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13高考复习-立体几何证明计算题)(解析版)

立体几何解答题

1（08浙江文）（本题14分）如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，

,∠BCF =∠CEF =90°,AD =.2,3=EF

（Ⅰ）求证：AE ∥平面DCF ；

（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角A-EF-C 的大小为60°？方法一：

（Ⅰ）证明：过点E 作EG ⊥CF 并CF 于G ，连结DG ，可得四边形BCGE 为矩形。又ABCD 为矩形，所以AD ⊥∥EG ,从而四边形ADGE 为平行四边形，故AE ∥DG 。

因为AE ?平面DCF ，DG ?平面DCF ，所以AE ∥平面DCF 。

（Ⅱ）解：过点B 作BH ⊥EF 交FE 的延长线于H ，连结AH 。由平面ABCD ⊥平面BEFG ，AB ⊥BC ，得 AB ⊥平面BEFC ，从而 AH ⊥EF ，

所以∠AHB 为二面角A-EF-C 的平面角。

在Rt △EFG 中，因为EG =AD =.1,60,2,3==∠=FG CFE EF 所以又因为CE ⊥EF ，所以CF =4，从而 BE =CG =3。于是BH =BE ·sin ∠BEH =

3 因为AB =BH ·tan ∠AHB ,

所以当AB 为

时，二面角A-EF-G 的大小为60°. 2（09浙江文）（本题满分14分）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，

22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：

//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．

19．（Ⅰ）证明：连接CQ DP ,，在ABE ?中，Q P ,分别是AB AE ,的中点，所以

BE PQ 21//

==，又BE DC 2

//==，所以DC PQ ==//，又?PQ 平面ACD ，

DC ?平面ACD ，所以//PQ 平面ACD

（Ⅱ）在ABC ?中，BQ AQ BC AC ===,2，所以AB CQ ⊥ 而DC ⊥平面ABC ，DC EB //，所以⊥EB 平面ABC

而?EB 平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面ABC ，所以⊥CQ 平面ABE

由（Ⅰ）知四边形DCQP 是平行四边形，所以CQ DP //

所以⊥DP 平面ABE ，所以直线AD 在平面ABE 内的射影是AP ，所以直线AD 与平面ABE 所成角是DAP ∠ 在APD Rt ?中，5122222=+=+=DC AC AD ，1sin 2=∠==CAQ CQ DP

所以55

1sin =

∠AD DP DAP 3（10浙江文）（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB=2BC ，∠ABC=120°。E

为线段AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ’DE ，使平

面A ’DE ⊥平面BCD ，F 为线段A ’C 的中点。（Ⅰ）求证：BF ∥平面A ’DE ；（Ⅱ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A ’DE 所成角的余弦值。

4（11浙江文）（本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的

中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．

（Ⅰ）证明：AP ⊥

BC ；（Ⅱ）已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =．求二面角B AP C --的大小．

本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同

时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。（Ⅰ）证明：由AB=AC ，D 是BC 中点，得AD BC ⊥，又PO ⊥平面ABC ，，得PO BC ⊥ 因为PO AD O ?=，所以BC ⊥平面PAD ，故.BC PA ⊥ （Ⅱ）解：如图，在平面PAB 内作BM PA ⊥于M ，连CM 。因为,BC PA PA ⊥⊥得平面BMC ，所以AP ⊥CM 。故BMC ∠为二面角B —AP —C 的平面角。

在222,41,Rt ADB AB AD BD AB ?=+==中得

在222

Rt POD PO OD ?=+中,PD ，

在Rt PDB ?中，2

PB PD BD =+，

所以222236, 6.PB PO OD BD PB =++==得

在222,25, 5.Rt POA PA AO OP PA ?=+==中得

又2221cos ,sin 23PA PB AB BPA BPA PA PB +-∠==∠=

?从而

故sin BM PB BPA =∠=

同理GM =

因为2

BM MC BC +=

所以90BMC ∠=?

即二面角B —AP —C 的大小为90.?

5（12浙江文）（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A 1B 1C 1D 1中，

AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD=2，BC=4,AA 1=2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直

线AA 1的交点。

（1）证明：（i ）EF ∥A 1D 1；（ii ）BA 1⊥平面B 1C 1EF ；

（2）求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值。21世纪教育网

【命题意图】本题主要以四棱锥为载体考查线线平行，线面垂直和线面角的计算，注重与平面几何的综合, 同时考查空间想象能力和推理论证能力.

（1）（i ）因为1111//C B A D ，11C B ? 平面ADD 1 A 1，所以11//C B 平面ADD 1 A 1.21世纪教育网又因为平面11B C EF 平面ADD 1 A 1=EF ，所以11//C B EF .所以11//A D EF .

（ii ）

因为11111BB A B C D ⊥，所以111BB B C ⊥，

又因为111BB B A ⊥，所以1111BC ABB A ⊥，

在矩形11ABB A 中，F 是AA 的中点，即111tan tan A B F AA B ∠=∠=.即

111A B F AA B ∠=∠，故11BA B F ⊥.

所以1BA ⊥平面11B

C EF . (2) 设1BA 与1B F 交点为H ，连结1C H .

由（1）知11B C EF ，所以1BC H ∠是1BC 与平面11B C EF 所成的角. 在矩形11ABB A

中，

AB =，12AA =

，得BH =

1BHC

中，1BC =

，BH =

11sin 15

BH BC H BC ∠=

，所以BC 与平面11B C EF

6（13浙江文）如图，在在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AB=BC=2， AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点.

（Ⅰ）证明：BD ⊥面PAC ; （Ⅱ)若G 是PC 的中点，求DG 与PAC 所成的角的正切值；（Ⅲ）若G 满足PC ⊥面BGD ，求PG

GC 的值.

7.（本题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，

⊥PA 底面ABCD ，AD AB BC AD ⊥，∥，AC 与BD

交于点O ，3=PA ，6,32,2===BC AB AD ．（Ⅰ）证明：⊥BD 平面PAC ；（Ⅱ）求直线PO 与平面PAB 所成的角的正弦值．

解析(Ⅰ) 因为AD AB BC AD ⊥，∥6,32,2===BC AB AD .

所以

303

tan =∠=

∠∴ABD ABD 即. 又在直角△ABC

中，tan BAC ∠=所以

BAC π

∠=

所以

BD AC ⊥

又因为PA ⊥平面ABCD ，所以

.BD PA ⊥

所以

⊥BD 平面PAC

………… 7分

（Ⅱ）过O 作OE AB ⊥交AB 于E ,则OE ⊥平面.PAB

所以OPE ∠是直线PO 与平面PAB 所成的角

………… 11分

又在直角△ABO

中，,3

BAC AB π

∠=

=则 3,2

AO OE . 又在直角△PAO

中，3,AO AP ==所以

PO =

所以

sin OPE ∠=

所以直线PO 与平面PAB

所成的角的正弦值为

………… 14分

(第20题图)

(完整版)高三数学立体几何历年高考题(2011年-2017年)

高三数学立体几何高考题 1.（2012年7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18 2.（2012年8）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 3.(2013年11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )． A ．16＋8π B ．8＋8π C ．16＋16π D ．8＋16π 4.(2013年15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______． 5.(2014年8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 6.(2014年10)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4 7.(2015年6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（A ）14斛（B ）22斛（C ）36斛（D ）66斛 8.(2015年11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 9（2016年7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3 ，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 10（2016年11）平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面, ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ）1 3 11．(2017年6)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是 12．（2017年16）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。

立体几何题经典例题

D E A F B C O O 1 M D C A S 15．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，则AD 与平面 AA 1C 1C 所成角的正弦值为 . 6．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点. （1）在直线1CC 上求一点N ，使1AB MN ⊥；（2）当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离. （3）求出1AB 与侧面11A ACC 所成的角θ的正弦值． 7. 如图所示，AF 、DE 分别是1O O ⊙、 ⊙的直径．AD 与两圆所在的平面均垂直，8=AD ．BC 是O ⊙的直径，AD OE AC AB //,6==．（1）求二面角F AD B --的大小；（2）求直线BD 与EF 所成角的余弦值． 8．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若 a BN CM ==)20(<

18.（本小题满分12分）已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直， M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点， 1=AB ,2=AD ， (1)证明：直线//AM 平面NEC ； (2)求二面角D CE N --的大小． 19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形， 2 π = ∠=∠ABC DAB ，且22===AD BC AB ，侧面 ⊥PAB 底面ABCD ，PAB ?是等边三角形． (1)求证：PC BD ⊥； (2)求二面角D PC B --的大小． 15、(北京市东城区2008年高三综合练习一）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角. （I ）求证：平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值；（III ）求二面角B —B 1C —A 的大小. 52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且AC ＝AB ＝BC ＝BD ＝2，AE ＝1，F 为CD 中点． (1)求证：EF ⊥面BCD ； (2)求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值． A B C D M N 第18题图