专题突破练18立体几何中的翻折问题及探索性问题

立体几何中“折叠问题”解题策略(含详细解析)

立体几何中“折叠问题”的解题策略[例题]如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥BC，BD∥DC，点E是BC边的中点，将∥ABD沿BD折起，使平面ABD∥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体． (1)求证：AB∥平面ADC； (2)若AD＝1，二面角C-AB-D的平面角的正切值为6，求二面角B-AD-E的余弦值. [解](1)证明：因为平面ABD∥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，BD∥DC，DC∥平面BCD， 所以DC∥平面ABD. 因为AB∥平面ABD，所以DC∥AB. 又因为折叠前后均有AD∥AB，DC∩AD＝D， 所以AB∥平面ADC. (2)由(1)知AB∥平面ADC， 所以二面角C-AB-D的平面角为∥CAD. 又DC∥平面ABD，AD∥平面ABD， 所以DC∥AD.

依题意tan∥CAD ＝CD AD ＝ 6. 因为AD ＝1，所以CD ＝ 6. 设AB ＝x (x ＞0)，则BD ＝x 2＋ 1. 依题意∥ABD ∥∥DCB ，所以AB AD ＝CD BD ， 即x 1＝6x 2＋1 ，解得x ＝2， 故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝BD 2＋CD 2＝3. 以D 为坐标原点，射线DB ，DC 分别为x 轴，y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ， 则D (0,0,0), B (3,0,0), C (0,6，0), E (23,2 6 ,0）, A ( 33,0,3 6）， 所以DE ―→＝(2 3,2 6,0），DA ―→＝(3 3,0,3 6 ）. 由(1)知平面BAD 的一个法向量n ＝(0,1,0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由?? ? m·DE ―→＝0，m·DA ―→＝0， 得??? 32x ＋6 2y ＝0， 33x ＋6 3z ＝0. 令x ＝6，得y ＝－3，z ＝－3，

(完整版)立体几何中的折叠问题

立体几何中的折叠问题 1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题. 2.折叠问题分析求解原则： (1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系； (2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变。 （最值问题）1、把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为_______. （两点间距离，全品83页）2、把长宽分别为2的长方形ABCD 沿对角线AC 折成60o 的二面角，求顶点B 和D 的距离。 3、（全品70页）给出一边长为2的正三角形纸片，把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥，并使它的全面积与原三角形面积相等，设计一种折叠方法，并用虚线标在图中，并求该三棱锥的体积。 4、（2005江西文）矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B — AC —D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 （ ） A ． π12 125 B ． π9 125 C ． π6 125 D ． π3 125

A B C E M N 解决折叠问题的关键是弄清折叠前后哪些量没有变化，折叠后位置关系怎样变化，通过空间想象折叠成的几何体的形状来分析已知和待求，是培养空间想象能力的很好的题型。 高考题中的折叠问题 1、在正方形SG 1G 2G 3中E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点,D 是EF 的中点,现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使G 1、G 2、G 3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S —EFG 中必有 (A)SG ⊥△EFG 所在平面 (B)SD ⊥△EFG 所在平面 (C)GF ⊥△SEF 所在平面 (D)GD ⊥△SEF 所在平面 2、如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点， G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ， EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．0° 3、（2005浙江理科）12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如下图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_____． 4、（2006山东）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的体积为 (A) 2734π (B)26π (C)86π (D)24 6π 5、（2009浙江）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ?沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．

立体几何的动态问题翻折问题

立体几何的动态问题之二 ———翻折问题 立体几何动态问题的基本类型： 点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等 一、面动问题（翻折问题）： （一）学生用草稿纸演示翻折过程: （二）翻折问题的一线五结论 .DF AE ⊥一线：垂直于折痕的线即 五结论： 1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变； 折线两侧的几何量和位置关系发生改变； 2--D HF D H F ''∠）是二面角的平面角； 3D DF '）在底面上的投影一定射线上； 二、翻折问题题目呈现： （一）翻折过程中的范围与最值问题 1、（2016年联考试题）平面四边形ABCD 中， ， CD=CB= 且AD AB ⊥， 现将△ABD 沿对角线BD 翻折成'A BD ?，则在'A BD ?折起至转到平面BCD 的过程中，直线'A C 与平面BCD 所成最大角的正切值为_______ . 解：由题意知点A 运动的轨迹是以E 为圆心,EA 为半径的圆，当点A 运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以tan 'A CB ∠= 【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误 1 2 进行分析，找出错误的原因。 2、2015年10月浙江省学业水平考试18）.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F 。现将△ABD 沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是 D A B E C D A B C 4) ''D H DH 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；5AD'E AE .）面绕 翻折形成两个同底的圆锥C

A.( ,)63 ππ B. (,]62 ππ C. ( ,]32 ππ D. 2( ,)3 3 ππ 分析：这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线角的求法。 方法一：特殊值法（可过F 作FH 平行BE,找两个极端情形） 方法二：定义法：利用余弦定理： 222254cos 243 FH FC CH FHC CH FH FC +-∠==- ，有344CH ≤≤ 11cos ,22CFH ?? ∴∠∈-???? 异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是(,] 32ππ 方法三：向量基底法： 111 ()()222BE FC BA BD FC BA FC BF FA FC =+==+ 111cos ,cos ,,222BE FC FC FA ?? <>= <>∈-???? 方法四：建系： 3、（2015年浙江·理8）如图，已知ABC ?，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ?折成 A CD '?，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则 （ B ） A. A DB α'∠≤ B. A DB α'∠≥ C. A CB α'∠≥ D. A CB α'∠≤ 方法一：特殊值 方法二：定义法作出二面角，在进行比较。 方法三：抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题。 4、 （14 年1月浙江省学业学考试题）如图在Rt △ABC 中，AC ＝1，BC ＝x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，若在翻折过程 B

2021新高考数学二轮总复习专题突破练18 立体几何中的翻折问题及探索性问题含解析

专题突破练18立体几何中的翻折问题及探索性问 题 1.(2020河北石家庄5月检测,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC=4,D,E分别是AC,AB边上的中点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C=A1D,如图 2. (1)求证:平面A1CD⊥平面A1BC; (2)求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值. 2. (2020贵州贵阳适应性训练,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,且平面PAD⊥平面ABCD,F为棱PD的中点. (1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF∥平面PAE?并说明理由; (2)若PA=PD=AB,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.

3.(2020浙江台州模拟,19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=3,AA1=2.以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD,连接DA1和DC1. (1)求证:A1D∥平面BCC1B1; (2)在线段BC上是否存在点F,使平面DA1C1与平面A1C1F垂直?若存在,求出BF的长;若不存在,请说明理由. 4.(2020云南昆明一中模拟,19)图1是由边长为4的正六边形AEFBCD,矩形DCGH组成的一个平面图形,将其沿AB,DC折起得几何体ABCD-EFGH,使得CG⊥AD,且平面EFGH∥平面ABCD,如图2.

(1)证明:在图2中,平面ACG⊥平面BCG; (2)设M为图2中线段CG上一点,且CM=1,若直线AG∥平面BMD,求图2中的直线BM与平面AHB 所成角的正弦值. 5.(2020北京通州一模,18)如图1,已知四边形ABCD为菱形,且∠A=60°,取AD中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG,使得∠AEG=90°,如图2. (1)求证:AE⊥平面EBHG; (2)求二面角A-GH-B的余弦值; (3)若点F满足=λ,当EF∥平面AGH时,求λ的值.

立体几何旋转折叠问题

图形的折叠与旋转 1．如图所示，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E CD ==是的中点，F 为BC 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将△ADE 向上折起，使D 到P 点位置，且PC PB =． （1）求证：;PO ABCE ⊥面 （2）求二面角E-AP-B 的余弦值． 2．如图，平行四边形ABCD ，2,4AB AD ==将CBD ?沿BD 折起到 EBD ?的位置，使平面EDB ⊥平面ABD （I ）求证：AB DE ⊥； （Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积.

3、如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=?,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的 点 ,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ?沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥 A BCDE '-, 其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ； (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦 值. 4．如图，沿等腰直角三角形ABC 的中位线DE ，将平面ADE 折起，平面ADE ⊥平面 BCDE ，得到四棱锥A BCDE -，4AC =，设AE 、CD 的中点分别为P 、Q ， （1）求证：平面ABC ⊥平面ACD （2）求证：ABC PQ 平面// （3）求平面ABC 与平面ADE 所成锐二面角的余弦值。 . C O B D E A C D O B E 'A 图1 图2 A D E C B

5．已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，，E 是BC 的中点，将BAE ?沿着AE 翻折成1B AE ?，使面1B AE ⊥面AECD ，F 为1B D 的中点. （Ⅰ）求四棱锥1B AECD -的体积；（Ⅱ）证明：1B E ∥面ACF ； （Ⅲ）求面1ADB 与面1ECB 所成二面角的余弦值.

高中数学立体几何折叠问题大题精选

立体几何折叠问题大题精选 1．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝8，BC＝6，AB＝2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF平面EFDC．（Ⅰ）当，是否在折叠后的AD上存在一点，且，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥A CDF的体积有最大值？并求出这个最大值． 2．如图1，A，D分别是矩形A1BCD1上的点，AB＝2AA1＝2AD＝2，DC＝2DD1，把四边形A1ADD1沿AD折叠，使其与平面ABCD垂直，如图2所示，连接A1B，D1C得几何体ABA1DCD1. (1)当点E在棱AB上移动时，证明：D1E⊥A1D； (2)在棱AB上是否存在点E，使二面角D1ECD的平面角为？若存在，求出AE的长； 若不存在，请说明理由． 3．如图，已知四棱锥S－A BCD是由直角梯形沿着CD折叠而成,其中SD≥DA≥AB≥BC≥l，AS∥BC，A⊥AD，且二面角S－CD－A的大小为120o． （Ⅰ）求证：平面ASD⊥平面ABCD； （Ⅱ）设侧棱SC和底面ABCD所成角为，求的正弦值． 4．如图1所示，在边长为24的正方形中，点在边上，且，，

作分别交于点，作分别交于点， 将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱 . （1）求证：平面； （2）求多面体的体积. 5．如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，， 作//，分别交，于点，，作//，分别交，于点， ，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱 ． （1）求证：平面； （2）若点E为四边形BCQP内一动点,且二面角E-AP-Q的余弦值为,求|BE|的最小值. 6．已知平面五边形关于直线对称（如图（1）），， ，将此图形沿折叠成直二面角，连接、得到几何体（如图（2））

高三文科数学立体几何翻折问题学案含答案(精品)

高三文科数学立体几何翻折问题学案含答案 1.已知四边形ABCD是等腰梯形,AB=3,DC=1,∠BAD=45°,DE⊥AB(如图1).现将△ADE沿DE折起,使得AE⊥EB(如图2),连结AC,AB,设M是AB的中点. (1)求证:BC⊥平面AEC; (2)判断直线EM是否平行于平面ACD,并说明理由.

2.如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将AEF ?沿EF 折起到1A EF ?的位置，使平面1A EF ⊥平面EFB ，连结1A B ，1A P .（如图2） （1）若Q 为1A B 中点，求证：PQ ∥平面1A EF ； （2）求证：1A E ⊥EP . 图1 A B C E F P 图2 E F B P C Q A 1

3．已知菱形ABCD 中，4AB =， 60BAD ∠=（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，1DC ，1BC 的中点． （1）证明：BD //平面EMF ； （2）证明：1AC BD ⊥； （3）当EF AB ⊥时，求线段1AC 的长． 图1 C 1B D E F M 图2

4．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ． （1）求证：NC ∥平面MFD ； （2）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （3）求四面体NFCE 体积的最大值． A B E F C D E C D N M F B A

立体几何中的翻折问题(教案)

立体几何中的翻折问题 教学目标：◆知识与技能目标： 1.使学生掌握翻折问题的解题方法，并会初步应用。 2.通过立体几何中翻折问题的学习，进一步掌握立体几何中求距离与求角的求法。 ◆能力与方法目标： 1.培养学生的动手实践能力。 2.在实践过程中，使学生提高对立体图形的分析能力，进一步理解“转化”的数学思想，并在设疑的同时培养学生的发散思维。 ◆情感态度与价值观目标： 通过平面图形与翻折后的立体图形的对比，向学生渗透事物间的变化与联系观点。 教学重点：了解平面图形与翻折后的立体图形之间的关系，找到变化过程中的不变量。 教学难点：转化思想的运用及发散思维的培养。 关键：层层设计铺垫，给学生充分的探讨、研究的时间。 学法指导：渗透指导、点拨指导、示范指导 教学方法：探究法，演示法、 例1（2012广州调研试题）已知正方形ABCD 的边长为2，AC BD O =．将正方形 ABCD 沿对角线BD 折起，使AC a =，得到三棱锥A BCD -，如图所示． （1）当2a =时，求证：AO BCD ⊥平面； （2）当二面角A BD C --的大小为120时，求二面角A BC D --的正切值．

2（2013年广东高考）、如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=?,6BC =,,D E 分别是 ,AC AB 上的点 ,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ?沿DE 折起,得到如图2所 示的四棱锥A BCDE '-, 其中A O '=. (Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值. . C O B D E A C D O B E 'A 图1 图2

高考热点问题：立体几何中折叠问题

高考热点问题：立体几何中折叠问题 一、考情分析 立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点,主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题,多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题,主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等. 二、经验分享 (1)立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题.把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几何体的表面展开问题.折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,展开与折叠问题就是一个由抽象到直观,由直观到抽象的过程.此类问题也是历年高考命题的一大热点. (2) 平面图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变化的过程中，折叠前后有些量(长度、角度等)没有发生变化，我们称其为“不变量”．求解立体几何中的折叠问题，抓住“不变量”是关键． (3)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法. 三、题型分析 (一) 平面图形的折叠 解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据. 1. 折叠后的形状判断 【例1】如下图,在下列六个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,能够围成正方体的是_____________(要求：把你认为正确图形的序号都填上) ①②③

高考数学统考一轮复习第7章立体几何第7节立体几何中的最值翻折探索性问题教师用书教案理新人教版

立体几何中的最值、翻折、探索性问题 考点一立体几何中的最值问题 解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，一般可以从三方面着手： 一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决； 二是利用空间几何体的侧面展开图； 三是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值．解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法，二次函数的配方法、公式法，函数有界法(如三角函数等)及高阶函数的拐点导数法等． [典例1](1)如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，面对角线B1D1上存在一点P使得A1P＋PB最短，则A1P＋PB的最小值为() A．5B．2＋6 2 C．2＋ 2 D．2 (2)如图所示，P A⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP＝2. 若点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长． (1)A[如图，把△A1B1D1折起至与平面BDD1B1

共面，连接A 1B 交B 1D 1于P ，则此时的A 1P ＋PB 最短，即为A 1B 的长，在△A 1B 1B 中，由余弦定理求得A 1B ＝ 5，故选A ．] (2)[解] 因为P A ⊥平面ADE ，AD ?平面ADE ，AB ?平面ADE ，所以P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，又因为AE ⊥AD ，B 为AE 中点，所以P A ，AD ，AB 两两垂直． 以{AB →，AD →，AP → }为正交基底建立空间直角坐标系A -xyz ，则各点的坐标为A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)． BP →＝(－1,0,2)，故可设BQ →＝λBP → ＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)． 又CB →＝(0，－1,0)，所以CQ →＝CB →＋BQ → ＝(－λ，－1,2λ)． 又DP → ＝(0，－2,2)， 所以cos 〈CQ →，DP → 〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2 ＋2. 设1＋2λ＝t ，t ∈[1,3]， 则 cos 2〈CQ →，DP → 〉＝ 2t 2 5t 2－10t ＋9 ＝ 2 9????1t －592 ＋20 9 ≤910， 当且仅当t ＝9 5， 即λ＝2 5 时，

立体几何中的折叠问题

立体几何中的折叠问题 【知识与技能目标】 1.使学生掌握翻折问题的解题方法，并会应用。 2.通过立体几何中翻折问题的学习，进一步掌握立体几何中角的求法。 【能力与方法目标】 1.培养学生的动手实践能力。 2.在实践过程中，使学生提高对立体图形的分析能力，进一步理解“转化”的数学思想，并在设疑的同时培养学生的发散思维。 【情感态度与价值观目标】 通过平面图形与翻折后的立体图形的对比，向学生渗透事物间的变化与联系观点。 【教学重点】 了解平面图形与翻折后的立体图形之间的关系，找到变化过程中的不变量。 【教学难点】 转化思想的运用及发散思维的培养。 【课堂导学】 二．例题分析 例1、在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为DC的中点，沿AE将△AED折起，使二面角D－AE－B为90°．求二面角D－EC－B的正切值大小． 变式1：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为DC的中点，沿AE将△AED折起，使二面角D－AE－B为60°,求二面角D－EC－B大小的正切值． 变式2：在△AED绕着AE转动过程中，是否存在某个位置，使得BD⊥AE;是否存在某个位置，使得面ABD ⊥面ABCE 结论： （1）AE⊥面DPF （2）面ADE⊥面DPF 面ABCE⊥面DPF （3）A,P,E三点共线 （4）∠DPF为D-AE-B的二面角 练习：如图，在长方形ABCD中，AB=2,BC=1,E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将⊿AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC,在平面ABD内，过点D作

DK ⊥AB,K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是_______ 例2、如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在线段AB,AD上，AE=EB=AF=2/3FD=4.沿直线EF将⊿AEF翻折成⊿A’EF,使平面A’EF⊥平面BEF. (1)求二面角A’-FD-C的余弦值； （2）点M,N分别在线段FD,BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A’重合，求线段FM的长。 课后小结：要解决好立体几何中的折叠问题，你有什么办法？或者说在本节课上你学到了什么？ 【课后巩固】 1.（2010浙江文数）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC， ∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。 （Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE； （Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。 2.在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使平 面ABD⊥平面ABC. AD⊥BC； （1）求证：' 60,求二面角AD’与面ABC所成角的大小（2）若二面角D’－AE－B为?

立体几何中的折叠问题精编版

立体几何中的折叠问题 考纲目标： 1.掌握展开问题与折叠问题中有关线面的位置关系的证明方法，会用平面展开图解决立体几何中有关最值问题。 2.通过折叠问题训练使学生提高对立体图形的分析能力，进一步理解“转化”的数学思想，并在设疑的同时培养学生的发散思维。 考点一 几何体展开问题 反思归纳： 求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离. 考点二.平面图形的折叠问题 【例1】 如图,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,底面ABC 为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC 1 =.P 是BC 1上一动点,则CP+PA 1的最小值为 .

答题模板:第一步:确定折叠前后的各量之间的关系,搞清折叠前后的变化量和不变量. 第二步:在折叠后的图形中确定线和面的位置关系,明确需要用到的线面. 第三步:利用判定定理或性质定理进行证明. 第四步:利用所给数据求边长和面积等,进而求表面积、体积. (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系,并证明你的结论; (3)证明:直线DF ⊥平面BEG. 【例2】(2013高考广东卷)如图(1),在边长为1的等边三角形ABC 中,D,E 分别是AB,AC 边上的点,AD=AE,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G,将△ABF 沿AF 折起,得到如图(2)所示的三棱锥 A BCF,其中 . (1)证明:DE ∥平面BCF; (2)证明:CF ⊥平面ABF; (3)当AD=23时,求三棱锥F DEG 的 体积F DEG V . 【即时训练】 1、 (2015高考四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示 . (1) 请将字母F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);

立体几何翻折问题

近6年高考中的立体几何题----翻折问题 1．在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 2.下列命题中错误的是 A ．如果平面α⊥平面β，那么平面内α一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l,那么l ⊥平面γ D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 3.已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ?ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在这过程中 A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直 B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直 C ．存在某个位置，使得直线A D 与直线BC 垂直 D ．对任意位置，三直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 4. 如图，已知ABC ?，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ?折成A CD '?， 所成二面角A CD B '--的平面角为α，则 ( ) A. A DB α'∠≤ B. A DB α'∠≥ C. A CB α'∠≤ D. A CB a '∠≥ 5．如图，在长方形ABCD 中，2AB =， 1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ?沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面 ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ． 6．在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点 P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则 （ ） A ．平面α与平面β垂直 B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045 C ．平面α与平面β平行 D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060 7.已知→→21e e ,是空间单位向量，2121=?→→e e 。若空间向量b 满足21=?→→b e ，2 52=?→→b e ，且对于任意的x,y ∈ R ,1201021=+-≥+-→→ )()(e y e x b e y e x b ,则=0x , =0y , = 8.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄 准目标点，需计算由点观察点 的仰角的大小.若 则的最大值

立体几何翻折问题材料

翻折视角下的立体几何试题 1.筝形的翻折 筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形，与菱形的定义相对应。菱形是特殊的筝形。筝形的一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线。在筝形平面到空间变换的研究中，常常沿着其中一条对角线进行翻折。在翻折的过程中，两条对角线的垂直关系保持不变，高考命题中常常利用两个对应的等腰三角形来描述空间筝形。此类高考试题极为丰富。 例：2013年新课标1文科19题） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠= 。 （Ⅰ）证明：1AB A C ⊥； （Ⅱ）若2AB CB ==，1 6 AC =，求三棱柱111ABC A B C -的体积。 2.梯形的翻折：1）等腰梯形的翻折 等腰梯形的翻折主要强调对腰的翻折，即保持底面的矩形特征，两腰向中间翻折，这里就有两底的端点是否合拢的问题。例：2016全国卷1理科18题） 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠= ，且二面角D - AF -E 与二面角C -BE -F 都是60 ． （I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（II ）求二面角E -BC -A 的余弦值例：2017年全国卷1理科18题） 如图，在四棱锥P?ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= .

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，90 APD ∠= ，求二面角A?PB?C的余弦值. 2）直角梯形的翻折 在直角梯形中有一类由两个直角三角形，特别的，其中一个是等腰直角三角形，拼接而成的直角梯形的翻折问题考查热点。这类的翻折问题一般都是沿着两个三角形的公共边AC进行翻折，翻折的位置往往强调两个面互相垂直，这样容易考查线面垂直与面面垂直的判定定理和性质定理。具体操作时要注意翻折前后的点与线、线与线位置关系的变与不变，数量关系的变与不变。 例(佛山二模)如图,在直角梯形ABCD中,AD⊥DC，AB∥CD,AB=4,AD=CD=2.将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图所示 (1)求证:BC⊥平面ACD (2)求几何体D-ABC 的体积。3.矩形（正方形）的翻折 对于矩形的翻折问题，常常聚焦于具有一定长宽比的矩形翻折问题。 类比筝形，在图形沿着对角线BD或者CF翻折过程中垂直关系始终保持不变。 2018全国卷1理科18题) 如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC △折起，使点C到达点P的位置， 且PF BF ⊥． ⑴证明：平面PEF⊥平面ABFD； ⑵求DP与平面ABFD 所成角的正弦值．

高考数学难点突破八立体几何中的翻折问题

高考数学难点突破八--------立体几何中的翻折问题 一、知识储备 翻折问题就是把平面图形经过折叠变成一个空间图形，实际上，折叠问题就是轴对称的问题，折痕就是对称轴，重合的即是全等图形，解决折叠问题时，要把运动着的空间图形不断地与原平面图形进行对照，看清楚其中哪些量在变化，哪些量没有变化，从而寻找出解决问题的方法，达到空间问题与平面问题相互转化的目的。核心是抓牢折痕就是翻折前与翻折后平面图形的公共底边，折痕与公共底边上两高所在平面垂直。 二、应用举例 例1.如图，在矩形ABCD 中，M 在线段AB 上，且1AM AD ==，3AB =，将ADM ?沿DM 翻折．在翻折过程中，记二面角A BC D --的平面角为θ，则tan θ的最大值为 ( ) A B C D 例2.在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==,E 为边AD 上的一点， 1DE =，现将ABE ?沿直线BE 折成A BE '?，使得点A '在平面 BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角 A BE C '--的大小为θ，直线,A B A C ''与平面BCDE 所成的角分 别为αβ，，则 A.βαθ<< B.βθα<< C.αθβ<< D.αβθ< <

例3.如图，矩形ABCD 中心为, O BC AB >，现将DAC 沿着对角线AC 翻折成EAC ，记BOE a ∠=，二面角B AC E --的平面角为β，直线DE 和BC 所成角为γ，则（ ） A. ,2a ββγ>> B. ,2a ββγ>< C. ,2a ββγ<> D. ,2a ββγ<< 例4.如图，在ABC △中，1AB =，22BC =，4 B π = ，将ABC △绕边AB 翻转至ABP △，使面ABP ⊥面ABC ，D 是BC 中点，设Q 是线段PA 上的动点，则当PC 与DQ 所成角取得最小值时，线段AQ 的长度为（ ） A ． 5 B ． 25 C ． 35 D ． 25 例5.已知在矩形ABCD 中，2AD AB = ， 沿直线BD 将ABD ? 折成'A BD ?，使得点'A 在平面BCD 上的射影在BCD ?内（不含边界），设二面角'A BD C --的大小为θ，直线 ','A D A C 与平面BCD 所成的角分别为,αβ，则（ ） A. αθβ<< B. βθα<< C. βαθ<< D. αβθ<< Q D P C B A

高考数学热点专题高中数学立体几何中折叠问题归纳

高考数学热点专题高中数学立体几何中折叠问题归纳 一、考情分析 立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点,主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题,多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题,主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等. 二、经验分享 (1)立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题.把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几何体的表面展开问题.折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,展开与折叠问题就是一个由抽象到直观,由直观到抽象的过程.此类问题也是历年高考命题的一大热点. (2) 平面图形通过折叠变为立体图形,就在图形发生变化的过程中,折叠前后有些量(长度、角度等)没有发生变化,我们称其为“不变量”.求解立体几何中的折叠问题,抓住“不变量”是关键. (3)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题,从而使问题得到解决,这是求曲面上最短路线的一种常用方法. 三、题型分析 (一) 平面图形的折叠 解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据. 1. 折叠后的形状判断 【例题1】如下图,在下列六个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,能够围成正方体的是_____________(要求：把你认为正确图形的序号都填上) ①②③

立体几何大题二,翻折

立体几何大题题型二：翻折问题 1.已知四边形ABCD 满足AD BC P ，12 BA AD DC BC a ====，E 是BC 的中点，将△BAE 沿着AE 翻折成△1B AE ，使面1B AE ⊥面AECD ，,F G 分别为1,B D AE 的中点． （1）求三棱锥1E ACB -的体积； （2）证明：1B E P 平面ACF ； （3）证明：平面1B GD ⊥平面1B DC ． 思路分析：对于翻折问题要注意翻折后的图形与翻折前的图形中的变与不变量．（1）求棱锥的体积一般找棱锥高易求的进行转换．由题意知，AD EC P 且AD EC =，∴四边形ADCE 为平行四边形，∴AE DC a ==，即E AB 1?为等边三角形．由面1B AE ⊥面AECD 的性质定理，连结1B G ，则1B G AE ⊥，可知1B G ⊥平面AECD ．所以11E ACB B AEC V V --=即可；（2）本题利用线面平行的判定定理去做．因为F 为1B D 的中点，注意利用中位线；（3）本题利用面面垂直的判定定理证明．因为AE ∥CD ,只需证明AE ⊥平面1B GD 即可。连结GD ，则DG AE ⊥．又△ABE 为等边三角形，则1B G AE ⊥，得证．本题注意体现了转化的思想．

（2）连接ED 交AC 于O ，连接OF ，∵AEDC 为菱形，且F 为1B D 的中点，∴1FO B E P ．又1B E ?面ACF ，FO ?平面ACF ，∴1B E P 平面ACF （3）连结GD ，则DG AE ⊥．又1B G AE ⊥，1B G GD G =I ，∴AE ⊥平面1B GD ．又AE DC P ，∴DC ⊥平面1B GD ．又DC ?平面1B DC ，∴平面1B GD ⊥平面1B DC ． 点评：本题考查了直线与平面平行、平面与平面垂直的判定和几何体的体积，以折叠问题为载体，折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体。如本题，不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线线，线面和面面垂直的判定方法及相互转化，还要正确识别出△BAE 沿AE 折叠而成的空间图形，更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（边长与角）的变化情况，否则无法正确解题．这正是折叠问题的价值之所在． 2．(2015·山东聊城二模)如图(1)所示，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B .(如图(2)) (1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角E -DF -C 的余弦值； (3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BP BC 的值；如果不存在，请说明理由． 【解】 (1)平行．在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF ∥AB ，又AB ?平面DEF ，EF ?平面DEF ，∴AB ∥平面DEF . (2)以点D 为坐标原点，以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)，DF →＝(1，3，0)，DE →＝(0，3，1)，DA →＝(0，0，2)．