用导数研究函数的单调性教案
用导数研究函数单调性
【课 题】导数的应用—用导数研究函数的单调性
【教学目标】1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
【教学重点】利用导数判断函数单调性
【教学难点】如何用导数研究函数的单调性
【课 型】新授课
【教 具】多媒体
【引 例】
1、 确定函数243=-+y x x 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？ 解：2243(2)1y x x x =-+=--，在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数。 问：1、为什么243=-+y x x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数？
2、研究函数的单调区间你有哪些方法？
（1） 观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）
（2） 利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）
2、确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？
（1） 能画出函数的图象吗？那如何解决？试一试。提问一个学生：解决了吗？到哪一
步解决不了？（产生认知冲突）
（2） （多媒体放映）
【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f (x )=2x 3－6x 2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。（研究的必要性）事实上用定义研究函数243=-+y x x 的单调区间也不容易。
【探 究】
我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。 问：如何入手？（图象） 从函数f (x )=2x 3－6x 2+7的图象吗？
1、研究二次函数243=-+y x x 的图象；
（1）
学生自己画图研究探索。 （2）
提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？ （3）
（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。 （4）
提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？ （5） 学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。
得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）： ①该函数在区间(,2)-∞上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；
}都是反映函数随自变量的变化情况。
在区间(2,)+∞上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；
注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？
②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？
2、先看一次函数图象；
3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）
（1） 观察三次函数3y x =的图象；（几何画板演示）
（2） 观察某个函数的图象。（几何画板演示）
指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。
【新课讲解】
4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。（幻灯放映）
一般地，设函数()y f x =在某个区间可导，则函数在该区间内
如果在这个区间内'()0f x >，则()y f x =为这个区间内的增函数；
如果在这个区间内'()0f x <，则()y f x =为这个区间内的减函数。
若在某个区间内恒有'()0f x =，则()f x 为常函数。
这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。
小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。
结论应用：
由以上结论知：函数的单调性与其倒数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。下面举例说明：
【例题讲解】
例1、 求证：31y x =+在(,0)-∞上是增函数。
由学生叙述过程老师板书：
'3'2(1)2y x x =+=，(,0)x ∈-∞，20x ∴>，即'0y >，∴函数31y x =+在(,0)
-∞上是增函数。
注：我们知道3
1y x =+在R 上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。 学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。
例2、 确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 由学生叙述过程老师板书：
解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x , 令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0
∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数;当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数.
学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：
（1） 确定函数f (x )的定义域；
（2） 求函数f (x )的导数f ′(x ).
（3） 令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.
令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间
【课堂练习】
1．确定下列函数的单调区间
(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3
(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4)
令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.
∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4
.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)
(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1)
令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1.
∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1，1).
令－3(x +1)(x －1)＜0，解得x ＞1或x ＜－1.
∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
2、设)x (f y '=是函数)x (f y =的导数, )x (f y '=的
图象如图所示, 则)x (f y =的图象最有可能是( )
小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？
【课堂小结】
1.函数导数与单调性的关系:若函数y =f (x )在某个区间内可导,
如果f ′(x )>0, 则f (x )为增函数;如果f ′(x)<0, 则f (x )为减函数.
2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.
3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.
【思考题】
对于函数f (x )=2x 3－6x 2+7
思考1、能不能画出该函数的草图？
思考2、3
276x x +=在区间（0，2）内有几个解？ 【课堂作业】
课本p 42习题2.4 1,2
【课后记】
本节课是一节新授课，课本所提供的信息很简单，如果直接得出结论，学生也能接受，可学生只能进行简单的模仿应用。
为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课，设计思路如下，以便教会学生会思考解决问题：1、首先研究从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前的方法；
2、 从不熟悉的三次函数入手，使学生体会到以前的知识已不能解决，必须寻求一个新的
解决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性；
3、 从简单的、熟悉的函数图象入手，引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的
变化，再与新学的导数联系起来，形成结论。另外，也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。
4、 应用中重点指导学生的解题步骤，避免考试中隐性失分。
在今后的教学中，应注重学生的参与，引发认知冲突，教会学生思考问题。加强教案设计的合理性，语言做到准确、简练。节奏要把握好。
《3.3.1函数的单调性与导数》教学案
3.3.1《函数的单调性与导数》教学案 教学目标： 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授 1．问题：图3.3-1(1)，它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： (1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>． (2) 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减 函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在 点00(,)x y 处的切线的斜率． 在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的单调性 一、选择题 1.函数f (x )＝x ln x ，则( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在? ? ???0，1e 上递增 D.在? ? ???0，1e 上递减 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0得x >1 e ， 令f ′(x )<0得0
解析由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢. 答案 B 5.设函数f(x)＝1 2 x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值 范围是( ) A.(1，2] B.(4，＋∞] C.[－∞，2) D.(0，3] 解析∵f(x)＝1 2 x2－9ln x，∴f′(x)＝x－ 9 x (x>0)， 当x－9 x ≤0时，有0
函数单调性与导数教案
3.3.1函数的单调性与导数 【三维目标】 知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间 过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形 结合思想、转化思想。 情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。 【教学重点难点】 教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。 教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。 【教学方法】问题启发式 【教学过程】 一．复习回顾 复习 1：导数的几何意义 复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法，（图像法，定义法） 问题提出：判断y=x 2 的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成） 那么如何判断();,0,sin )(π∈-=x x x x f 的单调性呢？引导学生图像法，定义去尝试发觉有困难，引出课题：板书课题：函数的单调性与导数 二．新知探究 探究任务一：函数单调性与其导数的关系： 问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数105.69.4)(2 ++-=t t t h 的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度5.68.9)(')(+-==t t h t V h 的图像. 通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从最高点 到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发 现)(')(t h t h 和这两个函数图像有什么联系吗? 启发: 函数)(t h 在(0,a)上位增函数， 函数)('t h 在(0,a)
【公开课教案】《函数的单调性与导数》教学设计
《函数的单调性与导数》教学设计 【课题】函数的单调性与导数 【教材】湘教版《高中数学》选修2-2 【课时】1课时 【教材分析】 函数的单调性与导数是湘教版选修2-2第四章第三课第一节的内容.在学习本节课之前学生已经学习了函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二课中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备. 函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点.以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用.同时，在本课第二节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助.因此，学习本节内容具有承上启下的作用. 【学生学情分析】 课堂学生为高二年级的的学生，学生基础普遍比较好，但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过，因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点. 在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性. 【教学目标】 知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法. 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想. 教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯. 自主探究点：通过问题的探究，体会知识的类比迁移.以已知探求未知，从特殊到 一般的数学思想方法. 【教学重点】 利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 【教学难点】 ⒈探究函数的单调性与导数的关系; ⒉如何用导数判断函数的单调性. 【教学方法】 启发式教学 【课时安排】 1 课时 【教学准备】 多媒体课件. 【教学设计说明】
利用导数研究函数的单调性和极值(答案)
小题快练 1．(2013全国Ⅰ卷理)设曲线1 1 x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．1 2 - D ．2- 2．(2013全国Ⅰ卷改编)设函数2 )1()(x e x x f x --=，则函数()f x 的单调递增区间 为 ,单调递减区间为 . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时, ()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=- 令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表: 右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. 3.(2013湖北理)若f(x)=2 1ln(2)2 x b x - ++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（C ） A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1） 4.已知函数x bx ax x f 3)(2 3 -+=在1±=x 处取得极值. （1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数f (x )的极大值还是极小值； （2）过点)16,0(A 作曲线y= f (x )的切线，求此切线方程. （1）解：323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即 ?? ?=--=-+. 0323, 0323b a b a 解得0,1==b a . ∴)1)(1(333)(,3)(2 3 -+=-='-=x x x x f x x x f . 令0)(='x f ，得1,1=-=x x . 若),1()1,(∞+--∞∈Y x ，则0)(>'x f ，故 f (x )在)1,(--∞上是增函数， f (x )在),1(∞+上是增函数. 若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故f (x )在)1,1(-上是减函数. 所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值. （2）解：曲线方程为x x y 33 -=，点)16,0(A 不在曲线上. 设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足03 003x x y -=. 因)1(3)(2 00-='x x f ，故切线的方程为))(1(3020 0x x x y y --=- 注意到点A （0，16）在切线上，有 )0)(1(3)3(16020030x x x x --=-- 化简得83 0-=x ，解得20-=x . 所以，切点为)2,2(--M ，切线方程为0169=+-y x .
利用导数研究函数的单调性问题
利用导数研究函数的单调性问题 浙江省湖州中学 李连方 一．学情分析 本人任教的两个班级均侧文，数学基础较薄弱．学生已基本掌握利用导数对常系数的单调区间求解，但是对含参数单调性问题常常一筹莫展，找不到分类的标准或者分类不合理、不完整． 二．教学目标 用导数讨论函数的单调性，是运用导数解决函数的极值、函数的最值的基础，所以本节复习课首先要让学生理解函数单调性和导数的关系，会用导数讨论含参函数的单调性，让学生理解含参函数单调性问题实质是解不等式问题，而解不等式问题实质是根的问题．其次，逐步使学生意识到要合理准确地分类讨论问题，体会到分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要地对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，然后综合各类结果得到整个问题的解答，其实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”．在分类讨论时，时刻注意：一要分类对象确定，标准统一；二要不重复，不遗漏；三要分层次，不越级讨论． 三．教学重点和难点 本节课的教学重点是能使学生明确产生分类讨论的标准，能合理、准确和完整地进行分类讨论．本节课的教学难点是分类标准难以把握，本节课试图从方程的根的角度来突破难点． 四．教学设计 【例1】（《创计新设》第42页）已知函数2()ax f x x e -=?，a R ∈． （Ⅰ）当=1a 时，求函数()y f x =的图象在点()()1,1f --处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()y f x =的单调性． 分析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）由题意得() 2()2ax f x x ax e -'=-?， 其中22=0x ax -根为0x =或2x a = ()0a ≠． ①当=0a 时，若0x <，则()0f x '<；若0x >，则()0f x '>． 所以当=0a 时，函数f (x )在区间()0-∞，上为减函数，在区间()0+∞，上为增函数． ②当0a >时，当0x <或2x a >时，()f x '；当20x a <<时，()f x '． 所以函数()y f x =在区间()0-∞，与2 +a ??∞ ???，上为减函数，在20a ?? ???，上为增函数． 【设计意图】1．让学会认识到函数的单调性、函数的单调区间和极值等问题，最终归结到判断()f x '的符号问题上，而()0f x '>或()0f x '<，最终可转化为解不等式问题．若含参数，则含参数的不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题； 2．让学生体会解不等式实质在解不等式对应的方程的根． 【例2】（2008年浙江省高考试题改编）已知a 是实数，函数())f x x a = -． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； 分析：函数的定义域为[0)+∞，，
《导数与函数的单调性》教学设计
《导数与函数的单调性》教学设计 【教学目标】 1. 知识与技能 （1）会用导数解决函数的单调性问题。 （2）能利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立他们的导数模型。 2. 过程与方法通过利用导数研究函数单调性问题的过程，体会从特殊到一般的数形结合的研究方法。 3. 情感态度与价值观 (1)通过导数方法研究单调性的问题，体会不同数学知识间的内在联系，认识数学是一个有机整体。 (2)通过导数研究单调性的基本不骤的形成和使用，是的学生认识到导数使一些复杂问题变的有矩可循，因而认识到导数的实用价值。 【教学重难点】 重点:利用导数的方法判定函数的单调性。 难点:导数与函数单调性的关系。 【教学设计思路】通过观察发现，启发引导，探究导函数与函数单调性之间的联系，得出结论。 【教学方法】观察发现，启发引导。 【教学手段】运用多媒体和板书。 【教学过程】 1. 问题激发，新课导入教师:我们知道，对于函数y=f(x) 来说，导数y=f’(x) 刻画的是y 在x点的瞬时变化率，函数的单调性描述的是y 随x的增加而减少，两者都是刻画函数的变化，那么，导数与函数单调性之间有什么关系呢? 2. 实践感知，新知形成教师:用多媒体展示几个函数的解析式，让学生求出以上6个函数的导函数。 (1)y=f(x)=2x+5 (2)y=f(x)=-3x+4 (3)y=f(x)=2x (4)y=f(x)=(12)x (5)y=f(x)=log3x (6)y=f(x)=log12x 学生： (1)f’(x)=2 (2)f’(x)=-3 (3)f’(x)=2xln2 (4)f’(x)=(12)xln12 (5)f’(x)=1xln3 (6)f’(x)=1xln12 教师:用多媒体展示这6个函数的图像，以及导函数的图像，并让学生观察各个点导函数的值与函数单调性有什么关系?同学间可以相互交流，(因制作了flash动画，只要教师拖动切点在曲线上运动，就能看到每一点切线斜率的值) 学生：函数（1）（3）（5）上各点的斜率都是正的，函数（2）（4）（6）上各点切线的斜率都是负的。 教师：我们知道各点切线的斜率就是各点的导数值。 学生: 函数（1）（3）（5）的导数是正的，函数（1）（3）（5）就是递增的，函数（2）（4）（6）的导数都是负的，函数（2）（4）（6）就是递减的。
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力，
1.3.1函数的单调性与导数教案
§1.3.1函数的单调性与导数 【教学目标】 1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法。 【教学重点】利用导数判断函数单调性。 【教学难点】利用导数判断函数单调性。 【内容分析】 以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。 在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。 【教学过程】 一、复习引入 1． 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=． 2．法则1 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? ． 3．复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x )． 4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 5．对数函数的导数： x x )'(ln = e x x a a log 1 )'(log =． 6．指数函数的导数：x x e e =)'(； a a a x x ln )'(=． 二、讲解新课 1． 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数 342+-=x x y 的图像 可以看到： 在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x) 的 y =f (x )=x 2－4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2，+∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2) 减函数 负 ＜0 3 2 1 f x () = x 2-4?x ()+3 x O y B A
1.3.1函数的单调性与导数教案
1.3.1函数的单调性与导数教案 谷城一中杨超 教学目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点：探索函数的单调性与导数的关系，求单调区间. 教学难点：利用导数判断函数的单调性 教学过程 一．回顾与思考 1、函数单调性的定义是什么？ 2、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成） 3、函数x =怎么判断单调性呢？还有其他方法吗？ 22+ x y ln 二．新知探究函数的单调性与导数之间的关系 【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个Array基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反 映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数 是否有着某种内在的联系呢? 【思考】如图（1），它表示跳水运动中高度h随 时间t变化的函数2 =-++的图像，图 h t t t () 4.9 6.510 （2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函 数' ==-+的图像．运动员从起跳到最 v t h t t ()()9.8 6.5 高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？ 【探究】通过观察图像，我们可以发现： （1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即() h t是增函数．相应地，' =>． v t h t ()()0 Array（2）从最高点到入水，运动员离水面的 高h随时间t的增加而减少，即() h t是减函 数．相应地' v t h t ()()0 =<， 【思考】导数的几何意义是函数在该点 处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切 线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与
利用导数研究函数的单调性超好复习题型)
利用导数研究函数的单调性 考点一 函数单调性的判断 知识点： 函数()f x 在某个区间(),a b 内的单调性与其导数的正负关系 （1）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递增； （2）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递减； （3）若 ，则()f x 在(),a b 是常数函数. 1、求下列函数的单调区间. （1）()ln f x x e x =+ （2）2 1()ln 2 f x x x =- （3）()()3x f x x e =- （4）()2x f x e x =- （5）()3ln f x x x =+ （6）ln ()x f x x = （7）2()(0)1 ax f x a x =>+ （8）32333()x x x x f x e +--=
2、讨论下列函数的单调性. （1）()ln (1),f x x a x a R =+-∈ （2）3(),f x x ax b a R =--∈ （3）2 ()ln ,2 x f x a x a R =-∈ （4）32(),,f x x ax b a b R =++∈ （5）2()(22),0x f x e ax x a =-+> （6）2 1()2ln (2),2 f x x a x a x a R =-+-∈ （7）2()1ln ,0f x x a x a x =-+-> （8）221 ()(ln ),x f x a x x a R x -=-+∈
3、已知函数32(),f x ax x a R =+∈在4 3 x =-处取得极值. （1）确定a 的值； （2）若()()x g x f x e =，讨论函数()g x 的单调性. 4、设2 ()(5)6l n ,f x a x x a R = -+∈，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴相交于点()0,6. （1）确定a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间. 5、（2016全国卷2节选）讨论2()2 x x f x e x -=+的单调性， 并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>. 6、(2016年全国卷1节选)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.讨论()f x 的单调性.
函数的单调性与导数教案
函数的单调性与导数教案 一、目标 知识与技能：了解可导函数的单调性与其导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。 过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 二、重点难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过4次的多项式函数的单调区间 教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过4次的多项式函数的单调区间 三、教学过程： 函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便． 四、学情分析 我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。 五、教学方法
发现式、启发式 新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1．学生的学习准备： 2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排： 1课时 八、教学过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 提问 1．判断函数的单调性有哪些方法？ （引导学生回答“定义法”，“图象法”。） 2．比如，要判断y=x2的单调性，如 何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。） 3．还有没有其它方法？如果遇到函数： y=x3－3x判断单调性呢？（让学生短时 间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，
第2讲第1课时利用导数研究函数的单调性 (1)
第2讲 导数的应用 一、选择题 1.函数f (x )＝x ln x ，则( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在? ????0，1e 上递增 D.在? ?? ??0，1e 上递减 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0得x >1e ，令f ′(x )<0 得0
上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢.答案 B 5.设函数f(x)＝1 2x 2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范 围是() A.(1，2] B.(4，＋∞] C.[－∞，2) D.(0，3] 解析∵f(x)＝1 2x 2－9ln x，∴f′(x)＝x－9x(x>0)， 当x－9 x≤0时，有0
《函数的单调性与导数》-教学设计
《函数的单调性与导数》-教学设计
《函数的单调性与导数》教学设计 一、设计理念 基于新课标提出的教学要面向全体学生、提倡探究性学习，我倡导“主动参与，乐于探究，交流合作与联系实际”的教学理念，借助多媒体的简洁性、直观性和交互性，注重与现实生活的紧密性，充分调动每位学生的学习热情，建立以“学为主体、教为主导、疑为主轴、动为主线”的教学模式。 二、教学分析 （一）教学内容分析 《函数的单调性与导数》是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章《导数及其应用》的内容.本节课主要学习函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.本节的教学内容属于导数的应用,是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容,学好它既可加深对导数的理解,又可为后面研究函数的极值和最值打好基础. （二）教学对象分析 学生在高一时已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义、图像的方法解决函数单调性问题。高二的学生对高中的数学体系已经有了一定的认识，具有了较强的分析问题、解决问题的能力. （三）教学环境分析 针对学生面临的问题和本课的重难点，我决定运用文字、视频、几何画板等多媒体资源进行辅助教学，多媒体教学具有信息量大、直
观性强的特点，能提高教学效率,取得更好的教学效果，因此在多媒体教室授课. 三、教学目标 根据新课标要求和对教材的分析，并结合学生的认知特点，确定如下几个方面为本课的教学目标： （一）知识与技能 1．探索函数的单调性与导数的关系； 2．会利用导数判断函数的单调性并会求函数的单调区间； 3．探索三次函数的单调性与系数之间的关系. （二）过程与方法 1．通过对函数单调性与导数关系的探究，让学生经历从具体到抽象，从感性到理性，从特殊到一般的认知过程； 2．培养学生观察、分析、归纳、抽象的能力和语言的表达能力，领会由特殊到一般，一般到特殊的数学方法，渗透数形结合思想和化归的思想. (三)情感态度价值观 1．通过创设情境，激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度； 2．通过在教学过程中让学生多动手、细观察、勤思考、善总结，培养学生的探究精神. 四、教学重难点 对于函数的单调性与导数的关系，学生的认知困难主要体现在：
高中数学《导数在研究函数中的应用-函数的单调性与导数》教案1
1.3.1函数的单调性与导数（一） 一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性. 教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 三、教学过程 （一）复习引入 1．增函数、减函数的定义 一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数． 2．函数的单调性 如果函数y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f(x) 的单调区间． 在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的． 例1讨论函数y＝x2－4x＋3的单调性． 解：取x1＜x2，x1、x2∈R，取值 f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差 ＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 变形 当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)，定号 ∴y＝f(x)在(－∞, 2)单调递减．判断 当2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)， ∴y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y＝f(x)在(－∞, 2)单调递减，y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增。 能否利用导数的符号来判断函数单调性？
一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内可导， 如果f (x )'＞0，则f (x )为增函数； 如果f (x )'＜0，则f (x )为减函数． 例2．教材P24面的例1。 例3．确定函数f(x)＝x 2 －2x ＋4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 解： f(x)'＝2x －2． 令2x －2＞0，解得x ＞1． 因此，当x ∈(1, +∞)时，f (x )是增函数． 令2x －2＜0，解得x ＜1． 因此，当x ∈(－∞, 1)时，f (x )是减函数． 例4．确定函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 解：f (x )'＝6x 2 －12x ． 令6x 2－12x ＞0，解得x ＜0或x ＞2． 因此，当x ∈(－∞, 0)时，函数f(x)是增函数， 当x ∈(2, ＋∞)时， f (x )也是增函数． 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2． 因此，当x ∈(0, 2)时，f (x )是减函数． 利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数； (3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间． 练习1：教材P24面的例2 利用导数的符号来判断函数单调性: 设函数y ＝f (x )在某个区间内可导 (1)如果f '(x )＞0 ，则f (x )为严格增函数； (2)如果f '(x )＜0 ，则f (x )为严格减函数． 思考：（1）若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的什么条件？ 若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的充分而非必要条件． 例如 f (x )＝x 3 ，当x =0，f '(x )=0，x ≠0时，f '(x )>0，函数 f (x )＝x 3 在(－∞,＋ ∞)上是增函数． （2）若f '(x ) ＝0在某个区间内恒成立，f (x )是什么函数 ？ 若某个区间内恒有f '(x )＝0，则f (x )为常数函数．
函数的单调性与导数 获奖教案
教材分析 “函数单调性与导数”是高中数学（选修1-1）第三章导数及其应用的第三节，本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础. 由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性.通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性. 课时分配 本节内容用1课时完成，主要经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活. 教学目标 重点：利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 难点：⒈探究函数的单调性与导数的关系; ⒉如何用导数判断函数的单调性. 知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法. 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想.
教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯. 自主探究点：通过问题的探究，体会知识的类比迁移.以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法. 考试点：利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 易错易混点：导数的正负决定函数的单调性，而不是导数的单调性决定函数的单调性. 教具准备：多媒体课件,三角板 课堂模式：学案导学 一.引入新课 师：判断函数的单调性有哪些方法比如判断2x y =的单调性，如何进行 生：用定义法、图像法. 师： 因为二次函数的图像我们非常熟悉,可以画出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有需要注意的地方 生：注意定义域. 师：如果遇到函数x x y 33-=，如何判断单调性呢你能画出该函数的图像吗 师：定义是解决问题的最根本方法，但定义法较繁琐,又不能画出它的图像，那该如何解决呢 揭示并板书课题：函数的单调性与导数 【设计意图】通过复习回顾，巩固旧知.从已学过的知识（判断二次函数的单调性）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣.
导数研究函数单调性
导数研究函数单调性 1.函数的导数与单调性的关系 函数y ＝f (x )在某个区间内可导，则 (1)若f ′(x )＞0，则f (x )在这个区间内单调递增； (2)若f ′(x )＜0，则f (x )在这个区间内单调递减； (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数函数． 例1（1）函数f (x )＝x ·e x －e x ＋1 的递增区间是( ) A ．(－∞，e) B ．(1，e) C ．(e ，＋∞) D ．(e －1，＋∞) （2）已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )的单调递减区间是________． （3）(2020·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是______________________． 例2已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1 x 2，a ∈R.讨论f (x )的单调性． 1.函数y ＝12x 2 －ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞) 2. (2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝1 x －x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．
3.已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2 ＋bx ，其中g (x )的函数图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴． (1)确定a 与b 的关系； (2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性． 题型二 已知函数单调性求参 例3 设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2 ＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (1)求b ，c 的值； (2)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间； (3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围． 1．在本例第(3)问中，若改为g (x )在(－2，－1)内为减函数，如何解？ 2．在本例第(3)问中，若g (x )的单调递减区间为(－2，－1)，求a 的值？ 3．在本例第(3)问中，若g (x )在(－2，－1)上不单调，求a 的取值范围？
用导数研究函数的单调性教案
用导数研究函数单调性 【课 题】导数的应用—用导数研究函数的单调性 【教学目标】1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 【教学重点】利用导数判断函数单调性 【教学难点】如何用导数研究函数的单调性 【课 型】新授课 【教 具】多媒体 【引 例】 1、 确定函数243=-+y x x 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？ 解：2243(2)1y x x x =-+=--，在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数。 问：1、为什么243=-+y x x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数？ 2、研究函数的单调区间你有哪些方法？ （1） 观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的） （2） 利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义） 2、确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？ （1） 能画出函数的图象吗？那如何解决？试一试。提问一个学生：解决了吗？到哪一 步解决不了？（产生认知冲突） （2） （多媒体放映） 【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f (x )=2x 3－6x 2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。（研究的必要性）事实上用定义研究函数243=-+y x x 的单调区间也不容易。 【探 究】 我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。 问：如何入手？（图象） 从函数f (x )=2x 3－6x 2+7的图象吗？ 1、研究二次函数243=-+y x x 的图象； （1） 学生自己画图研究探索。 （2） 提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？ （3） （开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。 （4） 提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？ （5） 学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。 得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）： ①该函数在区间(,2)-∞上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负； }都是反映函数随自变量的变化情况。
- 导数研究函数单调性
- 导数在研究函数中的应用函数的单调性与导数
- 4.3.1利用导数研究函数的单调性(1)
- 利用导数研究函数的单调性
- 第18讲 利用导数研究函数的单调性(原卷版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
- 利用导数研究函数的单调性(文同步)
- 《导数在研究函数中的应用-单调性》课件4(人教A版选修1-1)
- 4.用导数研究函数的单调性(含参分类讨论型)
- [利用导数研究函数的单调性]《导数与函数的单调性》教学反思
- 第18讲 利用导数研究函数的单调性(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
- 导数讨论含参单调性习题(含详解答案)
- 高考理科数学复习利用导数研究函数的单调性课件
- 利用导数研究函数的单调性
- 《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿
- 高中数学之导数研究函数的单调性含答案
- 利用导数研究函数的单调性的题型分析
- 利用导数研究函数的单调性(超好复习题型)
- 利用导数研究函数的单调性
- (完整版)利用导数研究函数的单调性(超好复习题型)
- 利用导数研究函数的单调性之二阶求导型