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高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分）

1．曲线???=+=0

12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12

2++=y x z ．

2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线??

??+=+-==t

z t y t

x L 72313:2的夹角为

2π． 3．设函数2

2232),,(z y x z y x f ++=，则=

)1,1,1(grad f }6,4,2{．

4．设级数

∑∞

n n u 收敛，则=∞

→n n u lim 0

．

5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=,

0,10

,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处

收敛于

1π+．

6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为

xy =．

7．写出微分方程x

e y y y =-'+''2的特解的形式

axe y =*．

二、解答题（共18分每小题6分）

1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0

32z y x z y x 的平面方程．

解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11

11121=--=k

j i n

(4分)

所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分

???Ω

v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面

)(22

2y x z +-=及22y x z +=

所围成的区域．

解： πθ20 ,10 ,2 :2

≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

???

v z y x f d ),,(?

??-=2

210

d ),sin ,cos (d d r r

z z r r f r r θθθπ (6分)

3．计算二重积分??+-=

y x y x e

I d d )

(22，其中闭区域.4:22≤+y x D

解 ??-=

d d 2

r r e

I r π

θ??--=-202

20)(d d 212

r e r πθ?-?-=202

d 22

1r e π)1(4--=e π

三、解答题（共35分每题7分）

1．设v

ue z =，而2

2y x u +=，xy v =，求z d ．

解：

)2(232y y x x e y ue x e x

v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分)

)2(223xy x y e x ue y e y

v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)

2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z

所确定，求

z x z ????,．解：令xyz e z y x F z

-=),,(， (2分)

则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z

z -= (5分)

e yz

F F x z z

z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分?+-L

y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有

向弧段．

解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格

林公式

????+--=+-OA D

L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)

ππ

=-?=02

2 (7分)

4．设曲线积分?++L

x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，

求)(x f ．

解：由

Q y P ??=?? 得 )()(x f x f e x

'=+，即x

e x

f x f =-')()( (3分)

所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x

+?=??

---?

)(C x e x +=， (6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x

． (7分)

5．判断级数∑∞

=12

2()!(n n n 的敛散性．

解：因为 )!

2()!()!22(])!1[(lim lim

1n n n n u u n n

n n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim

+++=∞→n n n n 14

1<= (6分) 故该级数收敛． (7分)

四、（7分）计算曲面积分??∑

++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球

面2

21z y x --=的上侧．

解：添加辅助曲面1,0:2

1≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得

??∑

++y x z x z y z y x d d d d d d ??∑+∑++=1

d d d d d d y x z x z y z y x

??∑++-

d d d d d d y x z x z y z y x (4分)

0d 3

-=???Ω

v (6分)

4213π

=π2=． (7分) 五、（6分）在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．

解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ，且面积为)sin sin (sin 2

z y x R A ++=

，令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)

由 ???????=++=+==+==+=π

λλλ20

cos 0

cos 0cos z y x z F y F x F z y

x (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为

R R 32

2=?

．由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大． (6分)

六、（8分）求级数∑∞

=1n n

x 的收敛域，并求其和函数．

解： 1)

1(lim lim

=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ，故收敛半径为1=R ． (2分) 当1-=x 时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛；当1=x 时，级数为调和级数，发散．

故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)

设和为)(x S ，即∑∞

==1)(n n

x x S ，求导得

∑∞

=-='1

1)(n n x x S x

， (6分) 再积分得 ?'=

x x S x S 0d )()(

x x

d 11

-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分) 七、（5分）设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式

???+=y

x x y

t t f x t t f y t t f 1

d )(d )(d )(

对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ．解：等式两边对y 求偏导得

)(d )()(1

y f x t t f y x f x x

+=? (2分)

上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有

?+=x

x t t f x xf 1

3d )()(． (3分)

由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得

3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>=

'x x

x f ．

故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ，故3=C ．因此所求的函数为 )1(ln 3)(+=x x f ． (5分) 八．（5分）已知x x e xe y 21

+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23

是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．解1：由线性微分方程解的结构定理知x

2与x

-是对应齐次方程的两个线性无

关的解，x

xe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为 )(2x f y y y =-'-''

将x xe y

=代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为

x x xe e y y y 22-=-'-''

解2：由线性微分方程解的结构定理知x

2与x

-是对应齐次方程的两个线性无

关的解，x

xe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y -++=221是所

求微分方程的通解，从而有 x x x x e C e C xe e y --++='2212，

x x x x e C e C xe e y -+++=''22142

消去21,C C ，得所求的微分方程为

x x xe e y y y 22-=-'-''

06高数B

一、填空题（共30分每小题3分）

1．

xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为

36)(94222=+-z y x ．

2．设函数2

2),,(z yz x z y x f ++=，则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．

3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线??

??+=+-==t

z t y t

x L 72313:2的夹角为

2π．

4. 设Ω是曲面222y x z --=

及22y x z +=所围成的区域积分，则

???Ω

v z y x f d ),,(化为柱

面坐标系下的三次积分形式是?

??-221

20d ),sin ,cos (d d r r

z z r r f r r θθθπ

．

5. 设L 是圆周22x x y -=，取正向，则曲线积分=+-?L

y x x y d d

2．

6. 幂级数∑∞

=--1

1)1(n n

n n x 的收敛半径

1=R ．

7．设级数

∑∞

n n u 收敛，则=∞

→n n u lim 0

．

8．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<≤<-=,

0,0

,0)(ππx x x x f 则它的傅

里叶级数在π=x 处收敛于

π．

9．全微分方程0d d =+y y x x 的通解为

xy =．

10．写出微分方程x

e y y y =-'+''2的特解的形式

axe y =*．

二、解答题（共42分每小题６分）

1．求过点)1,2,1(且垂直于直线???=+-+=-+-0

320

2z y x z y x 的平面方程．

解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11

11121=--=k

j i n

(4分)

所求平面方程为 032=++z y x (2分)

2．函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(-+=-+所确定，求x

z ??．

解：令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+---+=， (2分)

则,1)32cos(--+=z y x F x 3)32cos(3+-+-=z y x F z ． (2分)

)

32cos(33)

32cos(1z y x z y x F F x z z x -+--+-=

-=?? ． (2分)

3．计算

??D

xy σd ，其中D 是由直线2 ,1==x y 及x y =所围成的闭区域．

解法一：原式??=

211d ]d [x

x y xy (2分)

x y x x d ]2[2

112??=x x

x d )2

2(213?-= 8

1]48[2124=-=x x . (4分)

解法二：原式??

=212

d ]d [y y x xy 8

11]8[2

2=-=y y .(同上类似分)

4．计算

--D

y x y x d d 122，其中D 是由122=+y x 即坐标轴所围成的在第一象限内的闭

区域．

解：选极坐标系

原式?

?-=

2d 1π

r r r d (3分)

)1(1)21(22

102r d r ---?=?π

π= (3分)

5．计算

?Γ

-+-z x y yz x z y d d 2d )(222，其中Γ是曲线,t x =,2t y =

3t z =上由01=t 到12=t 的一段弧．

解：原式??-?+-=

22564d ]322)[(t t t t t t t (3分)

?-=1

d )23(t t t 1057]5273[t t -=35

= (3分)

6．判断级数

∑∞

=-1

2n n n 的敛散性．解：因为 n n n n

n n n n u u 21

22)12(lim lim

11-+=+∞→+∞→ (3分) 12

， (2分) 故该级数收敛． (1分)

7．求微分方程043=-'-''y y y 满足初始条件,00==x y 50-='=x y 的特解．

解：特征方程 0432

=--r r ，特征根 1,421-==r r

通解为 x x

e C e C y -+=241， (3分)

x x

e C e

C y --='2414，代入初始条件得 1,121=-=C C ，

所以特解 x x e e y

-+-=4．

(3分)

三、（8

分）计算曲面积分

∑

++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面2

21z y x --=的上侧．

解：添加辅助曲面1,0:2

21≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得

??∑

++y x z x z y z y x d d d d d d ??∑

+∑++=1

d d d d d d y x z x z y z y x ??∑++-

d d d d d d y x z x z y z y x (4分)

0d 3

-=???Ω

v (2分)

4213π

??=π2=． (2分)

四、（8分）设曲线积分?-+L

y x x xf x x yf d ])(2[d )(2在右半平面)0(>x 内

与路径无关，其中)(x f 可导，且满足1)1(=f ，求)(x f ．解：由

Q y P ??=??，得x x f x x f x f 2)(2)(2)(-'+=，即1)(21

)(=+

'x f x

x f ， (3分) 所以

)d (

)(d 21d 21C x

e x

f x x x x +=?

?-?

)

(

21C dx x x

+=?

)32

321C x x

+=-

， (3分)

代入初始条件，解得3

=C ，所以

x x f 3132)(+=． (2分)

五、（6分）求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值．

解：?????=-==-=0

33),(033),(2

x y y x f y x y x f y x 得驻点 )1,1(),0,0( (3分)

,6),(x y x f xx = ,3),(-=y x f xy y y x f yy 6),(=

在点)0,0(处，,092

>=-AC B 故)0,0(f 非极值；

在点)1,1(处，,0272

<-=-AC B 故1)1,1(-=f 是极小值． (3分)

六、（6分）试证：曲面)(x

y xf z =上任一点处的切平面都过原点．

证：因

()(x y f x y x y f x z '-=?? )(1)(x y f x x y f x y

'=?'=?? (3分) 则取任意点),,(0000z y x M ，有)(00

00x y f x z =，得切平面方程为

))(())](()([)(

000000000000y y x y

f x x x y f x y x y f x y f x z -'+-'-=- 即 0)()]()([0

000000=-'+'-

z y x y f x x y f x y x y f 故切平面过原点． (3分)

07A

一、填空题（每小题3分，共21分）

1．设向量}5,1,{},1,3,2{-==λb a ，已知a 与b

垂直，则=λ1

2．设3

),(,2,3π

===b a b a ，则=

-b a 6

3．yoz 坐标面上的曲线122

22=+b

z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为

122

22=++b

z a y x

4．过点)0,4,2(且与直线???=--=-+0

230

12z y z x 垂直的平面方程0832=+--z y x

5．二元函数)ln(y x x z +=的定义域为}0,0,({>+≥=y x x y x D

6．函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(gradf }

1,0,1{

7．设xy e z =，则=

dz )

(xdy ydx e xy +

8．设),(x y x xf u

=，f 具有连续偏导数，则=

??x

21f x

xf f -

9．曲线3

,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处的切向量=

}

3,2,1{ 10．交换积分顺序：??=

dx y x f dy 010),(??1

10),(x dy

y x f dx

11．闭区域Ω由曲面222

y x z

+=及平面1=z 所围成，将三重积分???Ω

dv z y x f ),,(化为柱

面坐标系下的三次积分为???π

θθθ201

),sin ,cos (r dz z r r f rdr d 12．设L 为下半圆周2

1x y

--=，则=

+?ds y x

L )(22

13．设L 为取正向圆周922

=+y x

，则=-+-?dy x x dx y xy L )4()22(2π18-

14．设周期函数在一个周期内的表达式为

?<≤≤<-=π

πx x

x x f 000)(则它的傅里叶级数在

π=x 处收敛于

15．若0lim ≠∞

→n

n u ，则级数∑∞=1

n n u 的敛散性是发散

16．级数∑∞

=1!

2n n n n

n 的敛散性是收敛

17．设一般项级数∑∞=1

n n u ，已知∑

∞

n n u 收敛，则∑∞

n n u 的敛散性是绝对收敛

18．微分方程05)

(23

=+'-''xy y y x 是 2 阶微分方程

19．微分方程044=+'+''y y y 的通解=

y x

x xe C e C 2221--+

20．微分方程x xe y y y 223=+'-''的特解形式为x

e b ax x 2)(+

二、（共5分）

设xy v y x u v u z ===,,ln 2

，求y

x z ????,

解：

]1)ln(2[1ln 222

2+=?+?=?????+?????=??xy y x y v u y v u x v v z x u u z x z

]1)ln(2[)(ln 23222--=?+-?=?????+?????=??xy y

x x v u y x v u y v v z y u u z y z 三、（共5分）

设022=-++xyz z y x ，求x

?? 解：令xyz z y x z y x F 22),,(-++=

xyz

xyz F x

xyz

xyz F z -=

xyz xyz yz F F x z

z x --=

-=?? 四、（共5分）

计算???Ω

xdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面1=++

z y x 所围成的闭区域

解：y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤Ω10,10,10:

???

?????----Ω

--==

x x dy y x x dx xdz dy dx xdxdydz 101010

)1(

1)2(21)1(213

1021

02=+-=-=??dx x x x dx x x

五、（共6分）计算

?-+-L

x dy y e dx y y e )1cos ()sin (，其中L 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22

解：添加有向辅助线段OA ,则有向辅助线段OA 和有向弧段OA 围成闭区域记为D ，根据格林公式

?-+-L

x dy y e dx y y e )1cos ()sin ( ???-+--=D

x x dy y e dx y y e dxdy )1cos ()sin (

0)2

(212

-=a π 38

1a π= 六、（共6分）

求幂级数∑∞

=-13

)3(n n

n x 的收敛域解：对绝对值级数，用比值判敛法

3131lim 333)1(3lim lim 1

1-=-?+=-+-=∞

→++∞

→+∞→x x n n n x n x u u n n n

n n n n n n 当

133

<-x 时，即60<

133

>-x 时，即60>

∞

=-1)1(n n

收敛

当6=x 时，级数∑∞

=11

n n

发散，故收敛域为)6,0[ 七、（共5分）计算dxdy z

??∑

，其中∑为球面1222=++z y x 在第一卦限的外侧

解：∑在xoy 面的投影xy D ：0,0,122

≥≥≤+y x y x

dxdy z ??∑

2 dxdy y x xy

D )1(2

--+=??rdr r d )1(2

??-=π

θ41

π8

八、（共7分）设

0)1(=f ，求)(x f 使dy x f ydx x f x

x )()](1

[ln ++

为某二元函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u

解：由x Q y P ??=

??，得)()(1ln x f x f x x '=+，即x x f x

x f ln )(1

)(=-' 所以

)ln 2

1()1ln ()ln ()(2

C x x C dx x x x C e

x e

x f dx

x dx

+=+?=+=????

---

带入初始条件，解得0=C

,所以x x x f 2ln 2

)(=

?++=)

,()0,0(22ln 2

)ln 21(ln ),(y x xdy x ydx x x y x u

??+=x

xdy x 002ln 210x xy 2

ln 2

07高数B

一、（共60分每题3分）

1. 设向量}4 ,2 ,6{-=a ，}2 ,1 ,{-=λb ，已知a 与b

平行,则=λ3-．

2. yoz 坐标面上的曲线12222=-c z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122

22=-+b

z a y x ． 3.

设3

),(,1,2π

===∧b a b a ,则a b -=3．

4. 设一平面经过点)1,1,1(，且与直线???=+=--0

42z y y x 垂直，则此平面方程为032=-+z y x ．

5. 二元函数12ln

2+-=x y z 的定义域为{}012|),(2>+-x y y x ．

6. 设xy

e z =，则=z d )d d (y x x y e xy +．

函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(grad f )1,0,1(．

8. 设(,)y u xf x x =，f 具有连续导数，则u x ?=?12

f xf f x

''+-． 9. 曲面1222=++z y x 在点)2,0,1(-处的法向量=n

{}4,0,2-． 10.

交换积分顺序：

??=100

d ),(d x

y y x f x

??101

d ),(d y x y x f y ．

11.闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成，将三重积

???Ω

v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为

???

2d ),sin ,cos (d d r

z z r r f r r θθθπ

．

12. 设∑是闭区域Ω的整个边界曲面的外侧,V 是Ω的体积，则 ??∑

++y x z x z y x y x d d d d d d =V 3．

13. 设L 为上半圆周21x y -=，则=+?

s y x d )(22π．

14.

设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<≤<-=,

0,0

,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收

敛于

．

得分

15. 若lim 0n n u →∞

≠，则级数

∑∞

n n

的敛散性是发散．

16. 级数∑∞

=1!

5n n n

n n 的敛散性是收敛．

17.级数

∑∞

=12

sin n n

的敛散性是收敛． 18. 微分方程06)(542=+'+''y y y x 是 2 阶微分方程． 19. 微分方程02=+'-''y y y 的通解为)

(21x C C e x +．

20.

微分方程x xe y y y 2365-=+'+''的特解的形式x

e bx ax y 22*)(-+=．

三、（共5分）函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，求

z ??．解：令=),,(z y x F z z y x 42

-++， (1分)

则 ,2x F x = ,42-=z F z (2分)

F F x z z x -=

-=??2 (2分) 五、（共6分）

计算曲线积分

+--L

y y x x y x d )sin (d )2(22，其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周

x y x 222=+．

解：添加有向辅助线段OA ，它与上半圆周围成的闭区域记为D ，根据格林公式

?+--L

y y x x y x d )sin (d )2(22

???+---+-=OA

y y x x y x y x d )sin (d )2(d d )21(22 (3分)

??=D

y x d d ?

-2

d x x 3

823212132

-=-??=ππ (3分)

七、（共6分）设0)1(=f ，确定)(x f 使y x f x x

x f x d )(d )]([sin +-为某二元函数(,)u x y 的全微分．

得分

解：由

y P ??=

?? 得 )()(sin x f x x f x '=-，即 x

x f x x f sin )(1)(=+

' (2分) 所以 )d sin ()(d x 1

d 1C x

e x

x e

x f x x x

+?=???-

)d sin (ln ln C x e x

x e x

x +?=?- (2分) )cos (1

C x x

+-=

， (1分) 代入初始条件，解得1cos =C ，所以)cos 1(cos 1

)(x x

x f -=

． (1分) 八、(共6分)

计算

∑

y x z d d 2，其中∑是球面1222=++z y x 外侧在,0≥x 0≥y 的部分．解：

??∑

y x z d d ??∑=1

d d y x z ??∑

d d y x (2分)

??--=

D y x y x d d )1(22??

----xy

D y x y x d )d 1()1(22 (2分) ??--=xy

D y x y x d )d 1(222

r r r d )1(d 21

220

?-=??π

θ 4

(2分)

08高数A

一、选择题（共24分每小题3分）

1．设{}1111,,p n m s =，{}2221,,p n m s =分别为直线1L ，2L 的方向向量，则1L 与2L 垂直的充要条件是（A ）

（A ）

212121=++p p n n m m （B ）

12121p p

n n m m ==（C ）

212121=++p p n n m m （D ）

2121=++p p n n m m 得分

2．Yoz 平面上曲线12+=y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C )

（A ）12+=y z （B ）22x y z +=（C ）122++=x y z （D ）x y z +=2

3．二元函数12ln

2+-=x y z 的定义域为（B ）

（A ）{}02|),(2>-x y y x （B ）{}012|),(2>+-x y y x （C ）{}012|),(2≤+-x y y x （D ）{}0,0|),(≥>y x y x

4．交换积分顺序：

100

d (,)d y

y f x y x =?? （ A ）

（A ）dy y x f dx x ??1

0),(（B ）dx y x f dy y ??1

0),(（C ）dx y x f dy y

??1

0),(（D ）dy y x f dx x

??1

),(

5．空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成，则三重积分???Ω

v d 2= （ C ）（A ）2 （B ）2π （C ）

38π （D ）3

4π 6．函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，则

??= （ D ）（A ）

y -2 （B ）

y x

-2 （C ）z

-2 （D ）

-2 7．幂级数∑∞

=13

n n n

n x 的收敛域是（ C ）

（A ）

][3,3- （B ）](3,0（C ） [)3,3- （D ）()3,3-

8．已知微分方程x

e y y y =-'+''2的一个特解为x xe y =*，则它的通解是（ B ）

（A ）x xe x C x C ++221（B ）x x x xe e C e C ++-221（C ）x e x C x C ++221（D ）x x x xe e C e C ++-21

二、填空题（共15分每小题3分）

1．曲面z y x =+22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012=--z x ． 2．若lim 0n n u →∞

≠，则级数

∑∞

n n

的敛散性是发散．

3．级数∑

∞

=12

cos n n

的敛散性是绝对收敛． 4．二元函数2

221

sin

)(),(x y x y x f +=，当()()0,0,→y x 时的极限等于 0 。 5．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为_____c xy =____________．

三、解答题（共54分每小题6分）

1．用对称式方程及参数方程表示直线

???=++-=+++04320z y x i z y x ?

?=++-=+++043201z y x z y x 解：因所求直线与两平面的法向量都垂直，于是该直线的方向向量为 {}3,1,43

12111--=-=k

j i s (4分)

在直线上找出一点，例如，取10=x 代入题设方程组得直线上一点

()2,0,1- （5分）

故题设直线的对称式方程为

1041-+=

--=-z y x (6分) 参数方程为

??--=-=+=t z t y t x 3241 （7分）

4．计算三重积分???Ω

+v y x d 22，其中Ω是平面2=z

及曲面22y x z +=所围成的区域（提示：利用柱面坐标计算）．

解：πθ20 ,20 ,2 :≤≤≤≤≤≤Ωr z r (3分)

???

+v y x d 22???=2

d d d r

z r r r πθ （6分）

8π

（7分） 5．计算曲线积分?+-L

y x x y d 2d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向

弧段．

解法1：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段AO 围成的闭区域记为D ，根据格林公式（2分）

????

+--=+-OA

y x x y y x y x x y d 2d d d 3d 2d (4分)

023π

= (6分)

解法2：直接求曲线积分

6．求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积。

解法1：设长方体的长、宽、高分别为z y x ,,，则题设问题归结为约束条件 0222),,(2=-++=a xz yz xy z y x ?

下，求函数xyz V =（z y x ,,均大于0）的最大值。（2分）

作拉格朗日函数

)222(),,,(2a xz yz xy xyz z y x L -+++=λλ （4分）由方程组

??=++==++==++=0

)(20)(20)(2x y xy L z x xz L z y yz L z y X λλλ （5分）

进而解得唯一可能的极值点 6

6a z y x =

== 由问题的本身意义知，该点就是所求的最大值点。故该问题的最大体积为 3

6a V =

（6分）解法2：从条件中解出z 代入目标函数中，再用无条件极值的办法求解。

7．计算()ds z y x ??∑

++，其中∑

为平面4=+z y 被柱面1622=+y x 所截的部分。

解：积分曲面∑

的方程为y z -=4，它在xoy 面上的投影为闭区域 (){}

16,22≤+=y x y x D xy （2分）

又 2122=++y x

z z 所以 ()ds z y x ??∑

++=()dxdy y y x xy

D 24??-++ （4分）

=()dxdy x xy

D ??+42=()rdr r d ??+πθθ20

cos 42 （5分）

π264= ππ

264216442=?==

??dxdy xy

D （6分）

8．将函数()

)1,1(,11

)(2

-∈-=x x x f 展开成x 的幂级数。

解法1：因为

{

}

()2

1111x x

- （2分）

而又

...........11132++++++=-n x x x x x

)1,1(-∈x （4分）

逐项求导，得

()

(32111)

122

+++++=--n nx x x x )1,1(-∈x （6分）

解法2：直接求展开式的系数，然后根据余项是否趋近于零确定收敛域。 9．求微分方程

()2

'1y

y +=的通解。

解：令u y =' 则原方程变为 2'

1u u

+= （2分）

分离变量后积分得 1arctan c x u += （4分）

则，

()1'tan c x y += （5分）

故原方程的通解为

()21cos ln c c x y ++-= （6分）

四、证明题（7分）

证

明：若函数),(y x f 在[]2211,b y a b x a R ≤≤≤≤上连续，()R ∈?βα,，令

[]βααβ≤≤≤≤y a x a R 21,，则

),(),(2

βαβ

ααβ

f dxdy y x f R =?????

证：已知),(y x f 在R 连续，()R ∈?βα,，设

????==β

αβ

βα2

),(),(),(a a R dy y x f dx dxdy y x f F （3分）

因为?=β

),()(a dy y x f x 在[]α,1a 连续，所以，有

?=??β

αα

),(a

dy y f F （5分）

又因为),(y f α在[]22,b a 上连续，所以有

),(2βαβ

αf F

=???

即

),(),(2

βαβ

ααβ

f dxdy y x f R =????? （7分）

08高数B

一、选择题（共24分每小题3分）

1．设两平面的法向量分别是{}1111,,c b a n =，{}2221,,c b a n =，则这两平面垂直的充要条件是（C ）

（A ）1212121=++c c b b a a （B ）

2121c c b b a a ==

（C ）0212121=++c c b b a a （D ）

2121=++c c b b a a 2．Yoz 平面上曲线2y z =绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( B )

（A ）12+=y z （B ）22x y z += （C ）122++=x y z （D ）x y z +=2

3．二元函数x y z -=

的定义域为（A ）

（A ）{}0

,|),(≥≥x x y y x （B ）{}01|),(>+x y x

（C ）{}x y y x ≥2|),( （D ）{}0,0|),(≥>y x y x

4．交换积分顺序： dy y x f dx x ??1

),( = （B ）

（A ）dx y x f dy y ??110),( （B ）dx y x f dy y

??010),(

（C ）dx y x f dy y

??1

0),( （D ）dy y x f dx x

??1

),(

5．空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成，则三重积分???Ω

v d 3= （ D ）

（A ）3 （B ）2π （C ）3

4π （D ）4π

6．函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，则

??= （A ）（A ）z

y -2 （B ）

x -2 （C ）

z z

-2 （D ）z

x -2