,
0(a
，准线方程为a
y 41-
=． （Ⅱ）证明：设直线PA 的方程为)(010x x k y y -=-，直线PB 的方程为
)(020x x k y y -=-．
点),(00y x P 和点),(11y x A 的坐标是方程组0102
()y y k x x y ax -=-???
=?? ①
②
的解．将②式代入①式得000112
=-+-y x k x k ax ，于是a k x x 101=
+，故011x a
k
x -= ③ 又点),(00y x P 和点),(22y x B 的坐标是方程组0202
()y y k x x y ax -=-???
=?? ④
⑤的解．将⑤式代入④式得000222
=-+-y x k x k ax ．于是220k x x a +=
，故220k
x x a
=-．
由已知得，12k k λ-=，则012x k a
x --
=λ
． ⑥
设点M 的坐标为),(M M y x ，由λ=，则λ
λ++=
11
2x x x M ．
将③式和⑥式代入上式得00
01x x x x M -=+--=λ
λ，即00=+x x M ．
∴线段PM 的中点在y 轴上．
（Ⅲ）因为点)1,1(-P 在抛物线2ax y =上，所以1-=a ，抛物线方程为2
x y -=． 由③式知111--=k x ，代入2
x y -=得2
11)1(+-=k y ．
将1=λ代入⑥式得211x k =-，代入2
x y -=得2
22)1(+-=k y ． 因此，直线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为
2111(1,21)A k k k -----，2111(1,21)B k k k --+-．
于是2
111(2,2)AP k k k =++ ，11(2,4)AB k k = ，
2111111112(2)4(2)2(2)(21)AP AB k k k k k k k k ?=+++=++
．
因PAB ∠为钝角且P 、A 、B 三点互不相同，故必有0AP AB ?<
．
求得1k 的取值范围是12k <-或11
02k -
<<．又点A 的纵坐标1y 满足211(1)y k =-+，故当12k <-时，11y <-；当1102k -<<时，1114y -<<-．即11
(,1)(1,)4
y ∈-∞---
点评：解析几何解题思维方法比较简单，但对运算能力的要求比较高，平时练习要注意
提高自己的运算能力.
演变4. (05年重庆)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(. (1) 求双曲线C 的方程；
(2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>?OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围.
问题5：轨迹问题
根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.
例5. （05年江西）如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、M F 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. （1）若M 为定点，证明：直线E F 的斜率为定值； （2）若M 为动点，且∠EM F =90°，求△EM F 的重心G 的轨迹
思路分析：（1）由直线M F （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的
坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去y 0即得到G 的轨迹方程（参数法）.
解：（1）设M （y 2
0,y 0），直线ME 的斜率为k (l>0) 则直线M F 的斜率为－k ，方程为2
00().y y k x y -=-
∴由2
00
2()
y y k x y y x
?-=-??
=??，消200(1)0x ky y y ky -+-=得
解得2
002
1(1),F F ky ky y x k k
--=∴= ∴00220000
2
22
112
14(1)(1)2E F EF
E F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+-
--===
=---+--(定值) 所以直线E F 的斜率为定值.
（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠== 当时所以直线ME 的方程为2
00()y y k x y -=-
由2
002y y x y y x
?-=-??=??得200((1),1)E y y --
同理可得200((1),(1)).F y y +-+
设重心G （x , y ），则有2222
00000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x x ?+-+++++===???
+--+++?===-??
消去参数0y 得2122().9273
y x x =
-> 点评：这是一道重要的数学问题,几乎是高考数学每年的必考内容之一,此类问题一定要“大胆假设,细心求解”,根据题目要求先将题目所涉及的未知量都可以设出来,然后根据题目把所有的条件都变成等式,一定可以求出来,当然求的过程中,采取适当的小技巧,例如化简或适当分类讨论,可以大为简化过程,而且会尽量多多得分,同时这一类题目也需要很强的计算能力.
演变5：已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，
0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆
的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=?TF TF PT （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x a
c
a P F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；
（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1M F 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1M F 2的正切值；若不存在，请说明理由.
点拨与提示：本题在求点T 的轨迹用的是代入法：即用T 点的坐标将Q 点的坐标表示出来，再代入Q 所满足的曲线方程即可.
问题6：与圆锥曲线有关的定值、最值问题
建立目标函数，转化为函数的定值、最值问题.
例6：点A 、B 分别是椭圆120
362
2=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点
P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.
（1）求点P 的坐标；
（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线A P 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值. 思路分析：设椭圆上动点坐标为(x ,y )，用该点的横坐标将距离d 表示出来，利用求函数最值的方法求d 的最小值. [解]（1）由已知可得点A(－6,0),F (0,4)
设点P (x ,y ),则AP ={x +6, y },FP
={x －4, y },由已知可得
22
213620(6)(4)0
x y x x y ?+=???+-+=?
则22
x +9x －18=0, x =23或x =－6.
由于y >0,只能x =
23,于是y =235. ∴点P 的坐标是(23,2
3
5)
(2) 直线A P 的方程是x －3y +6=0. 设点M(m ,0),则M 到直线A P 的距离是
2
6+m .
于是
2
6+m =6+m ,又－6≤m ≤6,解得m =2.
椭圆上的点(x ,y )到点M 的距离d 有 2
2
2
222549
(2)4420()15
992
d x y
x x x x =-+=-++-=-+
,
由于－6≤m ≤6, ∴当x =
2
9
时,d 取得最小值15 点评：解决有关最值问题时，首先要恰当地引入变量（如点的坐标、角、斜率等），建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解.
演变6：（05年浙江）如图，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线l 1：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 1上的动点，使∠F 1最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．
点拨与提示：（1）待定系数法；（2F 1PF 2的正切值用y 0表示出来，利用基本不等式求其最值.
演变7：（05年全国）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭
圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB + 与(3,1)a =-
共线. （1）求椭圆的离心
率； （2）设M 为椭圆上任意一点，且→
→
→
+=OB OA OM μλ，证明22
λμ+为定值. 点拨与提示：（1）将AB 的方程与椭圆方程联立成方程组，然后求解；（2）将M 点的坐标用A 、B 的坐标表示出来，代入到椭圆方程，结合韦达定理求解.
问题7：与圆锥曲线有关的对称问题
利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.
例7：过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为2
2
的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =
2
1
x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程
思路分析： 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式，再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解；解法二，用韦达定理
解法一 由e =22
=a c ,得212
22=-a
b a ,从而a 2=2b 2,
c =b 设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上 则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得
，
(x 12
－
x 22)+2(y 12
－
y 22)=0,
.)
(2212
12121y y x x x x y y ++-=--
设AB 中点为(x 0,y 0)，则k AB =－
002y x ，又(x 0,y 0)在直线y =21x 上，y 0=2
1
x 0,于是－002y x =－1，k AB =－1，设l 的方程为y =－x +1.
右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′),
??
?-='='???????++'-='=-''
b y x b x y b
x y 11 1
22
1解得则 由点(1,1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2,b 2=
8
9
,1692=a ∴所求椭圆C 的方程为2
29
1698y x + =1,l 的方程为y =－x +1
解法二 由e =21
,222
22=-=a
b a a
c 得,从而a 2=2b 2,c =b 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1),
将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2
)x 2
－4k 2
x +2k 2
－2b 2
=0,则x 1+x 2=2
2
214k k +,y 1+y 2=k (x 1
－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－
2
212k
k
+ 直线l y =21
x 过AB 的中点(2
,
22121y y x x ++), 则2
2
22122121k k k k +?
=+-,解得k =0，或k =－1 若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1),即y =－x +1,以下同解法一
点评：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题，成为解决本题的关键.注意在设直线方程时要对直线斜率是否存在进行讨论.
演变8：（05年湖南）已知椭圆C ：22a x ＋22
b
y ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，
离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λ.
（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；
（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.
点拨与提示：（1）由A 、B 的坐标求出M 点的坐标（x 0,y 0），代入椭圆的方程即可；（2）利用等腰三角形的性质|PF 1|=|F 1F 2|来求λ的值.
专题小结
1、求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a ，b ，p 等.要充分认识椭圆中参数a ,b ,c ,e 的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.
2、涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.
3、直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.
4、对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等.
5、与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明. 【挑战自我】
已知椭圆12
22=+y a
x （a ＞1），直线l 过点A （-a ,0）和点B （a ,t a ）交椭圆于M ，直线
MO 交椭圆于点N.
（1）用a ,t 表示△AMN 的面积S ；（2）若t ∈[1,2]，a 为定值，求S 的最大值. 解：（1）由于直线AB 的方程为t x -2y +a t=0,
由???=+=+-222202a y a x at y tx 得M ???
?
??++--2
2223244,44a t ta
a t a a t ，由椭圆的对称性知N ???
? ??+-+-222
23244,44a t ta
a t a a t ， ∴ S ＝22222224|
|4|4444|21a t t a a t ta a t ta a +=+++??. （2）∵t ∈[1,2]，S ＝t a t
a a
t t a 22
2
224444+=+= 记]2,1[,4)(2∈+=
t t a t t f ，∵,4)`(22t a t f -=由,04)`(22=-=t
a t f 得a t 2=，∵a >1，∴当221<≤a 即1＜a ≤2时，f(t)在[1,2]上有唯一的极值点a
t 2
=，
∴这时a t f 4)(m in = 当
12
2时，,04)`(22>-=t
a t f 这说明f(t)在[1,2]上是增函数，所以 2m in 4)1()(a t f +==
因此，???
??>+≤<=244212
2
min
a a a a a
S . 【答案及点拨】
演变1：以O 为原点，∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如图的直角坐标系
设双曲线方程为22
22b y a x -=1(a ＞0,b ＞0)
由e 2
=2222)213()(1=+=a b a
c ，得23
=a b
∴两渐近线OP 1、OP 2方程分别为y =23x 和y =－2
3x 设点P 1(x 1,
23x 1),P 2(x 2,－2
3
x 2)(x 1＞0,x 2＞0),则由点P 分21P P 所成的比λ=21PP P P =2,得P 点坐
标为(22,
322121x x x x -+),又点P 在双曲线22
2294a y a x -=1上，所以2
22122219)2(9)2(a x x a x x --+=1, 即(x 1+2x 2)2－(x 1－2x 2)2=9a 2,整理得8x 1x 2=9a 2 ①
,427
131241321sin ||||2113124
91232tan 1tan 2sin 2
1349||,21349||2
12121121212222
21212
1121=??=??=∴=+
?
=+==+==+=
?x x OP P OP OP S Ox P Ox P OP P x x x OP x x x OP OP P 又 即x 1x 2=
2
9 ②
由①、②得a 2
=4,b 2
=9，故双曲线方程为9
42
2y x -
=1 演变2：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，A 到双曲线的左准线x = ─c a 2
= ─5
4的距离
d=|x 1+
5
4|=x 1+
5
4，由双曲线的定义，
d AF ||1=e=25,∴|A F 1|=25(x 1+5
4
)=25x 1+2,
同理，|B F 1|=
25x 2+2,∴|F 1A|2|F 1B|=(25x 1+2)(25x 2+2)=4
5
x 1x 2+5(x 1+x 2)+4 (1) 双曲线的右焦点为F 2(5,0),
(1)当直线的斜率存在时设直线AB 的方程为：y =k(x ─5)，
由?????=--=14
)
5(2
2y x x k y 消去y 得 (1─4k 2)x 2+85k 2x ─20k 2─4=0,
∴x 1+x 2=145822
-k k , x 1x 2= ─1
44202
2-+k k , 代入(1)整理得 |F 1A|2|F 1B|=1452514402222-++-k k k k +4=1456522-+k k +4=1
4485)41(652
2
-+
-k k +4=481+)14(4852-k
∴|F 1A|2|F 1B|>
4
81; (2)当直线AB 垂直于x 轴时，容易算出|A F 2|=|B F 2|=2
1, ∴|A F 1|=|B F 1|=2a +
21=29(双曲线的第一定义), ∴|F 1A|2|F 1B|=4
81 由(1), (2)得：当直线AB 垂直于x 轴时|F 1A|2|F 1B| 4
81
演变3：⑴抛物线的顶点为(4,0)，准线方程为4
25
449=+=x ,
设椭圆的方程为()012222>>=+b a b
y a x ,则有c =4，又425
2=
c a ， ∴9,252
2
==b a ∴椭圆的方程为19
252
2=+y x
⑵设椭圆内切圆的圆心为Q ，则
()57
5
212121212121=++?=
++=????F F PF PF S S S S F QF QP F QP F P F F
设点P 到x 轴的距离为h ，则
5421=??h ∴2
5410==h . ⑶设点P 的坐标为(x 0,y 0)，由椭圆的第二定义得： 0020015
45,545x ex a PF x ex a PF +=-=-
=+= 由∠F 1PF 2为钝角知：2
212
2
2
1
F F PF PF <+
∴4
754
750
<<-x 即为所求. 演变4：（Ⅰ）设双曲线方程为22
221x y a b
-= ).0,0(>>b a
由已知得.1,2,2,32222==+==
b b a
c a 得再由
故双曲线C 的方程为.13
22
=-y x （Ⅱ）将得代入13
222
=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k
由直线l 与双曲线交于不同的两点得2
222
130,
)36(13)36(1)0.
k k k ?-≠???=+-=->??
即.13
1
22<≠
k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则
22
9
,,22,1313A B A B A B A B x x x x OA OB x x y y k k
-+==?>+>-- 由得
而2((1)()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=++=++++
22
22
2937
(1)2.131331
k k k k k -+=++=--- 于是2222
37392,0,3131k k k k +-+>>--即解此不等式得.33
1
2<.13
1
2<的取值范围为(1,),1).33
--
? 演变5：（Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x 由P ),(y x 在椭圆上，得
.
)()()(||22
222
2
2
2
1x a
c
a x
a b b c x y c x F +=-++=++=
由0,>+-≥+
≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x a
c a F += 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r P F r P F ==
则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=
由.||,4,211222121x a
c
a r P F cx r r a r r +===-=+得 （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x
当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.
当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=?TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△Q F 1F 2中，a Q F OT ==
||2
1
||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.2
2
2
a y x =+
解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.
当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=?TF PT ，得2TF PT ⊥.
又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.
设点Q 的坐标为（y x '',），则???
?
???'=+'=
.2
,2y y c
x x ，因此???='-='.2,2y y c x x ① 由a F 2||1=得.4)(2
22a y c x ='++' ②
将①代入②，可得.2
22a y x =+
综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.2
2
2
a y x =+
（Ⅲ）解法 C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是：?????=?=+.||22
1,
2
022020b y c a y x 由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((22242
20≥+-=-=c b a c b a c
b a x 于是，当c
b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；
当c
b a 2
<时，不存在满足条件的点M.
当c
b a 2
≥时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，
由,2||21a F F <知?<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 2
12121=+-=∠k k k k MF F
演变6：（Ｉ）设椭圆方程为22
221y x a b
+=（0a b >>），半焦距为c , 则
2
1||a MA a c
=-,11||A F a c =-,
由题意，得 2
222
2()24a a a c c a a b c ?-=-???
=??=+???
,
解得2,1a b c ===，故椭圆方程为22143y x += （II ）设P (0,),||1m y m >
当00y =时，120F PF ∠=
当00y ≠时, 12102
F PF PF M π
<∠<∠<
，∴只需求12tan F PF ∠的最大值即可.
③ ④
直线1PF 的斜率011y K m =
+，直线2PF 的斜率0
2,1
y K m =- 021
122
21202||tan ||11y K K F PF K K m y -∴∠==+-
+≤=
0||y 时，12F PF ∠最大，
演变7：设椭圆方程为),0,(),0(122
22c F b a b
y a x >>=+
则直线AB 的方程为1,22
22=+-=b
y a x c x y 代入
化简得02)(2
2222222=-+-+b a c a cx a x b a .
令),,(),,(2211y x B y x A 则 .,22
22
2222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+
1212(,),OA OB x x y y +=++
由(3,1),a OA OB a =-+ 与共线，得 12123()()0.y y x x +++=
又1122,y x c y x c =-=-，∴12123(2)()0x x c x x +-++=
∴1232
c
x x +=即222
232a c c a b =+，∴223a b =
∴c ==
，故离心率为c e a ==
（II ）证明：由（I ）知2
23b a =，所以椭圆12222=+b y a x 可化为22233b y x =+.
设(,)OM x y =
，由已知得1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+
1212
,
.x x x y y y λμλμ=+?∴
?
=+? ),(y x M 在椭圆上， .3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ
即 .3)3(2)3()3(2
21212
22
22
2
12
12
b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①
由（I ）知.2
1,23,232222
21c b c a c x x ===+∴222221222
38a c a b x x c a b -==+ ∴1212121233()()x x y y x x x c x c +=++--
2222121239
43()330.22
x x x x c c c c c =-++=-+=
又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .12
2=+μλ故22μλ+为定值1. 演变8：（Ⅰ）因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B
的坐标分别是).,0(),0,(a e a
-设
M 的坐标是),,(),(),,(0000a e
a
y e a x y x λλ=+=得由
所以?????=-=.
)
1(00a y e
a x λλ 因为点M 在椭圆上，所以 ,122
0220=+b y a x
即.11)1(,1)()]1([2
2222222
=-+-=+-e e b a a e a
λλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e 解得.1122e e -=-=λλ
即
（Ⅱ）解：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BA F 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|.设点P 的坐标是),(00y x ，
则???
????+-=+-=???????+-=+-=+-.1)1(2,1
3
.22010
22
0220000
0e a e y c e e x a c x e y e c
x y 解得 由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([22222
22c e a e c e c e =+-+++-
两边同时除以4a 2
，化简得.1
)1(2222e e e =+- 从而.312
=e
于是32
112=-=e λ. 即当3
2=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形.
【基础达标】
一选择题：
1．到两定点1(2,0)F -和2(2,0)F 的距离之和为4的点M 的轨迹是：（ ） A 、椭圆 B 、线段 C 、圆 D 、以上都不对
2．椭圆22
12516x y +=上一点P 到一焦点距离为7，则P 到另一焦点距离为：（ ）
A 、3
B 、5
C 、1
D 、7
3．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率为（ ）
A 、14 B
、 C
、 D 、1
2
4．已知方程22
111x y k k -=+- 表示双曲线，则k 的取值范围是：（ ）
A 、
11k -<< B 、0k > C 、0k ≥ D 、11k k ><-或
5．双曲线22
1169x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过点F 1的弦AB 的长为5，
那么△ABF 2的周长是（ ）
A 、16
B 、18
C 、21
D 、26
6．双曲线与椭圆22
11664x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线为y x =-，则双曲线方程为：
（ ） A 、
2296x y -= B 、22160y x -= C 、2280x y -= D 、2224y x -=
7.F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段
8. 已知ABC ?的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )
(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(125
1622≠=+y y x
9. 如果椭圆221259
x y +=上有一点P ，它到左准线的距离为2.5，那么P 点到右焦点的距离
与到左焦点的距离之比是( )。
(A )3 : 1 (B )4 : 1 (C )15 : 2 (D )5 : 1 10. 顶点在原点，焦点是(0,2)-的抛物线方程是 )
(A )x 2=8y (B)x 2= -8y (C)y 2=8x (D)y 2= -8x 11. 抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) (A )
1716 (B)1516 (C)7
8
(D)0 12.过点P (0,1)与抛物线y 2=x 有且只有一个交点的直线有( )
(A )4条 (B)3条 (C)2条 (D)1条
13. 如果双曲线
22
16436
x y -=上一点P 到它的左焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是( ) (A )
325 (B )645 (C )96
5
(D )1285
二、填空题
14．双曲线22
1169x y -=的左焦点到渐近线的距离为____ ____。
15．方程22
141x y t t -=--表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能是圆。
②若曲线C 为椭圆，则有1③若曲线C 为双曲线，则t<1或t>4
④若曲线C 为焦点在X 轴上的椭圆，则1圆锥曲线基础测试题大全
圆锥曲线基础测试题大 全 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
（北师大版）高二数学《圆锥曲线》基础测试试题 一、选择题 1.已知椭圆116 252 2=+ y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2. 椭圆32x 2+16 y 2 =1的焦距等于（ ）。 A ．4 B 。8 C 。16 D 。123 3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程 为 （ ） A ．116922=+ y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 4．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 5．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 6．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 （ ） A ．2 5 B ．5 C ． 2 15 D ．10 7. 抛物线y 2=8x 的准线方程是（ ）。 （A ）x =－2 （B ）x =2 （C ）x =－4 （D ）y =－2 8．已知抛物线的焦点是F (0，4)，则此抛物线的标准方程是( ) （A ）x 2＝16y （B ）x 2＝8y （C ）y 2＝16x （D ）y 2＝8x 9.经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（ ） （A ）y 2＝4x （B ）x 2＝21y (C ) y 2＝4x 或x 2＝2 1y (D ) y 2＝4x 或x 2＝4y 10．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ） A ．(7, B ．(14, C ．(7,± D ．(7,-± 11．椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是 2 3 ，则它的长半轴的长是（ ） （A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）2 1 或1 13. 抛物线y =－8 x 2 的准线方程是（ ）。
圆锥曲线高考专题
圆锥曲线综合训练 1.（17课标1）已知F 为抛物线C ：2 4y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则+||||AB DE 的最小值为（ ） A.16 B.14 C.12 D.10 2.（17课标3）已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线 段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ） A B C D ． 13 3.（17课标2）若双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线被圆()2 224x y -+=所 截得的弦长为2，则C 的离心率为 ( ) A.2 4.（16）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2 2(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（ ） A 3B 23C 2 D1 5.（16XX ）已知双曲线2 224=1x y b -（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ） A 22443=1y x - B 223 44=1y x -C 2224=1x y b -D 2 224=11x y - 6.（16全国I ）已知方程x 2m 2+n –y 2 3m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则
n 的取值围是（ ） A(–1,3) B(–1,3) C(0,3) D(0,3) 7.（16全国I ）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=，|DE|=C 的焦点到准线的距离为（ ） A2 B4 C6 D8 8.（16全国II ）圆已知12,F F 是双曲线22 22:1x y E a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与 x 轴垂直，211 sin 3 MF F ∠=,则E 的离心率为（ ） 3 2 9.（16全国III ）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A 13B 12C 23D 3 4 10.（16） 已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n –y 2 =1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2 分别为C 1，C 2的离心率，则（ ） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m 1 D ．m 圆锥曲线大题专题训练答案和题目
圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．
高考数学圆锥曲线专题复习
圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.
2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定.
高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案
圆锥曲线测试题及详细答案 一、选择题： 1、双曲线 22 1102x y -=的焦距为（ ） 2.椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ） A ． 2 3 B ．3 C ．27 D ．4 3．已知动点M 的坐标满足方程|12512|132 2-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对 4．设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ） A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 5、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三 角形，则椭圆的离心率是（ ）. A. B. C. 2 D. 1 6．双曲线)0(12 2≠=-mn n y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ） A ． 163 B ．83 C ．316 D ．3 8 7. 若双曲线22 21613x y p -=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 8．如果椭圆 19 362 2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 9、无论θ为何值，方程1sin 22 2=?+y x θ所表示的曲线必不是（ ） A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对
2020高考专题复习—圆锥曲线
一、2020年高考虽然推迟，但是一定要坚持多练习，加油！ 二、高考分析 1、分值、题型、难度设置 圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，分值约占14﹪，即20分左右，题型一般为二小一大，例如，2005年高考为一道选择题，一道填空题一道解答题。小题基础灵活，解答题一般在中等以上，一般具有较高的区分度。 考试内容：椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单的几何性质，椭圆的参数方程。 主要题型：（1）定义及简单几何性质的灵活运用；（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；（3）直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦及斜率、对称问题），确定参数的取值范围；（4）在导数、不等式、函数、向量等知识网络交汇点上的问题。 2、命题方向 解析几何内容多，范围广，综合度高，其特点是：数形结合，形象思维，规律性强，运算量大，综合性好。主要考察运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的综合能力。 涉及函数、方程、不等式、三角、向量和导数等方面的内容，以及数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法。 要注意一些立意新，角度好，有创意的题目，特别要关注在向量和解析几何交汇点上的命题趋势，两者通过坐标自然融合，既考查基
础知识、基本方法，又平淡之中见功夫，强化区分功能，突出对能力的考查，从不同的思维层次上考察能力，有较好的思维价值。 三、 专题复习 2.1考查直线和圆锥曲线方程等有关基础知识和基本方法，要特别重视圆锥曲线定义的灵活应用，反映思维品质。 例1．1)如图，在正方体ABCD D C B A -111的侧 面1AB 内有 动点P 到直线AB 与直线11C B 距离相等，则动点P 所在的曲线的形状为： （ ） 1 11 A B 1 (A) (B) 1A B 1 A 1 B (C) B A B 1 (D) 分析：本题主要考查抛物线定义，线面垂直关系及点到直线的距离等概念，情景新，角度好，有创意，考查基础知识和基本方法。 ∵11C B ⊥面1AB ，1PB ∴即为点P 到直线11C B 的距离，故动点P 的轨迹应为过B B 1中点的抛物线，又点1A 显然在此抛物线上，故选C 。 2)已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作 正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A ．324+ B ．13- C ． 2 1 3+ D ．13+ 2.2 求曲线的方程，考查坐标法的思想和方法，从不同思维层次上反映数学能力。
新课标高考《圆锥曲线》大题专题含答案
新课标高考《圆锥曲线》大题专题含答案
全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理）） 过点2,0) 引直线l 与曲线2 1y x = +相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜 率 等 于 （ ） A ．y E B B C CD =++3 B ．3 C ．3± D ．32 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版）） 双曲线 2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ） A ．25 B ．4 5 C 25 D 453 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版）） 已知中心在原 点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程 是 （ ） A ．22 145 x -= B ．22 145 x y -= C ． 22 125 x y -= D ． 22 125 x -=
4 ．（2013年高考新课标1（理）） 已知双曲线C : 22 2 21x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为52 ,则C 的渐近 线 方 程为 （ ） A ．14y x =± B ．13 y x =± C ． 12 y x =± D ．y x =± 5 ．（2013年高考湖北卷（理）） 已知04π θ<<,则双曲线 22 122:1 cos sin x y C θθ -=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦 距相等 D ．离心率相等 6 ．（2013年高考四川卷（理）） 抛物线2 4y x =的焦点到双曲线 2 21 3 y x -=的渐近线的距 离 是 （ ） A ．12 B ．3 2 C ．1 D 3
新课标人教A版选修圆锥曲线知识点整理
高二数学圆锥曲线知识整理 知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?? ???>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d 为P 到定直线的 距离，F ? ，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当01时，点P 轨迹是双曲线；当e=1时，点P 轨迹是抛物线。 （2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a>|F 1F 2|>0，F 1、F 2为定点}，双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|>2a>0，F 1，F 2为定点}。 （3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。 ①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。 ②定量： 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 焦 距 2c 长轴长 2a —— 实轴长 —— 2a 短轴长 2b 焦点到对应 准线距离 P=2c b 2 p 通径长 2·a b 2 2p
【试卷】高三圆锥曲线专题测试题及答案
高三圆锥曲线专题测试题 一、选择题 1．椭圆222312x y +=的两焦点之间的距离为（ ） Ａ． Ｃ． 2．椭圆2 214 x y +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个 交点为P ，则2PF =（ ） Ｃ．72 Ｄ．4 3．双曲线22 22 1124x y m m -=+-的焦距是（ ） Ａ．8 Ｂ．4 Ｃ． Ｄ．与m 有关 4．焦点为(06)，且与双曲线2 212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） Ａ．22 11224 x y -= Ｂ．22 12412y x -= Ｃ．2212412 x y -= Ｄ．22 11224 y x -= 5．抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3)P m -，到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（ ） Ａ．24y x = Ｂ．28y x = Ｃ．24y x =- Ｄ．28y x =- 6．焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ） Ａ．216y x = 或 212x y =- Ｂ． 216y x =或 216x y = Ｃ． 216y x =或212x y = Ｄ．212y x =-或216x y = 7．椭圆22 213x y m m +=-的一个焦点为(01)， ，则m 等于（ ） Ａ．1 Ｂ．2-或1 Ｄ．53 8．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是（ ） Ａ．14 Ｂ．12 9．以双曲线22312x y -+=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（ ）
Ａ．22 11612 x y += Ｂ．22 1164x y += Ｃ．22 11216 x y += Ｄ．22 1416 x y += 10．经过双曲线228y x -=-的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（ ） Ｃ． Ｄ．11．一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ） Ａ．(02)， Ｂ．(02)-， Ｃ．(20)， Ｄ．(40)， 12．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(18)A P -，，为抛物线上一点，则PA PF +的最小值是（ ） Ａ．16 Ｂ．12 Ｃ．9 Ｄ．6 三、填空题 13．已知椭圆22 14924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12F F ，连线的夹角为直角，则 12PF PF =· ． 14．已知双曲线的渐近线方程为34 y x =±，则双曲线的离心率为 ． 15．圆锥曲线内容体现出解析几何的本质是 ． 16．当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为 ． 三、解答题 17．若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个 1，求椭圆的方程．
文科圆锥曲线专题练习与答案
文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32 a x =上一点，12PF F ?是底角为30o 的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴0 260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322 c a = ，∴e =34， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162 =的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：2 2 2 x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =，∵||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2） 到直线x y 3= 的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以222 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=
圆锥曲线专题复习.doc
锥曲线专题训练 一、定义 【焦点三角形】 1、已知椭圆一 +八=1的左右焦点为E、F2, P为椭圆上一点， 9 4 (1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积 (2) 若ZF1PF2=60°,求的面积 2 2 2、已知双曲线土-匕=1的左右焦点为E、F2, P为双曲线上一点, (1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积 (2) 若ZF1PF2=60°,求Z^PF?的面积 2 2 3、鸟,氏是椭圆二+七=1(〃＞。＞0)的两个焦点，以鸟为圆心且过椭圆中心的 a~ b~ 圆与椭圆的一个交点为M。若直线&M与圆鸟相切，求该椭圆的离心率。 Y2 v2 4、椭圆瓦+ *_ = 1的焦点为与、「2。点P为其上的动点，当PF2为钝角时。点P横坐标的取值范围为多少？ V-2 V2V-2 V2 5、椭圆—+ J(。＞。＞0)和双曲线、- —(m, n＞ 0)有公共的焦点F】(- 。,0)、 a~ b~〃广 F2(C,0),P为这两曲线的交点，求|商|?|户尸2|的值. 二、方程 已知圆亍+y2=9,从圆上任意一点P向X轴作垂线段PPL点M在PP，上，并且两=2布，求点M的轨迹。 2.3【定义法】(与两个定圆相切的圆心轨迹方程) :—动圆与两圆：『+ ,,2 =]和尤2 * ,2 _8x+]2 = 0都外切，#1勃圆的圆心 的轨迹方程是什么？AA
题型1：求轨迹方程例1. (1) 一动圆与圆J + y2+6x+5 = 0外切，同时与圆x2 + r-6x-91 = 0内切,
求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。. （2）双曲线y-/ =1有动点、P,月,％是曲线的两个焦点，求APgE的重心M的轨迹方程。 3、给出含参数的方程，说明表示什么曲线。 已知定圆G： x2 + y2 =9,圆C2：x2+6x+y2 =0 三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标）（结合向量）直线与圆锥曲线相交的弦长计算（1）要熟练利用方程的根与系数关系来计算弦 长.弦长公式： （2）对焦点弦要懂得用焦半径公式处理；对中点弦问题，还要掌握“点差法”. 3. 圆锥曲线方程的求法有两种类型：一种是已知曲线形状，可以用待定系数法求解；另一种是根据动点的几何性质，通过建立适当的坐标系来求解，一般是曲线的类型未知.主要方法有： ?直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等.在求轨迹方程中要仔细检查“遗漏”和“多余”. 4. 圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题，也就是说，它是处于代数与几何的交汇处，因此要处理好其综合问题，不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、定理、公式，达到灵活、综合运用，还要善于综合运用代数的知识和方法来解决问题，并注意解析法、数形结合和等价化归的数学思想的应用. 1、已知椭圆= i,过左焦点k倾斜角为￡的直9 6 线交椭圆于A、8两点。求：弦48的长，左焦点K到48 中点〃的长。 2、椭圆以2+如2=1与直线对尸住0相交于爪8两点，C是线段花的中点.若
圆锥曲线基础测试题大全
（北师大版）高二数学《圆锥曲线》基础测试试题 一、选择题 1.已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2. 椭圆32x 2+16 y 2 =1的焦距等于（ ）。 A ．4 B 。8 C 。16 D 。123 3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 （ ） A ． 116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 4．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 5．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于 （ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 6．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 （ ） A ．25 B ．5 C ．2 15 D ．10 7. 抛物线y 2=8x 的准线方程是（ ）。 （A ）x =－2 （B ）x =2 （C ）x =－4 （D ）y =－2 8．已知抛物线的焦点是F (0，4)，则此抛物线的标准方程是( ) （A ）x 2＝16y （B ）x 2＝8y （C ）y 2＝16x （D ）y 2＝8x 9.经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（ ） （A ）y 2＝4x （B ）x 2＝ 21y (C ) y 2＝4x 或x 2＝2 1 y (D ) y 2＝4x 或x 2＝4y 10．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ） A ．(7, B ．(14, C ．(7,± D ．(7,-±
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案
数学圆锥曲线测试高考题 、选择题： 2. （2006全国 II ）已知△ ABC 的顶点 B 、C 在椭圆 x 3 2＋y 2 ＝1上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点 3 在 BC 边上，则△ ABC 的周长是 （ A ）2 3 （B ） 二、填空题： 1 设点 A 1, ，则求该椭圆的标准方程为 1. （2006 全国 II ）已知双曲线 a 2 b 2 （C ）54 A)5 3 x 2 y 2 4 1的一条渐近线方程为 y ＝ 3x ，则双曲线的离心率为（ (D)3 2 C) 4 3 D)12 3. （2006全国卷 I ）抛物线 y x 2 上的点到直线 4x 3y 0距离的最小值是（ A ． 4 3 ．3 4．（ 2006 广东高考卷） 已知双曲线 3x 2 y 2 9 ，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等 于( ) 22 A. 2 B. C. 2 D. 4 5. 2006 辽宁卷）方程 2x 2 5x 0 的两个根可分别作为（ Ａ．一椭圆和一双曲线的 离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 6. 2006 辽宁卷）曲线 10 m 2 y 6m 2 1(m 6) 与曲线 x 5m 2 y 1(5 m 9) 的( ) 9m 7． 8. （A ）焦距相等 （B ） 离心率相等 （C ）焦点相同 （D ）准线相同 2 2 x 2006 安徽高考卷）若抛物线 y 2 2 px 的焦点 与椭圆 6 A ． 2 ．4 1的右焦点重合，则 p 的值为（ 22 2006 辽宁卷）直线 y 2k 与曲线 y 2 18k 2 x (k R,且k 0） 的公共点的个数为（ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 9. （2006 全国卷 I ）双曲线 mx 2 1的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 10. （2006 上海卷 ）已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆， 它的中心在原点， 左焦点为 F （ 3,0） , 右顶点为 D （2,0） ,
圆锥曲线大题20道(含答案)
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+ =kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>?OB OA （其 中O 为原点）. 求k 的取值范围. 解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-b y a x ).0,0(>>b a 由已知得.1,2,2,32222==+== b b a c a 得再由 故双曲线C 的方程为.13 22 =-y x （Ⅱ）将得代入13 222 =-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得?????>-=-+=?≠-. 0)1(36)31(36)26(, 0312 222 k k k k 即.13 1 22<≠ k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319 ,31262 2>+>?--=-= +B A B A B A B A y y x x OB OA k x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x .1 37 3231262319)1(22222 -+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732 222>-+->-+k k k k .33 1 2<(自己整理)圆锥曲线常考题型总结——配有大题和练习
圆锥曲线大综合 第一部分圆锥曲线常考题型和热点问题 一．常考题型 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题 题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题 题型十：范围为题（本质是函数问题） =+，存在实数，三角形（等边、等腰、题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m 直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆） 二．热点问题 1.定义与轨迹方程问题 2.交点与中点弦问题 3.弦长及面积问题 4.对称问题 5.范围问题 6.存在性问题 7.最值问题 8.定值，定点，定直线问题 第二部分知识储备
一． 与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠相关的知识（三个“二次”问题） 1. 判别式：24b ac ?=- 2. 韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则 12b x x a +=- ，12c x x a ?= 3. 求根公式：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则 1,2x =二．与直线相关的知识 1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式 2. 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tan y θ=，[0,)θπ∈； ②点到直线的距离公式： d = 或d = （斜截式） 3. 弦长公式：直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离： 1212)AB x AB y =-==-或 4. 两直线1111122222: ,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系： ① 12121l l k k ⊥??=- ②121212//l l k k b b ?=≠且 5. 中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)A x y B x y ，若点(),M x y 线段AB 的中点，则 111 2 ,22 x x y y x y ++= = 三．圆锥曲线的重要知识 考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。 文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线 1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。 2. 圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程 ②双曲线的标准方程
人教版高二数学选修2-1第二章圆锥曲线测试题以及详细答案
高二圆锥曲线单元测试 姓名： 得分： 一、选择题： 1．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对 2．设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ） A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 3、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形， 则椭圆的离心率是（ ）. A. B. C. 2 D. 1- 4．过点(2,-1)引直线与抛物线2 x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条 A. 1 B.2 C. 3 D.4 5．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(y y x P =?满足，则点P 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 6．如果椭圆 19 362 2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 7、无论θ为何值，方程1sin 22 2=?+y x θ所表示的曲线必不是（ ） A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对 8．方程02 =+ny mx 与)02+mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ） C
二、填空题： 9．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19 72 2=-y x 有下列命题： ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同.其中正确命题的序号是 ； 10．若直线01)1(=+++y x a 与圆022 2 =-+x y x 相切，则a 的值为 ； 11、抛物线2 x y -=上的点到直线0834=-+y x 的距离的最小值是 ； 12、抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标 ； 13、椭圆13 122 2=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上， 那么|PF 1|是|PF 2|的 ； 14．若曲线 15 42 2=++-a y a x 的焦点为定点，则焦点坐标是 。 三、解答题： 15．已知双曲线与椭圆 125922=+y x 共焦点，它们的离心率之和为5 14，求双曲线方程.（12分） 16．P 为椭圆 19 252 2=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若?=∠6021PF F （1）求△21PF F 的面积； （2）求P 点的坐标．（14分） 17、求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为 3 3 8的双曲线方程.（14分） 18、知抛物线x y 42 =，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．（12分） 19、某工程要将直线公路l 一侧的土石，通过公路上的两个道口 A 和B ，沿着道路AP 、BP 运往公路另一侧的P 处，PA=100m ，PB=150m ，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？ 20、点A 、B 分别是椭圆 120 362 2=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。 （1）求点P 的坐标； （2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到M 的距离d 的最小值。
圆锥曲线高考题汇编[带详细解析]
第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点容，这部分容的特点是： （1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用. （2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等容，体现了对各种能力的综合要求． （3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编 一、选择题 1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ） 2.（2003京春理，7）椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x （?为参数）的焦点坐标为（ ） A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0） 3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ） A.－1 B.1 C.5 D. － 5 5.（2002全国文，11）设θ∈（0， 4 π ），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值围为（ ） A.（0， 2 1 ） B.（ 22 ,21） C.（ 2,2 2 ） D.（ 2，＋∞） 6.（2002文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A.x ＝± y 2 15 B.y ＝± x 2 15
(完整word版)2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(一)
2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一） 1.设F 1，F 2为椭圆22 143 x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(－1,m )，过点F 2的直线与 椭圆交于A ，B 两点. （1）求F 1，F 2的坐标； （2）若直线P A ，PF 2，PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值. 2.已知椭圆2 214 x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B . （1）求△P AB 面积的最大值； （2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围. 3.已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的离心率为5，定点()2,0M ，椭圆短轴的端点是 1B ，2B ，且21MB MB ⊥. （1）求椭圆C 的方程； （2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.
4.已知椭圆C 的标准方程为22 1 1612x y +=，点(0,1)E ． （1）经过点E 且倾斜角为 3π 4 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||AB ． （2）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由． 5.椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率2 e =，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22. (1)求椭圆1C 与2C 的方程； (2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于E ，F 点. (i)求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数； (ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.
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