二次函数知识点总结及相关典型题目
二次函数知识点总结及相关典型题目
第一部分 基础知识
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2
ax y =的性质
（1）抛物线2
ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2
ax y =的图像与a 的符号关系.
①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；
②当0 （3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2 ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2 ； ③()2 h x a y -=；④()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2 . 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0 a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ? +=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2- =. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶 点为(h ,k )，对称轴是直线h x =. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线 的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0 （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2 与y 轴交点的位置. 当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2 与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0 半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0 b . 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点 （1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2 得交点为(0, c ). （2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2 有且只有一个交点 (h ,c bh ah ++2 ). （3）抛物线与x 轴的交点 二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元 二次方程02 =++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交； ②有一个交点（顶点在x 轴上）?0=??抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐 标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2 的两个实数根. （5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的 交点，由方程组 c bx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 ?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点. （6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 a c x x a b x x = ?-=+2121, () () a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?= -=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121 第二部分 典型习题 １.抛物线y ＝x 2 ＋2x －2的顶点坐标是 （ D ） A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ） Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0 C A E F B D 第２,３题图 第4题图 ３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 ４.如图，已知?ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则?DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ Ｄ ） D O 4 24O 42 4 O 4 24 O 4 24 y x C 2482,484 EF x EF x y x x -=?=-∴=-+ ５.抛物线322 --=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ． 6.已知二次函数11)(2k 2 －－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22 ＝－ ＋-x k kx 有 两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤21x x －，其中所有正 确的结论是 ①③④ （只需填写序号）． 7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为 ()c x b x y ++-=102. （1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式； （2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线 b x y +-=2的解析式. 解：（1）102 -=x y 或642 --=x x y 将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100 (,)24 b b b +++-，由题意得21016100 224 b b b b +++-?+=-，解得1210,6b b =-=-. （2）22--=x y 8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为 2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-． （1）求此二次函数的解析式； （2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2, 则??? ????-=++-=+?+?=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即?????-=+=--=1423b a b a c ,解得??? ??-=-==3 21 c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示. 由图象可得，当输出值y 为正数时， 输入值x 的取值范围是1- 第9题 9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答： ⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要多少时间 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少 ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式． 解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的 体温是上升的 它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃ ⑶()221024216 12 ≤≤++- =x x x y 10.已知抛物线4)33 4(2 +++=x a ax y 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点 C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由． 解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）． 设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0）， 由04)334(2 =+++x a ax ，解得 31-=x ，a x 342- =． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a 34 -，0）． ∴ |334 |+- =a AB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 22 4|34|+- a ． ∴ 98 91693432916|334|2222 +-=+??-=+- =a a a a a AB ， 252=AC ，169162 2 +=a BC ． 〈ⅰ〉当2 22BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由2 2 2 BC AC AB +=， 得 )16916 (259891622++=+-a a a ． 解得 41 -=a ． ∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，9 4002 =BC ． 于是2 2 2 BC AC AB +=． ∴ 当4 1 - =a 时，△ABC 为直角三角形． 〈ⅱ〉当2 2 2BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°． 由2 2 2 BC AB AC +=，得)16916 ()98916(2522+++-=a a a ． 解得 94 = a ． 当94=a 时，39 4 34 34-=?=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意． 〈ⅲ〉当2 2 2 AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°． 由2 2 2 AB AC BC +=，得)98 916(251691622+-+=+a a a ． 解得 9 4 = a ．不合题意． 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当4 1 - =a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2 ＋mx －m ＋2. （1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB m 的值； （2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值. 解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2 －mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ; 又AB ＝∣x 1 — x 2 = ∴m 2 －4m ＋3=0 . 解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点, ∴2 22,2.a ma m b a ma m b ?-+-+=??---+=-??L L ①② ①＋②得：－2a 2 －2m ＋4＝0 . ∴a 2 ＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N. ∴2a m =- . 这时M 、N 到y 2m - 又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2× 1 2 ×（2－m 2m - ∴解得m=－7 . 12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42 与x 轴的一个交点为A （－1，0）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； （2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式； （3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果 点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一： （1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0）， ∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）． （2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42 与x 轴的一个交点为A （－1， 0）， ∴ 0)1(4)1(2＝＋－ ＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342 ＋＋＝． N M C x y O ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342 ＋＋＝ 上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(2 1＝OD CD AB ?+．∴ 93)42(21 ＝＋a ． ∴ a ±1． ∴ 所求抛物线的解析式为342 ＋＋＝x x y 或342 ---ax x y ＝． （3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ， 且 2 5 00 ＝x y ．∴ 0025x y ＝－． ①设点E 在抛物线342 ＋＋＝x x y 上， ∴3402 00＋＋＝x x y ． 解方程组?????34,2502000 0＋＋＝＝－x x y x y 得???-；＝，＝15600y x ??? ??? ?'-'．＝，＝45210 0y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21- ，4 5 ）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝， ∴ ?????-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得??? ??? ? .23,2 1＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得2 1＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2， 2 1）． ②设点E 在抛物线342 ---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝． 解方程组????? ---. 34,2 50200 00x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 02 0＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根． 综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，2 1 ），使△APE 的周长最小． 解法二： （1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42 与x 轴的一个交点为A （－1，0）， ∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342 ＋＋＝． 令 y ＝0，即0342 ＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）． （2）由a ax ax y 342 ＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线 a ax ax y 342＋＋＝上， ∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(2 1 ＝＋OD CD AB ?．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1． ∴ 所求抛物线的解析式为342 ＋＋＝x x y 或342 －－＝－x x y ． （3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． ∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ． 由PF ∥EQ ，可得EQ PF BQ BF ＝．∴ 4 5251PF ＝．∴ 21＝PF ． ∴ 点P 坐标为（－2，2 1 ）． 以下同解法一． 13.已知二次函数的图象如图所示． （1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标． （2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）． 解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ， ∴ )2(12-??=-a ．∴ 1=a ．∴ 22 --=x x y ． 其顶点M 的坐标是?? ? ??-4921 ， ． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ）， ∴ ??? ??+=-+=.2 14920b k b k ， ．解得23=k ，3-=b ． ∴ 线段BM 所在的直线的解析式为32 3 -= x y ． ∴ 323-=t h ，其中221< 1 432+-=t t ． ∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是22 1 < （3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ??? ??4725，，?? ? ??-45232， P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，则22 --=m m n ． 222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，． 分以下几种情况讨论： i ）若∠PAC ＝90°，则2 2 2 AC PA PC +=． ∴ ?????+++=++--=. 5)1()2(222222n m n m m m n ， 解得：251= m ，12-= m （舍去）． ∴ 点?? ? ??47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则2 2 2 AC PC PA +=． ∴ ?????+++=++--=. 5)2()1(22 2222n m n m m m n ， 解得：02343== m m ，（舍去） ．∴ 点??? ??452 3 2，－P ． iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不 可能是直角． （4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或 边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2）， 以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ， 此时未知顶点坐标是E ??? ??-5251，，F ?? ? ??-5854， ． 图a 图b 14.已知二次函数22 －＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数． 解：根据题意，得a －2＝－1. ∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22 -x y ＝． 因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有 两个交点． 15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝ cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）． （1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域； （2）如果DE 与AB 的距离OM ＝ cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈， 计算结果精确到1米）． 解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 109 2 ＋＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25 ，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-?a ，得125 18＝－a ． 因此所求函数解析式为)25 25(109125182≤≤-x x y ＋＝－． （2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245 ±＝x ． 所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245 ， 20 9）． 所以2 2 5)245(245＝－＝ -DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为 385227501.0110002 2 5≈??＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2 （a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ． （1）a 、c 的符号之间有何关系 （2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证 a 、c 互为倒数； （3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值． 解: （1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0． （2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜． ∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =． 据题意，1x 、2x 是方程)0(02 ≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ a c x x = ?21． 由题意，得2 OC OB OA ＝?，即2 2 c c a c ＝＝． 所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数． （3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋a a b x x ，∴ a ＞0． 解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－， ∴ a a ac a c a AB 32416)(4)4(22=-== －． ∵ 34=AB ， ∴ 3432＝a ．得21 =a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，a a a ac x 3 22416424164±-±-±＝＝＝ ， ∴ a x 321-＝ ，a x 3 22+＝． ∴ a a a x x OA OB AB 3 2323212＝－－＝ －＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴ 3432＝a ，得2 1 ＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线33 3 +- =x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标； （2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式： （3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由． 解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）． ∵ A 、B 是直线33 3 +- =x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0） ，B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ． ∴ 2 3 2,2321= === OB EN OA ON ． 连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23= -=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（2 3 ,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ． ∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-?=-a ．∴ 39 2 =a ． ∴ x x y 8 3 29322-= 为所求． （3）∵ 3 3 tan = ∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ?=??-∠=∠30602 1 21ABO OBD ． ∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2． ∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2． ∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°． ∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ． 即直线PA 是⊙E 的切线． 二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结 （一）二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数， 叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 22424b ac b y a x a a -??=++ ???，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为 2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当 2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时， y 有最大值2 44ac b a -． 二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项 系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。 总结： 3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k 总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法 如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． 总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 二次函数考点和题型归纳 一、基础知识 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； 顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； 两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．二次函数的图象与性质 二次函数系数的特征 (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，系数a 的正负决定图象的开口方向及开口大小； (2)－ b 2a 的值决定图象对称轴的位置； (3)c 的取值决定图象与y 轴的交点； (4)b 2－4ac 的正负决定图象与x 轴的交点个数． 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ??? ?4ac －b 24a ，＋∞ ? ???－∞，4ac －b 24a 单调性 在??? ?－b 2a ，＋∞上单调递增；在????－∞，－b 2a 上单调递减 在? ???－∞，－b 2a 上单调递增；在??? ?－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ????－b 2a ，4ac －b 24a 对称性 图象关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形 二、常用结论 1．一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0，且Δ<0”． (2)“ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0，且Δ<0”． 2．二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，闭区间为[m ，n ]． (1)当－b 2a ≤m 时，最小值为f (m )，最大值为f (n )； (2)当m <－b 2a ≤m ＋n 2时，最小值为f ????－b 2a ，最大值为f (n )； (3)当 m ＋n 2<－b 2a ≤n 时，最小值为f ????－b 2a ，最大值为f (m )； (4)当－b 2a >n 时，最小值为f (n )，最大值为f (m )． 考点一 求二次函数的解析式 求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同. [典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． [解] 法一：利用二次函数的一般式 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得?? ? 4a ＋2b ＋c ＝－1， a － b ＋ c ＝－1， 4ac －b 2 4a ＝8， 解得????? a ＝－4， b ＝4， c ＝7. 故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：利用二次函数的顶点式 设f (x )＝a (x －m )2＋n . 1 中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点二次函数知识点总结及中考题型总结
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