第十九章 四边形 复习提纲
第十九章四边形复习提纲一、知识结构
二、知识点：
（一）平行四边形
1.平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：
（1）平行四边形的两组对边互相平行且相等。
（2）平行四边形的对角相等，邻角互补。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点。
3.平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4．三角形的中位线
（1）定义：三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（2）性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
（3）判定：过三角形一边的中点并且与另一条边平行的直线，必然平分第三条边。
（二）特殊的平行四边形
【一】矩形
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2．矩形的性质：
（1）矩形的对边平行且相等；
（2）矩形的四个角都是直角。
（3）矩形的对角线互相平分且相等。
（4）矩形是轴对称图形，有两条对称轴。矩形也是中心对称图形。
3.直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4.矩形的判定：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2）有三个角是直角的四边形是矩形。
（3）对角线相等的平行四边形是矩形。
（4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
【二】菱形
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质：
（1）菱形的四条边都相等。对边平行。
（2）菱形的对角相等，邻角互补。
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
（4）菱形是轴对称图形，有两条对称轴。菱形也是中心对称图形。
3.菱形的判定：
（1）有一个组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）四边相等的四边形是菱形。
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
【三】正方形
1.正方形的定义：有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。
2.正方形的性质：
（1）正方形的四条边相等。
（2）正方形的四个角都是直角。
（3）正方形的对角线互相垂直平分且相等；并且每一条对角线平分一组对角。（4）正方形是轴对称图形，有四条对称轴。正方形也是中心对称图形。
3.正方形的判定：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。
（2）有一个角是直角的菱形是正方形。
（3）有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
（4）对角线相等的菱形是正方形。
（5）对角线互相垂直的矩形是正方形。
（6）对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。
（7）对角线互相垂直平分且相等四边形是正方形。
【四】平行四边形、菱形、矩形、正方形四者之间的关系：
一个内角为直角
（或）对角线互相垂直
（三）梯形
1．梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做底，较短的底是上底，较长的底是下底，不平行的两边叫做腰。
2．等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形。
3．直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
4．等腰梯形的性质：
（1）等腰梯形的两底平行，两腰相等；
（2）等腰梯形同一底上的两个角相等;不同底上的两个角互补。
（3）等腰梯形的两条对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，过上下底中点的直线是对称轴;
5．等腰梯形的判定：
（1）两腰相等的梯形是等腰梯形；
（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
6．梯形中常用的作辅助线的方法
梯形中常用作辅助线的方法
作高平移腰平移对角线延长两腰相交
出现一腰中点出现对角线中点
E F
A
B
C
D
三、典型习题 （一）平行四边形 【历届试题精选】 一．选择题。
1．（2002年龙岩市）平行四边形ABCD 中，边AB=a ，对角线AC=b 、BD=c ，则a 、b 、c 的取值可以是下列中的
A 、a=4，b=6，c=8
B 、a=6，b=4，c=8
C 、a=8，b=4，c=6
D 、a=5，b=4，c=3
2．（2002年绍兴市）如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠DAB ，∠B=100°，则∠DAE 等于（ ）
（A ） 100°（B ）80°（C ）60°（D ）40°
3．（2003，广西）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相
交于
点O ，那么图中的全等腰三角形共有（ ） （A ）1对（B ）2对 （C ）3对（D ）4对
4．（2003，广西）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，D 是BC 上的点，DE ∥AB ，交AC 于点E ，DF ∥AC 交AB 于点F ，那么四边形AFDE 的周长是（ ） （A ）5（B ）10 （C ）15（D ）20
5．（2003，海南）如图，在平行四边形ABCD 中，已知∠ABC ＝60°，则∠BAD 的度数是（ ）．
（A ）60°（B ）120°（C ）150°（D ）无法确定
6．（2003，烟台）已知一个凸四边形ABCD 的四条边的长顺次是a 、b 、c ，d ，且02
=--+bc ac ab a ，
02
=--+cd bd bc b ,那么四边形ABCD 是（ ）
（A ）平行四边形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）梯形
7．（2003，重庆）在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，∠B 是锐角，将△ACD 沿对角线AC 折
叠，点D 落在△ABC 所在平面内的点E 处。如果AE 过BC 的中点，则平行四边形ABCD 的面积等于（ ）
A 、48
B 、610
C 、712
D 、224
8．（2003，贵阳）将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积。则这样的
折纸方法共有（ ）
（A ）1种 （B ）2种 （C ）4种 （D ）无数种 9．（2004，杭州）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AD 、BC 分别相交于点E 、F ，若AB=4，BC=5，OE=1.5，
那么四边形EFCD 的周长是（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10
10．（2005，杭州）在平行四边形ABCD 中, ∠B=110O
,延长AD 至F,延长CD 至E,连接EF,则∠E+∠F 的值为 ( ) (A)110
O
(B)30O
(C)50O
(D)70
O
11．（2005，龙岩）如图，在□ABCD 中，
E 、
F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于
G 、
H ，试判断下列结论：①ΔABE ≌ΔCDF ；②AG=GH=HC ；③EG=;2
1
BG ④S ΔABE =S ΔAGE ，
其中正确的结论是（ ）
A ．l 个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．（2005，绵阳）如图3，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，AD =BC . 将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
13．（2005，天津）如图，在
ABCD 中，EF//AB ，GH//AD ，EF 与GH
交于点O ，则该图中的平行四边形的个数共有
（A ）7 个 （B ）8个 （C ）9个 （D ）11个
14．（2006，南通）如图，平行四边形ABCD 的周长是28㎝， △ABC 的周长是22㎝，则AC 的长为（ ）
A ．6㎝
B ． 12㎝
C ．4㎝
D ． 8㎝
15．（2006，淮安）如图，平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=5，AC 的垂直平分线交AD 于E ，则△CDE 的
A
A
B
C
D
E
F
G
H
C A
D O
E
周长是（ ）
A ．6
B ．8
C ．9
D ．10
16．如图所示，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列式
子中一定成立的是 ( )
A ．AC⊥BD
B ．OA=0
C C ．AC=B
D D ．A0=OD 17. 在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别是
(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C 的坐标是（ ）
A.（3，7）
B.（5，3）
C.（7，3）
D.（8，2） 18. 如图,在△ABC 中，BM ＝6，点A, C, D 分别在MB ，BN ，NM 上， 四边形ABCD 为平行四边形，∠NDC ＝∠MDA ， ABCD 的周长是( ) (A)24 (B)18 (C)16 (D)12 19．如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 是对角线AC 上的两点，当E ，F 满足下列哪个条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形（ ）
（A ）AE =CF （B ）DE = BF （C ）∠ADE =∠CBF （D ）∠AED =∠
CFB
20．平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC=12 , BD=10, AB=m ，那么m 的取值范
围是（ ）
(A)10 1．（2002河北省）如图1，已知O 是□ABCD 的对角线交点，AC ＝38mm ，BD ＝24mm ，AD ＝14mm ，那么△OBC 的周长等于__________． 2．（2002年闵行区）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，平行四边形 ABCD 的周长为28，面积为40， AB ∶AD = 4∶3．那么DE 为_____________ 3．（2003，黄石）一个平形四边形被分成面积为S 1、S 2、S 3、S 4的四个小下平形四边形（如图），当CD 沿AB 自左向右在平形四边形内平形滑动时，S 1、S 2、S 3、S 4的大小关系为 4．（2003，湖州）如图，在平行四边形ABCD 中，DB ＝DC ，∠C ＝70°，AE ⊥BD 于E ．则∠DAE ＝ 度． 5．（2003，宁波）如图，BD 是□ABCD 的对角线，点E 、F 在BD 上，要使四边形AECF 是平行四边形，还需要增加的一个条件是 (填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形)． 6．（2004，郴洲）如图2，A 、B 两点位于一个池塘的两端，冬冬想用绳子测量A 、B 两点间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A 、B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D 、E ，并且测得DE 的长为15m ，则A 、B 两点间的距离为__________. 7．（2004，陕西）已知：在 ABCD 中，AB =4cm,AD =7cm,∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延 长线于点F ，则DF = cm. 8．(2005，深圳) 如图，口ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为__。 9．（2005，黑龙江）如图，E 、F 是 ABCD 对角线BD 上的两点， 请你添加一个适当的条件： ，使四边形AECF 是平行四边形． D C A E B D F O （第7题图） A D C B F E （第5题图） （第6 题图） B （第8 题图） D （第4题图） 10．（2006，长沙）如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，要使四边形ABCD 为平行四边形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）． 11．（2006，日照）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF =45o ，且AE+AF =ABCD 的周长是 ． 12．已知平行四边形ABCD 的面积为4，O 为两对角线的交点，则△AOB 的面积是 . 13.如图，AD=BC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需补充的一个条件是： 14．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的一点．若再增加一个条件＿＿＿＿＿＿＿＿＿，就可推得BE=DF 15．如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，要使四边形ABCD 为平行四边形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）． 16.如图，已四边形纸片ABCD ，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：__________（用“能”或“不能”填空）。若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。 ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ 17. （2006，温州）如图，在直线m 上摆故着三个正三角形:△ABC 、△HFG 、△DCE,已知BC=1 2CE,F 、G 分别是BC 、CE 的中点，FM ∥AC ，GN ∥DC ．设图中三个平行四边形的面积依次是S 1,S 2,S 3,若S 1+S 3=10，则S 2 三．解答题。 1．（2002福州市）如图：已知□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O ，且与BC 、AD 分别相交于点E 、F ，求证OE ＝OF ． 2．（2002荆州市）已知：如图，点O 为□ABCD 的对角线BD 的中点，直线EF 经过点O ，分别交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，求证：AE=CF 3．（2002年宜昌市）如图D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、AC 、BC 的中点,BF ＝2，BD ＝3，求四 边形BDEF 的周长 4．（2002年桂林市）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，∠C ＝1200， （1）求BC 边上的高AH 的长； （2）求平行四边形ABCD 的面积 5．（2002岳阳市）如图，已知□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 任作一直线分别交AD 、CB 的延长线于E 、F ，求证：OE ＝OF 6．（丽水市2002）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AB ，CD 上的点，且AE=CF ．求证：DE=BF ． A D B C H A B C D E O F D F C A E B （第9题图） （第11题图） D B （第13题图） （第14题图） D B （第15题图） （第16题图） 7．（2003，河北）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，BC ＝AD ，E 、F 是对角线AC 上的两点，且AE ＝CF 。求证：BE ＝DF 。 8．（2003，湘潭）如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，过O 点作直线EF 分别交 BC 、AD 于E 、F ． （1）求证：BE ＝ DF ； （2）若AC ，EF 将平行四边形ABCD 分成的四部分的面积相等，指出E 点的位置，并说明理由． 9．（2003，盐城）在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O,AB ⊥AC,∠DAC=45o ,AC=2,求BD 的长. 10．（2003，汕头）如图，已知在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，P 、Q 分别为AB 、CD 上的点，且AP ＝CQ ，求证：PD ＝QB 11．（2003，浙江金华）如图在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F 。请你写出三对全等三角形： ； ； ；请你自选出其中的一对加以证明。 12．（2004，徐州）如图，已知平行四边形ABCD ． (1)用直尺和圆规作出∠ABC 的平分线BE ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点F(保留 作图痕迹，不写作法)； (2)求证：△ABE 是等腰三角形； (3)在(1)中所得图形中，除△ABE 外，请你写出其他的等腰三角形(不要求证明) 13．（2004，南京）已知：如图，E 、F 的对角线上的两点，AE ＝CF ． 求证：(1) △ABE ≌△CDF ； (2) BE ∥DF 是平行四边形． 14．（ 2004，郴洲）如图8，在 ABCD 中，DE ＝BF . 求证：四边形AFCE 是平行四边形. 15．（2004，襄樊）已知：如图 6，四边形AEFD 和四边形EBCF 都是平行四边形. 求证：△ABE ≌△DCF . O D C B A Q P D C B A A B C D E F D E C B F A 16．（2004，无锡）已知：如图，□ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于E ， CF ⊥BD 于F.求证：BE ＝DF. 17．（2004，常州）已知：四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列5个条件：①AB ∥CD ；②OA=OC ；③AB=CD ；④∠BAD=∠DCB ；⑤AD ∥BC 。 （1）从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有（用序号表示）：如①与⑤ 。 （2）对由以上5个条件中任意选取2个条件，不能推出四边形ABCD 是平行四边形的，请选取一种情形举出反例说明。 18．（2004，哈尔滨）如图，已知E 为平行四边形ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE=DC ，连结AE ，分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC 交BD 于O ，连结OF. 求证：AB=2OF 19．（2005，泉洲）如图，已知：□ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE 的延长线与CD 的延长线相交于F. 求证：△DFE ≌△ABE. 20．（2005，河南课改）如图，在□ABCD 中，点E 、F 在BD 上，且BF ＝DE 。 ⑴、写出图中所有你认为全等的三角形； ⑵、延长AE 交BC 的延长线于G ，延长CF 交DA 的延长线于H(请补全图形)，证明四边形AGCH 是平行四边形。 21．（2005，荆洲）如图示，□ABCD 内一点E 满足ED ⊥AD 于D ，且∠EBC=∠EDC ，∠ECB=45°．找出图中一条与EB 相等的线段，并加以证明． 22．（2005，南京）如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE ，DF=BE ， DF ∥BE 。 求证：（1）⊿AFD ≌⊿CEB 。（2）四边形ABCD 是平行四边形。 23．（2005，宁德）如图，已知E 、F 是□ABCD 的边BA 、DC 延长线上的点，且AE ＝CF ，线段EF 分别交AD 、BC 于点M 、N 。 请你在图中找出一对全等三角形并加以证明。 解：我选择证明△＿＿＿＿≌△＿＿＿＿＿ 24．（2005，日照）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ， ∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G 。 （1）求证：AF=GB ； （2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG 为等腰直角三角形,并说明理由． E D C B A O F F O G A B E D E B A C D F A A D F C B E 25．（2005，温州）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、 BD交于点O，过点O画直线 EF分别交AD、BC于点E、F。求证：OE＝OF. 26．（2005，无锡）已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF， 求证：AE=CF. 27．（2005，苏州）如图，平行四边形纸条ABCD中，E，F分别是边AD，BC 的中点，张老师请同学将纸条的下半部分ABFE 沿EF翻折，得到一个V字 形图案。 （1）请你在原图中画出翻折后的图形A B FE '' ；（用尺规作图，不写画法，保留 作图痕迹） （2）已知∠A=630，求∠B′FC的大小。 28．（2006，北京） 29．（2006，北京海淀）已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且B E D F =。 求证：△ABE≌△CDF 30．（2006，龙岩）如图，在平行四边形ABCD中，点E F ，分 别在BC AD ，上，在不添加辅助线的情况下，请你添加一个 ．．适当的条件，使ABE △和CDF △全等， 你添加的条件是，并给出你的证明． 证明： 31．（2006，南安）已知：如图，□ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F.求证： BE=DF. 32．（2006，泉洲）如图，在口ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF，求证：BE＝DF. 33．（2006，广东实验区）如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上， 且AE=AD，CF=CB． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成 立，请说明理由． 34．（2006，邵阳）如图，E、F是平行四边形ABCD对角 线BD上的两点，给出下列三个条件：①BE＝DF；②∠AEB ＝∠DFC；③AF∥EC。请你从中选择一个适当的条件 ___________________，使四边形AECF是平行四边形，并 证明你的结论。 A B C D E F A B C E F 35．（2006，南京）已知：如图，□ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点.求证：(1)△AFD ≌CEB ； (2)四边形AECF 是平行四边形． 36．（2006，江西）如图，ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F 。 求证：AE = CF 37．（2006，潍坊）已知平行四边形ABCD ，AD=a ，AB=b ，∠ABC=α． 点F 为线段BC 上一点（端点B 、C 除外）， 连结AF 、AC ，连结DF ，并延长DF 交AB 的 延长线于点E ，连结ＣＥ． （1）当F 为BC 的中点时，求证△EFC 与 △ABF 的面积相等； （2）当F 为BC 上任意一点时，△EFC 与△ABF 的面积还相等吗？说明理由 38．（2006，乐山）如图（8），E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边BA 、DC 延长线上的点，且AE=CF ，EF 交AD 于G ，交BC 于H 。 （1）图中的全等三角形有 对， 它们分别是 ； （不添加任何辅助线） （2）请在（1）问中选出一对你认为全等的三角形进行证明。 我选择的是： 。 证明： 39．（2006，贵阳）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC\BD 相交于点O ，AF ⊥BD ，CE ⊥BD ，垂足分别为E 、F ； （1）连结AE 、CF ，得四边形AFCE ，试判断四边形AFCE 是下列图形中的哪一种？ ①平行四边形；②菱形；③矩形； （2）请证明你的结论； 40．（2006，临安））已知：如图，E 、F 是平行四边行ABCD 的对角线AC 上的两点，AE=CF 。 求证：（1）△ADF ≌△CBE ； （2）EB ∥DF 。 41．（2006，隧宁）如图,已知点M 、N 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、、DC 的中点,求证: ∠DAN=∠BCM. 42．（2006，大连）如图9，E 、F 分别是平行四边 形 ABCD 对角线BD 所在直线上两点，DE ＝BF ，请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需研究一组线段相等即可）。 （1）连结________；（2）猜想：____________； （3）证明： （说明：写出证明过程的重要依据） F E D B A H G E D C B A _ D _ N _ C _ M _ A _ B F E A B D 43．（2006，江阴）已知平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上. （1）若AB ＝10，AB 与CD 间距离为8，AE =EB ，BF =FC ，求△DEF 的面积. （2）若△ADE 、△BEF 、△CDF 的面积分别为5、3、4，求△DEF 的面积. 44．（2003，烟台）如图，是某城市部分街道示意图，AF ∥BC ， EC ⊥BC ，BA ∥DE ．BD ∥AE ．甲、乙两人同时从B 站乘车到F 站．甲乘1路车．路线是B —A —E —F ；乙乘2路车，路线是B —D —C —F ．假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F 站．请说明理由． 45．（2003，黑龙江）已知：如图，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥ CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG 与直线BC 相交，易证：)(2 1 AC BC AB FG ++=， 若： （1）BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图2）； （2）BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情 况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。 46．已知：如图，BD ABCD 的对角线，O 为BD 的中点，EF ⊥BD 于点O ，与AD 、BC 分别交于点E 、F 。求证：DE = BF 。 47. 如图，在□ABCD 中，AE 、 BF 分别平分∠DAB 和∠ABC ，交CD 于点E 、F ， AE 、BF 相交于点M ． （1）试说明：AE ⊥BF ； （2）判断线段DF 与CE 的大小关系，并予以说明． 48. 已知：如图①，在□ABCD 中，O 为对角线BD 的中点.过O 的直线MN 交直线AB 于点M ，交直线CD 于点N ；过O 的另一条直线PQ 交直线AD 于点P ，交直线BC 于点Q ，连结PN 、MQ . D B M F E D B A F A B C D E （1）试证明△PON与△QOM全等； （2）若点O为直线BD上任意一点，其他条件不变，则△PON与△QOM又有怎样的关系？ 试就点O在图②所示的位置，画出图形，证明你的猜想； （3）若点O为直线BD上任意一点（不与点B、D重合），设OD:OB=k，PN=x，MQ=y，则y与x之间的函数关系式为. 图 ① 图② 49．已 知:AD、BE、CF是△ABC的中线,FG//BE,EG//AB,FG和EG交于G 求证:AD//CG,AD=CG 50．如图，已知四边形ABCD中，AB=DC，M是AD的中点，N是BC的中点，NM的延长线分别交BA、CD 的延长于G、H，求证：∠BQN=∠CPN。（二）特殊平行四边形 一．选择题。 1．（2002北京东城区）下列说法中错误 ．．的是（） （A）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 （B）每组邻边都相等的四边形是菱形 （C）四个角相等的四边形是矩形 （D）对角线互相垂直的平行四边形是正方形 2．（2002北京宣武区）两条对角线互相垂直平分的四边形是（） （A）梯形（B）矩形（C）菱形（D）正方形 3．（2002福州市）下列四个命题中错误的是（） （A）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 （B）两条对角线相等的四边形是矩形 （C）两条对角线互相垂直的矩形是正方形 （D）两条对角线相等的菱形是正方形 4．（2002年宜昌市）正方形ABCD的对角线AC、BD于点O，则结论①AB＝BC＝CD＝DA②AO＝BO＝CO＝DO③AC⊥BD中正确的有( ) （A〕0个（B）l个(C) 2个(D)3个 5．（2002岳阳市）正方形、菱形、矩形都具有的性质是（） （A）对角线相等（B）对角线互相平分 （C）对角线互相升起垂直（D）对角线平分一组对角 6．（2002湖州市）下列命题中，真命题是（） （A）矩形的对角线互相垂直（B）菱形的对角线相等 （C）正方形的对角线相等且互相垂直（D）等腰梯形的对角线互相平分 7．（2003，哈尔滨）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（） （A）四条边相等（B）对角线互相垂直平分 （C）对角线平分一组对角（D）对角线相等 8．（2003，荆门）给出下面四个命题:(1)一组对边平行的四边形是梯形;(2)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形;(3)两条对角线互相垂直的矩形是正方形;(4)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形,其中真命题的个数有 ( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 9．（2003，南宁）下列命题正确的是（）． （A）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 （B）对角线互相垂直的四边形是菱形 （C）对角线相等的四边形是矩形 （D）一组邻边相等的矩形是正方形 10．（2003，宁夏）已知四边形的两条对角线相等，那么，顺次连结四边形各边中点得到的四边形是（）（A）梯形（B）矩形（C）正方形（D）菱形 11．（2003，徐州）有以下4个命题： ①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②两条对角线相等的四边形是菱形； ③两条对角线互相垂直的四边形是正方形； ④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形． 则其中正确命题的个数为（）． （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 12．（2004，福州）下列命题错误的是（） A．平行四边形的对角相等 B．等腰梯形的对角线相等 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 13．（2004，青岛）E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（） A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等 C．对角线相互垂直 D．对角线互相平分 14．（2005，天津）在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（） （A）AC＝BD，AB // CD (B) AD//BC，∠A＝∠C (C) AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD (D)AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC 15．（2005，佛山）对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是（） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形 16．（2006，资阳）正方形、矩形、菱形都具有的特征是 A．对角线互相平分B．对角线相等 C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角 17．（2002年宁波市）菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是( ) （A） B） C）3（D）6 18．（2002安徽）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．P是AD上的动点，PE⊥AC于E， PE⊥BD于F．则PE＋PF的值为（ A． 5 12 B．2 C． 2 5 D． 5 13 19．（2003，桂林）如图，已知矩形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点， 当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）． （A）线段EF的长逐渐增大（B）线段EF的长逐渐减小． （C）线段EF的长不改变（D）线段EF的长不能确定 20．（2003，广州）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°．AC＝4．则BD的长为（） （A）3 8（B）3 4（C）3 2（D）8 21．（2003，河北）如图：E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE 上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值是（）A 2 B 、 （第18题图） （第19题图） （第20题图） 12 C D 、2 3 22．（2003，黑龙江）如图：用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每个长方形地砖的面积是（ ） A 、200cm 2 B 、300cm 2 C 、600cm 2 D 、2400cm 23．（2003，黑龙江）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ） A 、600 B 、750 C 、900 D 、950 24．（2003，吉林）如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 6 m ，∠B ＝60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为（ ）． （A ）312m （B ）20m （C ）22m （D ）24m 25．（2003，宁夏）已知四边形的两条对角线相等，那么，顺次连结四边形各边中点得到的四边形是（ ） （A ）梯形 （B ）矩形 （C ）正方形 （D ）菱形 26．（2003，山东）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2)(b a 的值为 （A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169 27．（2003，陕西）将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分， 将①展开后得到的平面图形是（ ）． （A ）矩形 （B ）三角形 （C ）梯形 （D ）菱形 28．（2003，绍兴）如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ C ） 29．（2003， 威海）剪纸是中国的民间艺术. 剪纸方法很多, 下面是一种剪纸方法的图示（先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案）： 30．（2004， 北京）如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，作EF ∥BC ，交AC 于点F ． 如果EF=4， 那么CD 的长为 （A ） 2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 （第21题图） （第22题图） （第23题图） （第24题图） （第26题图） （第27题图） (B) (A) (C) (D) （第30题图） （第31题图） 31．（2004，杭州）如图，E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD 各边的中点，要使中间阴影部分小正方 形的面积是5，那么大正方形的边长应该是 （A ）52 （B ）53 （C ）5 （D ）5 32．（2004，南京）用两个边长为a 的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）． (A) 等腰梯形 (B) 正方形 (C) 矩形 (D) 菱形 33．（2004，郴洲）在一个四边形ABCD 中，依次连结各边中点的四边形是菱形，则对角线AC 与BD 需要满足条件 （ ） A . 垂直 B . 相等 C .垂直且相等 D . 不再需要条件 34．（2004，茂名）如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是 A ． 2 B ． 4 C ． 8 D ． 10 35．（2004，苏州）矩形ABCD 中，若AD=1， AB=3，则该矩形的两条对角线所成的锐角是（ ） A 30° B 45° C 60° D 75 ° 36．（2005，南通）已知： 如图 ,菱形ABCD 中, 对角线 AC 与BD 相交于点O,OE ∥DC 交BC 于点E,AD=6cm,则OE 的长为 A 、6 cm B 、 4 cm C 、3 cm D 、2 cm 37．（2005，内蒙古）如图将四个全等的矩形分别等分成四个全等的小矩形，其中阴影部分面积相等 的是( ) A ．只有①和②相等 B ．只有③和④相等 C ．只有①和④相等 D ．①和②，③和④分别相等 38．（2005，福州）如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的（ ） A 、 51 B 、41 C 、 31 D 、10 3 39．（2005，福州）如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两顶点重合折叠得图（3）。按图（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（ ） A 、都是等腰梯形 B 、都是等边三角形 C 、两个直角三角形，一个等腰三角形 D 、两个直角三角形，一个等腰梯形 40．（2005，南平）如图，将一块边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE=5，这痕为PQ ，则PQ 的长为（ ） A.12 B.13 C.14 D.15 41．（2005，海安）如图，长方形纸片ABCD 中，AD ＝9，AB=3，将其折叠，使其点D 与点B 重合， 折痕为EF ，那么DE 和EF 的长分别为 ( ) A ．4 B ．4， C ．5 D ．5，42．（2005，河北课改）将一正方形纸片按图5中⑴、 （第34题图） （第36题） （4） （3） 沿虚线剪开对角顶点重合折叠 （2） （1） ⑵的方式依次对折后，再沿⑶中的虚线裁剪，最后将⑷中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图 案中的( ) A B C D 43．（2005，黄石）如图年示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形是( ) 44．（2005，荆门）有一张矩形纸片ABCD，AB＝2.5，AD＝1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上， 折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AC与BC交于点F（如下图），则CF的长为（） A、0.5 B、0.75 C、1 D、1.25 45．（2005，扬州）．如图：将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠 （F在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处， FE平分∠BFE，则∠GFH的度数α满足（）． A．? < < ?180 90α? =90 αC．? < < ?90 0αD．α随着折痕位置的变化 而变化 46．（2005，连云港）如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE， BAD ∠比BAE ∠大? 48.设BAE ∠和BAD ∠的度数 分别为x,y，那么x,y所适合的一个方程组是 （A） ? ? ? = + = - 90 48 x y x y （B） ? ? ? = = - x y x y 2 48 （C） ? ? ? = + = - 90 2 48 x y x y （D） ? ? ? = + = - 90 2 48 x y y x 47．（2006，锦州）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图位置上剪去一个小正方形，打开后是( ) 48 ． （ 20 05，泸洲）如图，在宽为20m，长 为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地. 根据图中数据，计算耕地的面积为 A．600m2B．551m2 C．550 m 2D．500m2 49．（2006，连云港）如图所示，正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、 DF，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形 A、∠1=∠2 B、BE=DF C、∠EDF=60° D、AB=AF 50．（2006，淮安）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC 的面积为S，则【】 A．S=2 B．S=2.4 C．S=4 D．S与BE长度有关 51．（2006，潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则 折痕EF的长为（）． A B E A C C D A C H G F E D B A D C B (第49题图) A B D C E F 1 2 （第50题图） A ．215 B ．4 15 C ．5 D ．6 52．（2006，潍坊）如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，图中阴影部分的面积为( ). A ． 12 B C ．1- D ．1 53．（2006，内江）如图（1）将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在直角梯形AECD 的中位线FG 上，若 AE 的长为( ) A. B. 3 C. 2 二．填空题。 1．（2002长沙市，2003，龙江））图中阴影部分表示的四边形是 __________． 2．（2002厦门市）菱形有一个内角是120°，有一条对角线为6cm ， 则此菱形的边长是_____________； 3．（2002河南省）如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点顺时针方向旋转能与△CBP ’重合,若PB=3,则 PP ’= 。 4．（2002年闵行区）对角线长分别为6cm 和8cm 的菱形的边长为_____________cm . 5．（2002年上海市）已知AD 是△ABC 的角平分线，E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，连结DE 、DF ， 在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF 成为菱形，还需添加一个条件，这个条可以是__________． 6．（2003，黑龙江）矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积为 cm 2。 7．（2003，吉林）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： ⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB ＝CD ，EF ＝GH ； ⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ； ⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ； 8．（2003，南宁）将一张长方形的纸对折，如图5所示可得到一条折痕（图中虚线）．续对折，对折 时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕．如果对折n 次，可以得到 条折痕． 9．（2003，泉洲）如图（3），在．四个正方形拼接成的图形中．．．，以这十个点中任意三点为顶点，共能组成 个等腰直角三角形。你愿意把得到上述结论的探究方法与他人交流吗？若愿意，请在下方简要写出你的探究过程。 B C D F （第51题图） A B D 题图） 图（3） A A 5 A 4 A 3 A 2 10．（2003，十堰）将正方形A 的一个顶点与正方形B 的对角线交叉点重合，如图2放置，则阴影部分面积是正方形A 的面积的8 1 ，将正方形A 与B 按图3放置，则阴影部分面积是正方形B 的面积的 _________. 11．（2003，温州）如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是 ． 12．（2003，镇江）已知，如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=10，∠ACB=300，则∠AOB=__________度，CD=_________ 13．（2004，无锡）如图，□ABCD 中，AE 、CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个 条件可以是 (只需写出一个即可.图中不能再添加别的“点”和“线”). 14．（2005，常州）．如图，正方形ABCD 的周长为16cm ，顺次连接正方形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长等于 cm ，四边形EFGH 的面积等于 cm 2. 15．（2005，三明）如图，直角∠AOB 内的任意一点P ，到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边 形的周长为__________。 16．（2005，福州）如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把剩下的部分 拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式＿＿＿＿＿＿＿＿。 17．（2005，宿迁）如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直 角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．则四边形AECF 的面积是 ． 18．（2005，扬州）如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形凉衣架。已知其中每个菱形的边长为20cm ， 在墙上悬挂凉衣架的两个铁钉A 、B 之间的距离为cm 320，则 ∠1＝ °。 19．（2005，宁波）矩形纸片ABCD 中,AD=4cm ,AB=10cm,按如图方式折叠,使点B 与点D 重合,折痕为 EF,则DE= cm. 20．（2006，云南）己知：如图，菱形ABCD 中，∠B=600，AB ＝4，则 以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为 . 21．（2006，北京海淀）下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四 边形和梯形，又能拼出三角形的是图形_____________（请填图形下面的代号）。 22．（2006，资阳）(1) 填空：如图8-1，在正方形PQRS 中，已知点M 、N 分别在边QR 、RS 上，且 QM =RN ，连结PN 、SM 相交于点O ，则∠POM =_____度 （第11题图） A D C O （第12题图） （第14题图） A P B （第15题图） （第16题图） 1C B A （第18题图） A E B C D F C 1 （第19题图） （第23题图） A B C F （第22题图） （第24题图） 23．（2006，龙岩）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E F ，，23 AB BC == ，，则图中阴影部分的面积为． 24．（2006，嘉兴）如图，矩形纸片ABCD，AB＝2，∠ADB＝30°，沿对角线BD折叠（使△ABD和△EBD落在同一平面内），则A、E两点间的距离为＿＿＿＿． 25．如图，在菱形ABCD中，已知AB＝10,AC＝16,那么正方形ABCD的面积为______ . 26．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是．（结果可用根号表示） 27．如图所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是____________________． 28. 如图，直线 L过正方形 ABCD 的顶点 B , 点A、C 到直线 L 的距离分别是 1 和 2 , 则正方形的边长是 ________． 29. 如图，将矩形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F点处．若AFD △的周长为9，ECF △的周长为3，则矩形ABCD的周长为 30．现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形的四个顶点2cm处，沿45 角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是_________cm2；若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律？ 三．解答题。 1．（2002广安市）已知：如图,四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于O，CE∥DB交AB的延长线于E.求证:AC=CE 2．（ 2002南宁）如图，AC是矩形ABCD的对角线，EF平分AC于点O， 且分别交AD、BC于点E、F。求证：ED=BF。 3．（2003，广东）如图4，AB、AC分别是菱形ABCD的一条边和一条对角线，请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） 4．（2003，海南）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE． （1）求证：四边形ACEF是平行四边形； （2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论； （3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？ （第25题图） （第26题图） A B C D O （第27题图） L （第28题图）D A （第29题图） 2 2cm （第30 题图） A B C D O E 5．已知菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAD=120°，求∠ABD的度数。 6．（2003，昆明）已知，如图5，矩形ABCD中，AE＝DE，BE的延长 线与CD的延长线相交于点F．求证：S矩形ABCD＝S△BCF． 7．（2003，茂名）某校有一个正方形的花坛，现要将它分成形状和面积都相同的四块种上不同颜色的 花卉，请你帮助设计三种不同的方案，分别画在下面三个正方形图形上（用尺规作图或徒手作图 均可，但要尽可能准确些、美观些）． 8．（2003，茂名）已知：如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C’ 的位置上．若∠1＝60°． （1）求∠2、∠3的度数； （2）求长方形纸片ABCD的面积S． 9．（2003，青岛）如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的 延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC．根据上述条 件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论． 10．（2003，烟台）（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开．大会会标如图 甲．它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为 13，每个直角三角形两直角边的和是5．求中间小正方形的面积． （2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．（要 求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据） 11．（2003，泰洲）为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草.现将这块空地按下 列要求分成四块：⑴分割后的整个图形必须是轴对称图形;⑵四块图形形状相同;⑶四块图形面积 相等.现已有两种不同的分法： ⑴分别作两条对角线（图1）⑵过一条边的三等分点作这边的垂线段（图 （图2中两个图形的分割看作同一方法） B C A D O 请你按照上述三个要求，分别在下面三个正方形中给出另外三种不同的分割方法 ．．．．．．．．．．．（只要求正确画图，不写画法）.（画对一个得2分） 12．（2003，温州）为了美化校园环境，某中学准备在一块空 地(如图，矩形ABCD，AB=10m，BC=20m)上进行绿化．中间 的一块(图中四边形EFGH)上种花，其他的四块(图中的四个Rt △)上铺设草坪，并要求AE=AH=CF=CG．那么在满足上述条 件的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形EFGH(中间 种花的一块)面积最大?若存在，请求出该设计中AE的长和四 边形EFGH的面积；若不存在，请说明理由 13．（2003，新疆）已知：如图，正方形ABCD的周长为4a，四边形 EFGH的四个顶点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上滑动，在滑动过程中，始终有EH∥BD∥FG，且EH＝FG，那么四边形EFGH的周长是否可求？若能求出，它的周长是多少？若不能求出，请说明理 由．14．（2003，扬州）如图，在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F。求证：四边形AFCE是菱形。 15．（2003，镇江）已知，如图，正方形ABCD中，E为 CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF， （1）求证：△BCE≌△DCF （2）若∠FDC=300，求∠BEF的度数 16．（2003，资阳）小明打算用如图7的矩形纸片ABCD折出一个等边三角形。他的操作步骤是：①先把矩形纸片对折后展开，并设折痕为AM；②把B点叠在折痕线上，得到Rt△AB1E；③沿着EB1线折叠，得到△EAF。小明认为，所得的△EAF即为等边三角形。试问，小明的结论是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请你给出一种将矩形纸片ABCD折为一个等边三角形的方法。 17．（2004，河北）用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转. （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论； 方法一方法二方法三 A F E D C B 图7 B1 P N M F E D C B A } 第十八章 平行四边形知识点总结 考点题型分析： 证明线段相等：①证明线段所在的两个三角形全等；②在同一个三角形中，利用等角对等边； 一．平行四边形 1.（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）表示方法： ”表示平行四边形，例如,平行四边形ABCD 记作 ABCD ，读作“平行四边形ABCD ”． 2．性质: （1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：两组对边分别平行且相等；（3）对角线：对角线互相平分；（4）面积：①S ==?底高ah ；②对角线将四边形分成4个面积相等的三角形． 3．平行四边形的判别及证明四边形是平行四边形：方法有（5种） ①定义：两组对边分别平行 ②方法1：两组对角分别相等 ③方法2：两组对边分别相等 的四边形是平行四边形 ④方法3：对角线互相平分 ⑤方法4：一组对边平行且相等 二、矩形： （1）定义：有一个角是直角 的平行四边形 是矩形。 注意条件：① 平行四边形； ② 一个角是直角，两者缺一不可． （2）矩形性质：①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）． （3）矩形的判定及证明四边形是矩形：方法有（3种） ①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形； ③四个角都相等 三、菱形： （1）菱形的定义：有一组邻边相等 的平行四边形 是菱形。 注意把握：① 平行四边形；② 一组邻边相等，两者缺一不可． （2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补； ③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； ④对称性：轴对称图形（对角线所在 直线，2条）． （2）（2）菱形的判定及证明四边形是菱形：方法有（3种） ①有一组邻边相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的平行四边形； ③四条边都相等． 四、正方形： （1）定义：有一组邻边相等且有一个直角 的平行四边形 叫做正方形。它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形． （2）正方形性质：①边：四条边都相等； ②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； ④对称性：轴对称图形（4条）． （3）正方形的判定及证明四边形是正方形：方法有（5种） ① 有一组邻边相等 且有一个直角 的平行四边形 ② 有一组邻边相等 的矩形； ③ 对角线互相垂直 的矩形． ④ 有一个角是直角 的菱形 ⑤ 对角线相等 的菱形； 2．几种特殊四边形的面积问题 ① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ． ② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=1 2 ab ． ③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2 a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=2 12 a ． ④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为 b ，高为h ，则S 梯形= 1 ()2 a b h +． 五、梯形：（选学） （1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。注意把握：①一组对边平行；② 一组对边不平行 （2）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等 的梯形，特殊梯形还有直角梯形． （3）等腰梯形性质：①边：上下底平行但不相等，两腰相等； ②角：同一底边上的两个角相等；对角互补 ③对角线：对角线相等；④对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）． （4）等腰梯形的判定： ① 同一底两个底角相等的梯形；② 对角线相等的梯形． 4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析 （1）识别矩形的常用方法 ① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任意一个角为直角． ② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的对角线相等． ③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角． （2）识别菱形的常用方法 ① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等． ② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③ 说明四边形ABCD 的四条相等． （3）识别正方形的常用方法 ① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等． ② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等． ④ 先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角． （4）识别等腰梯形的常用方法 ① 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明两腰相等． ② 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等． ③ 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明对角线相等． 第十九章四边形单元测试题Ⅱ下马关中学 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN] 下马关中学第十九章四边形单元测试题Ⅱ 一、选择题(每小题3分,共30分) 1、能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（） A、一组对角相等 B、两条对角线互相平分 C、两条对角线互相垂直 D、一对邻角的和为180° 2、中，的值可以是（?? ） A．1：2：3：4? B．1：2：2：1? C．2：2：1：1? D．2：1：2：1 3、对角线互相垂直平分的四边形是（） A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、梯形 4、已知：如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 ( ) A．8 B．6 C．4 D．3 5、如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3 cm，则AB的长为 ( ) A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm 6、如图,□ABCD中,∠C=108°,BE平分∠ABC,则∠ABE等于 ( ) ° ° ° ° 7、下列四个命题中，假命题是（）． A 等腰梯形的两条对角线相等 B 顺次连结四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形 C 菱形的对角线平分一组对角 D 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 8、等腰梯形的腰长为13cm，两底差为10cm，则高为（） A、69cm B、12cm C、69cm D、144cm 9、已知四边形ABCD的对角线相交于O，给出下列 5个条件①AB∥CD ②AD∥BC ③AB=CD ④∠BAD=∠DCB，从以上4个条件中任选 2个条件为一组，能推出四边形ABCD为平行四边形的有（） A 6组组组组 10、某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，?从学生中征集到设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（）． A．等腰三角形 B．正三角形 C．等腰梯形 D．菱形 二.填空题: (每小题3分,共24分) E D C B A 平行四边形单元达标自检题检测试题 一、选择题 1．如图，菱形ABCD 的边长为4,60,A E ∠=是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕着E 逆时针旋转60，得到EG ，连接EG CG 、，则BG CG +的最小值为（ ） A ．33 B ．27 C ．43 D ．223+ 2．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=?，若CD ，CM 分别是斜边AB 上的高和中线，则下列结论中错误的是（ ） A ．MC B MCA ∠=∠ B ．MCB ACD ∠=∠ C ．B AC D ∠=∠ D ．MCA BCD ∠=∠ 3．如图，正方形ABCD 的边长为1，顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形1111D C B A ，又顺次连接正方形1111D C B A 四边中点得到第二个正方形 2222A B C D ，……，以此类推，则第六个正方形6666A B C D 的面积是（ ） A ． 164 B ． 116 C ． 132 D ． 18 4．如图，正方形ABCD 的边长为5，4AG CH ==，3BG DH ==，连接GH ，则线段GH 的长为（ ） A ． 43 5 B ．75 C ．2 D ．52- 5．如图，在ABC ?中，4BC =，BD 平分ABC ∠，过点A 作AD BD ⊥于点D ，过点D 作//DE CB ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若2EF DF =，则AB 的长为（ ） A ．10 B ．8 C ．7 D ．6 6．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．将矩形沿AC 折叠，CD ′与AB 交于点F ，则AF ：BF 的值为（ ） A ．2 B ． 53 C ． 54 D ．3 7．如图，正方形ABCD 的边长为2，Q 为CD 边上（异于C ，D ） 的一个动点，AQ 交BD 于点M ．过M 作MN ⊥AQ 交BC 于点N ，作NP ⊥BD 于点P ，连接NQ ，下面结论： ①AM=MN ；②MP=2；③△CNQ 的周长为3；④BD+2BP=2BM ，其中一定成立的是（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①②④ D ．①④ 八年级下期第十九章《四边形》测试题 班级_____ 姓名___ 成绩________ 一．填空题（每小题3分，共30分） 1．平行四边形ABCD中，∠A=500，AB=30cm，则∠B=____，DC=____ cm。 2．平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD＝ cm。 3．若边长为4cm的菱形的两邻角度数之比为1∶2，则该菱形的面积为 cm2。 4．如图2，△ABC中，EF是它的中位线，M、N分别是EB、CF的中点， 若BC=8cm， 那么EF= cm，MN= cm； 5．若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为 cm2。 6．如右图，若梯形的两底长分别为4cm和9cm，两条对角线长分别为5cm 和12cm，则该梯形的面积为 cm2。 7．在□ABCD 中，若添加一个条件________，则四边形ABCD是矩形；若 添加一个条件_______，则四边形ABCD是菱形． 8．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为_____ cm，面积为______ cm2．9．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，?AD=?6cm，?BC=?8cm，?∠B=?60?°，?则AB=_______cm．10．梯形的上底长为2，下底长为5，一腰为4，则另一腰m的范围是。二．单选题（每小题3分，共30分） 11．菱形具有而矩形不具有的性质是（） A．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补 12．关于四边形ABCD ①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC和BD相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（）。 A、 1个 B、2个 C、3个 D、4个 13．能够判定一个四边形是菱形的条件是（）。 （A）对角线相等且互相平分（B）对角线互相垂直且互相平分 （C）对角线相等且互相垂直（D）对角线互相垂直 14．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（） 第十九章四边形 测试1 平行四边形的性质(一) 学习要求 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理； 2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题． 课堂学习检测 一、填空题 1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD 记作__________。 2．平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______． 3．在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝______，∠B＝______． 4．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______．5．若□ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是______． 6．如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______． 6题图 7．如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______． 7题图 8．若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S□ABCD＝______． 二、选择题 9．如图，将□ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立 ．．．．．的是( )． (A)AF＝EF (B)AB＝EF (C)AE＝AF (D)AF＝BE 10．如图，下列推理不正确的是( )． (A)∵AB∥CD∴∠ABC＋∠C＝180° (B)∵∠1＝∠2 ∴AD∥BC (C)∵AD∥BC∴∠3＝∠4 (D)∵∠A＋∠ADC＝180°∴AB∥CD 11．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )． (A)5(B)6 (C)8(D)12 综合、运用、诊断 一、解答题 12．已知：如图，□ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求证：DE＝BF． 平行四边形单元测试题 班别姓名学号分数 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D=（）（A）36°（B）108°（C）72°（D）60° 2．如果等边三角形的边长为3，那么连结各边中点所成的三角形的周长为（）． （A）9 （B）6 （C）3 （D）9 2 3．平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为（）．（A）4 平行四边形的性质与判定（复习课） 【教学目标】 1、知识与技能： 熟练掌握平行四边形的性质及平行四边形的判定定理，并运用它们进行有关的推理和计算。 （二）过程与方法 在小组讨论、分析、归纳、总结，以及练习中，进一步提高学生的解决数学问题的能力； （三）情感、态度与价值观 在数学学习中得到成功的体验，进一步对激发对数学的兴趣； 【教学重难点】 教学重点：熟练运用平行四边形的性质、判定解答问题 教学难点：平行四边形的性质与判定的综合运用 【教学准备】多媒体复习课件、学生复习学案 【教学过程】 一、小组交流，梳理知识 1、如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ 2、在四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，则判定四边形ABCD是平行四边形的条件可以是：∵_______________，∴四边形ABCD是平行四边形 ∵_______________，∴四边形ABCD是平行四边形 ∵_______________，∴四边形ABCD是平行四边形 ∵_______________，∴四边形ABCD是平行四边形 ∵_______________，∴四边形ABCD是平行四边形 3、（1）在△ABC中，D、E分别是AB、BC边上的中点，则得结论： （2）若在△ABC中，D是AB边上的中点，DE∥AC,则可得结论： 二、快速答题，夯实基础 1、已知□ABCD,若AB=15㎝, BC=10cm，则AD=______㎝.周长=______cm. 2、已知□ABCD, ∠A=50度, 则∠C=______度. ∠B=_______度. 3、如图，□ABCD的对角线AC、BD长度之和为20cm,若△AOB的周长为17cm，则AB=____cm 第3题第4题 4、在四边形ABCD中,若分别给出六个条件:①AB∥CD ②AD=BC ③OA=OC ④AD∥ BC ⑤AB=CD ⑥OB=OD.现在,以其中的两个为一组,能直接确定四边形ABCD为平行四边形的条件是 _________ (只填 A B C D 第4题图 第十九章四边形单元测试题 一、选择题(每小题3分,共30分) 1．下列说法中,错误的是 ( ) A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.菱形的对角线互相垂直 D.对角线互相垂直的四边形是菱形 2、 中， 的值可以是（ ） A ．1：2：3：4 B ．1：2：2：1 C ．2：2：1：1 D ．2：1：2：1 3、等腰梯形的腰长为13cm ，两底差为10cm ，则高为 （ ） A 、69cm B 、12cm C 、69cm D 、144cm 4、如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC ＝4，则BD 的长为( ) A ．8 3 B ．4 3 C ．2 3 D ．8 5、已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．3 6、已知平行四边形的一条边长为12，则下列各组数据中能分别作为它的两条 对角线的长的是（ ） A 、6和10 B 、8和14 C 、10和16 D 、10和40 7、已知点、A(2,0) 、 点B （—1，0）、点C （0，1），以A 、B 、C 三点 为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 8、如图，正方形ABCD 中，∠DAF=25°，AF 交对角线BD 于点E ，那么∠BEC 等于（ ） A 、45° B 、60° C 、70° D 、75° 9、已知四边形ABCD 的对角线相交于O ，给出下列 4个条件①AB ∥CD ②AD ∥BC ③AB=CD ④∠BAD=∠DCB ，从以上4个条件中任选 2个条件为一组，能推出四边形ABCD 为平行四边形的有（ ） A 6组 组 组 组 10．在矩形ABCD 中，M 是AD 边的中点，N 是DC 边的中点，AN 与MC 交于点P ， 若∠MCB=∠NBC ＋33°，那么∠MPA 的度数是 （ ） A ．33° B ．66° C ．45° D ．78° 二.填空题: (每小题3分,共24分) 11、已知AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加的条件是 （填一个你认为正确的条件即可）； 12、依次连接菱形各边中点，所得的四边形是 13．□ABCD 的周长为24， AC 、BD 相交于点O ，若△AOB 的周长比△BOC 的周长大4，则CD=________ 14、菱形的面积为24，一条对角线长为8，则它的高为 ___ 15、如图5，矩形ABCD 的长为8㎝，宽为6㎝， O 是对称中心，则途中阴影部分的面积是 ； 16.已知矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD 折叠，使C 、A 则折痕EF 的长为 。 17、如图6，在□ABCD 中，DB=DC ，∠C=70°， AE ⊥BD 于点E ，则∠DAE= ； 18、如图7，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，中位线EF 与对角线AC 、BD 交于M 、N 两点，若EF=18㎝, MN=8㎝，则AB 的长为 ； 三.解答题: (共66分) 19.已知：在□ABCD 中，∠A 的角平分线交CD 于E ，若1:3: EC DE ，AB 的长为8，求BC 的长。（7分） 20、已知菱形的边长为12，一边与两条对角线的夹角的差为30°，求菱形的面积及各角的度数。（7分） A B F E C D E 图6 E D C B A 图5 B C A D F E O · 图7 N M F E D C B A A B C D E 第19章四边形单元测试卷 一、选择题(每题4分,共40分) 1.正多边形的一个内角是120°,则这个正多边形的边数为() A.4 B.8 C.6 D.12 2.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是() A.对边相等 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 3.在?ABCD中,AB=3,BC=4,连接AC,BD,当?ABCD的面积最大时,下列结论正确的有() ①AC=5;②∠BAD+∠BCD=180°;③AC⊥BD;④AC=BD. A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 4.从一个n边形的同一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,若把这个多边形分割成6个三角形,则n的值是() A.6 B.7 C.8 D.9 5.菱形的周长是它的高的4倍,则菱形中较大的一个角是() A.100° B.120° C.135° D.150° 6.以三角形一条中位线和第三边上的中线为对角线的四边形是() A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 7.如图,菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则对角线AC的长是() A.20 B.15 C.10 D.5 8.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6,若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为() A.4 B. C. D.5 9.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点E,F,G分别是BD,AC,DC的中点.已知两底之差是6,两腰之和是12,则△EFG的周长是() A.8 B.9 C.10 D.12 10.如图,O是菱形ABCD的对角线AC,BD的交点,E,F分别是OA,OC 的中点.下列结论:①S△ADE=S△EOD;②四边形BFDE是菱形;③四边形ABCD的面积为EF·BD;④∠ADE=∠EDO;⑤△DEF是轴对称图形.其中正确的结论有() 第十九章四边形 19.1平行四边形 第一课时 一、教学目标 知识与技能 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．过程与方法 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 情感、态度与价值观 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、重点难点 重点: 平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 难点: 运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、教学过程 (一)复习导入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？ 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 你能总结出平行四边形的定义吗？ (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四 边形． (2)表示：平行四边形用符号“”来表示． 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那 么四边形 ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）； ②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）． 注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时结合图形，让学生认识清楚）2．探究：平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下． 让学生根据平行四边形的定义画一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？ （1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角． （相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．） （2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等． 下面证明这个结论的正确性． 已知：如图ABCD， 求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD． 分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论． （作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．） 证明：连接AC， ∵ AB∥CD，AD∥BC， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． 又 AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA （ASA）． ∴ AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D． 又∠1＋∠4＝∠2＋∠3， ∴∠BAD＝∠BCD． 由此得到： 平行四边形性质1 平行四边形的对边相等． 平行四边形性质2 平行四边形的对角相等． (二)新课教授 平行四边形全章知识点整理 【知识脉络】 【基础知识】 Ⅰ. 平行四边形 （1）平行四边形性质 1）平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2）平行四边形的性质（包括边、角、对角线三方面） ： A B D O C 边：①平行四边形的两组对边分别平行； ②平行四边形的两组对边分别相等； 角：③平行四边形的两组对角分别相等； 对角线：④平行四边形的对角线互相平分. 【补充】平行四边形的邻角互补；平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点. （2）平行四边形判定 1）平行四边形的判定（包括边、角、对角线三方面）： A B D O C 边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形. 2）三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 3）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一 半. 4）平行线间的距离： 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间 的距离。两条平行线间的距离处处相等。 Ⅱ. 矩形 （1）矩形的性质 1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩 形. 2）矩形的性质： ①矩形具有平行四边形的所有性质； ②矩形的四个角都是直角； ③矩形的对角线相等； ④矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线的交点 . A B （2）矩形的判定 1）矩形的判定： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有三个角是直角的四边形是矩形. 2）证明一个四边形是矩形的步骤： 方法一：先证明该四边形是平行四边形，再证一角为直角或对角线相等； 方法二：若一个四边形中的直角较多，则可证三个角为直角. 3）直角三角形斜边中线定理：（如右图） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. Ⅲ. 菱形 （1）菱形的性质 1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2）菱形的性质： ①菱形具有平行四边形的所有性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线交点. 1）菱形的判定： ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③四条边都相等的四边形是菱形. 2）证明一个四边形是菱形的步骤： 方法一：先证明它是一个平行四边形，然后证明“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”； 方法二：直接证明“四条边相等”. Ⅳ. 正方形 （1）正方形的性质 1）正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 2）正方形的性质： 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，即①正方形的四条边都相等；② 四个角都是直角；③对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角. 3）正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有四条对称轴，对角线的交点是 对称中心. （2）正方形的判定 1）正方形的判定： ①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ②有一组邻边相等的矩形是正方形； ③对角线互相垂直的矩形是正方形； ④有一个角是直角的菱形是正方形； ⑤对角线相等的菱形是正方形； ⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 一．填空题（每小题3分，共30分） 1．平行四边形ABCD中，∠A=500，AB=30cm，则∠B=____，DC=____ cm。 2．平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长 比△AOB的周长大2cm，则CD＝cm。 3．若边长为4cm的菱形的两邻角度数之比为1∶2，则该菱形的面积为cm2。 4．如图2，△ABC中，EF是它的中位线，M、N分别是EB、CF的中点，若BC=8cm， 那么EF= cm，MN= cm； 5．若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为 cm2。 6．如右图，若梯形的两底长分别为4cm和9cm，两条对角线长分别为5cm和12cm，则该梯形的面积为cm2。 7．在□ABCD 中，若添加一个条件________，则四边形ABCD是矩形；若添加一个 条件_______，则四边形ABCD是菱形． 8．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为_____ cm，面积为______ cm2．9．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，?AD=?6cm，?BC=?8cm，?∠B=?60?°，?则AB=_______cm．10．梯形的上底长为2，下底长为5，一腰为4，则另一腰m的范围是。二．单选题（每小题3分，共30分） 11．菱形具有而矩形不具有的性质是（） A．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补 12．关于四边形ABCD ①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC和BD相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（）。（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 13．能够判定一个四边形是菱形的条件是（）。 （A）对角线相等且互相平分（B）对角线互相垂直且互相平分 （C）对角线相等且互相垂直（D）对角线互相垂直 14．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（） A、对角线相等 B、对角线互相平分 C、对角线互相垂直 D、对角线平分对角15．三角形的重心是三角形三条（）的交点 A．中线B．高C．角平分线Ｄ．垂直平分线 16．若顺次连结四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必定是（） 施秉县马号中学八年级数学（下） 第十九章 四边形检测题 班级： 姓名： 学号： 评分： 一、选择题：（每题3分，共30分） 1、下列图形不是轴对称图形的是（ ） （A ）平行四边形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）等腰梯形 2、若O 是四边形ABCD 对角线的交点且OA=OB=OC=OD ，则四边形ABCD 是（ ） （A ）平行四边形 （B ）矩形 （C ）正方形 （D ）菱形 3、□ABCD 的周长为40cm ，△ABC 的周长为25cm ，则对角线AC 的长为（ ） （A ）6cm （B ）15cm （C ）5cm （D ）16cm 4、已知菱形的两条对角线长分别是4cm 和8cm ，则与此菱形同面积的正方形的边长是（ ） （A ）8cm （B ）24cm （C ）22cm （D ）4cm 5、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形②矩形③菱形④正方形⑤等腰三角⑥等边 三角形，一定可以拼成的是（ ） （A ）①④⑤ （B ）②⑤⑥ （C ）①②③ （D ）①②⑤ 6、如图，已知矩形ABCD ，R 、P 分别是DC 、BC 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在 BC 上从B 向C 移动而R A 线段EF 的长逐渐增大。 B 线段EF 的长逐渐减少。 C 线段EF 的长不变。 D 线段EF 的长不能确定。 7、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线 AC ⊥BD ，且AC ＝ 12，BD ＝9，则该梯形的 面积是（ ） A 30 B 15 C 7.5 D 54 8、如图，某花木场有一块等腰梯形ABCD 的空地，其各边 的中点为 E 、 F 、 G 、 H ，测得对角线AC ＝10米，现想用 篱笆围成四边形EFGH 场地，则需篱笆总长度是（ ） A 40米 B 30米 C 20米 D 10米 9、在□ ABCD 中，∠A 、∠B 的度数之比为5∶4，则 ∠C 等于（ ） A.60° B.80° C.100° D.120° 10、下列命题中正确的是（ ） A 对角线互相平分的四边形是菱形。 B 对角线互相平分且相等的四边形是菱形。 C 对角线互相垂直的四边形是菱形。 D 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 二、填空题：（11~17每题3分，18题4分，共25分） 11、如图，在平行四边形ABCD 中，DB ＝DC ，∠C ＝700， AE ⊥BD 于E ，则∠DAE ＝ 度 12、如图，BD 是□ABCD 的对角线，点E 、F 在BD 上， 要使四边形AECF 是平行四边形，还需要增加的一个 条件是 （填上你认为正确的一个即可） 13、在□ABCD 中，∠A +∠C =270°，则∠B =______，∠C =______. 14、已知O 是 ABCD 的对角线的交点，AC =38 cm,BD = 24cm,AD =14 cm,那么△OBC 的周长等于 _________cm 15、若正方形的面积为2cm 2，则正方形对角线长为__________cm 。 16、如图，在直角梯形中，底AD=6 cm ，BC=11 cm ，腰CD=12 cm ， 则这个直角梯形的周长为______cm 。 17、若菱形的周长为16 cm ，一个内角为60°，则菱形的面积 为______cm 2。 18、工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： （1）先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图1，使AB ＝CD ，EF ＝GH ； （2）摆放成如图2的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理 是： ； （3）将直角尺靠窗框的一个角，如图3，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝 隙时，如图4，说明窗框合格，这时窗框是 ，根据的数学道理是： 。 C B C D B A D C E D 下马关中学第十九章四边形单元测试题H 一、选择题（每小题3分,共30分） 1、能够判定一个四边形是平行四边形的条件是 （ ） A 、一组对角相等 B 、两条对角线互相平分 C 、两条对角线互相垂直 D 、一对邻角的和为 9、 已知四边形ABCD 的对角线相交于O ,给出下列5个条件①AB // CD ②AD // BC ③ AB=CD ④/ BAD= / DCB ，从以上4个条件中任选2个条件为一组，能推出四边形 ABCD 为平 行四边形的有（ ） A 6组 B.5组 C.4组 D.3组 10、 某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛， ？从学生中征集到设 计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（）. A .等腰三角形 B .正三角形 C .等腰梯形 D .菱形 2、夕且 BCD 中，^A:Z￡:Za：ZD 的值可以是 A. 1: 2: 3: 4 B . 1: 2: 2: 1 1 C . 2: 2: 1: 1: 2: 3、 对角线互相垂直平分的四边形是 A 、平行四边形 4、 已知：如图， =2, AD-4, A. 8 B 、矩形 在矩形ABCD 中, 则图中阴影部分的面积为 （） C. 4 D. 3 （ C 、菱形 E 、 F 、 G H 分别为边AB BC 梯形 CD DA 的中点. AB B. 6 5、如图，□ ABCD 中，对角线AC BD 交于点O,点E 是BC 的中点.若OE=3 cm 的长为（） A. 3 cm B . 6 cm C . 9 cm D. 12 cm 6、如图,□ ABC 冲,/ C=108 ,BE 平分/ ABC J ?/ABE 等 于（） A.18 ° B.36 ° C.72 ° D.108 ° ）. 等腰梯形的两条对角线相等 顺次连结四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形 菱形的对角线平分一组对角 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 7、下列四个命题中，假命题是（ A D &等腰梯形的腰长为13cm ,两底差为10cm ,贝U 高为 （ B 、 12cm C 、 69cm D 、144cm 180° 则 AB 平行四边形 【知识脉络】 【基础知识】 Ⅰ. 平行四边形 （1）平行四边形性质 1）平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2）平行四边形的性质（包括边、角、对角线三方面） ： A B D O C 边：①平行四边形的两组对边分别平行； ②平行四边形的两组对边分别相等； 角：③平行四边形的两组对角分别相等； 对角线：④平行四边形的对角线互相平分. 【补充】平行四边形的邻角互补；平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点. （2）平行四边形判定 1）平行四边形的判定（包括边、角、对角线三方面）： A B D O C 边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形. 2）三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 3）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 4）平行线间的距离： 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。 两条平行线间的距离处处相等。 Ⅱ. 矩形 （1）矩形的性质 1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2）矩形的性质： ①矩形具有平行四边形的所有性质； ②矩形的四个角都是直角； ③矩形的对角线相等； ④矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线的交点. （2）矩形的判定 1）矩形的判定： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有三个角是直角的四边形是矩形. 2）证明一个四边形是矩形的步骤： 方法一：先证明该四边形是平行四边形，再证一角为直角或对角线相等； E 第18题图 O D B A 一．填空题（每小题3分，共30分） 1．平行四边形ABCD 的周长为20cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若△BOC 的周长比△AOB 的周长大2cm ，则CD ＝cm 。 2．若边长为4cm 的菱形的两邻角度数之比为1∶2，则该菱形的 面积为cm 2 。 3． 如图2，△ABC 中，EF 是它的中位线，M 、N 分别是EB 、CF 的 中点，若BC=8cm ，那么EF=cm ，MN=cm ； 4．若矩形的对角线长为8cm ，两条对角线的一个交角为600 ， 则该矩形的面积为cm 2 。 5．如上图，若梯形的两底长分别为4cm 和9cm ，两条对角线长分别为5cm 和12cm ，则该梯形的 面积为cm 2 。 6、 如图矩形ABCD 中，AB ＝8㎝，CB ＝4㎝， E 是DC 的中点，BF ＝ 4 1 BC ，则四边形DBFE 的面积为。 7.如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，AB ＝2，BC ＝3.则图中阴影部分的面积为. 二．单选题（每小题3分，共30分） 1．关于四边形ABCD ①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC 和BD 相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD 是平行四边形的有（ ）。 （A ） 1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个 2．能够判定一个四边形是菱形的条件是（ ）。 （A ） 对角线相等且互相平分 （B ）对角线互相垂直且互相平分 （C ）对角线相等且互相垂直 （D ）对角线互相垂直 3．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A 、对角线相等 B 、对角线互相平分 C 、对角线互相垂直 D 、对角线平分对角 4．若顺次连结四边形ABCD 各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 必定是（ ） A 、菱形 B 、对角线相互垂直的四边形 C 、正方形 D 、对角线相等的四边形 5．下列命题中，真命题是（ ） 第十八章《四边形小结与复习》教案 、教学目标: 1、 让学生进一步明确平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形相互间的关系。 2、 合理地运用图形的特征与性质，总结、归纳常见结论及解题规律。 二、 学情分析 经过本章新课的学习，我们班大多数学生已经掌握了特殊平行四边形和梯形的基础知识, 已具备对简单图形的识别判断和说理论证。但还有近一半学生对稍复杂图形的分析、转换能 力还较薄弱，对猜想等求异思维比较欠缺，班级学生之间存在着较大的个体差异。 三、 教学重点与难点： 1、 教学重点：加深学生对图形变换的理解，恰当运用特殊四边形的主要特征，探究论证图形 的有关结论。 2、 教学难点：几何图形辅助线的添加方法，常见几何模型的归类与总结。 四、 教学过程： 理解本章基本图形的形成、变化和发展过程 本章知识结构图，如图 厶 推J 广 r- — CO （1） 图4-107（c ）中要求各种特殊四边形的概念、性质、判定和它们之间的关系; （2） 图4-107（d ）中要求平行线等分线段定理的内容，会任意等分一条已知线段; （3） 图4-107（e ）中要求三角形、梯形中位线的概念、性质、判定； 三、师生共同小结 1. 基本方法. ——T L 小一厂 说明: 中心对称及中心对称图形 L 厶 (1) 利用基本图形结构使知识系统化； ⑵证明两条线段相等及和差关系的方法，也可类比总结证明两角相等，角的和差、倍、分问 题，直线垂直、平行关系的方法； (3) 利用变换思想添加辅助线的方法； (4) 探求解题思路时的分析、综合法. 2. 基本思想及观点： (1) “特殊一一一般一一特殊”认识事物的方法； (2) 集合、方程、分类讨论及化归的思想； (3) 用类比、运动的思维方法推广命题. 四、随堂练习 1. ___________________________________________________________________________ 如图，四边形ABCD是正方形，AE丄BE于点E,且AE=3, BE=4,则阴影部分的面积_______________ 2. 如图，在平行四边形ABC冲，已知点E在AB上，点F在CD上，且AE=CF求证：DE=BF. 3. 已知：如图4-117，Rt△ ABC中，厶ACB的平分线交对边于E,交斜边上的高AD于G,过 G作FGC咬AB于F.求证：AE=BF. 五?总结反思 1. 本节课复习了哪些数学知识？ 2. 在解决问题的过程中突出的数学思想方法是什么？ 平行四边形的问题往往转化为三角形来解决，同时平行四边形又为三角形全等提供边等和角等 W 4-117第十八章平行四边形知识点总结
第十九章四边形单元测试题Ⅱ下马关中学
平行四边形单元达标自检题检测试题
第十九章四边形测试题及答案(新人教版八年级下)
第十九章四边形
平行四边形单元测试题(含答案)
平行四边形单元小结
第十九章四边形单元测试题
2018年沪科版数学八年级下册《第19章四边形》单元测试卷及答案
[初二数学]第十九章四边形
平行四边形全章知识点总结
第十九章四边形测试题及答案(新人教版八年级下)
人教版八年级下第十九章四边形检测试卷
七年级第十九章四边形单元测试题Ⅱ
平行四边形全章知识点总结精编版
(新人教版八年级下)第十九章四边形测试题及答案
第18章四边形的小结与复习
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- 第十九章四边形
- 第十九章四边形
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