M7U2 grammar(教师版可)
高二年级英语学科第 2单元第 4 课
一、课题：Module 7 Unit2 Grammar
【学习目标】
复习掌握被动语态和学习动词不定式的被动形式，并进行初步的运用。
【学习重点】
a) 被动语态的结构
b)动词不定式的被动形式
【学习难点】
a) 动词不定式的主动形式表被动意义
三、课时安排：1个课时
四、学习内容及程序：
（一）课前自主学习内容与要求
在Page 11-12的课文中找出含有被动语态的句子，思考并归纳被动语态的用法。
1)It was going to be tested out by Larry’s wife, Claire.
2)Larry persuaded her that the robot wouldn’t harm her or allow her to be harmed.
3)Claire thought it was ridiculous to be offered sympathy by a robot.
4)She was amazed by his fingernails and the softness and warmth of his skin.
5)As he was not allowed to accompany her to the shops, he wrote out a list of items for her.
6)How awful to be discovered by her, Claire thought.
7)Tony expected the house to be completely transformed.
8)The women were impressed by Claire, the house and the delicious cuisine.
9)What a sweet victory to be envied by those women!
10)But even though Tony had been so clever, he would have to be rebuilt- you cannot have women
falling in love with machines.
归纳：1）.语态(voice)是个语法范畴，它是一种动词形式，表示动词的主语与该动词所表示的动作之间的主动和被动关系。当主语是动作的执行者时，动词用主动语态；如果主语是动作的承受者，动词便用被动语态。
We cleaned the classroom yesterday. 昨天我们打扫了教室。
The classroom was cleaned by us yesterday. 昨天教室被我们打扫了。
2）.
谓语动词的被动语态由“助动词be+及物动词的过去分词”构成。当主动句变为被动句时，原来的宾语变成了主语，原来的主语变成了介词by 的宾语。主动句与被动句的结构虽然不同，但动作的执行者和承受者的关系并没有改变。
一般现在时：am / is / are done
一般过去时：was / were done
现在进行时：am / is / are being done
过去进行时：was / were being done
现在完成时：have / has been done
过去完成时：had been done
一般将来时：shall / will be done ; be going to be done
当句中含有情态动词时，句子结构为can / must / have to…be done
【注意】：在被动句中有时用by- 词组，有时不用。一般来说，当动作的执行者为谁不甚清楚，不甚重要或难以说出时，通常不用by。但有时为了强调动作执行者或者由于上下和结构上的需要则必须使用by 词组。例如：Hamlet was written by Shakespeare. 《哈姆雷特》是莎士比亚写的。
3) 从上面例句，我们可以归纳出动词不定式的被动结构为to be done, 但这是动词不定式一般式的被动结构，它还有完成式，那动词不定式完成式的被动结构是什么呢？请看下表。
（二）课内学习内容及程序
1. The passive infinitive
(1) Explanation
当不定式动词与其逻辑主语之间是被动关系时,不定式要用被动语态构成形式为to be done/to have been done。例如：
He claimed to be treated badly in the super market when he was doing shopping yesterday.
(2)动词不定式的主动形式表示被动意义
①在there be结构中。
例如：There is a lot of homework to do．
(也可用to be done) There is no time to lose (to be lost).
②在“主语+ be + adj + to do”结构中。常用的形容词有easy，difficult，
hard，impossible，nice，pleasant，light，heavy，interesting，
important，expensive，cheap，dangerous等。
例如：He is hard to convince.（=for us/you to convince)
This question is easy to answer.（不定式隐含在for sb. to do 结构中）
The box is so heavy to carry.
He isn’t easy to get along with.
③在“too…to do; enough…to do…”结构中。如：
The problem is too difficult to work out ．
The house is big enough to live in.
④在“with + n + to do”结构中。
With nothing to do，he lay in bed．
With so many exercises to do，I can’t go to the cinema．
⑤当不定式的逻辑主语在句中出现时。
I have a letter to type today．(I是to type的逻辑主语)
Do you have anything to say? (you是to say的逻辑主语)
⑥一些作表语用的不定式的主动形式表示被动含义。
常见的这类动词有let(出租)，rent，hire，blame等。
The house is to let．
I felt I was to blame.
2.特别注意:
(1)在口语和非正式场合下为了强调动作，常用“get+过去分词”结构。有时带有不愉快，不顺利的含义。其否定和疑问句要借助动词do来构成。有时也会出现“become+过去分词”的结构。例如：
Did you get scolded yesterday？
(2)短语动词和含有情态动词的被动语态形式
短语动词的被动结构中,构成短语动词的介词或副词不能省略。情态动词的被动语态形式是：情态动词+be+过去分词。例如：
The doctor has been sent for.
(主动)Grandma will take care of my sister. 奶奶会照顾好妹妹。
（被动）My sister will be taken care of by Grandma.
【注意】：短语动词是一个整体，不可丢掉后面的介词或副词。
(3) 主动形式被动意义
a)、表示“开始”；“结束”类的动词。常见的这类动词有begin, start, open, close, end, finish,
stop等。例如：
School begins in September.
The stores in this area open later at weekends than at weekdays.
b)主语是物，谓语是表示主语特征或属性的动词。常见的这类动词有write, read, wear,
wash, clean, sell, run, lock等。这些动词常与副词或否定词连用。例如：
The machine runs well.
This pen writes quite smoothly.
The books sells well. These cups clean easily. 这些杯子很容易洗。
c)表示主语状态特征的连系动词：look, feel, smell, taste, sound, prove, appear等。例如：Your idea sounds reasonable.
What he said proved to be correct. The fish smells good.鱼闻起来香。
d) want, require, need，worth 后面的动名词用主动形式表示被动意义，如：
These flowers want/ require /need watering.
这些花需要浇水。
These books are worth reading.
这些书值得读。（被读）
e) 下面的词汇用主动语态：
come out, come into being, go off, run out, give out, give in.，happen, take place, break out
The accident happened yesterday evening.
The fire went out gradually.
(2) Practice
①The food________.
A. taste well
B. has been tasted well
C. is tasted well
D. tastes good
②Our school____in 1994.
A .was set up B. has been set up C. has set up D. had been set up
③Radio is____in everyday life.
A .use B. using C. uses D. useful
④According to the conditions of my scholarship, after finishing my degree._____.
A. my education will be employed by the university
B. employment will be given to me by the university
C. the university will employ me
D. I will be employed by the university
⑤The little girl_____well.
A. is taking care of
B. takes care of
C. is taken care
D. is being taken care of
⑥When we returned from the ball, we found that our home____ and many things____ .
A. has broken into, has been stolen
B. had broken into, had been stolen
C. had been broken into, stolen
D. had been broken, stolen
⑦Your books_____ away six days ago.
A. had been taken
B. were taken
C. have been taken
D. took
⑧_____ our chairman.
A. Her position was made
B. Her position is
C. She made
D. She was made
⑨The poor boy ____ a cruel family to be a servant.
A. sold
B. was sold to
C. was sold
D. had been sold to
⑩He was observed _____ the girl yesterday so he was put into prison.
A. to steal
B. stealing
C. stolen
D. steal
11. I _____ two plans to decide where our family will spend our holiday.
A. gave
B. was given
C. was giving
D. had given
12 A scientist, together with some assistants, ____ to help in the work.
A. send
B. sends
C. was sent
D. were sent
13. The medicine _____ before dinner.
A. should have took
B. should be took
C. should have been took
D. should have been taken
14.The clothes _____ again.
A. had better not wash
B. had better not be washed
C. had not better be washed
D. had better not washing
15.I _____ in the football match yesterday.
A. hurt
B. is hurt
C. got hurt
D. turns hurt
16.He _____ the heavy rain when he was on the way to the railway station.
A. had caught in
B. was catching
C. caught by
D. was caught in
A. locks
B. locked
C. has been licked
D. lock
18.______ that Taiwan is one part of China.
A. People are known
B. It is well known
C. People are wdll knowing
D. People are know
19.The meeting will ____ three days.
A.be lasted
B. lasted
C. be last
D. last
20.To fetch water before breakfast seemed to me a rule ____ .
A.to never break
B. never to be broken
C. never to have broken
D. never to be breaking Suggested Answers:
①～⑤DACDD ⑥～⑩CBDBA 11～15 BCDBC 16～20 DCBDB
(2) Practice
①We were all _________at the _________news. ( surprise )
②He had never spent a more __________day. He really didn’t know how to deal with the situation.(worry)
③There was a _________ expression on his face. (bore)
The speech was so _________ that I fell asleep while listening.(bore)
He was getting ______of doing the _______thing again and again.(bore)
④The _______look on his face suggested that he was much ________at the _________news.(excite)
It’s nothing to get ___________about.(excite)
⑤Mr Smith, _____(tire) of the _______(bore) speech, started to read a novel.
⑥It is believed that if a book is _______ it will surely _______the reader.(interest)
⑦We watched the NBA game, _______ at the basketball players’ perfect performance. (amaze)
⑧I found him very _________ not to find her at home.(disappoint)
⑨With a _________ glance at him, she asked “what?” ( puzzle)
His face wore a _________ expression.
I found this affair very _________.
⑩That must have been a ____________experience for you. ( terrify)
The _________child ran home.
11. The climb made us all ___________.(tire)
He arrived at Shelley Hot Springs, ________and thirsty on Sunday night.
He found riding as __________ as walking.
It’s rather _________working late like this .
The long lecture ___________ the audience.
12.You look __________at the news. (astonish)
He gave her an __________ look.
Alice ,_________, urged her to explain.
It is ________ to me that he should be absent.
13.We remembered the _________talks he gave us last time. ( inspire)
I was ________ to work harder.
14.Telephone him and he will make a _________reply. ( satisfy)
He nodded with a _________ smile on his face.
The policeman put down the phone ,_________ with a smile on his face.
Suggested Answers:
①surprised; surprising ②worrying
③bored; boring; bored; boring ④excited; excited; exciting ; excited
⑤tired; boring ⑥interesting; interest
⑦amazed; ⑧disappointed
⑨puzzled; puzzled; puzzling ⑩terrifying; terrified
11. tired; tired; tiring; tiring; tired
12.astonished; astonished; astonished; astonishing
13. inspiring; inspired 14. satisfying; satisfied; satisfied
Step 5. Homework
1. Ask Ss to finish all the exercises of Learning about Language.
2. Ask Ss to review all the language points learned in these periods.
（三）课后巩固练习
完成P56
等腰三角形数学同步精练本+双测AB卷(解析版)
等腰三角形 知识梳理： 1、等腰三角形 1、定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 性质 ①、两腰相等 ②、两底角相等（简称等边对等角） 推论一：等腰三角形的顶角等于180度减两倍的底角 推论二：等腰三角形的底角等于180减顶角的差的一半。 ③、等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④、等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。（3）证明“三线合一” ①已知高线 ∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线 ∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线 ∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 3、判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 一、等边三角形 （1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3）判定： ①三条边都相等的三角形是做等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 一、选择题 1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（） A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20° 【答案】：B 【解析】： 解答：当80°的角是底角时，等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和定理得到顶角为20°；另一种情况是80°是顶角. 分析：等腰三角形等边对等角，结合三角形内角和为180°，从而得出两种结果. 2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（） A．8 B．9 C．10或12 D．11或13 【答案】：D 【解析】： 解答：当3是腰时，两腰和为6加上底边5，周长为11；当5是腰时，两腰和为10加上底边3，周长为13. 分析：等腰三角形两腰相等，结合三角形中两小边和大于第三边. 3．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（） A．7 B．11 C．7或11 D．7或10 【答案】：C
排列组合问题教师版
二十种排列组合问题的解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理． 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理． 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题．提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =???种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事． 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或 是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类． 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 排法； 然后排首位，从２，４和剩余的两个奇数中任选一个共有1 4C 种排法； 最后排中间三个数，从剩余四个数中任选３个的排列数共有34A 种排法； ∴由分步计数原理得113 4 34288C C A = 443
排列组合问题之 插板法应用小结!
数算]排列组合问题之插板法应用小结！ 插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。 应用插板法必须满足三个条件： （1）这n个元素必须互不相异 （2）所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异 分享一点个人的经验给大家，我的笔试成绩一直都是非常好的，不管是行测还是申论，每次都是岗位第一。其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。公务员考试这种选人的方式第一就是考解决问题的能力，第二就是考思维，第三考决策力（包括轻重缓急的决策）。非常多的人输就输在时间上，我是特别注重效率的。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出20几分钟，这在考试中是非常不得了的。QZZN有个帖子专门介绍速读的，叫做“得速读者得行测”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了笔试的好成绩。其实，不只是行测，速读对申论的帮助更大，特别是那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。有条件的朋友可以到这里用这个软件训练速读，大概30个小时就能练出比较厉害的快速阅读的能力，这是给我帮助非常大的一个网站，极力的推荐给大家（给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl键，然后鼠标左键点击本行文字）。大家好好学习吧！最后，祝大家早日上岸。此段是纯粹个人经验分享，可能在多个地方看见，大家读过的就不用再读了，只是希望能和更多的童鞋分享。 =================================================== 举个很普通的例子来说明 把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？ 问题的题干满足条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用 a 凑元素插板法（有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法） 例1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？ 3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入 1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？ 显然就是c12 2=66 ------------------------------------------------- 例2：把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
家家学网络名师小班辅导教案-初中数学-等腰三角形教师版
第十四讲 等腰三角形中考要求 知识点睛 等腰三角形 1．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． 2．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形． 3．等腰三角形的性质： (1)两腰相等． (2)两底角相等． (3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． (4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． 线段的垂直平分线：
性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等 判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合． 4．等腰三角形的判定： (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形． (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形． 5．等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60． 6．等边三角形的判定： (1)三条边都相等的三角形是等边三角形． (2)三个角都相等的三角形是等边三角形． (3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形． 7．等腰直角三角形的性质：顶角等于90，底角等于45，两直角边相等．等腰直角三角形的判定： (1)顶角为90?的等腰三角形． (2)底角为45?的等腰三角形． 重、难点 重点：探索等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质，这两个性质对于平面几何中的计算，以及以后的证明都有很大的帮助 难点：等腰三角形关于底和腰，底角和顶角的计算问题，由于等腰三角形底和腰， 例题精讲
板块一、等腰三角形的认识 【例 1】下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60，那么这个等腰三角形一定是等边三角形．则以下结论正确的是( ) A．只有命题①正确B．只有命题②正确 C．命题①、②都正确D．命题①、②都不正确 【解析】C． 【例 2】如图，在ABC ?是等腰三角形．你 ⊥于D．请你再添加一个条件，就可以确定ABC ?中，AD BC 添加的条件是． A C B 【解析】BD DC ∠=∠． =或AD平分BAC ∠或B C 【例3】(2006年扬州中考)如图，在ABC △中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①EBO DOC =．(1)上述四 =；④OB OC ∠=∠；②BEO CDO ∠=∠；③BE CD 个条件中，哪两个条件可判定ABC △是等腰三角形(用序号写出所有情况)；(2)选择第⑴小题中的一种情形，证明ABC △是等腰三角形． A E D O B C 【解析】(1)①③，①④，②③，②④四种情况可判定ABC △是等腰三角形． (2)下面以①③两个条件证明ABC △是等腰三角形． ∵EBO DOC ∠=∠， ∠=∠，BE CD =，BEO CDO ∴EOB DOC ∠=∠， ∴OB OC =， ∴OBC OCB ∠=∠． ∴EBC DCB ∠=∠， ∴ABC △是等腰三角形．
抛物线与等腰三角形(教师用)
抛物线与等腰三角形(教师用)
抛物线与等腰三角形 (简单)1、（2011?东营）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B． （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP 仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°， ∴∠BCD=∠CAO， 又∵∠BDC=∠COA=9°，CB=AC， ∴△BDC≌△CAO， ∴BD=OC=1，CD=OA=2， ∴点B的坐标为（3，1）； （2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3，1）， ∴1=9a﹣3a﹣2， 解得：a=， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；
（3）假设存在点P，使得△ACP是直角三角形， ①若以AC为直角边，点C为直角顶点， 则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1）， ∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC， ∴CM=CD=2，P1M=BD=1， ∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上； ②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC， 得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2）， 同理可证△AP2N≌△CAO，
高中数学排列组合难题十一种方法教师版
高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有 m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花 盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素， 再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法
排列组合--插板法、插空法、捆绑法32415
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻） 插板法（m为空的数量） 【基本题型】 有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？ ”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的， 【总结】 需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。 注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。 插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件： （1）这n个元素必须互不相异 （2）所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异 举个很普通的例子来说明 把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况? 问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用 e 二次插板法 例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况? -o - o - o - o - o - o - 三个节目abc 可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位 所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种 【基本解题思路】 将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
双等腰三角形教师版
B C B B C B 双等腰三角形 等腰三角形是几何题目中常见的基本图形，两个等腰三角形为背景的题目也屡见不鲜，多数为两 个等腰三角形共点旋转，或两个等腰三角形的底在同一直线上，或两个等腰三角形的腰在同一直线上，那么有着特殊位置的两个等腰三角形会有什么结论那？ 共腰双等腰 首先我们就一起研究一下两个共腰的等腰三角形有什么特性及其应用。 共腰双等腰是指两个等腰三角形各有一条腰在同一直线上，而剩余的腰和底不在同一直线上，那么两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角为两个等腰三角形剩余底与底夹角的2倍。 模型一、如图，AB=AC，AD=AE，求证：∠BAD=2∠EDC。 ∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α， ∵AD=AE，∴设∠ADE=∠AED=β， 其中两个等腰三角形的一条腰AE与AC共线， 那么剩余的底DE与剩余的底BC的夹角∠EDC=β-α， 那么剩余的腰AB与剩余的腰AD的夹角∠BAD=∠ADC-∠ABC=2β-2α， ∴∠BAD=2∠EDC。 模型一变式、①如图，AB=AC，∠BAD=2∠EDC，求证：AD=AE。 ②如图，AD=AE，∠BAD=2∠EDC，求证：AB=AC。 模型二、如图，AB=AC=AD，求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC。 ∵AB=AD，∴设∠ABD=∠ADB=α， ∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=β， 其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线， 那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角∠DBC=β-α， 那么剩余的腰AC与剩余的腰AD的夹角∠CAD=∠BAD-∠BAC=2β-2α， ∴∠CAD=2∠CBD。 同理可证，∠BAC=2∠BDC。 模型二变式、①如图，AB=AC，∠CAD=2∠CBD，求证：AB=AD。 ②如图，AB=AC，∠BAC=2∠BDC，求证：AB=AC。 模型二思考、等腰△ABC与等腰△ACD也可以看成是两个共腰的等腰三角形，那么图中谁是剩余腰与腰的夹角，谁是剩余底与底的夹角，它们之间还是否满足2倍的关系？ 模型三、如图，AB=AC=AD，求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC；（3）∠BAD=2∠BCD。 ∵AB=AD，∴设∠ABD=∠ADB=α， ∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=β，
等腰三角形课程故事
《等腰三角形》课程故事 初二时我在学校上了一节公开课，授课内容是人教版八年级上12.3.1《等腰三角形》第二课时，数学组的全体教师参加了这次教研活动。 《数学课程标准》中明确指出“学生的学习内容应当是现实的有意义的，富有挑战性的”，强调从学生已有的生活经验出发，让学生已有的生活经验与数学模型结合，经历将实际问题抽象成数学模型并解释应用的过程。为此，我在本节课中为了更好的激发学生的学习兴趣，创设了如下情境：课前我先制作一个三角形纸板，然后将三角形纸板的三个角撕下来并在课堂展示，说“老师这里有从三角形纸板上撕下来的三个角，谁能拼接一下并说出它是怎样的三角形？”。对于初中生来说本来就活泼好动，再加上平时喜爱动手实践，听完后大家都积极踊跃，这时我找了一名女生（中等生），她一到讲台上就拼了起来，结果由于缺了中间一大部分，就怎么也看不出来它是怎样的三角形，然后摇了摇头疑惑地回去了。接着我顺势就说“那么，到底能不能利用三角形的角来判断三角形的形状呢？下面我们就一起来探究这个问题。”，就这样从学生动手入手，接着提出了富有挑战性的问题，进而导入新课，顺畅自然，同时又激发了学生的求知欲。 经过学生大胆猜想、分组讨论，合作探究，加之我的适当引导，在添加了辅助线后学生论证了自己的猜想。在尝试练习，运用提高后进入小结部分。 在课堂小结部分，我没有直接让学生谈本节课的体会，而是又找了上课开始时的那名女生，“在上课开始时你没有判断出三角形的形状，现在你能了吗？”，有了前面的探究、练习这名同学信心十足地走上了讲台。我设置这个环节的意图是通过她既解决了开始部分的设疑，又突出了本节的重点，作简单的小结，同时又起到首尾呼应，使整节课浑然一体的效果。 我自认为设想的很好，结果却出现了意外的情况。（课前准备的三个角是两个相等的角稍大一点儿，另一个稍小）这个同学上来后从中拿了两个角叠合在一起进行比较（一大一小），然后她果断而且自信地说“这不是一个等腰三角形。”当时我一愣，怎么会弄成这样？这本来就是一个等腰三角形吗。此时的我心里就有些着急了，我说：“那好，你先回去，哪一位同学再来试一下？”接下来另一名
高考数学专题七：排列组合二项式定理教师版教师原创 全国通用
高考数学专题七：排列、组合、二项式定理 一、高考考试说明 计数原理 （１）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题． （２）理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题. （３）理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题. （４）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 二、核心知识点归纳： 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 １．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第１类方案中有m种不同的方法，在第２类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同方法． ２．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第１步有m种不同的方法，做第２步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 注意： １．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． ２．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的． 二、排列与组合 １．排列与排列数 （１）排列： 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个排列． （２）排列数： 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作A错误!. ２．组合与组合数 （１）组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合． （２）组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C错误!. ３．排列数、组合数的公式及性质 注意： １．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关． ２．计算A错误!时易错算为n（n—１）（n—２）…（n—m）． ３．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数． ４．排列问题与组合问题的识别方法：
插板法插空法解排列组合问题
插板法、插空法解排列组合问题 华图教育 邹维丽 排列组合问题是行测数学运算中的经常碰到的一类问题，试题具有一定的灵活性、机敏性和综合性，也是考生比较头疼的问题。掌握排列组合问题的关键是明确基本概念，熟练基本题型。解决排列组合问题的方法很多，有插板法，捆绑法，优先法等等，本文主要介绍插板法、插空法在行测数学运算中的应用，以供大家参考。 所谓插板法，就是在n 个元素间的n-1个空中插入若干个（b ）个板，可以把n 个元素分成b+1组的方法，共有b n C 1-种方法。 应用插板法必须满足三个条件： (1) 这n 个元素必须互不相异； (2) 所分成的每一组至少分得一个元素； (3) 分成的组别彼此相异 举个普通的例子来说明。 把8个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题 干满足条件（1），（2），（3），所以适用插板法。在8个小球间的7个空插入3个板，共有3537=C 种情况。 上面介绍的插板法主要是用解决相同元素的名额分配问题，而对于排列组合中常出现的几个元素的不相邻问题，我们可以用插空法来解决，对这种问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。 下面我们通过几道题来熟悉这两种方法的应用。 例1 某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（ ）（国2010 -46） A.7 B.9 C.10 D.12 【解析】C 。本题乍一看不满足应用插板法的条件，插板法的条件（2）要求所分成的每一组至少分得一个元素，可本题要求每个部门至少发放9份材料。事实上，我们可以分两步来解这道题： 1. 先给每个部门发放8份材料，则还剩下30-8*3=6份材料。 2. 本题即可转化为：将6份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放1份材料。 问一共有多少种不同的发放方法？应用插板法可得共有1035=C
13.3等腰三角形讲义 教师版
13.3 等腰三角形 学习目标： 1.了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形 2.正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用其解决相关问题。 3.借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是30?的直角三角形的性质 学习重难点： 1. 理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法 2. 能够用等腰三角形的知识点解决相应的数学问题。 3. 等腰三角形性质和判定的探索与应用。 知识点一：等腰三角形的概念 有两条边氙灯的三角形叫做等腰三角形。其中相等的两条边叫做腰，另一条 叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底脚。如图，在ABC ?中,AC AB =，则ABC ?为等腰三角形，其中AB ，AC 为腰，BC 为底边，A ∠为顶角，B ∠、C ∠为底角. 【例题1】1．已知等腰三角形的两条边长分别为2和3，则它的周长为（ ） A ．7 B ．8 C ．5 D ．7或8 【分析】因为腰长没有明确，所以分①2是腰长，②3是腰长两种情况求解． 【解答】解：①2是腰长时，能组成三角形，周长=2+2+3=7， ②3是腰长时，能组成三角形，周长=3+3+2=8， 所以，它的周长是7或8． 故选：D ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，易错点为要分情况讨论求解．
【例题2】已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（） A．40° B．70° C．100°D．140° 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和定理进行解答即可． 【解答】解：∵等腰三角形的顶角为50°， ∴这个等腰三角形的底角为：（180°﹣40°）÷2=70°， 故选：B． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．【变式1】若一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长是为（） A．8 B．10 C．8或10 D．6或12 【分析】因为等腰三角形的两边分别为2和4，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：当2为底时，其它两边都为4，2、4、4可以构成三角形，周长为10； 当2为腰时，其它两边为2和4，因为2+2=4，所以不能构成三角形，故舍去． ∴答案只有10． 故选：B． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 【变式2】若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（） A．20° B．50° C．80° D．100° 【分析】由已知顶角为80°，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个底角的值． 【解答】解：∵等腰三角形的顶角为80°，
人教版的高中的数学《排列组合的》教案设计
排列与组合 一、教学目标 1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论． 2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同． 三、活动设计 1.活动：思考，讨论，对比，练习． 2.教具：多媒体课件． 四、教学过程正 1．新课导入 随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．
2．新课 我们先看下面两个问题． (l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 板书：图 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．一般地，有如下原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十m n种不同的方法． (2) 我们再看下面的问题： 由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A 村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 板书：图 这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一
双等腰三角形教师版
双等腰三角形教师版 https://www.wendangku.net/doc/4414615808.html,work Information Technology Company.2020YEAR
B C B B C B 双等腰三角形 等腰三角形是几何题目中常见的基本图形，两个等腰三角形为背景的题目也屡见不 鲜，多数为两个等腰三角形共点旋转，或两个等腰三角形的底在同一直线上，或两个等腰三角形的腰在同一直线上，那么有着特殊位置的两个等腰三角形会有什么结论那？ 共腰双等腰 首先我们就一起研究一下两个共腰的等腰三角形有什么特性及其应用。 共腰双等腰是指两个等腰三角形各有一条腰在同一直线上，而剩余的腰和底不在同一直线上，那么两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角为两个等腰三角形剩余底与底夹角的2倍。 模型一、如图，AB=AC，AD=AE，求证：∠BAD=2∠EDC。 ∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α， ∵AD=AE，∴设∠ADE=∠AED=β， 其中两个等腰三角形的一条腰AE与AC共线， 那么剩余的底DE与剩余的底BC的夹角∠EDC=β- α， 那么剩余的腰AB与剩余的腰AD的夹角∠BAD=∠ADC-∠ABC=2β-2α， ∴∠BAD=2∠EDC。 模型一变式、①如图，AB=AC，∠BAD=2∠EDC，求证：AD=AE。 ②如图，AD=AE，∠BAD=2∠EDC，求证：AB=AC。 模型二、如图，AB=AC=AD，求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC。∵AB=AD，∴设∠ABD=∠ADB=α， ∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=β， 其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线， 2
3 B 那么剩余的底BD 与剩余的底BC 的夹角∠DBC=β-α， 那么剩余的腰AC 与剩余的腰AD 的夹角∠CAD=∠BAD-∠BAC=2β-2α， ∴∠CAD=2∠CBD 。 同理可证，∠BAC=2∠BDC 。 模型二变式、①如图，AB=AC ，∠CAD=2∠CBD ，求证：AB=AD 。 ②如图，AB=AC ，∠BAC=2∠BDC ，求证：AB=AC 。 模型二思考、等腰△ABC 与等腰△ACD 也可以看成是两个共腰的等腰三角形，那么图 中谁是剩余腰与腰的夹角，谁是剩余底与底的夹角，它们之间还是否满足2倍的关系？ 模型三、如图，AB=AC=AD ，求证：（1）∠CAD=2∠CBD ；（2）∠BAC=2∠BDC ；（3）∠BAD=2∠BCD 。 ∵AB=AD ，∴设∠ABD=∠ADB=α， ∵AB=AC ，∴设∠ABC=∠ACB=β， 其中两个等腰三角形的一条腰AB 与AB 共线， 那么剩余的底BD 与剩余的底BC 的夹角∠DBC=β+α， 那么剩余的腰AC 与剩余的腰AD 的夹角∠CAD=2β+2α， ∴∠CAD=2∠CBD 。 同理可证∠BAC=2∠BDC ；∠BAD=2∠BCD 。 模型二与模型三都可以看成点A 为△BCD 的外心。
初中数学《等腰三角形》试讲稿(最新)
各位评委老师： 大家好，我是初中数学组的01号考生，今天我试讲的题目是人教版八年级上册《等腰三角形》，下面开始我的试讲。 一、问题导入 师：请同学们拿出一张长方形的纸片，并将纸片对折，然后剪去(或用刀子裁)一个角，再把它展开，大家观察一下，看得到的是一个什么样的三角形呢? 师：对，剪出来的图形是等腰三角形，今天我们一起学习等腰三角形的性质。 二、新课讲授 师：现在大家分组讨论一下，看看什么样的三角形称作等腰三角形呢? 师：生1说有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 师：回答得非常正确。相等的两条边就叫做三角形的腰，另一边叫叫做三角形的底，两腰所夹的角叫做顶角。 师：那等腰三角形是轴对称图形吗? 师：请最后一排靠窗的男生回答一下。 师：这位同学说是，大家觉得呢?如果是，大家能找到对称轴吗? 师：等腰三角形是轴对称图形，但是它的对称轴不是其中线，因为中线是线段，而对称轴是直线，所以等腰三角形的对称轴是中线所在的直线。 师：下面我们再来看看等腰三角形的性质。先观察一下刚才折的图形。 师：△ADB与△ADC有什么关系?图中哪些线段或角相等?AD与BC垂直吗? 师：大家观察得很仔细。△ADB≌△ADC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠CDA，BD=CD，这些结论都很正确。我们可以将这些结论转化为等腰三角形的性质。 师：性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称：等边对等角。大家能不能将这个性质转化为数学语言呢? 师：生2的回答是：“已知在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C”。
师：现在条件写出来了，大家试着证明一下。 师：同学们思路很清晰，先作△ABC的中线AD，则BD=CD。 师：大家课后可以思考一下，如果作底边的高或作顶角的角平分线能不能证明出来呢? 师：等腰三角形还有一个性质2：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高三线重合。简称：三线合一。 师：下面大家试着证明一下，先写出已知和求证来。 师：大家写得都不错。 三、巩固练习 师：大家一起来看一道例题：如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D，E是底边的两点，且BD=AD，CE=AE，求∠DAE的度数。 师：自己动手算一算，等下请一位同学说下他的答案。 师：生3说得完全正确，就是60°。运用的是等腰三角形的性质1，等边对等角。看来，大家掌握了等腰三角形的性质。 四、课堂小结 师：同学们，这节课你们有什么收获呢?大家发表一下自己的看法。 五、作业布置 师：大家完成课后第1题，总结等腰三角形的性质并证明一下。 六、板书设计 略 我的试讲到此结束，谢谢各位评委老师的聆听。
人教版高中数学排列组合教案设计
实用文档 排列与组合 一、教学目标 1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论． 2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同． 三、活动设计 1.活动：思考，讨论，对比，练习． 2.教具：多媒体课件． 四、教学过程正 1．新课导入 随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．
实用文档 2．新课 我们先看下面两个问题． (l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 板书：图 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法． 一般地，有如下原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m种不同的方法，在第二类办法中有m种不同的方法，……，21在第n 类办法中有m种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m十m2n1十…十m种不同的方法．n(2) 我们再看下面的问题： 由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 板书：图
(推荐)排列组合问题之插板法
排列组合问题之插板法： 插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求每组至少一个元素；若对于“可空”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解题呢？ 例1．现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法? 【解析】：题目中球的分法共三类： 第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。其分法种数为C37=35。 第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。其分法种数2*C27=42。第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。其分法种数C17=7。 所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为84：。 由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算，比较繁锁，若是上题中球的数目较多处理起来将更加困难，因此我们需要寻求一种新的模式解决问题，我们创设这样一种虚拟的情境——插板。 将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法。 由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在9个空档之中插入6个“档板”（6个档板可把球分为7组），其方法种数为C39=84。 由上述问题的分析解决看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以 下3个条件： ①所要分的元素必须完全相同； ②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余； ③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。 下面再给各位看一道例题： 例2．有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法. A．35 B．28 C．21 D．45 【解析】：这道题很多同学错选C，错误的原因是直接套用上面所讲的“插板法”，而忽略了“插板法”的适用条件。例2和例1的最大区别是：例1的每组元素都要求“非空”，而例2则无此要求，即可以出现空盒子。
双等腰三角形教师新版
B C B B 双等腰三角形 等腰三角形是几何题目中常见的基本图形，两个等腰三角形为背景的题目也屡见不鲜，多数为两 个等腰三角形共点旋转，或两个等腰三角形的底在同一直线上，或两个等腰三角形的腰在同一直线上，那么有着特殊位置的两个等腰三角形会有什么结论那？ 共腰双等腰 首先我们就一起研究一下两个共腰的等腰三角形有什么特性及其应用。 共腰双等腰是指两个等腰三角形各有一条腰在同一直线上，而剩余的腰和底不在同一直线上，那么两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角为两个等腰三角形剩余底与底夹角的2倍。 模型一、如图，AB=AC，AD=AE，求证：∠BAD=2∠EDC。 ∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α， ∵AD=AE，∴设∠ADE=∠AED=β， 其中两个等腰三角形的一条腰AE与AC共线， 那么剩余的底DE与剩余的底BC的夹角∠EDC=β-α， 那么剩余的腰AB与剩余的腰AD的夹角∠BAD=∠ADC-∠ABC=2β-2α， ∴∠BAD=2∠EDC。 模型一变式、①如图，AB=AC，∠BAD=2∠EDC，求证：AD=AE。 ②如图，AD=AE，∠BAD=2∠EDC，求证：AB=AC。 求证：（1）∠CAD=2 ∵ABD=∠ADB=α ∵，∴设∠ABC= 其中两个等三角形的一条腰AB与AB共线， 那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角∠DBC=β-α 那么剩余的腰AC与剩余的腰AD的夹角∠CAD=∠BAD- ∴∠CAD=2∠CBD。 同理可证，∠BAC=2∠BDC。 模型二变式、①如图，AB=AC，∠CAD=2∠CBD，求证：AB=AD。 ②如图，AB=AC，∠BAC=2∠BDC，求证：AB=AC。 模型二思考、等腰△ABC与等腰△ACD也可以看成是两个共腰的等腰三角形，那么图中谁是剩余腰与腰的夹角，谁是剩余底与底的夹角，它们之间还是否满足2倍的关系？ 模型三、如图，AB=AC=AD，求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC；（3）∠BAD=2∠BCD。 ∵AB=AD，∴设∠ABD=∠ADB=α， ∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=β， 其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线， 那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角∠DBC=β+α， 那么剩余的腰AC与剩余的腰AD的夹角∠CAD=2β+2α，
六年级奥数试题-排列组合(教师版)
第十九讲排列组合 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 一般地，从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 排列的基本问题是计算排列的总个数． 从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素 P． 的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做m n 根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成： 步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法； 步骤2：从剩下的(1 n-)种方法； n-)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1
…… 步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有 11n m n m --=-+（）(种)方法； 由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是 121n n n n m ?-?-??-+L （）（）（） ，即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘． 二、排列数 一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =?-?-????L （ ）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =?-?-????L L （）（） ． 在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算． 三、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取 出m 个不同元素的组合数．记作m n C ． 一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法； 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法． 根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =?．