行星地轨道和位置地数学解法
行星的轨道和位置的数学解法
作者：石磊a
，林川b
指导教师：乐经良C
教授
a : 上海交通大学电子信息与电气工程学院F0303032班(5030309885) , 电话：54740807
b : 上海交通大学电子信息与电气工程学院F0303032班(5030309880) , 电话：54741769
c : 上海交通大学理学院数学系
摘要：本文主要涉及常微分方程及对微分方程的建模与求解，数值积分的计算；利用多种微分方程的数值方法求解得到行星运行的参数和位置。研究基于压缩映象的求根方法和微分方程的Runge-Kutte 法。特别对Runge-Kutte 法进行较深入的讨论。并通过数值方法解微分方程得到的行星位置演示水星和冥王星的运行轨道，编制软件。
关键词：微分方程 数值方法 Runge – Kutte 法
问题的重述
17世纪初，在丹麦天文学家T.Brache 观察工作的基础上，Kepler 提出了震惊当时科学界的行星运行三大定律：
1. 行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆；
2. 从太阳指向某一行星的线段在单位时间内扫过的面积相等；
3. 行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴的立方之比值是不随行星而改变的常数。
对这三条定律的分析和研究导致Newton 发现了著名的万有引力定律，而同时，应用万有引力定律，Kepler 的行星运行三大定律得到了理论上的推导。
数学模型
设太阳中心所在位置为复平面之原点O ，在时刻t ，行星位于
θi re t Z =)( （4.1）
所表示的点P 。这里)(),(t t r r θθ==均是t 的函数，分别表示)(t Z 的模和辐角。 于是行星的速度为
??
? ??+=+=dt d ir dt dr
e dt d ire e dt dr dt dZ i i i θθθθθ 其加速度为
???
????????? ??++???? ????? ??-=dt d dt dr dt r d r i dt d r dt r d e dt Z d i θθθ22222222
(4.2）
而太阳对行星的引力依万有引力定律，大小为2
r
mMG
，方向由行星位置P 指向太阳的中心O ，故为θ
i e r
mMG 2
-
，其中)(10989.130kg M ?=为太阳的质量,m 是行星的质量，)/(10672.62211kg m N G ??=-为万有引力常数。
依Newton 第二定律，得到
222dt
Z
d m
e r mMG i =-θ （4.3）
将（4.2）代入（4.3），然后比较实部和虚部，有
???????-=??? ??-=+22222
202r MG dt d r dt
r d dt d dt dr dt
d r θθθ
(4.4)(4.5)
如设0=t 时，行星正处于远日点，远日点位于正实轴上，距原点O 为0r ,行星的线速度为0v ,那么就有初值条件：
?????????
??========000000000r v dt
d dt dr r r t t t t θθ (4.6）(4.7）(4.8）
(4.9）
方程(4.4) ~ (4.9)就是行星绕太阳运行的轨迹的数学模型。
将式（4.4）乘以r ，即得
02=??? ??dt d r dt d θ 常数）( 12
C dt
d r =?θ
（4.10） 其中 001v r C =
这样，有向线段OP 在时间t ?内扫过的面积等于
2
2112t C dt dt d r t
t t
?=?
?+θ
(4.11) 而这正是Kepler 第二定律。
将式(4.10)改写后代入式(4.5)
2
32
122r MG
r dt r d C -
=- 由此得到行星运动的较为简单形式的数学模型：
???????
?
??
?????====-=-===00000021
2
321
22t t t dt dr
r r r C dt d r MG r dt
r d C θ
θ
实验任务
1． 在求解方程(4.24)时,试用矩形法、梯形法和Simpson 法来计算数值积分，
并对所得的结果加以比较？
解答：由于行星的运动满足Kepler 第二定律式(4.11),改写该式为
t C d r ?=??+12θ
θθ
θ
()
t d e C p =-??
θ
θθ0
2
12
cos 1 如果要求1T t =时相应的θ和r ，则意味着首先要解方程
()2
1
1p T C F =
θ 其中
()()
?
-=θ
θθθ0
2
cos 11
d e F (4.24)
利用矩形法计算次积分，并带入水星数据，得
Clear r0,v0,h,c1,p,e,F,T1,k,1,2,r,,v; h0.0001;
r00.69821011;
v0 3.886104;
M 1.9891030;
G 6.6721011;
c1r0v0;
p c12M G;
e1p r0;
T150243600;
k0;
For F0,F c1T1p2,k,1k h;
F F h1e Cos12;
r p1e Cos1;
c1r2;
v r;
Print h,"",k1,"",1,"",r,"", ,"",v,"";
计算得到数据
利用梯形法计算此积分并代入水星数据，得
Clear r0,v0,h,c1,p,e,F,T1,k,1,2,r,,v;
h0.05;
r00.69821011;
v0 3.886104;
M 1.9891030;
G 6.6721011;
c1r0v0;
p c12M G;
e1p r0;
T150243600;
k0;
For F0,F c1T1p2,k,1k h;2k1h;
F F h21e Cos121e Cos22;
r p1e Cos2;
c1r2;
v r;
Print h,"",k1,"",2,"",r,"",,"",v,"";计算得到数据：
用Simpson法计算，并代入水星数据
Clear r0,v0,G,M,h,c1,p,e,F,T1,k,1,2,3,r,,v;
h0.0001;
r00.69821011;
v0 3.886104;
M 1.9891030;
G 6.6721011;
c1r0v0;
p c12M G;
e1p r0;
T150243600;
k0;
For F0,F c1T1p2,k,1k h;2k0.5h;3k1h;
F F h61e Cos1241e Cos221e Cos32; r p1e Cos2;
c1r2;
v r;
Print h,"",k1,"",2,"",r,"",,"",v,"";
计算得到数据：
从上面计算得到的数据进行比较可以明显看出，矩形法在所取步长下未得道精确数据，梯形法在步长为0.00001时得到精确数据，而Simpson法在步长为0.00005就得到了精确数据。显然，梯形法比矩形法精确，Simpson法又比梯形法精确，而我们随后将要用的Runge-Kutte法则比Simpson法更精确。
分别利用矩形法，梯形法，Simpson法计算此积分，并带入冥王星数据
得到数据：
矩形法
梯形法
Simpson法
2．水星到太阳的最远距离为0.6982*1011m ，此时水星绕太阳运行的线速度为3.886*104m/s ，试求：
1） 水星到太阳的最近距离； 2） 水星绕太阳运行的周期；
3） 求从远日点开始的第50天（地球天）结束
时水星的位置。
解答：
1 － 基于压缩映射的求根方法
首先，回到水星的轨道曲线，我们引进轨道椭圆的参数方程求解。由于椭圆的半长轴2
1e
p
a -=
，半短轴2
1e p b -=
，从而中心到焦点的距离为ae b a =-22。于是得到参数方程
()??sin ,cos b y e a x =+=
它们与θ,r 的关系为
θ
tan ,2
2
2
==+x
y
r y x
这样由于?θd y
x x y y x d 2
2+'
-'=，从而上式改写成 ()()()[]()???
?+?+?++=--+='-'=??
??
?
??
???
?
???????d e ab d a b b e a d x y y x t C 1
cos sin sin cos cos 1()[]?????+-?+=?ab e e ab t C sin sin 1
于是，我们要求T1=50天时的水星位置就意味着要求解方程
ab T C e 1
1sin =
+??
记()?λ?λsin ,1
1e g ab
T C -==
，不妨取00=?，于是依照迭代格式得到 ()?g 的不动点及上式唯一的根为?。
据参数方程可以将?转化到相应的θ，即由
)
cos (sin tan ??
θ+=
e a b
得
649021.0=θ
此时的距离r 和线速度v 分别为
[][]
??
???
===?=++=m/s
56918.71060159.4sin cos (1102
2r C r v m
b e a r θ??
从数据结果来看，显然，这里机遇不动点的快速收敛迭代格式具有不容置疑的优势，即
快速而且精确。
针对水星，有
Clear r0,v0,M,G,c1,p,e,r1,T,T1,,1,,r,v ;
r00.69821011;v0 3.886104;M 1.9891030;G 6.6721011
;
c1r0v0;p c12M G;e 1p r0;
Print "水星轨道的偏心率:
",e ;
r1p 1e ;Print "水星到太阳的最近距离:
",r1,"m";
T 2
p 2c1
1
e 2
32
606024;
Print "水星运行周期:",T,"天";
T1
50243600;c1T11
e 2
32
p 2;0;For
1
e Sin ,1
,
1;
1e Sin
;;
ArcTan Sin 1e 2
e
Cos
;
r
p
1
e 2
e Cos
2
p
1e 2
Sin 2
;
v
c1r;
Print "第50天水星的位置:",r,"m";Print "第50天水星的速度:",v,"m s";ParametricPlot
p Cos 1
e Cos
107,p Sin 1e Cos 107,
,0,2
,
AspectRatio Automatic,
AxesLabel "x 10^7m ","y 10^7m ",
PlotLabel
"水星绕太阳的运行轨道";
得答案为：
水星轨道的偏心率: 0.205499 水星到太阳的最近距离：m 10
1060159.4?
水星运行周期: 87.9914 天
第50天水星的位置：m 10
1076681
.4? 第50 天水星的速度: 56918.7 m/s
2 － Runge-Kutte 法
试用行星绕太阳运行的数学模型 (4.12) ~ (4.16),令dt
dr
q =,可以得到一阶微分方程组：
?
?????????????
?=====-====0
0000021
232
1t t t dt dr
r r r C dt d q dt
dr r MG r dt dq C θθ 利用四阶Runge-Kutte 法迭代格式
()()()??
?
?
?
?
???
++++=++++=++++=+++43211
4321143211
226226226
N N N N h L L L L h r r K K K K h q q k k k
k k k θθ 在迭代过程中出现的12个参数表示为
()()????????
?????????+-+=?
?? ??+-??? ??+=??? ??+-??? ?
?+=-=2
3332142
23221321312
1
2
2
32
112222hL r MG hL r K hL r MG hL r K hL r MG hL r K r MG r K k k k k k k k k C C C C
???????
?
?+=+=+==34
2
312122hK
q L hK q L hK q L q L k k
k k
()????
????
??????
??
?
+=?
?? ??+=
??? ?
?+==23142
21
32
1122
1122hL r C N hL r C N hL r C N r C N k k k k
在代入计算前需要注意的是这12个参数的计算顺序，计算K 2需要先计算L 1，而计算
L 1则需要计算K 1，在计算N 2时同样需要先计算L 1，依此类推，正确的计算顺序应为：
N
N N N L K L K L K L K 4
3
2
1
4
4
3
3
2
2
1
1
,,,,,,,,,,,
利用Microsoft Visual C++ 6.0编制程序（程序代码见附件） 程序名：Runge1.cpp
最后得到答案为：
?
??=?d 87.9914T m 104.6015910＝m r
这与第一种方法得到的答案完全一致。
当步长为1s时，程序要迭代760万次以上，足够给出所需要的精度。
利用与前一实验（导弹跟踪问题）的相同方法并基于同样的理由――减少迭代次数，增加运算速度。可以给出可变步长的Runge-Kutte迭代法。
程序名：Runge1.cpp
计算结果：
h = 1000
T = 7.60246e+006
T = 87.9914
Rm = 4.60159e+010
Press any key to continue
此时，取步长为1000s即可给出同原始方法1s相同的数据。可大幅减少迭代次数，运算时间可以忽略。
从远日点开始的第50天（地球天）结束时水星的位置为
程序名Runge3.cpp
输出结果：
r = 4.76681e+010
Theta = 3.79061
V = 56918.7
Press any key to continue
与第一种方法给出的答案完全一致。
由上述计算可见，水星的轨道偏离正圆程度很大，近日点距太阳仅四千六百万千米，远日点却有7千万千米，在轨道的近日点它以十分缓慢的速度按岁差围绕太阳向前运行（岁差：地轴进动引起春分点向西缓慢运行，速度每年0.2"，约25800年运行一周，使回归年比恒星年短的现象。分日岁差和行星岁差两种，后者是由行星引力产生的黄道面变动引起的。）在十九世纪，天文学家们对水星的轨道半径进行了非常仔细的观察，但无法运用牛顿力学对此作出适当的解释。存在于实际观察到的值与预告值之间的细微差异是一个次要（每千年相差七分之一度）但困扰了天文学家们数十年的问题。有人认为在靠近水星的轨道上存在着另一颗行星（有时被称作Vulcan，“祝融星”），由此来解释这种差异，结果最终的答案颇有戏剧性：爱因斯坦的广义相对论。在人们接受认可此理论的早期，水星运行的正确预告是一个十分重要的因素。（水星因太阳的引力场而绕其公转，而太阳引力场极其巨大，据广义相对论观点，质量产生引力场，引力场又可看成质量，所以巨引力场可看作质量，产生小引力场，使其公转轨道偏离。类似于电磁波的发散，变化的磁场产生电场，变化的电场产生磁场，传向远方。）
3．画出水星绕太阳运行的轨迹曲线。
解答：
-4000-2000
200040006000
x 10^7m
-4000
-2000
2000
4000
y 10^7m
水星运行轨道
4．冥王星在1989年10月处于近日点，距太阳44.4*1011m ，其线速度为0.6122*104m/s 求：
1）它在何时到达远日点，速度。 2）远日点到太阳的距离。
3）其椭圆轨道的偏心率并作图 4）40年后冥王星的位置 解答：
1 － 基于压缩映射的求根方法
利用上题计算水星的程序改变初始数据即可得到答案，解题过程不再复述。
冥王星轨道的偏心率: 0.253946 冥王星运行周期: 251.1 年 到达远日点的时间为: 125.55 年
冥王星到太阳的最远距离为m 12
1046262
.7? 远日点的线速度: 3642.38 m/s
第40年冥王星的位置：m 12
1098684
.6? 第40年冥王星的速度: 3890.41 m/s
-4000-2000
200040006000
x 10^9m
-6000
-4000
-2000
2000
4000
6000
y 10^9m
冥王星运行轨道
2 － Runge-Kutte 法
利用上题计算水星的程序改变初始数据即可得到答案，解题过程不再复述。
t = 7.91869e+009
T = 251.1 Tm = 125.55 Vm = 3642.38 Rm = 7.46262e+012 Press any key to continue
故得到125.55年后到达远日点,速度为3642.38m/s 远日点距离为7.46262e+012 m,运行周期为251.1年
从上面得到的数据看，冥王星的轨道十分地反常，有时候比海王星离太阳更近（最近一次从1979年1月开始持续到1999年2月）。冥王星的自转方向也与大多数其他行星的方向相反。
冥王星与海王星的共同运动比为3:2，即冥王星的公转周期刚好是海王星的1.5倍。它的轨道交角也远离于其他行星。因此尽管冥王星的轨道好像要穿越海王星的轨道，实际上并没有。所以他们永远也不会碰撞。具体的解释限于此文篇幅，就不在此赘述了。
笔者在此需要指出的是, 尽管冥王星和冥卫一的总质量知道得很清楚（这可以通过对冥卫一运行轨道的周斯及半径精确测量和开普勒第三定律而确定），但是冥王星和冥卫一分别的质量却很难确定。这是因为要分别求出质量，必须测得更为精确的有关冥王星与冥卫一系统运行时的质心才能确定测量出，但是它们太小而且离我们实在太远，甚至哈博太空望远镜对此也无能为力。这两颗星质量比可能在0.084到0.157之间。更多的观察正在进行，但是要得到真正精密的数据，只有送一艘太空飞行器去那里。
最后，我们编制了水星和冥王星的运行轨道演示程序，可以形象的显示其运行轨迹 附属文件：planet.zip
高中数学求轨迹方程的六种常用技法汇总
------------------------------------------------------------精品文档-------------------------------------------------------- 求轨迹方程的六种常用技法 轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 4MM6AB?BMAM,相交于，直线．已知线段，求点，且它们的斜率之积是例19的轨迹方程。x ABAB(3,0)B(A?3,0),y，所在直线为垂直平分线为解：以轴，轴建立坐标系，则 y(k?x??3)BMMAM)y(x,的斜，直线，则直线设点的坐标为的斜率AM x?3y(x?3)k?率AM3?x4yy3)???(x?由已知有9?x3x?322yx??1(x??3)M的轨迹方程为化简，整理得点94练习： Px?4P(10,0)F的轨迹方．1平面内动点，到点则点的距离之比为的距离与到直线2程 是。 22x ABPll4??2yx上满足交于．设动直线两点，垂直于、轴，且与椭圆是2PA?PB?1P的轨迹方程。的点，求点 3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（） A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线 2．定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。 AB30ABCAC?(8,0)B(C?8,0),，2例．若的两顶点，和为两边上的中线长之和是?ABC。 _______________的重心轨迹方程是则． AB30ABCAC?)(x,yG可得，则由两边上的中线长之和是的重心为和解：设 2?30??CG?20BGG(8,0)8,0),CB(?B,C的轨迹为以，而点为定点，所以点3为焦点的椭圆。 228?20,c?2a?c?a6?a?10,b可得所以由22yx??1(y?0)?ABC的重心轨迹方程是故 10036练习： 22?|x?y?(y?1)x2(?1)2|?表示的曲线是（ 4）．方程 A．椭圆B．双曲线C．线段D．抛物线 3．点差法 圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A(x,y),B(x,y)x?x，的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得221211x?x2x?x?xyy?yy?AB),yP(x，
高考数学难点之轨迹方程的求法
高考数学难点之轨迹方程的求法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点. ●难点磁场 (★★★★)已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线. ●案例探究 ［例1］如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程. 错解分析：欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题. 技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |=22)4(y x +- 所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0 因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2 ,241+= +y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得 2 4 4)2()24( 22+? -++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. ［例2］设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招) 命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：直线与抛物线的位置关系. 错解分析：当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论.
高中数学动点轨迹问题专题讲解
动点轨迹问题专题讲解 一．专题内容： 求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有： （1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程． （3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程． （4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可． （5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）．
注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练 （一）选择、填空题 1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ?的周长为36，则MNP ?的顶点P 的轨迹方程是 （A ）22125169x y + =（0x ≠） （B ）22 1144169 x y +=（0x ≠） （C ） 22116925x y +=（0y ≠） （D ）22 1169144 x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ； 4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线22 1169 x y -=上运动，则12F F P ?的重心G 的轨迹方程是 ； 5．已知圆C ： 22(16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平
第四章行星的运动
第四章行星的运动 一、行星的视运动及其解释 1 内行星的视运动及其解释 相对于地球轨道，轨道半径小的水星和金星称为“(地)内行星” 轨道半径大的火星、木星、土星、天王星和海王星称为“(地)外行星” 内行星常在黎明前出现于东方(“晨星”)，或在黄昏后出现于西方(“昏星”) 内行星与太阳的角距离总是在一定范围内变化 行星相对于恒星背景的移动，其路径在黄道附近 2 内行星视运动分类 由于内行星和地球在各自轨道上绕太阳公转，内行星的公转速度比地球的快，且它们的轨道面有一定的夹角，因此，从地球上观测到内行星相对于恒星的视运动呈现出(上合前后)向东“顺行”、(下合前后)向西“逆行”，以及顺逆转折时的“留”，视运动路径呈折圈形状。顺行：自西向东运行，与地球公转方向相同，顺行时间长 逆行：自东向西运行，与地球公转方向相反，逆行时间短 留：由顺行转逆行或由逆行转顺行的转折点 3 内行星视运动的特殊点 合：当行星与太阳的黄经相等时称为“合”，行星在太阳前方称为下合，太阳在行星前方称为上合 大距：当行星与太阳角距达到最大时称为“大距”，在太阳之东称为“东大距”，在太阳之西称为“西大距” 内行星视运动的运行周期:上合(1)——(顺行)——东大距——(顺行)——留——(逆行)——下合——(逆行)——留——(顺行)——西大距——(顺行)——上合(2) 4 凌日 在下合时，若内行星又恰好过黄道面，地球上的观测者可以看到它从太阳圆面前经过，日面上出现一个移动的小黑点，这一现象称为“凌日” 内行星凌日发生的必要条件：内行星和地球都位于轨道交点附近 怎样安全地观察凌日现象？ 不能在没有保护措施的情况下通过普通望远镜和天文望远镜观看太阳 接物镜滤片：将一块高质量的滤片放在普通望远镜或天文望远镜的物镜上。 白屏投影：距离望远镜或天文望远镜一定距离放置一块白色屏幕，让光线照在白屏上 5 外行星的视运动及其解释 外行星的轨道大于地球轨道，其视运动除了有顺行、逆行、留和折圈路径等跟内行星视运动相似特征外，还有一些自己的特征:只有“上合”，没有“下合”;与太阳的角距没有“大距”限制;没有“凌日);没有明显的相位变化 冲日：外行星与太阳的地心黄经相差180°时，称为“冲日”或“冲” 大冲：由于行星轨道都是椭圆，因此每次冲时，外行星与地球的距离都不相同，距离最小的冲称为“大冲” 方照：外行星与太阳的地心黄经相差90°时，称为“方照”。 行星在太阳之东称为“东方照”，行星中午升起，日落时位于中天附近，上半夜可见于西方天空 行星在太阳之西为“西方照”，行星子夜升起，日出时位于中天附近，下半夜可见于东方天空 外行星视运动的运行周期：合(1)——(顺行)——东方照——(顺行)——留——(逆行)——冲——(逆行)——留——(顺行)——西方照——(顺行)——合(2) 6 行星的会合周期 地球上观测到的行星运动实际上是行星公转和地球公转的复合运动，常称为“会合运动”。地球上观测到行星的连续两次上合或冲的时间间隔，称为“会合周期” 会合周期等不等行星的公转周期？不等于。公转周期应该为相对于遥远恒星背景来计量公转一圈的时间间隔——“恒星周期” 思考 地内行星和地外行星的视运动有哪些不同之处？ 二、行星的轨道根数和星历表 1 轨道根数 长半轴a: 轨道椭圆长轴的一半，表示轨道大小 偏心率e : 对于椭圆轨道0 Matlab动画模拟太阳系行星运动 figure('name','星系演示');%设置标题名字 pausetime=.02;%设置暂停时间 set(gca,'xlim',[-50 50],'ylim',[-50 30],'zlim',[-50 50]); set(gcf,'doublebuffer','on') %消除抖动 xlabel('x轴'),ylabel('y轴'),zlabel('z轴'); axis equal; grid on; view([3 5 2]); hold on a=[8.5 12.5 20 30 50 60 80 100 90];b=[8 12 18 26 45 55 70 90 30]; omga=[4 1.25 1 0.5 0.1 0.05 0.25 0.125 1];r=[0.35 0.8 0.8 0.5 3 2.5 1.5 1.5 0.35];%长轴，短轴，角速度，球体半径 c=sqrt(a.^2-b.^2);h=pi/18;h1=pi/10;f=pi/9;g=pi/8; aby=[h h 0;h1 h 0;h h 0;h h 0;h h 0;h h 0;h g 0;h h h;g 0 g];%每个轨道平面倾斜角度，偏移设置 %colo={'y','m','b','m','r','c','b','b'}; [X,Y,Z]=sphere(40); surf(5*X,5*Y,5*Z);colormap(autumn) %设置太阳 light ('position',[1 0 2],'style','infinite') lighting phong material shiny t=0:0.01*pi:50*pi; t'; num=length(a); for n=1:num x(:,n)=a(n)*cos(omga(n)*t)+c(n); y(:,n)=b(n)*sin(omga(n)*t); z(:,n)=0*t; %计算未经轨道平面角度倾斜的轨道位置 xuanz(:,:)=[1 0 0;0 cos(aby(n,1)) -sin(aby(n,1));0 sin(aby(n,1)) cos(aby(n,1))]*[cos(aby(n,2)) 0 sin(aby(n,2));0 1 0;-sin(aby(n,2)) 0 cos(aby(n,2))]*[cos(aby(n,3)) -sin(aby(n,3)) 0;sin(aby(n,3)) cos(aby(n,3)) 0;0 0 1]; %每个轨道平面倾斜计算 xyz(:,:)=[x(:,n) y(:,n) z(:,n)]*xuanz(:,:); x(:,n)=xyz(:,1); y(:,n)=xyz(:,2); z(:,n)=xyz(:,3); %计算轨道平面倾斜后的轨道位置 p(n)=surf(r(n)*X+x(1,n),r(n)*Y+y(1,n),r(n)*Z+z(1,n));shading interp %画出每个行星 高中数学常见题型解法归纳 - 轨迹方程的求法 【知识要点】 一、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义 在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（完备性）.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 二、求简单的曲线方程的一般步骤：建设限代化 （1）建立直角坐标系：利用垂直性和对称性建立适当的坐标系； （2）设点：用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标（不要把其它的点的坐标设成）； （3）列出动点满足的限制条件：用坐标表示条件,列出方程； （4）代点坐标到方程； （5）化简：化方程为最简形式； （6）检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来.（可以省略） 三、求轨迹方程的四种主要方法：轨迹四法待代直参 （1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程. （2）代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点 的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程. （3）直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程. （4）参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设 参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参. 四、轨迹和轨迹方程 轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程 只求那个方程即可，不需描述曲线的特征. 【方法讲评】 【例1】线段与互相垂直平分于点，，，动点满足 ，求动点的轨迹方程． 【解析】 【点评】（1）这种题目由于已知中没有直角坐标系，所以首先要根据垂直性和对称性建立直角坐标系，由于建立坐标系的方法有多种，所以求出的轨迹方程有多种，但是都是对的；（2）这道题是直接用坐标化简已知中的得到的轨迹方程，运用的是直接法. 【例2】已知圆：，由动点向圆引两条切线、， 四. 小行星的轨道问题（交纸质文档） 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立一个以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（1天文单位为地球到太阳的平均距离：9300万哩）。他在不同的时间对小行星作五次观测，得到轨道上五个点的坐标分别为（5.764，0.648），（6.286，1.202），（6.759，1.823），（7.168，2.526）与（7.408，3.360）。由开普勒第一定律知小行星轨道为一椭圆，试建立它的方程并画出其轨迹图。 解：设行星的椭圆轨道方程为ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0; （1）将上述九个点的坐标一一代入椭圆轨道方程，得到一个关于a,b,c,d,e,f 的其次线性方程组，这个方程组有九个方程，如果这个方程组的秩等于5，那么在这九个方程中随便找五个方程解出a,b,c,d,e,f，就得到椭圆的方程式。（2）如果这个方程组的秩大于5，那么不妨设g(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f; 将上述九个点的坐标分别代入g(x,y),得到9组等式，然后再将这9组等式平方后相加，记为s; 根据最小二乘法原理，： 令s分别对a，b，c，d，e，f求导后的代数式等于零。得到一个由五个五元一次方程构成的方程组，解这个方程组求出参数值，这就是椭圆方程中各参数的最小二乘估计，由这组估计值所确定的椭圆方程能够保证误差的平方和最小。 小行星的轨道模型 问题一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳 为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1. 表6.1 坐标数据 由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为 012225423221=+++++y a x a y a xy a x a . 问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据： （x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）. 由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得 ???? ?????-=++++-=++++-=++++-=++++-=++++.122212221222122212225554253552251454424344224 135342 3333223125242 232222211514213112211y a x a y a y x a x a ， y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a 这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵 ????????????????-----=????????? ???????????????????????111112222222222222225432155 25 5 525 44244424 33233323222 22222 112 11121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x 求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式: 实用文案 行星的轨道和位置的数学解法 作者：石磊a，林川 b 指导教师：乐经良 C 教授 a : 上海交通大学电子信息与电气工程学院F0303032 班 (5030309885) , 电话： 54740807 b : 上海交通大学电子信息与电气工程学院F0303032 班 (5030309880) , 电话： 54741769 c : 上海交通大学理学院数学系 摘要：本文主要涉及常微分方程及对微分方程的建模与求解，数值积分的计算；利用多种微 分方程的数值方法求解得到行星运行的参数和位置。研究基于压缩映象的求根方法和微 分方程的 Runge-Kutte 法。特别对 Runge-Kutte 法进行较深入的讨论。并通过数值方法解微分 方程得到的行星位置演示水星和冥王星的运行轨道，编制软件。 关键词：微分方程数值方法Runge–Kutte法 问题的重述 17 世纪初，在丹麦天文学家 T.Brache 观察工作的基础上， Kepler 提出了震惊当时科学界的 行星运行三大定律： 1.行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆； 2.从太阳指向某一行星的线段在单位时间内扫过的面积相等； 3.行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴的立方之比值是不随行星而改变的常数。 对这三条定律的分析和研究导致 Newton 发现了著名的万有引力定律，而同时，应用万有 引力定律， Kepler 的行星运行三大定律得到了理论上的推导。 数学模型 设太阳中心所在位置为复平面之原点O，在时刻t ，行星位于 Z (t ) re i（4.1）所表示的点P。这里r r (t),(t ) 均是t的函数，分别表示Z (t ) 的模和辐角。 于是行星的速度为 dZ dr e i ire i d e i dr ir d dt dt dt dt dt 其加速度为 行星的轨道和位置的数学解法 作者：石磊a ，林川b 指导教师：乐经良C 教授 a : 上海交通大学电子信息与电气工程学院F0303032班(5030309885) , 电话：54740807 b : 上海交通大学电子信息与电气工程学院F0303032班(5030309880) , 电话：54741769 c : 上海交通大学理学院数学系 摘要：本文主要涉及常微分方程及对微分方程的建模与求解，数值积分的计算；利用多种微分方程的数值方法求解得到行星运行的参数和位置。研究基于压缩映象的求根方法和微分方程的Runge-Kutte 法。特别对Runge-Kutte 法进行较深入的讨论。并通过数值方法解微分方程得到的行星位置演示水星和冥王星的运行轨道，编制软件。 关键词：微分方程 数值方法 Runge – Kutte 法 问题的重述 17世纪初，在丹麦天文学家T.Brache 观察工作的基础上，Kepler 提出了震惊当时科学界的行星运行三大定律： 1. 行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆； 2. 从太阳指向某一行星的线段在单位时间内扫过的面积相等； 3. 行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴的立方之比值是不随行星而改变的常数。 对这三条定律的分析和研究导致Newton 发现了著名的万有引力定律，而同时，应用万有引力定律，Kepler 的行星运行三大定律得到了理论上的推导。 数学模型 设太阳中心所在位置为复平面之原点O ，在时刻t ，行星位于 θi re t Z =)( （4.1） 所表示的点P 。这里)(),(t t r r θθ==均是t 的函数，分别表示)(t Z 的模和辐角。 于是行星的速度为 ?? ? ??+=+=dt d ir dt dr e dt d ire e dt dr dt dZ i i i θθθθθ 其加速度为 在太阳系中，天体行星的运行轨道都是椭圆的，这一点早已被科学观察所证实。但为什么行星的运动轨迹都会是椭圆的呢？几个世纪来，牛顿给出了计算椭圆轨道的公式，康德在其《宇宙发展史概论》中作出了一个不很明确的解答“行星的偏心率是自然界因力图使行星作圆周运动时，由于中间出现了许多情况，而不能完全达到圆形的结果”。而拉普拉斯在其《宇宙体系论》中是这样解释的“如果行星只受太阳的作用，它们围绕太阳运行的轨道是椭圆的……。”20世纪的爱因斯坦也只告诉我们“空间是弯曲的”，现代科学对于行星椭圆轨道形成的原因。如同“万有引力”一样，尚是一个未揭开的科学之迷。 天体行星的运动，不但轨道是椭圆的，而且运动的公转速度与自转速度也随着时空的变化而变化，显现出某些特殊的运动规律。这些规律，至今为止，人们尚未真正解开其中的奥秘。近年来，俄罗斯科学家，运用数学和控制论科研所的研究员提出“由于地球内部的固体核旋转速度快于地慢，从而影响了地球的自转速度”。有关专家指出“该科研成果解决了地球自转角速度发生变化的原因，解决了多年来困扰学术界的一个难题。” 天体行星运动轨道的变化规律，是因地球内部固体核与地慢流的运动差异而引起的变化吗？本人运用量子引力理论进行了诸多的推演，创新了一套天体行星运动系统的引力控制理论，它能全面地解释天体行星椭圆轨道的形成和运动速度变化的原因。该理论发现：太阳系行星运动的规律直接受银河系中心引力场引力控制，从而产生出太阳系轨道行星运动的自然法规。 18世纪法国大科学家拉普拉斯，在其所著的《宇宙体系论》中指出：“行星系里，除了使行星围绕太阳在椭圆轨道上运行的主要原因外，还存在其他特殊扰乱它们的运动，而且长时期里改变他们的轨道根数”。引自《宇宙体系论·第四章·行星围绕太阳运动的规律及其轨道的形状》（法）皮埃尔·西蒙·拉普拉斯著。 银河系中心引力场究竟怎样控制太阳系里的行星运动呢？拉普拉斯所预言的“还存在其它特殊原因”，而这个特殊原因就是“银河系引力的控制”。但拉普拉斯说“如果行星只受太阳的作用，它围绕太阳运行的轨道是椭圆的”，这句话从理论推演上说反了。实际上行星在围绕着太阳运行时，在不受银河系引力场控制的前提下，行星的运行轨道是正圆的而不是椭圆的。在后文的推演中，我们将会使读者真正认识到银河系中心引力场对太阳系的引力控制，对于运动行星来说是无法摆脱且真实地存在。 问题15 小行星的轨迹问题 一 、问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道 平面内建立以太阳为远点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787*10^11m ），在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表2.15.1. 表2.15.1 由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，现需要建立椭圆的方程以供研究。（注：椭圆的一般方程可表示为 012225423221=+++++y a x a y a xy a x a ）。 二、实验目的 利用5个点确定二次曲线的一般方程，并求出椭圆的重要参数。 三、预备知识 线性代数方程组理论，椭圆的有关概念及性质。 四、实验内容与要求 1.用表中5个点的坐标数据分别代入椭圆的一般方程可建立5 个方程的线性代数方程组，该方程组的系数矩阵为A ，右端项为b ，这里， 21x 112y x 21y 12x 12y -1 22x 222y x 2 2y 22x 22y -1 A= 23 x 332y x 23y 32x 32y b= -1 2 4x 442y x 24y 42x 42y -1 25x 552y x 2 5y 52x 52y -1 试依据题目所给的5个点的坐标，用计算机计算出矩阵的A 的5*5个数据。 2.利用Matalb 指令A\b 求解5元线性代数方程组，写出椭圆 方程 012225423221=+++++y a x a y a xy a x a 中的 5个待定系数 5 4321,,,,a a a a a 及小行星多所对应的曲 线方程。 3.写出曲线表达式中系数所对应的二阶矩阵和三阶矩阵： 1a 2a 1a 2a 3a C= D= 2a 3a 5a 2a 3a 4a 5a 1 并利用Matlab 指令eig （C ）求出矩阵C 的特征值，记录数据 2020届高三地理复习讲解：太阳系模式图判读 一、典题示例 阅读下图，探究下列问题。 (1)八大行星绕日公转的运动特征是什么？ (2)与其他行星相比，地球的运动特征方面有无特殊之处？由此得到的结论是什么？ (3)八大行星中表面温度最高和最低的分别是哪个？为什么？ 答案： (1)同向性、共面性、近圆性。 (2)没有特殊之处。八大行星都可能存在生命。 (3)水星表面温度最高，海王星表面温度最低。距太阳越近，温度越高；距太阳越远，温度越低。 二、归纳总结 读图指导：阅读该图尤其要注意以下几方面的问题：①按距离太阳由近及远的顺序找出太阳系的八大行星，说出地球的“左邻右舍”，明确地球在太阳系中的位置；②知道小行星带位于火星轨道与木星轨道之间，即类地行星与巨行星轨道之间；③认识八大行星公转运动的同向性、共面性和近圆性特征；④认识哈雷彗星轨道具有扁长形的特点、自东向西的公转运动和彗尾长度与其距离太阳远近的关系。 三、跟踪训练 1．如图为古希腊时期托勒密体系示意图，读图回答1～2题。 1.该体系认为，宇宙的中心是() A．太阳B．地球 C．恒星天D．最高天 2.与现代科学相比，该体系的正确之处是() A．月球与火星和木星等是同一级别的天体 B．太阳与土星和木星等是同一级别的天体 C．火星和木星等天体具有公转的同向性 D．所有恒星与地球之间距离相同 解析：第1题，由图可以看出，地球位于体系的中心位置；第2题，月球属于卫星，而火星与木星属于行星，太阳属于恒星，不是同一级别的天体；火星与木星公转方向相同，都是自西向东。 答案：1.B 2.C 3.读图回答下题。 图中所示信息反映了行星的运动特征是() A．自转方向都一致 B．公转方向都一致 C．公转轨道都为正圆形 D．公转轨道面完全重合 解析：八颗行星的自转方向不完全一致；八颗行星绕日公转的方向相同，都是自西向东；八颗行星公转轨道形状近似圆形；八颗行星的绕日公转轨道面具有共面性，实际上是其他行星与地球公转轨道面的夹角较小，接近0°，但不等于0°，因此不是完全重合。 答案：B 4．阅读材料，回答下列问题。下图为太阳系模式图。 北航星是指为庆祝北航建校60周年，国家天文台经批准，把于1995年10月发现并命名为“北航星”的小行星定为永久编号为09830的小行星。 (1)八颗行星中，离太阳最近的是__A__，表示地球的是__G__。(填字母) (2)在图中适当位置画出“北航星”(小行星)的运动轨道并画出公转方向。 二、定义法求轨迹方程 本内容主要研究定义法求轨迹方程.通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法.运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量． 先看例题： 例：已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.求曲线Γ的方 程. 解：设P (x ,y )为曲线Γ上任意一点，依题意， 点P 到点F (0，1) 的距离与它到直线y =－1的距离相等 , 24=x y 归纳整理： 熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键. 圆：到定点的距离等于定长 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） 抛物线：到定点与定直线距离相等. 再看一个例题，加深印象 例：已知(0,7),(0,7),(12,2),-A B C 以C 为一个焦点，作过A ,B 的椭圆，求椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程. 故由双曲线定义知，F 的轨迹是以A ,B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支， 其方程为2 2 1(1)48x y y -=≤-. 总结： 1.用定义法求轨迹方程.熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，例如圆到定点的距离等于定长，椭圆到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离），双曲线到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离），抛物线到定点与定直线距离相等. 2.求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量． 练习： 1.已知点()1,0F ，点A 是直线1:1l x =-上的动点，过A 作直线2l ，12l l ⊥，线段AF 的垂直平分线与2l 交于点P .求点P 的轨迹C 的方程. 2.已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又 与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线． 3.如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设 轨迹方程的六种求法整理 求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考. 求轨迹方程的一般方法： 1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法 把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。设点。列式。化简。说明等，圆锥曲线标准方程的推导。 1. 已知点(20)(30)A B -，， ，，动点()P x y ，满足2PA PB x = ·，求点P 的轨迹。26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ?=? （1）求点P 的轨迹C 对应的方程； （2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论. （3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点. 解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-?=?化简得得 代入 二、定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 1、 若动圆与圆4)2(2 2 =++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹 方程是 太阳系行星轨道及运行 动画演示 本程序对太阳系行星、卫星运行情况进行动画演示。具有以下功能： 1.可单独（或全部）显示或隐藏某个天体、运行轨道、天体名称。 2.可调节演示速度、画面比列、观察角度（从天球赤道到天球北极观察太阳系）。 3.可将某个天体（例如月亮）设置为屏幕中间静止不动的天体，观察其他天体相对于该天体运行的情况。 本程序改进版见：太阳系行星轨道及运行-3D立体动画演示 通过设置不同的参数，可得到许多美丽而奇妙的图案，如下： '需在窗体放置以下3 个控件，所有控件均采用默认设置： ' Picture1，Command1，Timer1 ' 注意：在属性窗口将Command1 的Index 属性设置为0 '其次，为窗体添加一个名为mFast 的菜单，再为mFast 添加一个名为mmFast 的下级子菜单，并将mmFast 的索引设置为0。 ' 即：mmFast 是以序号0 开头的菜单数组控件的第一个。 '以下是窗体代码，在VB6.0 调试通过： Dim ctD() As tyD, ctDs As Long, ctP As Single, ctCenter As Long Dim ctBi As Single, ctV As Single, ctTrack As Boolean, ctBW As Long Dim ctSeeJ As Long, ctSeeBi As Single, ctSet As MenuSet '定义表示天体的数据类型 Private Type tyD Cap As String '天体名称 r As Long '天体半径（像素，下同） a As Single '轨道：横半径 b As Single '轨道：纵半径 c As Single '轨道：焦点 e As Single '轨道：偏心率 IsHui As Boolean '是否彗星 Father As Long '父天体序号：轨道焦点上的天体Se As Long '颜色 V As Single '运行角速度 Jiao As Single '某时刻的与父天体连线角度 X As Single '天体当前坐标 Y As Single xUp As Single '上一时刻坐标 yUp As Single Visible As Boolean '是否显示：球体 ShowCap As Boolean '是否显示：标题 GuiDao As Boolean '是否显示：轨道 End Type Enum MenuSet '以下为选项菜单标示 ms_All = -2 ms_NoAll = -1 幼师宝典 https://www.wendangku.net/doc/4c17276284.html, 探索星空的奥秘——太阳系?星?? 太阳是银河系较典型的恒星，提及银河系就不得不说?说太阳系了，太阳系以太阳为中?，包括???星，5颗矮?星和数以亿计的太阳系?天体，以往也只能在图?或视频中领略或美丽或神秘的太系?星和?天体，今天?编就通过??把远在天边的星球拉到眼前来，?起来感受下吧！ ?星制作?法 泡沫球?星 选取?种颜料为泡沫球上?。选取相同?调的颜料绘制纹理。最后再?贴画等装饰?下，?个美美的星球就做好了。 彩泥?星 先??个颜?的彩泥包裹泡沫球来打底，然后再参照星球的图??其它颜?的彩泥做出纹理，?个个星球模型就做好了，或者?朋友们可以发挥创造?和想象?来创造出 ?个特别的星球，把它命名成??的名字。 光盘七彩?星 从泡沫球的顶部开始，由上?下?圈?圈给泡沫球涂上不同的颜?，在晾?之前再撒上各?的亮?来装饰，然后，在?分之?处把泡沫球切开，把光盘放在中间，两部分 泡沫球??签连结，这样，?个七彩的?星就诞?了！ 太阳系?? ?果太阳系?? 找?个深蓝?的盘?，把你所能找到的?果或去?或切开后摆在盘?中，地球的?颗颗?星就出来啦：太阳—橘?，?星—红葡萄，?星—芹菜，地球—猕猴桃，?星—草莓，?星—?肠，?星—切达?酪，天王星—奶酪，海王星—?腿，冥王星—??，最后再???的奶酪装点?下盘?，就?功告成了！果盘做成这样，会不会更有?欲？ （注意：冥王星现已不属于太阳系中???星之列，?是?颗矮?星） 或者把酸奶装进袋??，利?袋?的??在盘??画出?星的运?轨道，再把?果做的?星放在相应的轨道上，?个??味俱全的太阳系就完成了！ 求轨迹方程的常用方法 重点:掌握常用求轨迹方法 难点：轨迹的定型及其纯粹性和完备性的讨论 【自主学习】 知识梳理： （一）求轨迹方程的一般方法： 1.待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 2.直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3.参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。 4.代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。 5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 （二）求轨迹方程的注意事项：Matlab动画模拟太阳系行星运动
高中数学常见题型解法归纳 - 轨迹方程的求法
小行星轨道问题
行星地轨道及位置地数学解法.doc
行星地轨道和位置地数学解法
揭开天体行星运动轨道的奥秘
(数学建模)小行星的轨迹问题
2020届高三地理复习讲解：太阳系模式图判读
二、定义法求轨迹方程(高中数学解题妙法)
轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)
太阳系行星轨道及运行
探索星空的奥秘——太阳系行星手工
高中数学人教A版选修2-1求轨迹方程的常用方法