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第十三章 排列组合与概率

一、基础知识1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。

2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。

3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用表示，=n(n-1)…(n-m+1)=

m

n A m

n A ,其中m,n ∈N,m ≤n,

)!

(!

m n n -注：一般地=1，0！=1，=n!。

n A n

n A 4．N 个不同元素的圆周排列数为=(n-1)!。

n

A n n

5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用表示：

m

n C .

)!

(!!

!)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--=

6．组合数的基本性质：（1）；（2）；（3）

；（4）m

n n

m

n C C -=1

1--+=n n m n m n C C C k

n k n C C k

n =--11；（5）；（6）

n n

k k

n n n

n

n

C C C C 20

10

==+++∑= 111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C 。

k n m n m k k n C C C --=7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为。

1

1--n r C [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有种。故定

1

1--n r C

理得证。

推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.

1r

r n C -+推论2 从n 个不同元素中任取m 个允许元素重复出现的组合叫做n 个不同元素的m 可重组合，其组合数为.

1m

m n C -+8．二项式定理：若n ∈N +,则(a+b)n =.

n

n n r r n r n n n n n n

n b C b a C b a C b a C a C +++++---2221

1

其中第r+1项T r+1=叫二项式系数。

r

n r r

n r

n C b a

C ,-9．随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率

总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A 发n

m

生的概率，记作p(A),0≤p(A)≤1.

10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n 种等可能出现的结果，其中事件A 包含的结果有m 种，那么事件A 的概率为p(A)=

.n

m 11.互斥事件：不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥，那么A 1，A 2，…，A n 中至少有一个发生的概率为p(A 1+A 2+…+A n )= p(A 1)+p(A 2)+…+p(A n ).

12．对立事件：事件A ，B 为互斥事件，且必有一个发生，则A ，B 叫对立事件，记A 的对立事件为。由定义知p(A)+p()=1.

A A 13．相互独立事件：事件A （或

B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

14．相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即p(A?B)=p(A)?p(B).若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率为p(A 1?A 2? … ?A n )=p(A 1)?p(A 2)? … ?p(A n ).

15.独立重复试验:若n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n 次试验是独立的.

16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n 次独立重复试验中,这个事件恰好发生k 次的概率为p n (k)=?p k (1-p)n-k .

k

n C 17．离散型随机为量的分布列：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量，ξ可以取的值有0,1,2,…,10。如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。

一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1,x 2,…,x i ,…,ξ取每一个值x i (i=1,2,…)的概率p(ξ=x i )=p i ，则称表

ξx 1x 2x 3…x i …p

p 1

p 2

p 3

…

p i

…

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列，称E ξ=x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n +…为ξ的数学期望或平均值、均值、简称期望，称D ξ=(x 1-E ξ)2?p 1+(x 2-E ξ)2?p 2+…+(x n -E ξ)2p n +…为ξ的均方差，简称方差。叫随机变量ξ的标准差。

ξD

18．二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中，这个事件恰好发生k 次的概率为p(ξ=k)=, ξ的分布列为

k

n k

k

n q

p C -ξ0

1

…x i

…N

p

n n q

p C 001

11-n n q

p C …

k

n k k n q

p C -…

n

n n p

C 此时称ξ服从二项分布，记作ξ～B(n,p).若ξ～B(n,p)，则E ξ=np,

D ξ=npq,以上q=1-p.

19.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个随机变量，若在一次试验中该事件发生的概率为p ，则p(ξ=k)=q k-1p(k=1,2,…)，ξ的分布服从几何分布，E ξ=

，D ξ=(q=1-p).p 1

2p

q 二、方法与例题1．乘法原理。

例1 有2n 个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？[解] 将整个结对过程分n 步，第一步，考虑其中任意一个人的配对者，有2n-1种选则；这一对结好后，再从余下的2n-2人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者，有2n-3种选择，……这样一直进行下去，经n 步恰好结n 对，由乘法原理，不同的结对方式有(2n-1)×(2n-3)×…×3×1=

.

)

!(2)!

2(n n n ?2．加法原理。

例2 图13-1所示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种？[解] 断路共分4类：1）一个电阻断路，有1种可能，只能是R 4；2）有2个电阻断路，有-1=52

4C 种可能；3）3个电阻断路，有=4种；4）有4个电阻断路，有1种。从而一共有1+5+4+1=113

4C 种可能。3．插空法。

例3 10个节目中有6个演唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式？

[解] 先将6个演唱节目任意排成一列有种排法，再从演唱节目之间和前后一共7个位置6

6A 中选出4个安排舞蹈有种方法，故共有=604800种方式。

4

7A 4

76

6A A ?4．映射法。例4 如果从1，2，…，14中，按从小到大的顺序取出a 1,a 2,a 3使同时满足：a 2-a 1≥3,a 3-a 2≥3，那么所有符合要求的不同取法有多少种？

[解] 设S={1,2,…,14}，={1，2，…，10}；T={(a 1,a 2,a 3)| a 1,a 2,a 3∈S,a 2-a 1≥3,a 3-a 2≥'S 3},={()∈

},若

，

令

'T '

3'

2'

1,,a a a '

3'2'1'3'2'1,',,|'a a a S a a a S <<∈'),,('

3'2'1T a a a ∈，则(a 1,a 2,a 3)∈T,这样就建立了从到T 的映射，它显然

4,2,'

33'22'11+=+==a a a a a a 'T

是单射，其次若(a 1,a 2,a 3)∈T,令，则，从4,2,'33'22'11-=-==a a a a a a '),,('

3'2'1T a a a ∈而此映射也是满射，因此是一一映射，所以|T|==120，所以不同取法有120种。3

10|'|C T =5．贡献法。

例5 已知集合A={1，2，3，…，10}，求A 的所有非空子集的元素个数之和。[解] 设所求的和为x ，因为A 的每个元素a ，含a 的A 的子集有29个，所以a 对x 的贡献为29，又|A|=10。所以x=10×29.

[另解] A 的k 元子集共有个，k=1,2,…,10，因此，A 的子集的元素个数之和为

k

C 1010×29。

=+++=+++)(101029919091010210110C C C C C C 6．容斥原理。

例6 由数字1，2，3组成n 位数(n ≥3)，且在n 位数中，1，2，3每一个至少出现1次，问：这样的n 位数有多少个？

[解] 用I 表示由1，2，3组成的n 位数集合，则|I|=3n ，用A 1，A 2，A 3分别表示不含1，不含2，不含3的由1，2，3组成的n 位数的集合，则|A 1|=|A 2|=|A 3|=2n ，|A 1A 2|=|A 2A 3|=|A 1 A 3|=1。|A 1A 2A 3|=0。 所以由容斥原理|A 1A 2A 3|=

=3×2n -3.所以满足

||||||3213

1

A A A A A A

j

i j i i i

+-∑∑≠=条件的n 位数有|I|-|A 1A 2A 3|=3n -3×2n +3个。

7．递推方法。

例7 用1，2，3三个数字来构造n 位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n 位数中，问：能构造出多少个这样的n 位数？

[解] 设能构造a n 个符合要求的n 位数，则a 1=3，由乘法原理知a 2=3×3-1=8.当n ≥3时：1）如果n 位数的第一个数字是2或3，那么这样的n 位数有2a n-1；2）如果n 位数的第一个数字是1，那么第二位只能是2或3，这样的n 位数有2a n-2，所以a n =2(a n-1+a n-2)(n ≥3).这里数列{a n }的特征方程为x 2=2x+2，它的两根为x 1=1+,x 2=1-,故a n =c 1(1+)n + c 2(1+)n ,由3333a 1=3,a 2=8得，所以3

223,3

23221-=

+=c c ].

)31()31[(3

4122++--+=

n n n a 8．算两次。

例8 m,n,r ∈N +，证明： ①

.0

2

2

110

m r n r m

n r m n r

m n r C C C C C C C C C m n ++++=--+ [证明] 从n 位太太与m 位先生中选出r 位的方法有种；另一方面，从这n+m 人中选出k r

m n C +位太太与r-k 位先生的方法有种，k=0,1,…,r 。所以从这n+m 人中选出r 位的方法有

k

r m k

n C C -种。综合两个方面，即得①式。

110m r n r m n r m n C C C C C C +++- 9．母函数。

例9 一副三色牌共有32张，红、黄、蓝各10张，编号为1，2，…，10，另有大、小王各

一张，编号均为0。从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值：每张编号为k 的牌计为2k 分，若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。[解] 对于n ∈{1,2,…,2004},用a n 表示分值之和为n 的牌组的数目，则a n 等于函数f(x)=(1+)2?(1+)3????…?(1+)3的展开式中x n 的系数（约定|x|<1），由于f(x)=[ 0

2x 12x 10

2x x

+11

(1+)(1+)?…?(1+)]3=

3 =3

。0

2x 12x 10

2x

)1()1)(1(11123x x x --+)1()

1)(1(11122

2x x x ---而0≤2004<211，所以a n 等于

的展开式中x n 的系数，又由于=22)1)(1(1x x --2

2)1)(1(1x x --?=(1+x 2+x 3+…+x2k+…)[1+2x+3x 2+…+(2k+1)x 2k +…],所以x 2k 在展开式中的211x -2

)

1(1

x -系数为a 2k =1+3+5++(2k+1)=(k+1)2,k=1,2,…,从而，所求的“好牌”组的个数为a 2004=10032=1006009.10．组合数的性质。

k

n C 例10 证明：是奇数(k ≥1).k m C 12-[证明] =令i=k

m C

1

2-?-??-?-=???+----k

k

k k m m m m m m 222211221)112()22)(12( i

t 2?p i (1≤i ≤k)，p i 为奇数，则，它的分子、分母均为奇数，i i t m i

t i

t m p p p p m i i i i

i -=-=--22222因是整数，所以它只能是若干奇数的积，即为奇数。k

m C 12-例11 对n ≥2,证明：.

422n

n n n C <<[证明] 1）当n=2时，22<=6<42；2）假设n=k 时，有2k <<4k ,当n=k+1时，因为

24C k

k C 2.

1

)12(2!)!1()!12(2)!1()!1()]!1(2[21

)1(2k

k k k C k k k k k k k k C ?++=?++?=+++=

++又<4，所以2k+1<.

1

)12(22++<

k k 1

21)1(22442+++<<

例12 若n ∈N, n ≥2，求证：.

3112

?

??+

n [证明] 首先其次因为

,2111112210>?++?+?+=??

? ??+n n

n n n n n

n C n C n C C n

，所以 2+)2(111)1(1!1!)1()1(1≥--=-≤

k k

n =??

? ??+n

n 11得证。.3131113121211121122

<-=--++-+-+

n n n n

C n C n

n

n n 例13 证明：

).

(1

10

n m h C C C

m n h k n

k h

m k n ≤≤=?++=--∑[证明] 首先，对于每个确定的k ，等式左边的每一项都是两个组合数的乘积，其中是h

m k n C --(1+x)n-k 的展开式中x m-h 的系数。是(1+y)k 的展开式中y k 的系数。从而?就是h

k C h

m k n C --h

k C (1+x)n-k ?(1+y)k 的展开式中x m-h y h 的系数。于是，

就是展开式中x m-h y h 的系数。

h k

n

k h

m k

n C C

?∑=--0

∑=-++n

k k k n y x 0

)1()1(另一方面，

=

=

∑=-++n

k k k n y x 0

)1()1(y

x y C x C

y x y x n k k

k n n k k

k n n n --=

+-++-+∑∑+=++=+++1

11

1

1

1)

1()1()1()1(?=(x k-1+x k-2y+…+y k-1)，上式中，x m-h y h 项的系数恰为。∑+=+1

1

n k k

k n x C y x y x k k --∑+=+101n k k n C 1

1++m n C 所以

.

1

10

++=--=?∑m n n

k h k h m k n C C C

12．概率问题的解法。

例14 如果某批产品中有a 件次品和b 件正品，采用有放回的抽样方式从中抽取n 件产品，问：恰好有k 件是次品的概率是多少？[解] 把k 件产品进行编号，有放回抽n 次，把可能的重复排列作为基本事件，总数为(a+b)n （即所有的可能结果）。设事件A 表示取出的n 件产品中恰好有k 件是次品，则事件A 所包含的基

本事件总数为?a k b n-k ，故所求的概率为p(A)=k n

C .

)(n

k

n k k n

b a b a C +-例15 将一枚硬币掷5次，正面朝上恰好一次的概率不为0，而且与正面朝上恰好两次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。

[解] 设每次抛硬币正面朝上的概率为p ，则掷5次恰好有k 次正面朝上的概率为(1-p)5-k

k p C 5k (k=0,1,2,…,5)，由题设

，且0

53225)1()1(p p C p p C -=-3

1

=

p 次正面朝上的概率为.

3434032312

3

35=??

? ?????? ??C 例16 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率

为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问：在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？[解] （1）如果采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：A 1—2：0（甲净胜二局），A 2—2：1（前二局甲一胜一负，第三局甲胜）. p(A 1)=0.6×0.6=0.36,p(A 2)=×0.6×0.4×1

2C 0.6=0.288.

因为A 1与A 2互斥，所以甲胜概率为p(A 1+A 2)=0.648.(2)如果采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜：B 1—3：0（甲净胜3局），B 2—3：1（前3局甲2胜1负，第四局甲胜），B 3—3：2（前四局各胜2局，第五局甲胜）。因为B 1，B 2，B 2互斥，所以甲胜概率为p(B 1+B 2+B 3)=p(B 1)+p(B 2)+p(B 3)=0.63+×0.62×0.4×0.6+×0.62×23C 2

4C 0.42×0.6=0.68256.由（1），（2）可知在五局三胜制下，甲获胜的可能性大。

例17 有A ，B 两个口袋，A 袋中有6张卡片，其中1张写有0，2张写有1，3张写有2；B 袋中有7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2。从A 袋中取出1张卡片，B 袋中取2张卡片，共3张卡片。求：（1）取出3张卡片都写0的概率；（2）取出的3张卡片数字之积是4的概率；（3）取出的3张卡片数字之积的数学期望。

[解]（1）；（2）；（3）记ξ为取出的321127162

411=??=C C C C p 634

2

7

161211132212=???+?=C C C C C C C p 张卡片的数字之积，则ξ的分布为

ξ0

2

4

8

p

4237

63263442

1所以.63

3242186344632242370=?+?+?+?

=ξE 三、基础训练题

1．三边长均为整数且最大边长为11的三角形有_________个。

2．在正2006边形中，当所有边均不平行的对角线的条数为_________。

3．用1，2，3，…，9这九个数字可组成_________个数字不重复且8和9不相邻的七位数。4．10个人参加乒乓球赛，分五组，每组两个人有_________种分组方法。5．以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。6．今天是星期二，再过101000天是星期_________。7．由展开式所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有_________项。

100

3)

23(+x 8．如果凸n 边形(n ≥4)的任意三条对角线不共点，那么这些对角线在凸n 边形内共有_________个交点。

9．袋中有a 个黑球与b 个白球，随机地每次从中取出一球（不放回），第k(1≤k ≤a+b)次取到黑球的概率为_________。

10．一个箱子里有9张卡片，分别标号为1，2，…，9，从中任取2张，其中至少有一个为奇数的概率是_________。

11．某人拿着5把钥匙去开门，有2把能打开。他逐个试，试三次之内打开房门的概率是_________。

12．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，要将其中三盏关掉，但不能同时关掉相

邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数是_________。13．a,b,c,d,e 五个人安排在一个圆桌周围就坐，若a,b 不相邻有_________种安排方式。14．已知i,m,n 是正整数，且1(1+n)m .i

n i

i

m i

A m A n <15.一项“过关游戏”规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所得到的点数之和大于2n ，则算过关。问：（1）某人在这项游戏中最多能过几关？（2）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体）四、高考水平训练题

1．若n ∈{1,2,…,100}且n 是其各位数字和的倍数，则这种n 有__________个。

2．从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取3个不同元素作为二次函数y=ax 2+bx+c 的系数，能组成过原点，且顶点在第一或第三象限的抛物线有___________条。

3．四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中任取4个不共面的点，有_________种取法。4．三个人传球，从甲开始发球，每次接球后将球传给另外两人中的任意一个，经5次传球后，球仍回到甲手中的传法有_________种。

5．一条铁路原有m 个车站（含起点，终点），新增加n 个车站（n>1），客运车票相应地增加了58种，原有车站有_________个。

6．将二项式的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x n

x x ????

?

?+4

21的幂指数是整数的项有_________个。

7．从1到9这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数，共可得到_________种不同的对数值。8．二项式(x-2)5的展开式中系数最大的项为第_________项，系数最小的项为第_________项。9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根被划分成长度相同的5节，每节用红、黄、蓝三色之一涂色，可以有_________种颜色不同的圆棒？（颠倒后相同的算同一种）

10．在1，2，…，2006中随机选取3个数，能构成递增等差数列的概率是_________。11．投掷一次骰子，出现点数1，2，3，…，6的概率均为

，连续掷6次，出现的点数之和6

1

为35的概率为_________。

12．某列火车有n 节旅客车厢，进站后站台上有m(m ≥n)名旅客候车，每位旅客随意选择车厢上车，则每节车厢都有旅客上车的概率是_________。

13．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产=

）

耕地面积

总产量

五、联赛一试水平训练题

1．若0

4．1，2，3，4，5的排列a 1,a 2,a 3,a 4,a 5具有性质：对于1≤i ≤4,a 1,a 2,…,a i 不构成1，2，…，i 的某个排列，这种排列的个数是_________。

5．骰子的六个面标有1，2，…，6这六个数字，相邻两个面上的数字之差的绝对值叫变差，变差的总和叫全变差V ，则全变差V 的最大值为_________，最小值为_________。

6．某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行50场，上述三名选手之间比赛场数为_________。

7．如果a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}且a ≠b,b ≠c,c ≠d, d ≠a ；且a 是a,b,c,d 中的最小值，则不同的四位数的个数为_________。

abcd 8．如果自然数a 各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”，将所有的吉祥数从小到大排成一列a 1,a 2,a 3,…,若a n =2005，则a n =_________。

9．求值：

=_________。k

n

n k k C k

n 21

21

1

)1(--∑-=-10．投掷一次骰子，出现点数1，2，…，6的概率均为

，连续掷10次，出现的点数之和是306

1

的概率为_________。

11．将编号为1，2，…，9这九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球，设周围上所有相邻两球的号码之差的绝对值之和为S ，求S 达到最小值的放法的概率（注：如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合，则认为是相同的放法）。12．甲、乙两人轮流向同一目标射击，第一次甲射击，以后轮流射击，甲每次击中的概率为p(0

n n m n m n m m m n m m m

n C C C C C .

1

1++m n C 六、联赛二试水平训练题

1．100张卡片上分别写有数字1到100，一位魔术师把这100张卡片放入颜色分别是红色、白色、蓝色的三个盒子里，每个盒子里至少放入一张卡片。

一位观众从三个盒子中挑出两个，并从中各选取一张卡片，然后宣布这两张卡片上的两个数的和数，魔术师知道这个和数之后，便能够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子。问：共有多少种放卡片的方法，使得这个魔术师总能够成功？（如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子，两种方法被认为是不同的）2．设S={1,2,…,10}，A 1，A 2，…，A k 是S 的k 个子集合，满足：（1）|A i |=5,i=1,2,…,k;（2）|A i A j |≤2,1≤i

3．求从集合{1,2,…,n}中任取满足下列条件的k 个数{j 1,j 2,…,j k }的组合数；（1）1≤j 11为固定的正整数；（3）存在h 0,1≤h 0≤k-1，使得≥m+1.

1

h h j j --4.设,其中S 1，S 2，…，S m 都是正整数且S 1

m S S S n 222

21

+++= 中奇数的个数等于2m 。

n n n n C C C ,,,11 5．

个不同的数随机排成图13-2所示的三角形阵，设M k 是从上往下第k 行中的最大2

)

1(+n n 数，求M 1

.

111

1

1+++-=--=∑r n r n k r k n C kC

高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题的常见模型1

高中数学讲义 1．基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =???种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． 排列数公式：A (1)(2) (1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合． 组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示． 组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()! m n n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0 C 1n =） 知识内容 排列组合问题的常见模型 1

高中数学排列组合难题十一种方法

高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = C 14A 34C 13 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

高中排列组合知识点汇总和典型例题[全]

一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3)111111(1)! (1)! (1)!(1)! !(1)! n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决 排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意： 分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计 数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元 素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空

高中数学讲义微专题80 排列组合中的常见模型

微专题80 排列组合的常见模型 一、基础知识： （一）处理排列组合问题的常用思路： 1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。 例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？ 解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求，只 需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =?=种 2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。 例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种 解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。 3310785N C C =-=（种） 3、先取再排（先分组再排列）：排列数m n A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。 例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。 解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步： 确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。所以共有 213433108C C A =种方案 （二）排列组合的常见模型 1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。 例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法

高中数学-排列组合解法大全

排列组合解法大全 复习巩固 1.分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n类办法，在第 1类办法中有m1种不同的方法，在第 2 类办法中有m2种不同的方法，?，在第n 类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第 1步有m1种不同的方法，做第 2步有m2种不同的方法，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 : 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题, 元素总数是多少及取出多少个元素 . 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一. 特殊元素和特殊位置优先策略 例 1. 由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解: 由于末位和首位有特殊要求 , 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共有C13 然后排首位共有C14 最后排其它位置共有A43 由分步计数原理得C41C13A43 288 练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里 , 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 . 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素部进行自排。由分步计数原理可得共有A55A22A22480种不同的排法 练习题 : 某人射击 8 枪，命中 4 枪， 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为20

高中数学排列组合知识点

排 列组合 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =???种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时 对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这 几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 4 7 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有 4 7 A 种方法。 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有6 7种不同的排法 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有（8-1）！种排法即7！ 七.多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有 24A 种,再排后4个位置上的特殊 元素丙有 14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215 445A A A 种 八.排列组合混合问题先选后排策略

高中数学排列组合专题

排列组合 一．选择题（共5小题） 1．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有（） A．36种B．42种C．50种D．72种 2．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（） A．8种 B．10种C．12种D．32种 3．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（） A．72 B．120 C．144 D．168 4．现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中，要求每个盒子至少放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的放法有（） A．12种B．24种C．36种D．72种 5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（） A．300种B．240种C．144种D．96种 二．填空题（共3小题） 6．某排有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，则不同的坐法有种． 7．四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）． 8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的

插法共有种． 三．解答题（共8小题） 9．一批零件有9个合格品，3个不合格品，组装机器时，从中任取一个零件，若取出不合格品不再放回，求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列10．已知展开式的前三项系数成等差数列． （1）求n的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项． 11．设f（x）=（x2+x﹣1）9（2x+1）6，试求f（x）的展开式中： （1）所有项的系数和； （2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和． 12．求（x2+﹣2）5的展开式中的常数项． 13．求值C n5﹣n+C n+19﹣n． 14．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的种数．（1）选5名同学排成一行； （2）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； （3）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； （4）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端； （5）全体站成一排，男、女各站在一起； （6）全体站成一排，男生必须排在一起； （7）全体站成一排，男生不能排在一起； （8）全体站成一排，男、女生各不相邻； （9）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人； （10）全体站成一排，甲必须在乙的右边； （11）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变； （12）排成前后两排，前排3人，后排4人． 15．用1、2、3、4、5、6共6个数字，按要求组成无重复数字的自然数（用排列数表示）．

高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(生)教学内容

高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(生)

排列组合 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有 m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有 m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4 个舞蹈,2个相声,3个独唱 ,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 七.多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 八.排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 九.小集团问题先整体后局部策略 例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？ 十.元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种 一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m n A n 一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究. 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个 空隙中，所有分法数为11m n C --

(完整版)人教版高中数学《排列组合》教案

排列与组合 一、教学目标 1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论． 2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同． 三、活动设计 1.活动：思考，讨论，对比，练习． 2.教具：多媒体课件． 四、教学过程正 1．新课导入 随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．

2．新课 我们先看下面两个问题． (l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 板书：图 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．一般地，有如下原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十m n种不同的方法． (2) 我们再看下面的问题： 由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A 村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 板书：图 这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一

(完整)高中数学排列组合专题复习

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m种不同的方法，在第2类 1 办法中有 m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，那么2 完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m种不同的方法，做第2步 1 有 m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件事共2 有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 两个位置.

高中数学排列组合知识点

高中数学排列组合知识 点 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

排列组合 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有m 种不同 的方法，…，做第n 步有n m 不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花 盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元 素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好 的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不 同顺序共有54 56A A 种 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进 行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种 数是：73 73/A A

(完整word版)高考排列组合知识点归纳

第四讲 排列组合 一、分类计数原理与分步计数原理： 1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法；在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完场这件事共有m+n 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，在第1步有m 种不同的方法；在第2步有n 种不同的方法，那么完场这件事共有n m ?种不同的方法。 二、排列数： 1、组合：n 中取m 个，记作m n C （1）! ) 1()2()1(m m n n n n C m n +--?-?=Λ （2）阶乘：12)2)(1(!?--=Λm m m m （3）m n n m n C C -= （4）10==n n n C C 2、排列： （1）全排列：将n 个数全排列，记n n A （2）12)2)(1(?--=Λn n n A n n （3）n 中取m 个，并将m 个数全排列：m m m n m n A C A = 三、二项式定理：n n n n n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 022211100)(+++=+--Λ 1、二次项系数之和：n n n n n C C C C +++Λ210 2、展开式的第r 项：r n r C T =+1 例题1：4)1 (x x -的展开式中的常数项是（ ） A 、6 B 、4 C 、-4 D 、-6 例题2：在二项式5)22 1(y x -的展开式中，含32y x 的项的系数是（ ） A 、-20 B 、-3 C 、6 D 、20

★随堂训练： 1、在二项式52)1(x x -的展开式中，含4x 的项的系数是（ ） A 、-10 B 、10 C 、-5 D 、5 2、52)21 ( x x -的展开式中的常数项是（ ） A 、5 B 、-5 C 、10 D 、-10 3、在二项式6)3(y x +的展开式中，含42y x 的项的系数是（ ） A 、45 B 、90 C 、135 D 、270 4、已知关于x 的二项式n x a x )(3 +的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为（ ）A 、1 B 、1± C 、2 D 、2± 5、4)31)(21(x x --的展开式中，2x 的系数等于 。 6、5 2)1(x ax +的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中常数项为 。 7、n x x )21(2 2-+ 展开式中常数项是70，则=n 。 8、若5)12)(1(x x x ax ++展开式中常数项为-40，则=a 。

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取mm≤n个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 pn,m表示. pn,m=nn-1n-2……n-m+1= n!/n-m!规定0!=1. 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取mm≤n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 cn,m 表示. cn,m=pn,m/m!=n!/n-m!*m!;cn,m=cn,n-m; 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=pn,r/r=n!/rn-r!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/n1!*n2!*...*nk!. k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为cm+k-1,m. 排列Pnmn为下标，m为上标 Pnm=n×n-1....n-m+1;Pnm=n!/n-m!注：!是阶乘符号;Pnn两个n分别为上标和下标=n!;0!=1;Pn1n为下标1为上标=n 组合Cnmn为下标，m为上标 Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!n-m!;Cnn两个n分别为上标和下标 =1 ;Cn1n为下标1为上标=n;Cnm=Cnn-m 加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。 两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。 排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。

最新高中数学排列组合知识点

排列组合 1 复习巩固 2 1.分类计数原理(加法原理) 3 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不 4 同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法， 5 种不同的方法． 6 2.分步计数原理（乘法原理） 7 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1 m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方8 法，…，做第n 步有n m 9 法． 10 3.分类计数原理分步计数原理区别 11 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 12 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 13 一.特殊元素和特殊位置优先策略 14 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 15 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, . 16 先排末位共有13C 17 然后排首位共有14C 18 最后排其它位置共有34A 19 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 20 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的21 花盆里，问有多少不同的种法？ 22 23 二.相邻元素捆绑策略 24 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 25 4 4 3

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，26 再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有27 522522480A A A 种不同的排法 28 29 三.不相邻问题插空策略 30 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出31 场顺序有多少种？ 32 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的33 6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有34 5456A A 种 35 四.定序问题倍缩空位插入策略 36 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 37 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一38 起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数 39 是：73 73/A A 40 (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4 7A 种方法，其余的三 41 个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。 42 五.重排问题求幂策略 43 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 44 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车45 间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法 46 六.环排问题线排策略 47 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 48 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此49 位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！ 50 51

高中数学排列组合知识点

复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1 步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 4 4 3

高中数学竞赛标准讲义---排列组合与概率

高中数学竞赛标准讲义----排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为11--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有11--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+

高中数学排列组合公式排列组合计算公式

排列组合公式/排列组合计算公式 排列P------和顺序有关 组合C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n为下标，m为上标)） Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n为下标，m为上标)） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m

排列组合知识点与方法归纳

排列组合 一、知识网络 二、高考考点 1、两个计数原理的掌握与应用； 2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握； 3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题） 三、知识要点 一．分类计数原理与分步计算原理 1 分类计算原理（加法原理）： 完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ m n种不同的方法。 2 分步计数原理（乘法原理）： 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2×…× m n种不同的方法。 3、认知： 上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据，它们的区别在于，加法原理的要害是分类：将完成一件事的方法分成若干类，并且各类办法以及各类办法中的各种方法相互独立，运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事；乘法原理的要害是分步：将完成一件事分为若干步骤进行，各个步骤不可缺少，只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成（在这里，完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤，而不能独立完成这件事）。

二．排列 1 定义 （1）从n个不同元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。 （2）从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 . 2 排列数的公式与性质 （1）排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=特例：当m=n 时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1 规定：0！=1 （2）排列数的性质： （Ⅰ） =（排列数上标、下标同时减1（或加1）后与原排列数的联系） （Ⅱ）（排列数上标加1或下标减1后与原排列数的联系） （Ⅲ）（分解或合并的依据） 三．组合 1 定义（1）从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 （2）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的组合数，用符号表示。 2 组合数的公式与性质 （1）组合数公式：（乘积表示） （阶乘表示）特例： （2）组合数的主要性质： （Ⅰ）（上标变换公式）