九年级数学圆中常见辅助线作法

九年级数学圆中常见辅助线作法

圆中常见辅助线的作法 典型例题：

例题1、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ，C 是 弧AB 上

任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E ，若△PDE 的周长为12，则PA 长为______________

例题2、如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥L 于C ，BD ⊥L 于D ，且AC+BD=AB 。

求证：直线L 与⊙O 相切。

例题3、如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°角，CD 与⊙O 切于C ，

交AB?的延长线于D ，求证：AC=CD ．

A

B C D E

O

例题4、如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________．

1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）

1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；

②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。O

C

B

A

O C

B

A

O C

B A

2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：①可得等腰三角形；

②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

2．遇到有直径时

常常添加（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形

3．遇到90°的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

4．遇到有切线时

（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点

作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。（2）常常添加连结圆上一点和切点

作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

5．遇到证明某一直线是圆的切线时

（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。

（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），

再证其与直线垂直。

6．遇到两相交切线时（切线长）

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；

②垂直关系；③全等、相似三角形。

7．遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。

作用：利用内心的性质，可得：

①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；

②内心到三角形三条边的距离相等

8．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点

作用：外心到三角形各顶点的距离相等。

A

B

C

D

E

P O

O

C

B A

例题讲解

例题1、如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，

BC=2，求⊙O 的面积。

例题2、如图，弦AB 的长等于⊙O 的

半径，点C 在弧AMB 上，

O C

B

A

O C

B A

则∠C的度数是________.

例题3、如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC= 2,∠B=

例题4、如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BA C=90°，

AB=6，AC=8，⊙O的半径是

例题5、如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC ⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。

求证：直线L与⊙O相切。

例题7、如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O 切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O 的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长

初中数学证明题常见辅助线作法规律.

初中数学证明题常见辅助线作法规律 初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀；及几何规律汇编；人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，；初中几何常见辅助线作法歌诀；人说几何很困难，难点就在辅助线；辅助线，如何添？把握定理和概念；还要刻苦加钻研，找出规律凭经验；三角形；图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试 初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀 及几何规律汇编 人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。 初中几何常见辅助线作法歌诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆

半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。

初中数学--辅助线典型做法汇总

初中数学| 辅助线典型做法汇总（珍藏版） 三角形中常见辅助线的添加 1. 与角平分线有关的 （1）可向两边作垂线。 （2）可作平行线，构造等腰三角形 （3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形 2. 与线段长度相关的 （1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可 （2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可 （3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。 （4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。 3. 与等腰等边三角形相关的 （1）考虑三线合一 （2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 ° 四边形中常见辅助线的添加 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形。在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。下面介绍一些辅助线的添加方法。 1. 和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。 （1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形 （2）利用两组对边平行构造平行四边形 （3）利用对角线互相平分构造平行四边形 2. 与矩形有辅助线作法

（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题。 （2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题。和矩形有关的试题的辅助线的作法较少。 3. 和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题。 （1）作菱形的高 （2）连结菱形的对角线 4. 与正方形有关辅助线的作法 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多。解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线。 5. 与梯形有关的辅助线的作法 和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型： （1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形 （2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形 （3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形 （4）延长两腰构成三角形 （5）作两腰的平行线等 圆中常见辅助线的添加 1. 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用： ①利用垂径定理 ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系 ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量 2. 遇到有直径时，常常添加（画）直径所对的圆周角 作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形 3. 遇到90度的圆周角时，常常连结两条弦没有公共点的另一端点 作用：利用圆周角的性质，可得到直径

2020年中考高频考点——圆中常用的辅助线作法

中考高频考点————圆中常用的辅助线作法 圆是中考的必考点，也是重难点，圆的题型难点很大一部分来源于圆中很多的隐藏条件，需要添加辅助线才能很好的理解，圆中常见的辅助线作法有如下几种：(1)遇弦作弦心距或半径；(2)遇直径作直径所对的圆周角；(3)已知切线，连半径，得垂直；(4)直线与圆交点明确，证切线时，连半径，证垂直；(5)直线与圆交点不明确，证切线时，作垂直，证半径． 一．知识梳理 圆的主要知识点： 1.垂径定理：垂直于弦的直径____________,并且平分弦所对的__________. 推论：平分弦（不是直径）的直径________于弦，并且_______弦所对的两条弧 圆的两条平行弦所夹的弧。 2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的__________. 推论：1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角__________________. 2.半圆（或直径）所对的圆周角是_____,90°的圆周角所对的弦是______. 3、圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦，所对的弧相等，弦心距 4.切线的性质与判定、 性质：圆的切线_________于过切点的半径或直径. 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 判定：1.已知半径，证垂直；2.作垂直，证半径. 二．常见辅助线做法 ?作法一作半径或直径

①作半径(或直径)：构造等腰三角形或直角三角形 1．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C ＝30°，⊙O 的半径为5，若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，则P A 的长为( ) A ．5 B.5 3 2 C ．5 2 D ．5 3 2．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A ＝60°，BC ＝63，则BC ︵ 的长为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．12π 3．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A ＝60°，BC ＝2 3，则⊙O 的面积为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．12π 4．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝32°，则∠C ＝________． 5．如图，⊙O 的半径为6，点A ，B ，C 在⊙O 上，且∠ACB ＝45°，则弦AB 的长是________．

初中数学圆的辅助线八种作法

中考数学圆的辅助线 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。下面以几道题目为例加以说明。 1.有弦，可作弦心距 在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。 例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ， 且AC=BD 。求证：PO 平分∠APD 。 分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。 证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F AC=BD => = => = => AB=CD => OE=OF ∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF 0OP=OP =>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证 AB ( BD ， ( CD ( D C B P O A E F P B 图 1 AC ( AC ( BD ( AB ( CD (

∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线 即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。 证法2：连结OA ，OD 。 ∠CAP=∠BDP ∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AC=BD =>AP=DP OA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP 2.有直径，可作直径上的圆周角 对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。 例2 如图2，在△ABC 中，AB=AC ， 以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过D 作⊙O 的切线DM 交AC 于M 。求证 DM ⊥AC 。 分析：由AB 是直径，很自然想到其所 B D C M A O . A 2 1 图 2 D C B P O A P B 图1-1

九年级数学圆中常见辅助线作法

圆中常见辅助线的作法 典型例题： 例题1、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ，C 是 弧AB 上 任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E ，若△PDE 的周长为12，则PA 长为______________ 例题2、如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥L 于C ，BD ⊥L 于D ，且AC+BD=AB 。 求证：直线L 与⊙O 相切。 例题3、如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°角，CD 与⊙O 切于C ， 交AB?的延长线于D ，求证：AC=CD ． 例题4、如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点， 那么OP 的长的取值范围是_________．

B A C B 1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。 2． 遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形 3． 遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 4． 遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点 作用：利用切线的性质定理可得OA ⊥AB ，得到直角或直角三角形。 （2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。 5． 遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线 段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。

圆辅助线的常用做法

浅谈圆的辅助线作法 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。下面以几道题目为例加以说明。 1.有弦，可作弦心距 在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。 例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ， 且AC=BD 。求证：PO 平分∠APD 。 分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE≌△OPF，得出PO 平分∠APD 。 证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F AC=BD => = => = => AB=CD => OE=OF ∠OEP=∠OFP=90 ° => △OPE≌△OPF 0OP=OP =>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证 PO 平分∠APD ，即证 ∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线 即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OP A ≌△OP D 。 证法2：连结OA ，OD 。 ∠CAP=∠BDP ∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AB ( BD ， ( CD ( D 图 1 AC ( AC ( BD ( AB ( CD ( D 图1-1

初中数学圆中常作哪些辅助线

圆中常作哪些辅助线? 通过作辅助线能使复杂问题简单化，圆问题中常用的辅助线是哪些呢？现把一些规律总结如下： 弦与弦心距，密切紧相连. 直径对直角，圆心作半径. 已知有两圆，常画连心线. 遇到相交圆，连接公共弦. 遇到相切圆，作条公切线. “有点连圆心，无点作垂线.” 切线证明法，规律记心间. 一、作弦心距.在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.因此“弦与弦心距，密切紧相连.”. 例1.如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ，求 证：PM ?PN=2PO 2. 分析：要证明PM ?PN=2PO 2，即证明PM ? PN 2 1 =PO 2， 过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理 PN 2 1 =PC ，只需证明 PM ?PC=PO 2，由POC PMO O P M P C P O P ???? = 。。 。 。。，“三点定型”法可判断需证 明Rt △POC ∽Rt △PMO. 证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC= 2 1PN ∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=900. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO. P B A N O C M

∴ PO PM PC PO ，即∴PO 2= PM ?PC. ∴PO 2= PM ?2 1 PN ，∴PM ?PN=2PO 2. 二、连结半径 圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：“同圆的半径相等”和“过切点的半径与切线相互垂直”都与圆的半径有关.连结半径是常用的方法之一. 例2．已知：△ABC 中，∠B=900，O 是AB 上一点，以O 为圆心，以OB 为半径的圆切AC 与D 点，交AB 与E 点，AD=2，AE=1. 求证:CD 的长. 分析：D 为切点，连结DO ，∠ODA=900.根据切线长定理 CD=CB.DO=EO= 半径r ，在Rt △ADO 中根据勾股定理或 Rt △ADO~ Rt △ABC ，求出CD. 证明: 连结DO ∴OD ⊥AC 于D, ∴∠OCP=900. ∵AB 过O 点, ∠B=900. ∴BC 为⊙O 的切线, ∴CD=CB 设CD=CB=x,DO=EO=y 在Rt △ADO 中，AO 2 =AD 2+ DO 2，AD=2，AE=1 ∴(1+y)2=22+y 2, ∴ y= 2 3 在Rt △ABC 中，AC 2 =AB 2+ BC 2，即(2+x)2=(1+ 23+2 3)2+x 2 , ∴x=3 ∴CD=3. 三、连结公共弦 在处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把 A B C D E O C A B D E O 2 O 1 P

几何中常见的辅助线添加方法

几何专题——辅助线 平面几何是初中教学的重要组成部分，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础，但许多初中生对几何证实题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证实题，往往束手无策。 一、辅助线的定义： 为了证实的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。 二、几种常用的辅助线：连结、作平行线、作垂线、延长等 注意：1）添加辅助线是手段，而不是目的，它是沟通已知和未知的桥梁，不能见到题目，就无目的地添加辅助线。一则没用、二则辅助线越多，图形越乱，反而妨碍思考问题。 2）添加辅助线时，一条辅助线只能提供一个条件 三、正确添加辅助线歌 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证实有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证实是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆假如碰到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证实题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注重勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时把握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。几何证题难不难，关键常在辅助线； 知中点、作中线，中线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线； 线段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘； 全等图形多变换，旋转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办； 四边形、对角线，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、作高线； 两腰处长义一点，亦可平移对角线；正余弦、正余切，有了直角就方便； 非凡角、非凡边，作出垂线就解决；实际问题莫要慌，数学建模帮你忙； 圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；弦心距、要垂弦，碰到直径周角连； 切点圆心紧相连，切线常把半径添；两圆相切公共线，两圆相交公共弦； 切割线，连结弦，两圆三圆连心线；基本图形要熟练，复杂图形多分解；以上规律属一般，灵活应用才方便。

圆中常用辅助线的作法

圆中常用辅助线的作法 1．圆中作辅助线的常用方法： （1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。 （2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。 （3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。 （4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。 （5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆O中，BD⊥OA于D，经常是：①如图1（上）延长BD交圆于C，利用垂径定理。 ②如图1（下）延长AO交圆于E，连结BE，BA，得Rt△ABE。 图1（上）图1（下） （6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径， （7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。 （8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。 （9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。（10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。 例题1：如图2，在圆O中，B为的中点，BD为AB的延长线，∠OAB=500，求∠CBD的度数。 解：如图，连结OB、OC的圆O的半径，已知∠OAB=500 ∵B是弧AC的中点 ∴弧AB=弧BC ∴AB==BC 又∵OA=OB=OC ∴△AOB≌△BOC（S.S.S）图2 ∴∠OBC=∠ABO=500 ∵∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800

九年级数学下册2圆小专题五圆中常见辅助线的作法习题新版湘教版

小专题（五）圆中常见辅助线的作法 圆中常见辅助线的添加口诀及技巧 半径与弦长计算，弦心距来中间站． 圆上若有一切线，切点圆心半径连． 要想证明是切线，半径垂线仔细辨． 是直径，成半圆，想成直角径连弦． 弧有中点圆心连，垂径定理要记全． 圆周角边两条弦，直径和弦端点连． 还要作个内切圆，内角平分线梦圆． 三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算． 一、连半径——构造等腰三角形 1．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD.求证：△OCD是等腰三角形． 二、半径与弦长计算，弦心距来中间站 方法归纳：在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算．在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个． 2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，求排水管内水的深度． 三、见到直径——构造直径所对的圆周角

方法归纳：构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质． 3．如图，AB为⊙O的直径，弦C D与AB相交于点E.∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数． 四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径 方法归纳：已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题． 4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F.切点为G，连接AG交CD于点K.求证：KE＝GE.

圆中常见辅助线的添加口诀及技巧知识交流

圆中常见辅助线的添加口诀及技巧 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内切圆，内角平分线梦园。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 二：圆中常见辅助线的添加： 1、遇到弦时（解决有关弦的问题时） （1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 （2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

2、遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形 3、遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 4、遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（见切点连半径得垂直） 作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。 5、遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。 6、遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 作用：利用内心的性质，可得： （1）内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分 线；（2）内心到三角形三条边的距离相等 7、遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 作用：外心到三角形各顶点的距离相等。 例题1、如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。 例题2、如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上， 则∠C的度数是 ________. 例题3、如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2,∠ B= 例题4、如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°， AB=6，AC=8，⊙O的半径 是

初中数学常见辅助线做法

初中数学常用辅助线 一．添辅助线有二种情况： 1按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形， 添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律 可循。举例如下： （1）平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等 第三条直线 （2）等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三 角形。 （3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线 组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 （4）直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关 系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三 角形斜边上中线基本图形。

（5）三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 （6）全等三角形： 全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 *（7）相似三角形： 相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。 （8）特殊角直角三角形 当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明 （9）半圆上的圆周角

2020年中考数学复习： 圆中常见辅助线的作法 专题练习题

圆中常见辅助线的作法 1.如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为( ) A.15° B.18° C.20° D.28° 2.如图所示，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝23，OH＝1，则∠APB的度数是( ) A.60° B.50° C.40° D.30° 3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为( ) A.10 B.8 C.5 D.3 4.如图所示，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长是( ) A.2 5 B. 5 C.213 D.13 5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为( )

A．10 B．8 C．5 D．3 6. 如图所示，已知：AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D 为( ) A.50° B.45° C.40° D.30° 7.如图，半圆O的直径AB＝10，弦AC＝6，AD平分∠BAC，则AD的长为( ) A．8 B．5 5 C．5 D．45 8. 如图所示，在半径为5的⊙O中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB=CD=8，则OP的长为( ) A．3 B．4 C．3 2 D．42 9.如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°.若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是 . 10.如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O 的切线，切点为F.若∠ACF＝65°，则∠E＝ . 11. 已知：AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D＝ .

九年级数学圆中常见辅助线作法

九年级数学圆中常见辅助线作法

圆中常见辅助线的作法 典型例题： 例题1、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ，C 是 弧AB 上 任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E ，若△PDE 的周长为12，则PA 长为______________ 例题2、如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥L 于C ，BD ⊥L 于D ，且AC+BD=AB 。 求证：直线L 与⊙O 相切。 例题3、如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°角，CD 与⊙O 切于C ， 交AB?的延长线于D ，求证：AC=CD ． A B C D E O

例题4、如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________． 1．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。O C B A

O C B A O C B A 2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。 2．遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形 3．遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 4．遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点 作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。（2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。 5．遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），

初中数学圆的辅助线八种作法

中考数学圆的辅助线 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。 下面以几道题目为例加以说明。 1. 有弦，可作弦心距 在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用 于垂径定理和勾股定理解决问题。 例1 如图1, O O的弦AB、CD相交于点P, 且AC=BD。求证：PO平分/ APD。 => OE=OF ] / OEP= / OFP=90 °=> △OPE^A OPF 0OP=OP => / OPE= / OPF => PO 平分/ APD 分析2:如图1-1，欲证PO平分/ APD，即证 分析1：由等弦AC=BD可得出等弧AC BD, 进一步得出A B = C D，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦 心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线丄CD,易 证△ OPE^A OPF,得出PO平分/ APD。 证法1 :作OE丄AB于E, OF丄CD于F (=>(= AB CD AC=BD A C B D=> AB=CD OE丄AB, OF

/ OPA= / OPD，可把/ OPA与/ OPD构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线 即半径OA，OD，因此易证△ ACP^A DBP,得AP=DP，从而易证△ OPAOPD O D P B 图1-1 证法2:连结OA, OD。 / CAP= / BDP / APC= / DPB => △ACP^A DBP AC=BD =>AP=DP、 OA=O D => △ OPAOPD => / OPA= / OPD =>PO 平分/ APD OP=OP J 2. 有直径，可作直径上的圆周角 对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。 例2 如图2,在厶ABC中，AB=AC , 以AB为直径作O O交BC于点D，过D 作O O的切线 DM交AC于M。求证DM丄AC 图2 分析：由AB是直径，很自然想到其所

圆中常见辅助线的作法

C 圆中常见辅助线的作法 1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 2 ，遇到有直径时 3．4．常常添加过切点的半径（连结圆心和切点 5． 遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）， 再 证其与直线垂直。 6． 遇到两相交切线时（切线长） 常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。 7． 遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 8． 遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 C B P

，E，F，求Rt△ABC的内心I ，若CF垂直于AD，AB=2，求CD 上一个动点，

8、已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点，BC切⊙O于E点.求证：AD也和⊙O相切. 9、如图，学校A附近有一公路MN，一拖拉机从P点出发向PN方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？ 10、如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，求阴影部分的面积. 11、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E,BF⊥CD，垂足为 F.求证：DE=CF.

圆中常见的辅助线

圆中常见的辅助线 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】

圆中常见辅助线的做法 一．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 例：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：AC = BD 证明:过O作OE⊥AB于E ∵O为圆心，OE⊥AB ∴AE = BE CE = DE ∴AC = BD 练习：如图，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求⊙O的半径. 2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角. 例：如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,求证：AC BD = 证明：（一）连结OC、OD ∵M、N分别是AO、BO的中点 ∴OM = 1 2 AO、ON = 1 2 BO ∵OA = OB ∴OM = ON ∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC = OD ∴Rt△COM≌Rt△DON ∴∠COA = ∠DOB ∴AC BD = （二）连结AC、OC、OD、BD ∵M、N分别是AO、BO的中点 ∴AC = OC BD = OD ∵OC = OD ∴AC = BD ∴AC BD = 3.有弦中点时常连弦心距 例：如图，已知M、N分别是⊙O 的弦AB、CD的中点,AB = CD，求证：∠AMN = ∠CNM 证明：连结OM、ON ∵O为圆心，M、N分别是弦AB、CD的中点 ∴OM⊥AB ON⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON ∴∠OMN = ∠ONM

初中数学常见辅助线添加口诀

初中数学常见辅助线添加口诀 说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线 添辅助线有二种情况： （1）按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°， 证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍， 证角的倍半关系也可类似添辅助线 ………… （2）按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。

初中几何常见辅助线作法口诀

初中几何常见辅助线作法口诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 作法图形

平移腰，转化为三角形、平行四边形。 A B C D E 平移对角线。转化为三角形、平行四边形。 A B C D E 延长两腰，转化为三角形。 A B C D E 作高，转化为直角三角形和矩形。 A B C D E F 中位线与腰中点连线。 A B C D E F

初中数学几何图形辅助线添加方法大全完整版

初中数学几何图形辅助线添加方法大全 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

初中数学添加辅助线的方法汇总 作辅助线的基本方法 一：中点、中位线，延长线，平行线。 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。 二：垂线、分角线，翻转全等连。 如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三：边边若相等，旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 四:造角、平、相似，和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知

角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。” 托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表） 五：两圆若相交，连心公共弦。 如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。 六：两圆相切、离，连心，公切线。 如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。 七：切线连直径，直角与半圆。 如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。 如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。 八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。 如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。