应用却十分广泛，与其它函数的联系也十分密切，许多实际问题只要我们注意细心观察，认真分析，及时将问题转化为一次函数模型，再得用一次函数的性质即可求解． 2，疑点、易错点 （1）若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成y ＝kx +b (k ≠0)，则称y 是x 的一次函数．特别地，当b ＝0时，称y 是x 的正比例函数，就是说，正比例函数是一次函数的特例，而一次函数包含正比例函数，是正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．如y ＝－x 是正比例函数，也是一次函数，而y ＝－2x －3是一次函数，但并不是正比例函数．因此，同学们在复习时一定要注意正确理解正比例函数和一次函数的概念，注意掌握它们之间的区别和联系． （2）一次函数的图象是一条直线，它所经过的象限是由k 与b 决定的，所以在复习巩固一次函数的性质时可以通过函数图象来巩固，从而可以避免因k 与b 的符号的干扰．如，在如图中，表示一次函数y ＝mx +n 与正比例函数y ＝mnx (m 、n 是常数且mn ≠0)图象是（ ） 对于两不同函数图象共存同一坐标系问题，常假设某一图象正确而后根据字母系数所表示的实际意义来判定另一图象是否正确来解决问题．例如，假设选项B 中的直线y ＝mx +n 正确则m ＜0，n ＞0，mn ＜0则正比例函数y ＝mnx 则应过第二、四象限，而实际图象则过第一、三象限，所以选项B 错误．同理可得A 正确．故应选A ． （3）虽然一次函数的表达式简单，性质也并不复杂，且一次函数y ＝kx +b (k ≠0)的图象是一条直线，它的位置由k 、b 的符号确定．但是，涉及实际问题的一次函数图象与自变量的取值范围，画出来的图象不一定是直线，可能是线段或其他图形，这一点既是学习一次函数的疑点，也是难点，更是解题量的易错点．如，拖拉机开始工作时，油箱中有油40L ，如果每小时耗油5L ，那么工作时，油箱中的余油量Q (L)与工作时间t (h)的函数关系用图象可表示为（ ） 依题意可以得到油箱中的余油量Q (L)与工作时间t (h)的函数关系为Q ＝40－5t ，就这个 一次函数的解析式而言，它的图象是一条直线，所以不少同学就会选择A ，而事实上，自变量t 有一个取值范围，即0≤t ≤8，所以正确的答案应该选择C ． 二、思想方法 408O t Q A 408O t Q D O x y A O x y B O x y C O x y D
初二数学一次函数知识点总结
一次函数知识点总结 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr 中，变量是________，常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定 的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x 2 -1中，是一次函数的有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D 3、定义域： 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2 （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4 （5例题：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A ．． ． D ． 函数y =x 的取值范围是___________. 已知函数221+-=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是 （ ） A.2 325≤ <- y B. 2 52 3<
【全】初中数学 三角函数知识点总结
锐角三角函数 锐角三角函数 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边 正切（tan）等于对边比邻边； 余切（cot）等于邻边比对边 正割（sec)等于斜边比邻边 余割(csc)等于斜边比对边 正切与余切互为倒数 互余角的三角函数间的关系。 sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 同角三角函数间的关系 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ?积的关系： sinα=tanα?cosα cosα=cotα?sinα tanα=sinα?secα cotα=cosα?cscα secα=tanα?cscα cscα=secα?cotα ?倒数关系： tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1
直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 三角函数值 （1）特殊角三角函数值 （2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。 （3）锐角三角函数值的变化情况 （i）锐角三角函数值都是正值 （ii）当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时， 0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0, 当角度在0°<α<90°间变化时， tanα>0, cotα>0. 特殊的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 0 1/2 √2/2 √3/2 1 ←sinα 1 √3/ 2 √2/2 1/2 0 ←cosα 0 √3/3 1 √3 None ←tanα None √3 1 √3/3 0 ←cotα 解直角三角形 勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
高中数学三角函数知识点归纳总结
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 一次函数知识点复习与考点总结 考点1：一次函数的概念. 相关知识：一次函数是形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的函数，特别的当0=b 时函数为)0(≠=k kx y ，叫正比例函数. 1、已知一次函数k x k y )1(-=+3,则k = . 2、函数n m x m y n +--=+1 2)2(，当m= ，n= 时为正比例函数；当m= ， n 时为一次函数． 考点2：一次函数图象与系数 相关知识：一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线，图象位置由k 、b 确定，0>k 直线要经过一、三象限，0 是 ． 8. 已知一次函数y=mx +n -2的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ） A.m ＞0,n ＜2 B. m ＞0,n ＞2 C. m ＜0,n ＜2 D. m ＜0,n ＞2 9．已知关于x 的一次函数y mx n =+的图象如图所示，则2||n m m --可化简为__ __. 10. 如果一次函数y=4x +b 的图像经过第一、三、四象限，那么b 的取值范围是_ _。 考点3：一次函数的增减性 相关知识：一 次函数)0(≠+=k b kx y ，当0>k 时，y 随x 的增大而增大，当0 一次函数解读考点 知识整理 一、知识点 二、图像与性质 三、1.正比例函数是一次函数，反之不一定成立，只有当b=0时，它才是正比例函数 2.一次函数y=kx+b的同象是经过点（0，b）（-b k，0）的一条直线 正比例函数y= kx的同象是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线 3.若直线l1:y= k1x+ b1与l2:y= k2x+ b2平行，则k1 k2，若k1≠k2，则l1与l2位置关系是 4.用待定系数法求一次函数解析式： 关键：确定一次函数y= kx+ b中的字母k与b的值 步骤：（1）设一次函数表达式y= kx+ b （2）将x，y的对应值或点的坐标代入表达式 （3）解关于系数的方程或方程组，求出系数k、b （4）将所求的系数k、b代入等设函数表达式中 5.一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组 （1）一次函数与一元一次方程：一般地将x=0或y=0代入解一元一次方程求直线与坐标轴的交点坐标，代入y= kx+ b中 （2）一次函数与一元一次不等式：kx+ b>0或kx+ b<0即一次函数同象位于x轴上方或下方时相应的x 的取值范围，反之也成立 （3）一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标 典型例题 知识点1、函数的概念 1. 2 3、（湘乡市）测得一弹簧的长度L（cm）与悬挂物的质量x（kg）有下面一组对应值： 试根据表中各对应值解答下列问题． （1）用代数式表示悬挂质量为x kg的物体时的弹簧长度L； （2）求所挂物体质量为10kg时，弹簧长度是多少？ （3）若测得弹簧长度为19cm，判断所挂物体质量是多少千克？ 三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan = 一次函数与方程、不等式 一、一次函数与一元一次方程的关系 直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。 二、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值围。 三、一次函数与二元一次方程（组）的关系 一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（） 上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。 知识点睛 一、一次函数与一元一次方程综合 【例1】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．0 【例2】 已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ， ，则a b +=______． 【例3】 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接 得到方程3kx b +=的解是x =______． 二、一次函数与一元一次不等式综合 【例4】 已知一次函数25y x =-+． （1）画出它的图象； （2）求出当3 2 x = 时，y 的值； （3）求出当3y =-时，x 的值； （4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y < 【例5】 当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在： （1）x 轴上方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限． 【例6】 已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值围是（ ） A ．5x > B ．1 2 x < C ．6x <- D ．6x >- 【例7】 已知一次函数23y x =-+ 例题精讲 三角函数的性质及其编稿：李霞审稿：孙永钊 【考纲要求】 1、了解函数sin()yAx????的物理意义；能画出sin()yAx????的图象，了解参数 A，?，?对函数图象变化的影响. 2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 【知识络】 【考点梳理】 考点一、函数sin()yAx????(0A?,0??)的图象的作法 1.五点作图法： 作sin()yAx????的简图时，常常用五点法，五点的取法是设tx????，由t取0、 2?、?、32?、2?来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 2．图象变换法： （1）振幅变换:把sinyx?的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 变换和相位 sin()yAx???? sin 图象的作法三角函的质其 图象的性 变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量有区别. 考点二、sin()yAx????的解析式 1.sin()yAx????的解析式 sin()yAx????(0A?, 0??)，[0,)x???表示一个振动量时，A叫做振幅，2T??? 叫做周期，12fT????叫做频率，x???叫做相位，0x?时的相位?称为初相. 2.根据图象求sin()yAx????的解析式 求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点(,0)???. 求解步骤是先由图象求出A与T，再由2T???算出?，然后将第一零点代入0x????求出?. 要点诠释：若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算. 考点三、函数 sin()yAx????(0A?,0??)的性质 1. 定义域: xR?,值域:y∈[-A,A]. 2．周期性: 2T??? 3. 奇偶性:2k?????时为偶函数；k???时为奇函数，kZ?. 4．单调性:单调增区间 :[????????????22,22kk] , kZ? 单调减区间:[????????????232,22kk] , kZ? 5. 对称性:对称中心(????k,0)，kZ?；对称轴 初中三角函数知识点总结(中考复习) 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余 A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A C 切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：2 2 2 c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度 (坡比)。用字 母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 反比例函数知识点整理 一、 反比例函数的概念 :i h l =h l α 第五章 一次函数复习讲义 【知识点 1】一般地，设在一个变化的过程中有两个 x 和y.如果对于变量x 的每一个值，变量y 都有 的值与它对应，我们称y 是x 的 .其中，x 是 ，y 是 . 〖基础回顾〗 如图所示的图象分别给出了x 与y 的对应关系，其中y 是x 的函数的是（ ） 【知识点 2】一次函数y=kx+b(k 、b 为常数，k______)叫做一次函数.与x 轴交点的坐标为______与y 轴交点的坐标为______，当b_____时，函数y=____(k____)叫做正比例函数，正比例函数必过点______。 〖基础回顾〗 1、当k_____________时，()2323y k x x =-++-是一次函数。 2、下列函数为一次函数的是1y x = ，12y x =-，21y x =-，1y x =+的是______。 3、已知y+2与x+1成正比例，且当x=1时y=4，求y 与x 的函数关系式。 【知识点 3】正比例函数y=kx （k ≠0)的性质： ⑴当k>0时，图象过______象限；y 随x 的增大而____. ⑵当k<0时，图象过______象限；y 随x 的增大而____. 一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的性质： ⑴当k>0时，y 随x 的增大而_______.⑵当k<0时，y 随x 的增大而_______. 〖基础回顾〗 1、已知函数y=kx 的函数值随x 的增大而增大，则函数的图像经过（ ） A ．第一、二象限 B ． 第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限 3、已知一次函数 （1）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？ （2）当m 取何值时，函数是正比例函数？ 【知识点 4】一次函数y=k 1x+b 1与y= k 2x+b 2平行，则_______。 〖基础回顾〗 1、直线y ＝kx+b 与直线y ＝－2x －4平行，则k=_____，且过点（-1，4），则b=_____ 。 2、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x 轴交于点（-2,0）求函数关系式。 基础知识梳理 1、正比例函数 一般地，形如kx y = (k 是常数，)0(≠k )的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例 系数。 2、正比例函数图象和性质 一般地，正比例函数kx y =（k 为常数，)0(≠k ）的图象是一条经过原点和（1，k ） 的一条直线，我们称它为直线kx y =。当k>0时，直线kx y =经过第一、三象限，从左向 右上升，即随着x 的增大，y 也增大；当k<0时，直线kx y =经过第二、四象限，从左向右 下降，即随着x 的增大y 反而减小. 3、正比例函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =)0(≠k 中的常数k ，其基本 步骤是：（1）设出含有待定系数的函数解析式kx y =)0(≠k ；（2）把已知条件（自变量 与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程；（3）解方程，求出待定 系数k ； （4）将求得的待定系数的值代回解析式. 4、一次函数 一般地，形如b kx y += (k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时， b kx y +=即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 考点一：一次函数的概念 例1、一根弹簧长15㎝，它所挂的物体质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 就伸长2 1㎝.写出挂上物体后的弹簧长度y （㎝）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式 例2、下列函数中，哪些是一次函数哪些是正比例函数 （1）y=- 21x ； （2）y=-x 2； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2. 练习 （1）当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数 （2）当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 3 2-m +（m-4）是正比例函数 5、一次函数的图象 三角函数知识总结一、知识框架 二、知识点、概念总结 1.Rt△ABC中 (1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边 斜边 (2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边 斜边 (3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边 (4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝∠A的邻边∠A的对边 2.特殊值的三角函数： a sina cosa tana cota 30°1 2 3 2 3 3 3 45° 2 2 2 2 1 1 60° 3 2 1 2 3 3 3 3.互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 4. 同角三角函数间的关系 平方关系： sin2(α)+cos2(α)=1 tan2(α)+1=sec2(α) cot2(α)+1=csc2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 5.三角函数值 （1）特殊角三角函数值 （2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。 （3）锐角三角函数值的变化情况 （i）锐角三角函数值都是正值 （ii）当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时， 0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0, 当角度在0°<∠A<90°间变化时， tanA>0, cotA>0. 6.解直角三角形的基本类型 解直角三角形的基本类型及其解法如下表： 7.仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 要点一：锐角三角函数的基本概念 初中数学一次函数知识点总复习附答案 一、选择题 1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm ）与所挂重物的质量x （kg ）有下面的关系，那么弹簧总长y （cm ）与所挂重物x （kg ）之间的关系式为（ ） A ．y=0.5x+12 B ．y=x+10.5 C ．y=0.5x+10 D ．y=x+12 【答案】A 【解析】 分析：由上表可知12.5-12=0.5，13-12.5=0.5，13.5-13=0.5，14-13.5=0.5，14.5-14=0.5，15-14.5=0.5，0.5为常量，12也为常量．故弹簧总长y （cm ）与所挂重物x （㎏）之间的函数关系式． 详解：由表可知：常量为0.5； 所以，弹簧总长y （cm ）与所挂重物x （㎏）之间的函数关系式为y=0.5x+12． 故选A ． 点睛：本题考查了函数关系，关键在于根据图表信息列出等式，然后变形为函数的形式． 2．已知过点()2?3， -的直线()0y ax b a =+≠不经过第一象限.设s a 2b =+，则s 的取值范围是（ ） A ．352 s -≤≤- B ．362 s -<≤- C ．362 s -≤≤- D ．372 s -<≤- 【答案】B 【解析】 试题分析：∵过点()2?3，-的直线()0y ax b a =+≠不经过第一象限， ∴0 {0 23 a b a b <≤+=-.∴23b a =--. ∵s a 2b =+，∴4636s a a a =--=--. 由230b a =--≤得399333662222a a a ≥- ?-≤?--≤-=-，即32s ≤-. 由0a <得3036066a a ->?-->-=-，即6s >-. ∴s 的取值范围是362 s -<≤- . 一次函数的应用（基础） 【学习目标】 1. 能从实际问题的图象中获取所需信息； 2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式； 3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题； 4. 提高解决实际问题的能力．认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际 问题的能力． 【要点梳理】 【高清课堂：393616 一次函数的应用，知识要点】 要点一、数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 要点二、正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 要点三、选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 【典型例题】 类型一、简单的实际问题 1、（2016?吉林）甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，甲出发1h后，y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示． （1）甲的速度是km/h； （2）当1≤x≤5时，求y乙关于x的函数解析式； （3）当乙与A地相距240km时，甲与A地相距km． 【思路点拨】（1）根据图象确定出甲的路程与时间，即可求出速度； （2）利用待定系数法确定出y乙关于x的函数解析式即可；(完整版)一次函数专题复习考点归纳+经典例题+练习
一次函数基础含知识点
高考数学三角函数知识点总结及练习
一次函数与方程,不等式基础知识
知识讲解 三角函数的性质及其应用 提高
初中三角函数知识点总结(中考复习)
第五章一次函数基础知识复习学案
一次函数基础知识梳理
三角函数专题知识点及练习
初中数学一次函数知识点总复习附答案
人教版八年级数学下册 一次函数的应用(基础)知识讲解
- 一次函数的基本知识和技能总结
- 一次函数与方程,不等式基础知识
- 一次函数的知识点复习课
- 初中数学一次函数总复习知识点
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