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柱坐标系和球坐标系下NS方程的直接推导

Derivation of 3D Euler and Navier-Stokes Equations

in Cylindrical Coordinates

Dingxi Wang

School of Engineering, Durham University

Contents

1. Derivation of 3D Euler Equation in Cylindrical coordinates

2. Derivation of Euler Equation in Cylindrical coordinates moving at ω in tangential direction

3. Derivation of 3D Navier-Stokes Equation in Cylindrical Coordinates

1. Derivation of 3D Euler Equation in Cylindrical coordinates

Euler Equation in Cartesian coordinates

0=??+??+??+??z

y F x E t U (1.1) Where

U → Conservative flow variables E → Inviscid/convective flux in x direction F → Inviscid/convective flux in y direction

G → inviscid/convective flux in z direction

And their specific definitions are as follows

???????? ??=E w v u U ρρρρρ,???????? ??+=Hu wu vu p uu u E ρρρρρ,???????? ??+=Hv wv p vv uv v F ρρρρρ,???????

??+=Hw p ww vw uw w G ρρρρρ

()ww vv uu CvT E +++

()ρ

p E ww vv uu CpT H +=+++

=21

H → Total enthalpy

Some relationship

We want to perform the following coordinates transformation

()()r x z y x ,,,,θ→

Because

1=????+????r

z r r y y r

0=????+????θ

θz

z r y y r

According to Cramer’s ruler, w e have

θθθθ??=????????????=??z J z y r z r y

r z y r 101 (1.2.1)

θθ

θ??-=????????????=??y J z y r z r y

y r y z r 10

(1.2.2)

Where

????????=z y r z r

y j Similar to the above

0=????+????r

z r y y θθ

1=????+????θ

θθθz

z y y

r z J z y r z r y z

r z y

??-=????????????=??11

0θθθθ (1.2.3) r

J z y r z r y y r y z

??=

????????????=??110θ

θθ

(1.2.4) In addition, the following relations hold between cylindrical coordinate and Cartesian

coordinate

θcos r y =,θsin r z =

θcos =??r y ,θsin =??r

z ,θθsin r y -=??,θθcos r z =??, (1.3) r r r z y r z

J =-=????????=θ

θθθθ

cos sin sin cos

()()θθ

θθθθθθθsin cos F Fr r r z F z F r r

z F z r F y F y r r F J y F

??=?

??????-??? ??????=????-????=???? ??????+????=??(1.4.1)

()()θθ

θθθθθθθcos sin G Gr r r y G y G r r y G y r G z G z r r G J z G J

??=??? ??????+??? ??????-=????+????-=??

??????+????=??(1.4.2) Derivation

Multiplying the both side of equation (1.1) by J and applying equalities (1.4.1) and (1.4.2) gives,

()()()()()()0

sin cos sin cos cos sin sin cos =-??

+??+??+??=??+??+??

??+??+??=??+??+??+??=???

? ????+??+??+??θθθθθθθθθθθF G Gr Fr r x E r t U r G Gr r F Fr r x E r t U r z G

J y F J x E J t U J z G y F x E t U J (1.5) Differentiating the following w.r.t. time gives

θcos r y =,θsin r z =

dt d r dt dr dt dy θθθsin cos -=,dt

d r dt dr dt dz θ

θcos sin +=

w dt

dz v dt d r v dt dr v dt dy r ====,,,θθ r v w v =+θθsin cos (1.6.1) θθθv w v =+-cos sin (1.6.2)

Expanding the term ()θθsin cos Gr Fr + and applying the relationships (1.6) yields,

()()()()()()r

r r r r r rG Hv p wv p vv uv v r w v H p w v w p w v v w v u w v r r Hw p ww vw uw w r Hv wv p vv uv v Gr Fr =??

?????

++=???????? ??+++++++=?????

? ??++???????? ??+=+ρθρθρρρθθρθθθρθθθρθθρθθρθ

ρρρρρθρρρρρθθsin cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos (1.7.1)

Expanding the term ()θθsin cos F G - and applying the relationships (1.6) yields,

()()()()()()θ

θθθθ

ρθρθρρρθθρθθθρθθθρθθρθθρθ

ρρρρρθρρρρρθθF Hv p wv p vv uv v w v H p w v w p w v v w v u w v Hv wv p vv uv v Hw p ww vw uw w F G =??

?????

??+-=???????? ??+-++--+-+-+-=?????

??+-???????? ??+=-cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos (1.7.2)

Substituting relationships (1.7) into equation (1.5) and rearranging gives,

()()0

sin cos sin cos =??+??+??+??=-??

+??+??+??r rG F x E r t U r F G Gr Fr r x E r t U r

r θθθθθθθ(1.8)

As we can see from expressions (1.7), the momentum equations in radial and tangential directions contain velocities in Cartesian coordinate; we need to replace them with corresponding variables in cylindrical coordinate. Writing down the momentum equations in radial and tangential directions as follows,

()()0sin cos =?-?+?+?+??+??θ

θρθρρρθp vv r p vv r x vu r t v r r (1.9.1)

()()0cos sin =?+?+?+?+??+??θ

θρθρρρθp wv r p wv r x wu r t w r

r (1.9.2) Multiplying (1.9.1) by θcos and (1.9.2) by θsin , then summing up and applying expressions (1.6) and rearranging yields

()()()()()p

v v p wv p vv p wv p vv v v r p v v r x u v t v r r r r r r +=++--=??++??-=??+?+?+??+??θθθθθθθρθθρθθρθ

θρθθθρθ

ρρρρcos cos sin sin sin cos cos sin (1.10.1)

Multiplying (a) by θsin - and (b) by θcos , then summing up and applying expressions (1.6) yields,

()()()()()()θ

θθθθθθθθθρθθρθθρθ

θρθθθρθ

ρρρρv v p wv p vv p wv p vv p v v r p v v r x u v t v r r r -=+---=??++??--=?+?+?+?+??+??sin cos cos sin cos cos sin sin (1.10.2)

Replacing (1.10) with (1.9) and rearranging equation (1.8) gives

S r

r rG

r F x E t U =??+??+??+??θ (1.11) Where

???????? ??=E v v u U r ρρρρρθ,?

??+=Hu u v u v p uu u E r ρρρρρθ,,???????? ??+

=θθθθθθρρρρρHv v v p v v uv v F r ???????

??+=r

r r r r r

p v v v v uv v G ρρρρρθ,?

???????

? ??+-=0002r p v r v v S r θθρρ

Note: different from Euler equation in Cartesian coordinates, the Euler equation in cylindrical coordinates contains source terms from momentum equations in radial and tangential equations.

2. Derivation of Euler Equation in Cylindrical coordinates moving at

ω in tangential direction

()()t r x t r x ''''→,,,,,,θθ

Where

r r '=,t '+'=ωθθ,x x '=,t t '=?r r =',t ωθθ-=',x x =',t t ='

t t

t t t x x t t r r t '??

+'??-=?'?'??+

?'?'??+?'?'??+?'?'??=??00ωθθθ,

000+++'

??=?'

?'??+

?'?'??+?'?'??+?'?'??=??r r

t t r x x r r r r r θθ

00++'??

+=?'?'??+

?'?'??+?'?'??+?'?'??=??θθθθθθθθt t x x r r ,

00+'

++=?'?'??+

?'?'??+?'?'??+?'?'??=??x x t t x x x x x r r x θθ

θω'??-'??=??U t U t U ,r r G r r r rG '?''?=

??,θθ'?'?=??r F r F ,x E

x E '

??=?? Then equation (1.11) can be written as follows

S r r G r r F x E U t U ='

?''?+'?'?+'??+'??-'??θθω ?

()S r r G

r r r U F x E t U ='

?''?+'?'-?+'??+'??θω (2.1) Where ?????

???

? ??'-'+=0002r v v r p v S r θθρρ

Equation (2.1) adopts rotating coordinates but the variables are measured in absolute cylindrical coordinates.

3. Derivation of 3D Navier-Stokes Equation in Cylindrical Coordinates

3D Navier-Stokes Equations in Cartesian coordinates

()()()0=?-?+?-?+?-?+??z

V G y V F x V E t U z y x (3.1) Where

???????? ??=E w v u U ρρρρρ,???????? ??+=Hu wu vu p uu u E ρρρρρ,???????? ??+=Hv wv p vv uv v F ρρρρρ,???????

? ??+=Hw p ww vw uw w G ρρρρρ

???????? ??-++=x zx yx xx zx yx xx x q w v u V ττττττ0,?

?? ??-++=y zy yy xy zy yy

xy y q w v u V ττττττ0, ?

??-++=z zz yz xz

zz yz xz z q w v u V ττττττ0 ??? ????-??=???

? ????-??-??=V x u z w y v x u xx

2232μμτ, ???

????+??==x v y u xy yx μττ,

????+??==x w z u xz zx μττ, ???? ????-??=????

????-??-??=V y v z w x u y v yy 322232μμτ, ??

? ????-??=???? ????-??-??=V z w x u y v z w zz

2232μμτ,

???

????+??==z v y w zy yz μττ

x T k

q x ??-=,y T k q y ??-=,z

k q z ??-= In the following derivation, only viscous terms will be derived from Cartesian coordinates to cylindrical coordinates, those inviscid terms having been derived in section 1 will be not repeated.

()()θθ

θsin cos F Fr r y F J

-??=?? Replacing F with y V gives

()()θθ

θsin cos y y y V r V r y

V J

??-??

?? ()()θθ

θcos sin G Gr r z G J

??=?? (3.2.1) Replacing G with x V gives

()()θθ

θcos sin z z z V r V r z V J ??

??=?? (3.2.2) Multiplying equation (3.1) by J , the viscous terms are gives as follows (omitting the negative sign before it from simplicity),

()()()()()()θθθ

θθθθθθθθsin cos sin cos cos sin sin cos y z z y x z z y y x z y x V V r V r V r x V r V r V r V r V r x V r z V J y V J x V J -??

+??+??=??+??+??

??+??=??+??+?? (3.3)

()()()()()??

??????-??-??=

???

?????? ????+??-??? ????-??-??=????

????-??-??=θμθθθθθθμμτθr v r r rv x u w r wr r v r vr r x u z w y v x u r xx 232cos sin 1sin cos 1232232 (3.4.1) ()()?

???????+??? ?

???-??=?

????+??==x v u r ur r x v y u

xy yx θθθμμττsin cos 1, (3.4.2)

()()????????+??? ????+??=??

????+??==x w u r ur r x w z u xz zx θθθμμττcos sin 1, (3.4.3)

()()()()()()()()??

??????? ????+??-??-??? ????-??=

????????? ????+??-??-??? ????-??=???

????-??-??=θθθθθθμθθθθθθμμτcos sin 1sin cos 1232cos sin 1sin cos 1232232w r wr r x u v r vr r w r wr r x u v r vr r z w x u

y v

yy ,(3.4.4) ()()()()??

??????-??? ????-??-??? ????+??=

???

????-??-??=x u v r vr r w r wr r x u y v

z w

zz θθθθθθμμτsin cos 1cos sin 1232232 (3.4.5)

()()()()()()?

? ???-?-?+?=????????? ????+??+??? ?

???-??=?

????+??==θθθθθμθθθθθθμμττcos sin sin cos 1cos sin 1sin cos 1v w r vr wr r v r vr r w r wr r z v y w zy yz (3.4.6)

Expanding expression (3.3) gives,

()()()()()()()()?

????

??-++-++-++-+-+-+-??+

????

??--++++++++??+

????????

??-++??=-??

+??+??θθθτθτθτθτθτθτθτθτθτθτθτθτθθθθτθτθτθτθτθτθτθτθτθτθτθτττττττθθθ

θθcos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin 0sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 00sin cos sin cos z y zz zy yz

yy xz xy zz zy yz yy xz xy z y zz zy yz yy xz xy zz zy yz yy xz xy x zx yx xx zx yx xx y z z y x q q w v u q q w v u r r q w v u x r V V r V r V r x V r

(3.5)

()()()()()()?

?????????????+????=

???

???????????+??? ??-????=??????????????+??? ????+??+???

?????+??? ????-????=+??x v r u r r x v u r ur r r r x w u r ur r x v u r ur r r r r

r r xz xy μμθθθθμθθθθμθτθτ1sin cos sin 1cos sin cos 1sin cos =〉??

?????+??==x v r u r rx xr μττ (3.6.1)

()()()()()???

????????

???+????=??????????????+??? ????+??+???

?????+??? ????-??-??=+-??

x v r u x w u r ur r x v u r ur r xz xy θθμθ

θθθθμθθθθμθθτθτθ

cos cos sin 1sin sin cos 1cos sin =〉??

?????+??==x v r u x x θθθθμττ (3.6.2)

()()()()()()()()()()()()()()()x rx r r r r

r r r

r r r r r r zx

yx v v x v r u v x v r u v x v v x v v v r u v r

u x v v x v v v u rv r u r x v v v v v u uv v r ur r x ww vv w u v u w r ur v r ur r x w w x v v w u r ur v u r ur r x w u r ur r w x v u r ur r v w v θθθθθθθθθθθθθττθμμμθμμμθμμθμμθθθθθθμμ

μθθθθθθμθθθμθθθμττ+=?

?? ????+??+??? ????+??=??+??+????????+??=??+??+????????+??=?+?+????????+-??=?+?+????????+??-??? ????+??=??+??+????????? ????+??+??? ????-??=????????+??? ????+??+????????+??? ????-??=+121121cos sin sin cos 1cos sin sin cos 1cos sin 1sin cos 1 (3.6.3)

()()()()()()()??

?????+??+??=

????+-??

++??+??=??

?????+??+????????-??+??=??+??+??θθθθθθθθθθθθθv rv r r x u w v wr vr r r x u w wr r r v vr r r x u z w y v x u r 1cos sin sin cos 1cos sin 1sin cos 1 (3.7.1)

Divergence in Cartesian Coordinates

y v x u V ??+??+??=?? (3.7.2)

Divergence in cylindrical coordinates

()θ

θ??+??

??=??r v rv r r x u V r (3.7.3)

()()()()()()()()()()()()()rr

r r r r r r r r r r r r zz yy yz zz zy yz yy v v V r v v r v r v r r rv v V

v v v v v v v r rv v r rv v r V

v w r wr r w v r vr r v w v v w r vr wr r V z w w V y v v w v v w r vr wr r w v w v w v ττμθμμθμμθθθθμθθθθμθθθθθθθμθμθμθθθθθθθμθ

τθτθθτθτθτθτθτθθθθθθθθθθ+=?

?? ????-??+??? ??-??+??=??-??

??--??+??+??=??-??

? ????+??+??? ????-??++??

???-?-?+?=?

???????-??+??

??????-??++??

? ???-?-?+?=+++=+++ 32

232222132

cos sin 1sin 2sin cos 1cos 2cos sin cos sin sin cos 132

2sin 322cos cos sin cos sin sin cos 1sin cos cos sin sin cos sin cos (3.8.1)

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()θθ

θθθθθθθθθθθθθθθ

θθθθ

θθθθθθ

θθθθ

ττμθμθμμθμθμμθμθμμθθμμθθμμθθμθθθθμθθθθμμθθθθθθθμθμθμθθθθθθθμθτθτθθτθτθτθτθτv v V r v r v v r v r v r v v V r v v r v r v r v r v v V r v v r r rv r v v v V v v v v r rv v r v V v v v v v v r rv v r v V ww vv v v r rv v r w r wr r w v r vr r v v V w v v w r vr wr r V z w w V y v v w v v w r vr wr r w v w v w v r r r r r r r r r r r r r r r r zz

yy yz zz zy yz yy +=?

???????-??? ??+??+??? ??-??+??=??? ????-??+??? ??+-??+??=??

? ????-??+??? ????+??=??-????????+??+??=??-??

?????+?+??+??=??-???????+?+??+??=?

? ????+??+??? ????-??-??--??? ???-?-?+?=?

???????-??+??

??????-??--??

? ???-?-?+?=+--=+-++- 32232

232

221322113

21211cos sin 1cos 2sin cos 1sin 232

sin cos cos sin sin cos 132

2cos 322sin sin cos cos sin sin cos 1cos sin sin cos cos sin cos sin (3.8.2)

()()()()()r

z y q r T k T r Tr r k T r Tr r k T r Tr r k z

T k y T k

q q -=??=??

????-??=??

??????+??+????????-??=??+??=--1sin cos sin 1cos sin cos 1sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ(3.9.1)

()()()()θ

θθθθθθθθθθθθθq T r k T r Tr r k T r Tr r k z

T k y T k

q q z y -=??=????????+??+????????-??-=??+??-=-1cos cos sin 1sin sin cos 1cos sin cos sin (3.9.2) As we can see from the above that viscous terms in expression (3.5) for the momentum equation in axial/x direction and energy equation can be expressed in variables in cylindrical coordinates, while the viscous terms in (3.5) for momentum equations in radial and tangential directions still contain variables in Cartesian coordinates. Similar manipulation to (1.10) will be adopted in the following. Writing out the viscous terms for momentum equations in radial and tangential coordinates as follows,

()

θτθτθτθττ?+-?+

?+?+

??cos sin sin cos yz yy yz yy yx r

r x

r (3.10.1)

()()θ

θτθτθτθττ?+-?+?+?+??cos sin sin cos zz zy zz zy zx r r x r

(3.10.2) Multiplying (3.10.1) by θcos and multiplying (3.10.2) by θsin , then summing up and rearranging gives,

()()()[]

()()[]

θτθτθθτθτθ

θτθτθθτθτθτθτcos cos sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin cos zz zy yz yy zz zy yz yy zz zy yz yy zx yx r

r x r +-++---?+-++-?+

?+++?+

?+?

(3.11.1)

Multiplying (3.10.1) by θsin - and multiplying (3.10.2) by θcos , then summing up and rearranging gives,

()()()[]

()()[]

θτθτθθτθτθ

θτθτθθτθτθτθτsin cos sin cos cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin zz zy yz yy zz zy yz yy zz zy yz yy zx yx r

r x r +--+---?+-++--?+

?+++-?+

?+-?

(3.11.2)

()()()()()()()()()()()()()()()()rr

r r r r r zz yy zy zz zy yz yy

r v r v x u r v V r v V

v r rv r V

w v v w wr vr vr wr r r V w wr r v vr r r v w r vr wr r V z w y v v w r vr wr r V z w V y v v w r vr wr r τθμμμμμμθ

θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθμμθθθθθθθθθθμθ

θθθθθθμμθθθθμθ

θθθθθθμθ

θμθθμθ

θθθθθθμθ

θτθθτθθτθ

θτθτθθτθτ

θ=??

? ??-??-??-??=??-??=??-??

??-??=??-?????

????????+??-?-?-+++??=??-?

????????

?????+??+????????-??+??

? ???-?-?+?=??-???

? ????+??+??

???-?-?+?=??? ????-??+???? ????-??+??

? ???-?-?+?=++=+++23232

2321232

sin sin cos cos cos sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin cos 1232sin sin cos sin 2cos cos sin cos 21cos sin cos sin sin cos 1232

sin sin 2cos cos 2cos sin cos sin sin cos 12sin sin 32

2cos cos 322cos sin cos sin sin cos 12sin sin cos cos cos sin 2sin sin cos cos sin cos (3.12.1)

()()()()()()()()()()()()()()()()()θ

θθθθτθμθμθθθθθθθθμθθθθθθθθθμθθμθθθθθθθθθμθθμμθθθθθθθθθμθ

θττθθθθτθθτθτθθτθτr r r zz yy zy zz zy yz yy r v r v r v

v v r rv r w wr r v vr r r v w r vr wr r z w y v v w r vr wr r V z w V y v v w r vr wr r =??

? ??-??+??=?

??-??+??=???

???????????+??+????????-??-+-??? ???-?-?+?=???

? ????+??-+-???

???-?-?+?=????????? ????-??+???? ?

???-??-+-??

? ???-?-?+?=+-+-=+++-21cos sin cos sin sin cos 12sin sin cos cos cos sin sin cos 1cos sin 2sin sin cos cos cos sin sin cos 1cos sin 322322sin sin cos cos cos sin sin cos 1cos sin sin sin cos cos cos sin cos sin sin cos (3.12.2)

()()

()()[]

()()[]()()[θθ

θθτθ

τθτθτθθτθτθμθθθτθτθθτθτθ

θθτθτθθτθτθ

θτθτθθθτθτ-??=

+-++---???

?????? ?

?-??+????=+-++---

?+-++-?=

?+-?+

?+-?r zz zy yz yy r zz zy yz yy zz zy yz yy zz zy yz yy r v r v r v co

cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin (3.12.3)

()()()()()()()()θθ

θτμθμθ

θθθθθθμθθθθθθθθθθμθθτθθθθμθθτθθμθθμθ

θτθτθθτθτ=??-??? ??+??=??

? ???-?-?+?-????????-???

?????+??+????????-

??=-???

? ????-??+??=-??? ????-??+???

? ????-??=+-++--V

v v r v w r vr wr r V w wr r r v vr r r V z w y v V z w V y v r yz yz zz zy yz yy 32

12sin cos cos sin sin cos 1232cos cos cos sin 12sin sin sin cos 12sin cos 232

cos cos 2sin sin 2sin cos 2cos cos 32

2sin sin 322cos cos sin sin cos sin (3.12.4)

Substituting (3.6.1), (3.6.2) and (3.12) into expressions (3.11) and rearranging yields,

()θθθ

τθτττ-??+??+??r rr rx r r x r (3.13.1) ()θθθ

θθτθ

τττr r x r r x r

+??+??+?? (3.13.2) Making use of expressions (3.4.1), (3.6.1), (3.6.2), (3.8.1), (3.8.2), (3.9.1), (3.9.2), (3.13.1) and (3.13.2), we can get the final expression of 3D Navier-Stokes Equation in cylindrical coordinates as follows,

3D Navier-Stokes Equation in cylindrical coordinates

()()()S r

r V G r r V F x V E t U r x =?-?+?-?+?-?+??θθ ???

??=E v v u U r ρρρρρθ，?

??+=Hu u v u v p uu u E r ρρρρρθ,???????? ??+

=θθθθθθρρρρρHv v v p v v uv v F r ,???????

??+=r

r r r r r

p v v v v uv v G ρρρρρθ, ???????? ??-++=x rx r x xx rx x xx x q v v u V ττττττθθθ0，?

??-++=θθθθθθθθθθθ

ττττττq v v u V r r x r x 0, ?

??-++=r rr r r xr

rr r

xr r q v v u V ττττττθθθ0 ??

? ????-??-??=??? ????-??=θμμτθr v r r rv x u V x u r xx 23232

????+??==θμττθ

θθr u x v x x ??? ?

?-??+??=???

????+??==r u r r ru x v

r u x v r r rx xr μμττ r v x u r r rv r v V v v r r r r 22323

12μθμμθμτθθθθ

+??? ????-??-??=??-??? ??+??=

r v r v r r rv

r v r v r v r r r r θθθθθθμθμθμττ2-??

? ????+??=???

??-??+??==

v x u r v r r rv V r v r r r rr

μθμμμτθ223232

2-??? ????-??-??=??-??=

θ??+??+??=??r v r r rv x u V r

????????

-++-=000r p v v r

v v S r r θθθθθθτρτρ

If the moment of momentum equation is adopted to replace the tangential momentum equation, its expression will be simpler. Now for the moment equation, there is no source term.

()()()S r

r V G r r V F x V E t U r x =?-?+?-?+?-?+??θθ ???????? ??=E v r v u U r ρρρρρθ，?

??+=Hu u v ur v p uu u E r ρρρρρθ,???????? ??+=θθθθθθρρρρρHv v v pr r v v uv v F r ,???????? ??+=r

r r r r r Hv p v v r v v uv v G ρρρρρθ,

???????? ??-++=x rx r x xx rx x xx x q v v u r V ττττττθθθ0，??

?? ??-++=θθθθθθθθθ

θθττττττq v v u r V r r x r x 0, ??

? ??-++=r rr r r xr rr r

xr r q v v u r V ττττττθθθ0

1.8 圆柱坐标系和球坐标系

1.8 圆柱坐标系与球坐标系 1.8.1 圆柱坐标系（1）建立圆柱坐标系空间任一点P 的位置由坐标（ρ，φ，z ）确定，如图（a ）所示。其中： ① ρ 是P 点到z 轴的距离，即位置矢量r 在xoy 平面上的投影； ② φ 是正x 轴转到半平面o ABC 的方位角(0≤φ ≤2π)； ③ z 是位置矢量r 在z 轴上的投影，即P 点到xoy 平面的距离。这三个坐标确定之后，就确定了三个坐标面： ① 以z 为轴、ρ为半径的圆柱面； ② 正xoz 半平面绕z 轴逆时钟旋转φ角度所得半平面； ③ 距xoy 平面为z 的平行平面。这三个坐标面交汇于P 点，且在P 点处相互正交。为反映这一特征，在P 点处分别沿三个坐标增加的方向各取一个单位矢量e ρ、e φ和e z ，三单位矢量有以下特点： ① 三个单位矢量相互正交，且满足右手关系 e ρ ? e φ = e z e φ ? e z = e ρ （1.8.1） e z ? e ρ = e φ (b ) y x y e x (平面) ) ρ =常数 (圆柱面y

② 除e z 是常矢外，e ρ和e φ 的方向都有可能随 P 点的不同而变化，它们是坐标函数: y x y x e e e e e e φφφφφρcos sin sin cos +-=+= e ρ、e φ、e z 对坐标ρ、φ、z 求偏导 ???? ? ??????=??=??=??=??-=??=??=??=??=??0000000z z z z z z e , e , e e ,e e ,e e ,e e , e φ ρ φρφρ φρφφρ φρρ 矢量F （ρ、φ、z ）在圆柱坐标系下的表示式 z z A A A e e e A ++=φφρρ (1.8.2) （2）线元矢量、面元和体积元当点的位置发生微小变化导致了微分位移，用线元矢量d l 表示 z z e e e l d d d d ++=φρφρρ (1.8.3) 三个坐标微分增量d ρ、d φ、d z 所形成的体积元d V z V d d d d φρρ= （1.8.4）两坐标变量的微小变化将形成三个典型面元，它们的正方向分别沿坐标ρ、φ、z 的正方向 (a ) (b ) ρ φ d s ρ

高中数学1.4柱坐标系与球坐标系简介教案新人教版选修4-4

四柱坐标系与球坐标系简介课题：球坐标系与柱坐标系教学目的：知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系教学难点：利用它们进行简单的数学应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学? 教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理二、讲解新课： 1、球坐标系设P 是空间任意一点，在 oxy 平面的射影为 Q,连接OR 记| OP |= r ，OP 与0Z 轴正向所夹的角为，P 在oxy 平面的射影为 Q, Ox 轴按逆时针方向旋转到 0Q 时所转过的最小正角为，点P 的位置可以用有序数组（r,,）表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系（或空间极坐标系）有序数组（r,,）叫做点P 的球坐标，其中空间点P 的直角坐标（x, y, z ）与球坐标（r, 2 x 2 y 2 2 z r x rsi n cos y r si n sin z r cos 2、柱坐标系有序数组（p , 9 ,Z ）叫点P 的柱坐标，其中p 》0, 0 <9 <2n , z € R 空间点P 的直角坐标（x, y, z ）与柱坐标（p , 9 ,Z ）之间的变换关系为： x cos y sin r > 0, 0< < , o w v 2 。 ,）之间的变换关系为：设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组系叫做柱坐标系 Q 用（P , 9 ）（ P> 0,0 <0 <2n ）表示点在（p , 9 ,Z ）表示把建立上述对应关系的坐标

《球坐标系与柱坐标系》教学案1

1.9《球坐标系与柱坐标系》教学案教学目的：知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式. 教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系教学难点：利用它们进行简单的数学应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度. 问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理二、讲解新课： 1、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为?，点P 的位置可以用有序数组),,(?θr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系). 有序数组),,(?θr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤?＜2π. 空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(?θr 之间的变换关系为：

??? ????====++θ? θ?θcos sin sin cos sin r z r y r x r z y x 2 222 2、柱坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ，θ)表示点在平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，Z )表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系. 有序数组(ρ，θ，Z )叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0， 0≤θ<2π， z ∈R . 空间点P 的直角坐标(x ， y ， z )与柱坐标(ρ，θ，Z )之间的变换关系为： 3、数学应用例1建立适当的球坐标系，表示棱长为1的正方体的顶点. 变式训练建立适当的柱坐标系，表示棱长为1的正方体的顶点. 例2.将点M 的球坐标)65,3, 8(ππ化为直角坐标. 变式训练 1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标. 2.将点M 的柱坐标)8,3,4(π 化为直角坐标. 3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么？例3.球坐标满足方程r =3的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程. 变式训练标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么？ ?????===z z y x θ ρθρsin cos

高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系学案含解析新人教A版选修4_4

1．柱坐标系柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为 Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有之间的)z ，θ，ρ(表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组R)∈z ()z ，θ，ρ(序数组一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点 R. ∈z ，2π＜θ≥0,0≤ρ，其中)z ，θ，ρ(P 的柱坐标，记作P (2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为 ???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z. 由公式求出ρ，再由tan θ＝y x 求θ. 由公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z ，得ρ2＝x 2＋y 2 ，即ρ2 ＝12 ＋(3)2 ＝4，∴ρ＝2. tan θ＝y x ＝3，又x >0，y >0，点在第一象限．∴θ＝π 3 ， ∴点A 的柱坐标为? ?? ??2，π3，5. 已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点所在象限确定θ的值(θ的范围是已知点P 的柱坐标为? ?? ??4，π3，8，求它的直角坐标．直接利用公式求解．

由变换公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z 得 x ＝4cos π 3 ＝2，y ＝4sin π3 ＝23，z ＝8. ∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式 ???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z 即可． 3．点N 的柱坐标为? ?? ??2，π2，3，求它的直角坐标．解：由变换公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z ，得 x ＝ρcos θ＝2cos π 2 ＝0，y ＝ρsin θ＝2sin π2 ＝2，故点N 的直角坐标为(0,2,3)． 4．已知点A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为? ?? ??2，π2，1，求A ，B 两点间距离．解：由x ＝ρcos θ，得x ＝cos π＝－1. 由y ＝ρsin θ，得y ＝sin π＝0. ∴A 点的直角坐标为(－1,0,2)．同理，B 点的直角坐标为(0,2,1)． ∴|AB |＝－1－＋－＋－＝ 6. 故A ，B 两点间的距离为 6. 课时跟踪检测(五) 一、选择题 1．设点M 的直角坐标为(1，－3，2)，则它的柱坐标是( ) A.? ????2，π3，2 B.? ????2，2π3，2 C.? ????2，4π3，2 D.? ?? ??2，5π3，2

柱坐标系与球坐标系

柱坐标系与球坐标系 1、柱坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系. 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，记作(ρ,θ,Z). 其中ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z ＜+∞ 2，柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的. 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为： 3 应用：例1：设点的直角坐标为(1，1，1)，求它:在柱坐标系中的坐标. 解得ρ= ，θ= 点在柱坐标系中的坐标为（，，1）. 注：求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致。练习： 1、设点的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标. 注：求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致。 3，柱坐标系： r 为常数圆柱面半平面平面 x y z o P(ρ,θ,Z) Q θ 4π?? ???===z z y x θρθρsin cos ?? ???===z 1sin 1cos 1θρθρ224π?),,(z y x M ),(θr P ?θr z x y z o 点在柱坐标系中的坐标为(2,,1)4π求它的直角坐标。的柱坐标为、设点),7,6,2(2πM (3,1,7) 为常数θ为常数z

球坐标系 1，球坐标系：设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为φ. 设P 在oxy 平面上的射影为Q ， Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示. 空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 (或空间极坐标系) . 有序数组(r,φ,θ)叫做点P 的球坐标， 2 , 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为； 3 应用：例：设点的球坐标为(2，， ) 求它的直角坐标.？点在直角坐标系中的坐标为（－1 ，1 ，－）. 4 小结：数轴平面直角坐标系坐标系平面极坐标系空间直角坐标系柱坐标系球坐标系坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化，从而产生了坐标法. y o P Q X Z 其中 πθπ?20,0,0<≤≤≤≥r x y z o P(r,φ,θ) Q θ r φ 称为高低角－的方位角，被测点称为球坐标中的角应用，在测量实践中，文学中有着广泛的球坐标系在地理学、天 ?θ?θ090),,(r P ?? ???===?θ?θ?cos sin sin cos sin r z r y r x 43π43π22222r z y x =++），，（为直角坐标。、将下列点的球坐标化例65381ππM

柱坐标系与球坐标系简介教案

四柱坐标系与球坐标系简介课题：球坐标系与柱坐标系教学目的：知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系教学难点：利用它们进行简单的数学应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理二、讲解新课： 1、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为?，点P 的位置可以用有序数组),,(?θr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系) 有序数组),,(?θr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤?＜2π。空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(?θr 之间的变换关系为： ???????====++θ ?θ?θcos sin sin cos sin 2 222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： ?? ???===z z y x θ ρθρsin cos

球坐标系与柱坐标系

4.1.3球坐标系与柱坐标系 1．球坐标系、柱坐标系的理解． 2．球坐标、柱坐标与直角坐标的互化． [基础·初探] 1．球坐标系与球坐标 (1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系．图4-1-5 (2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ表示以Oz为始边，OP为终边的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，θ，φ)就叫做点P 的球坐标，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π. 2．直角坐标与球坐标间的关系图4-1-6 若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox 轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的关系，如图4-1-6所示．

x 2＋y 2＋z 2＝r 2， x ＝r sin_θcos_φ， y ＝r sin_θsin_φ， z ＝r cos_θ. 3．柱坐标系建立了空间直角坐标系O -xyz 后，设P 为空间中任意一点，它在xOy 平面上的射影为Q ，用极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面xOy 上的极坐标，这时点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R . 图4-1-7 4．直角坐标与柱坐标之间的关系 ??? x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ，z ＝z . [思考·探究] 1．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？【提示】柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成． 2．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z ＝z 0分别表示什么图形？

球坐标系与柱坐标系

球坐标系与柱坐标系教学目的：知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系教学难点：利用它们进行简单的数学应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理二、讲解新课： 1、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为?，点P 的位置可以用有序数组),,(?θr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)。有序数组),,(?θr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤?＜2π。空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(?θr 之间的变换关系为： ???????====++θ ? θ?θcos sin sin cos sin 2 222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)表示点在平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系。有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 。空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： ?????===z z y x θ ρθρsin cos

柱坐标系和球坐标系(教师)

7 柱坐标系和球坐标系主备：审核：学习目标： 1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法； 2.了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式. 学习重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系. 学习难点：利用它们进行简单的数学应用. 学习过程：一、课前准备阅读教材1618P P -的内容，了解柱坐标系的定义, 以及如何用柱坐标系描述空间中的点.并思考下面的问题：空间中的点的表示法是不是唯一的？到目前为止，你知道了几种表示空间一个点的位置的方法？答：不是唯一的.到目前为止，我们知道了三种表示空间点的位置的方法：空间直角坐标，柱坐标系，球坐标系. 二、新课导学：（一）新知： 1.柱坐标系：（1）设P 是空间任意一点，在xOy 平面的射影为Q ，用(,)(0,02)ρθρθπ≥≤<表示点 Q 在平面xOy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(,,)z ρθ表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.有序数组(,,)z ρθ叫点P 的柱坐标，记作(,,)z ρθ.其中0ρ≥， 02θπ≤<，z R ∈. （2）柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的. （3）空间点P 的直角坐标(,,)x y z 与柱坐标(,,)z ρθ之间的变换公式为 cos sin x y z z ρθρθ=?? =??=? . 2.球坐标系：（1）设P 是空间任意一点，连接OP ，记||OP r =，OP 与Oz 轴正向所夹的角为?. 设 P 在xOy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向

旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(,,)r ?θ表示.空间的点与有序数组(,,)r ?θ之间建立了一种对应关系. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 (或空间极坐标系) . 有序数组 (,,)r ?θ叫做点P 的球坐标，其中0,0,02r φπθπ≥≤≤≤<. （2）点P 球坐标(,,)r ?θ与直角坐标(,,)x y z 的互化公式： ①2222 x y z r ++=；②sin cos sin sin cos x r y r z r ?θ?θ?=??=??=? . （二）典型例题【例1】建立适当的球坐标系，分别表示棱长为1的正方体的顶点. 【解析】如图，建立球坐标系，则各个顶点的坐标分别为(1, ,0)2 A π ，1 ,0)4 A π ，,)24 B ππ， 1,)4 B π? ，其中tan ?=α为锐角， (1,,)22C ππ ，1,)42 C ππ，(0,0,0) D ，1(1,0,0)D . 动动手：在例1 中，建立适当的柱坐标系，写出各个顶点的柱坐标. 【解析】如上图建立柱坐标系，则各个点的坐标如下： (1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，,0)4B π ，1,1)4 B π， (1,,0)2 C π， 1(1,,1)2 C π，(0,0,0) D ，1(0,0,1)D . 【例2】已知点1P 的柱坐标是)1,6 ,2(1π P ,2P 的柱坐标是)3,3 2, 4(2-π P ,求21P P . 【解析】点1P 的柱坐标是)1,6 , 2(1π P 转化为直角坐标为,1,16 sin 2,36 cos 2=====z y x π π ，即)1,1,3(1P ，点2P 的柱坐标是)3,3 2, 4(2-π P 转化为直角坐标为,3,323 2sin 4,232cos 4-===-==z y x π π，即)3,32,2(2--P ，所以， 126PP = =. 动动手：在球坐标系中，求)6,3, 3(π πP 与)3 2,3,3(π πQ 两点间的距离.

2018高中数学第1章坐标系13柱坐标系和球坐标系学案北师大版4-4!

1.3 柱坐标系和球坐标系 1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法.(重点) 2.理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.(重点) 3.体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别.(易错易混点) 教材整理1 柱坐标系和球坐标系 1.柱坐标系如图1-3-1，建立空间直角坐标系O -xyz .设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ， z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞ ＜z ＜＋∞. 图1-3-1 特别地， r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的圆柱面； θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面； z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的平面. 2.球坐标系设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM → 与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看， x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP → 的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如图 1-3-2).这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r <＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.

图1-3-2 特别地， r ＝常数，表示的是以原点为球心的球面； φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面； θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同.( ) (2)在柱坐标系M (r ，θ，z )中，θ表示OM 与y 轴所成的角.( ) (3)球坐标中，r 表示OM 的长度.( ) 【解析】 (1)√ 柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同. (2)× θ表示OM 与x 轴所成的角. (3)√ 球坐标中r 表示OM 的长度. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 教材整理2 空间中点的坐标之间的变换公式设空间一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，则填空： (1)柱坐标? ????2，π3，1的直角坐标是________. (2)球坐标? ????4，π4，π6的直角坐标是________. 【解析】 (1)x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π 3 ＝3，z ＝1.