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导数解题技巧

导数题的解题技巧

【命题趋向】导数命题趋势：

导数应用：导数－函数单调性－函数极值－函数最值－导数的实际应用．【考点透视】

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．

2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．

3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【例题解析】考点1导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2006年辽宁卷）与方程y =e 2x -2e x +1(x 30)的曲线关于y =x 对称的曲线的方程为

A.ln(1y =

B.ln(1y =

C. ln(1y =-

D. ln(1y =-

[考查目的]本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力 [解答过程]2221(0)(1)x x x y e e x e y =-+≥?-=，0,1x x e ≥∴≥ ，

即：1ln(1x e x ==

，所以1()ln(1f x -=. 故选A.

例2. ( 2006年湖南卷)设函数f (x )=

x -a

x -1

, 集合M ={x f (x )<0}, P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是 ( )

A.(-∞,1)

B.(0,1)

C.(1,+∞)

D. [1,+∞)

[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.

x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时

()()()

/2211,0.11111.

x x a x a x a a y y x x x x a ------??=

∴===> ?--??--∴> 综上可得M P 时, 1.a ∴>

考点2 曲线的切线

（1）关于曲线在某一点的切线

求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线

若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题

例3.（2004年重庆卷）已知曲线y =3

1x 3+3

4，则过点P （2，4）的切线方程是_____________.

思路启迪：求导来求得切线斜率.

解答过程：y ′=x 2，当x =2时，y ′=4.∴切线的斜率为4. ∴切线的方程为y －4=4（x －2），即y =4x －4. 答案：4x －y －4=0.

例4.（2006年安徽卷）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（）

A ．430x y --=

B ．450x y +-=

C ．430x y -+=

D ．430x y ++=

[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.

[解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=. 故选A.

例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x 2+y 2 -4x +2y +2

5=0相切的直线的方程为 ( )

A.y =-3x 或y =3

1x B. y =-3x 或y =-3

1x C.y =-3x 或y =-3

1x D. y =3x 或y =3

[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1：设切线的方程为,0.y kx kx y =∴-= 又()()()22521,2,1.2

x y -++=∴-圆心为

3830., 3.3

k k k k =

+-=∴==- 1

,3.3

y x y x ∴==-或

故选A.

解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,

222?

?- ???

由 ()()/

113231(,)(,)22

5(2)1,22(2)210,2

13,.3

3,.

x x

x x x x x y x y y x y y k y k y y x y x -????-++= ?????∴-++=-∴=-+∴==-==∴=-=

故选A.

例6.已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ，2C 有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 思路启迪：先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.

解答过程：函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ，曲线1C 在点P(12112,x x x +)处的切线方程为))(2(2)2(11121x x x x x y -+=+-，即211)1(2x x x y -+= ①

曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即

a x x x y ++-=2222 ②

若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线，则①式和②式都是l 的方程，故得

1,1222121+=--=+x x x x ，消去2x 得方程，012212

1=+++a x x

若△=0)1(244=+?-a ，即2

1-=a 时，解得2

11-=x ，此时点P 、Q 重合.

∴当时a =-12

，1C 和2C 有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为

y =x -14

考点3 导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:

1.. 求函数的解析式;

2. 求函数的值域;

3.解决单调性问题;

4.求函数的极值（最值）;

5.构造函数证明不等式. 典型例题

例7．（2006年天津卷）函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点. 故选A.

例8. 设y f x =()为三次函数，且图象关于原点对称，当x =12

时，

f x ()的极小值为-1，

求出函数f x ()的解析式.

思路启迪：先设f x ax bx cx d a ()()=+++≠320，再利用图象关于原点对称确定系数. 解答过程：设f x ax bx cx d a ()()=+++≠320，因为其图象关于原点对称，即f x ()-= -f x ()，得 ax bx cx d ax bx cx d b d f x ax cx

3232300+++=-+-∴===+，，，即()

由f x ax c '()=+32，

依题意，f a c '()12

0=+=，

f a c

()12182

1=+=-，解之，得a c ==-43，.

故所求函数的解析式为f x x x ()=-433.

例9.函数y x x =+-+243的值域是_____________.

思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。

解答过程：由24030

x x +≥+≥??

?得，x ≥-2，即函数的定义域为[,)-+∞2. y x x x x x x '=

+-+=

+-++?+12412323242243

，又2324282324

x x x x x +-+=

++++， ∴当x ≥-2时，y '>0，

∴函数y x x =

+-+243在(,)-+∞2上是增函数，而f ()-=-21，∴=+-+y x x 243的值域是[,)-+∞1.

例10．（2006年天津卷）已知函数()θθcos 16

3cos 3423+-=x x x f ，其中θ,R x ∈为参数，且πθ20≤≤．

（1）当时0cos =θ，判断函数()x f 是否有极值；

（2）要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；

（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()x f 在区间()a a ,12-内都是增函数，求实数a 的取值范围．

[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.

[解答过程]（Ⅰ）当cos 0θ=时，3()4f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞内是增函数，故无极值. （Ⅱ）2'()126cos f x x x θ=-，令'()0f x =，得12cos 0,2

x x θ==.

由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.

①当cos 0θ>时，随x 的变化'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：

因此，函数()f x 在2x =处取得极小值f()2，且3cos 13()cos 2416f θθθ=-+.

要使cos ()02

f θ>，必有213cos (cos )04

θθ-->，可得0cos θ<<.

由于0cos θ≤，故3116

ππππθθ<<<<或.

②当时cos 0θ<，随x 的变化，'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：

因此，函数()0f x x =在处取得极小值(0)f ，且3(0)cos .16

f θ=

若(0)0f >，则cos 0θ>.矛盾.所以当cos 0θ<时，()f x 的极小值不会大于零.

综上，要使函数()f x 在(,)-∞

+∞内的极小值大于零，参数θ的取值范围为311(,)(,)62

ππππ?.

（III

）解：由（II ）知，函数()f x 在区间(,)-∞+∞与cos

(,)2

θ+∞内都是增函数。

由题设，函数()(21,)f x

a a -在内是增函数，则a 须满足不等式组

210

a a a -<≤

或

21cos 2a a

a θ

-<-≥ 由（II ），参数时311(,)(,)62

ππππθ∈?时，0cos θ<.要使不等式121cos 2a θ-≥关于参数θ恒成立，必有21a -a ≤.

综上，解得0a ≤1a ≤<.

所以a 的取值范围是(,0)-∞?.

例11．(2006年山东卷)设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥-1，求f (x )的单调区间.

[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，且'1()(1),1

ax f x a x -=≥-+

（1）当10a -≤≤时，'()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减，（2）当0a >时，由'()0,f x =解得1.x a

、随x 的变化情况如下表

从上表可知

当1(1,)x a

∈-时，'()0,f x <函数()f x 在1(1,)a

-上单调递减.

当1(,)x a

∈+∞时，'()0,f x >函数()f x 在1(,)a

+∞上单调递增.

综上所述：当10a -≤≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减.

当0a >时，函数()f x 在1(1,)a

-上单调递减，函数()f x 在1(,)a

+∞上单调递增.

例12．（2006年北京卷）已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取

得极大值5，其导函数

'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：

（Ⅰ）0x 的值；（Ⅱ）,,a b c 的值.

[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在(),1-∞上

()'0f x >，在()1,2上()'0f x <，在()2,+∞上()'0f x >,

故()f x 在∞∞（-，1），（2，+）上递增，在(1,2)上递减，因此()f x 在1x =处取得极大值，所以01x = （Ⅱ）'2()32,f x ax bx c =++

由'

''f f f （1）=0，（2）＝0，（1）＝5，

得320,1240,5,a b c a b c a b c ++=??++=?

?++=?

解得2,9,12.a b c ==-=

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）设'2()(1)(2)32,f x m x x mx mx m =--=-+ 又'2()32,f x ax bx c =++ 所以3,,23

m a b m c m =

=-=

32|

3()2,32

m f x x mx mx =

-+ 由(1)5f =，即325,3

m m m -+=得6,m =

所以2,9,12a b c ==-=

例13．（2006年湖北卷）设3=x 是函数()()()R x e b ax x x f x ∈++=-32的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()x f 的单调区间；

（Ⅱ）设0>a ，()x e a x g ??

? ?

?+=4252.若存在[]4,0,21∈εε使得()()121<-εεg f 成立，求a 的取值范围.

[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力. [解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x 2＋(a －2)x ＋b －a ]e 3－

x ,

由f `(3)=0，得－[32＋(a －2)3＋b －a ]e 3－

3＝0，即得b ＝－3－2a ，

则f `(x)＝[x 2＋(a －2)x －3－2a －a ]e 3

－x

＝－[x 2＋(a －2)x －3－3a ]e 3－

x ＝－(x －3)(x ＋a+1)e 3－

x .

令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a ≠－4. 当a <－4时，x 2>3＝x 1，则

在区间（－∞，3）上，f `(x)<0，f (x)为减函数；在区间（3，―a ―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；在区间（―a ―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数. 当a >－4时，x 2<3＝x 1，则

在区间（－∞，―a ―1）上，f `(x)<0，f (x)为减函数；在区间（―a ―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a >0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间

[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－（2a ＋3）e 3<0，f (4)＝（2a ＋13）e －

1>0，f (3)＝a ＋6，

那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a ＋3）e 3，a ＋6]. 又225()()4

x g x a e =+在区间[0，4]上是增函数，

且它在区间[0，4]上的值域是[a 2＋4

25，（a 2＋4

25）e 4]，

由于a 2+254?è???÷-a +6()=a 2

-a +14=a -12

?è???÷2

30所以只须仅须a 2+254?è???÷-a +6()<1且a >0，解得0

.故a 的取值范围是（0，23）.

例14（2004年天津卷）已知函数f （x ）=ax 3+bx 2－3x 在x =±1处取得极值.

（1）讨论f （1）和f （－1）是函数f （x ）的极大值还是极小值；（2）过点A （0，16）作曲线y =f （x ）的切线，求出此切线方程.

思路启迪：（1）分析x =±1处的极值情况，关键是分析x =±1左右f '（x ）的符号.（2）要分清点A （0，16）是否在曲线上.

解答过程：：（1）f '（x ）=3ax 2+2bx －3，依题意，f '（1）=f '（－1）=0，

即???=--=-+.

0323,0323b a b a 解得a =1，b =0.

∴f （x ）=x 3－3x ，f '（x ）=3x 2－3=3（x +1）（x －1）. 令f '（x ）=0，得x =－1，x =1.

若x ∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f '（x ）＞0，

故f （x ）在（－∞，－1）上是增函数，f （x ）在（1，+∞）上是增函数. 若x ∈（－1，1），则f '（x ）＜0，故f （x ）在（－1，1）上是减函数.

所以f （－1）=2是极大值，f （1）=－2是极小值.

（2）曲线y =x 3－3x ，点A （0，16）不在曲线上，设切点M （x 0，y 0），则y 0=x 03－3x . ∵f '（x 0）=3x 02－3，

∴切线方程为y －y 0=3（x 02－1）（x －x 0）.

代入A （0，16）得16－x 03+3x 0=3（x 02－1）（0－x 0）. 解得x 0=－2，∴M （－2，－2），切线方程为9x －y +16=0.

小结：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键. 考点4 导数的实际应用

建立函数模型,利用典型例题

例15.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体无盖容器（切、焊损耗不计）.有人应用数学知识作了如下设计：如图（a ）,在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方形，该长方体的高为小正方形的边长，如图（b ）.

请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积1V ；由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积12V V >.

解答过程：（1）设切去的正方形边长为x ，则焊接成的长方体的底面的边长为4-2x,高为x ，所以, )44(4)24(2321x x x x x V +-=-=,)20(<

∴)483(421'+-=x x V . 令01'=V ,得2,3

如图①在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器。

V 2 2

3 1

x a b

新焊成的长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积 61232=??=V ，显然12V V >.

故第二种方案符合要求.

例16．（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：

313

8(0120).12800080

y x x x =

-+<≤已知甲、乙两地相距100千米. （I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力. [解答过程]（I ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540

=小时，

要耗没313

(

40408) 2.517.512800080

?-?+?=（升）. 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x

小时，设耗油量为()h x 升，依题意得

3213100180015

()(8).(0120),1280008012804

h x x x x x x x =-+=+-<≤

3322

80080'()(0120).640640x x h x x x x -=-=<≤

令'()0,h x =得80.x =

当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数；当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数. 当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h =

因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. 【专题训练】一、选择题

1. y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( )

3.设f (x )可导，且f ′(0)=0,又x

4.设函数f n (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f n (x )在［0,1］上的最大值为( )

5、函数y=(x 2-1)3+1在x=-1处( )

A 、有极大值

B 、无极值

C 、有极小值

D 、无法确定极值情况 6.f(x)=ax 3+3x 2+2，f ’(-1)=4，则a=( )

8.函数f(x)=x 3-6bx+3b 在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是( )

+bx+c ，且f(0)=0为函数的极值，则( ) A 、c ≠0 B 、当a>0时，f(0)为极大值 C 、b=0 D 、当a<0时，f(0)为极小值

11、已知函数y=2x 3+ax 2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A 、（2，3） B 、（3，+∞） C 、（2，+∞） D 、（-∞，3）

12、方程6x 5-15x 4+10x 3

x f k x f k 2)()(lim 000

--→ =_________.

14.设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________.

15.函数f (x )=log a (3x 2+5x －2)(a ＞0且a ≠1)的单调区间_________.

16.在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大. 三、解答题

17.已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标. 18.求函数f(x)=p 2x 2(1-x)p (p ∈N +)，在[0，1]内的最大值.

19.证明双曲线xy=a 2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数. 20.求函数的导数

(1)y =(x 2－2x +3)e 2x ;

(2)y =31x

x -.

21.有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m 时，梯子上端下滑的速度.

22.求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n －

1 ,(x ≠0,n ∈N *).

23.设f (x )=ax 3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间. 24.设x =1与x =2是函数f (x )=a ln x +bx 2+x 的两个极值点.

(1)试确定常数a 和b 的值；

(2)试判断x =1,x =2是函数f (x )的极大值还是极小值，并说明理由. 25.已知a 、b 为实数，且b ＞a ＞e ,其中e 为自然对数的底，求证：a b ＞b a . 26.设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β(α＜β),函数f (x )=1

42+-x a x .

(1)求f (α)·f (β)的值；

(2)证明f (x )是［α，β］上的增函数；

(3)当a 为何值时，f (x )在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？

【参考答案】

一、1.解析：y ′=e sin x ［cos x cos(sin x )－cos x sin(sin x )］,y ′(0)=e 0(1－0)=1. 答案：B

2.解析：设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =0

0x y ,另一方面，y ′=(59++x x )′=2

00000++==+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0得x 0(1)=－3,y 0(2)=－15,对应有y 0(1)=3,y 0(2)=53515915=+-+-,因此得两个切点A (－3，3)或B (－15,53),从而得y ′(A )=

3)53(4+-- =－1及y ′(B )= 251)515(42

=+-- ,由于切线过原点，故得切线：l A :y =－x 或l B :y =－25

'→=－1,故存在含有0的区间(a ,b )使当x ∈(a ,b ),x ≠0时

f )0('＜0,于是当x ∈(a ,0)时f ′(0)＞0,当x ∈(0,b )时，

f ′(0)＜0,这样f (x )在(a ,0)上单增，在(0,b )上单减. 答案：B

4.解析：∵f ′n (x )=2xn 2(1－x )n －n 3x 2(1－x )n -1 =n 2x (1－x )n -1［2(1－x )－nx ］,令f ′n (x )=0,得x 1=0,x 2=1,x 3=n

9、B 10、C 11、B 12、C 二、13.解析：根据导数的定义：f ′(x 0)=k

x f k x f k ---+→)()]([(lim 000

0000000000-='-=----=---?-=--∴→→→x f k x f k x f k x f k x f k x f k x f k k k 答案：－1

14.解析：设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ), f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ！答案：n !

15.解析：函数的定义域是x ＞3

1或x ＜－2,f ′(x )=

53log 2-+x x e a .(3x 2+5x －2)′=)2)(13(log )56(+-?+x x e x a ,

①若a ＞1,则当x ＞3

1时，log a e ＞0,6x +5＞0,(3x －1)(x +2)＞0,∴f ′(x )＞0,∴函数f (x )在(3

1,+∞)上是增函数，x ＜－2时，f ′

(x )＜0.∴函数f (x )在(－∞,－2)上是减函数.

②若0＜a ＜1,则当x ＞3

1时，f ′(x )＜0,∴f (x )在(3

1,+∞)上是减函数，当x ＜－2时，

f ′(x )＞0,∴f (x )在(－∞,－2)上是增函数.

答案：(－∞,－2)

16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x ,高为h ，那么

h =AO +BO =R +22x R -,解得

x 2=h (2R －h ),于是内接三角形的面积为

S =x ·h =,)2()2(432h Rh h h Rh -=?- 从而)2()2(2

14321

43'--='-h Rh h Rh S

323221

43)2()23()46()2(21h h R h R h h Rh h Rh --=--=-.

令S ′=0,解得h =2

3R ,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R )上列表如下：

由此表可知，当x =2

3R 时，等腰三角形面积最大. 答案：2

三、17. 解：由l 过原点，知k =0

0x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0,

∴0

0x y =x 02－3x 0+2,y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2

又k =0

0x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2,2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=2

18.]x )p 2(2[)x 1(x p )x ('f 1p 2+--=- ,

令f ’(x)=0得，x=0，x=1，x=

22+ , 在[0，1]上，f(0)=0，f(1)=0，2p )p

2p (4)p 22(f ++=+

∴p 2max )p

2p (4)]x (f [++= .

19.设双曲线上任一点P （x 0，y 0）,

2x x x a |y k 0

=== ,

∴切线方程)x x (x a y y 02

20.解：(1)注意到y ＞0,两端取对数，得 ln y =ln(x 2－2x +3)+ln e 2x =ln(x 2－2x +3)+2x,

)2(2.)32(3

2(232)2(2.32)

2(223222232)32(122222

22222222x x e x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y ?+-=?+-?+-+-=?+-+-=

'∴+-+-=++--=++-'+-='?∴

(2)两端取对数，得 ln|y |=3

1(ln|x |－ln|1－x |),

两边解x 求导，得

1)1(31)1(131,)1(131)111(3113x

x x x y x x y x x x x y y --=?-?='∴-=---='?

21.解：设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则s =5－2925t -,当下端移开1.4 m 时，t 0=15

22.解：(1)当x =1时，S n =12+22+32+…+n 2=61n (n +1)(2n +1),当x ≠1时，1+2x +3x 2+…+nx n -1 =2

)1()1(1x nx x n n n -++-+,两边同

乘以x ,得

x +2x 2+3x 2+…+nx n =2

1()1(x nx x

n x n n -++-++两边对x 求导，得

S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2x n -1

2122)1()122()1(1x x n x n n x n x n n n ---+++-+++.

23.解：f ′(x )=3ax 2+1.

若a ＞0,f ′(x )＞0对x ∈(－∞,+∞)恒成立，此时f (x )只有一个单调区间，矛盾. 若a =0,f ′(x )=1＞0,∴x ∈(－∞,+∞),f (x )也只有一个单调区间，矛盾. 若a ＜0,∵f ′(x )=3a (x +

|31a )·(x －

|31a ),此时f (x )恰有三个单调区间.

(1) 由极值点的必要条件可知：f ′(1)=f ′(2)=0,即a +2b +1=0,且2

1x +1,当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0,当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0,当x ∈(2,+∞)时，f ′(x )＜0,故在x =1处

25.证法一：∵b ＞a ＞e ,∴要证a b ＞b a ,只要证b ln a ＞a ln b ,设f (b )=b ln a －a ln b (b ＞e ),则

b )＞0.∴函数f (b )=b ln a －a ln b 在(e ,+∞)上是增函数，∴f (b )＞f (a )=a ln a

－a ln a =0,即b ln a －a ln b ＞0,∴b ln a ＞a ln b ,∴a b ＞b a .

证法二：要证a b ＞b a ,只要证b ln a ＞a ln b (e ＜a ＜b ),即证,设f (x )=x

x ln (x ＞e )，则f ′(x )=2

ln 1x x -＜0,∴函数f (x )在

(e ,+∞)上是减函数，又∵e ＜a ＜b ,

(2)设φ(x )=2x 2－ax －2,则当α＜x ＜β时，φ(x )＜0,

222)1()4(2)1(4)1()1)(4()1()4()(+--+=

+'+--+'-=

'x a x x x x x a x x a x x f

0)1()

(2)1()22(22>+-=++--=x x x ax x ?.

∴函数f (x )在(α，β)上是增函数.

(3)函数f (x )在［α，β］上最大值f (β)＞0,最小值f (α)＜0,

∵|f (α)·f (β)|=4,∴当且仅当f (β)=－f (α)=2时，f (β)－f (α)=|f (β)|+|f (α)|取最小值4，此时a =0,f (β)=2.

高考数学导数的解题技巧

2019年高考数学导数的解题技巧高考导数题主要是考查与函数的综合，考查不等式、导数的应用等知识，难度属于中等难度。都有什么题型呢？ ①应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性； ②应用导数求函数的极值与最值； ③应用导数解决有关不等式问题。有没有什么解题技巧啦？导数的解题技巧还是比较固定的，一般思路为 ①确定函数f(x)的定义域（最容易忽略的，请牢记）； ②求方程f′(x)=0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间； ③研究各小区间上f′(x)的符号，f′(x)＞0时，该区间为增区间，反之则为减区间。从这两步开始有分类讨论，函数的最值可能会出现极值点处或者端点处，多项式求导一般结合不等式求参数的取值范围，根据题目会有一定的变化，那接下来具体总结一些做题技巧。技巧破解+例题拆解 1．若题目考察的是导数的概念，则主要考察的是对导数在一点处的定义和导数的几何意义，注意区分导数与△y/△x 之间的区别。

观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。

导数大题第一、二问解题方法

导数大题一、二问专练一、求单调性解题步骤：（1）求函数()f x 的定义域（2）求函数的导函数()f x '，并化简；（3）令()0f x '=，求出所有的根，并检查根是否在定义域内。（注意此处是否引出讨论）．．．．．．．．．．．．（讨论：1）讨论的对象，即讨论哪个字母参数 2）讨论的引发，即为何讨论 3）讨论的范围，即讨论中要做到“不重不漏”）（4）列表：注意定义域的划分、()f x '正负号的确定（5）根据列表情况作出答案二、导数难点：难点一：如何讨论：（1）判断()0f x '=是否有根（可通过判别式的正负来确定），如果无法确定，引发讨论；（2）求完根后，比较()0f x '=两根的大小，如果无法确定，引发讨论。（3在填表时确定()f x '的正负或解不等式()0f x '>过程中，引发讨论。难点二、()f x '正负的确定 (1) 当()f x '或()f x '式中未确定部分是一次或二次函数时，画函数图象草图来确定正负号；（2）()f x '为其他函数时，由()0f x '>的解集来确定()f x '的正负。（3）若()0f x '=无根或重根，不必列表，直接判断导函数的正负即可。题型一：讨论()0f x '=是否有根型

（1）若导数是二次函数，需判断判别式?的正负（2）若导数是一次函数y kx b =+，需判断k 的正负 1、设函数3 ()3(0)f x x ax b a =-+≠. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与直线8y =相切，求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点 2．（08文）已知函数32 ()3(0)f x x ax bx c b =+++≠，且()()2g x f x =-是奇函数．（Ⅰ）求a ，c 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间 (18) （本小题共13分）已知函数x a x x f ln )(2 -=(R a ∈)．（练习）（Ⅰ）若2=a ，求证：)(x f 在(1,)+∞上是增函数；（2）求()f x 的单调区间； 18.设函数()0)(2>+=a b x ax x f 。（1）若函数)(x f 在1-=x 处取得极值2-，求b a ,的值；（2）求函数()f x 的单调区间（3）若函数)(x f 在区间()1,1-内单调递增，求b 的取值范围 3（2010东城一摸试卷）已知函数1()ln f x a x x =-，a ∈R

高考数学专题导数题的解题技巧

第十讲导数题的解题技巧【命题趋向】导数命题趋势：综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

高考数学解题技巧大揭秘专题函数导数不等式的综合问题

专题五函数、导数、不等式的综合问题 1.已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数，e ＝ 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间； (3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2 . 解 (1)由f (x )＝ ln x ＋k e x ，得f ′(x )＝1－k x －xln x xe x ，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝ 1 xe x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)，令h(x )＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x )＜0. 又e x ＞0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)因为g(x )＝xf ′(x )，所以g(x )＝1 e x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)，由(2)得，h(x )＝1－x －xln x ，求导得h′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2 )．所以当x ∈(0，e －2 )时，h′(x )＞0，函数h(x )单调递增；当x ∈(e －2 ，＋∞)时，h′(x )＜0，函数h(x )单调递减．所以当x ∈(0，＋∞)时，h(x )≤h(e －2 )＝1＋e －2 . 又当x ∈(0，＋∞)时，0＜1 e x ＜1，所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h(x )＜1＋e －2，即g(x )＜1＋e －2 . 综上所述结论成立．

高中数学导数题型分析及解题方法

导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数3 31x x y -+=有极小值－1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线3 4y x x =-在点 ()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4 )(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为（1，0） 3．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线；（2）曲线2 x y =过点P(3,5)的切线；解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/2 3===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即，（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为) ,(00y x A ，则 2 00x y =①又函数的导数为x y 2/ =，所以过 ) ,(00y x A 点的切线的斜率为 /2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有 3 5 2000--= x y x ②，由①②联立方程组得，??????====25 5 110 000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为 ; 2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 1．已知函数 ))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；

高考压轴题：导数题型及解题方法总结很全.

高考压轴题：导数题型及解题方法（自己总结供参考）一．切线问题题型1 求曲线)(x f y 在0x x 处的切线方程。方法： )(0x f 为在0x x 处的切线的斜率。题型2 过点),(b a 的直线与曲线 )(x f y 的相切问题。方法：设曲线 )(x f y 的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x )()()(000 求出0x ，进而解决相关问题。注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。例已知函数f （x ）=x 3 ﹣3x ．（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169y x ）（2）若过点A )2)(,1(m m A 可作曲线)(x f y 的三条切线，求实数 m 的取值范围、（提示：设曲线 )(x f y 上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于 m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案： m 的范围是2,3）题型3 求两个曲线)(x f y 、)(x g y 的公切线。方法：设曲线)(x f y 、)(x g y 的切点分别为（ )(,11x f x ）。（)(,22x f x ）；建立 21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x ，12 212 )()(y y x f x x ；求出21,x x ，进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。例求曲线 2 x y 与曲线x e y ln 2的公切线方程。（答案02e y x e ）二．单调性问题题型1 求函数的单调区间。求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与 0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与 0的关系不定）；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。例已知函数x a x x a x f )1(2 1ln ) (2 （1）求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点的大小关系分类）（2）若 e x ,2，求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类）题型2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。方法1：研究导函数讨论。方法2：转化为 0) (0) (' ' x f x f 或在给定区间上恒成立问题，方法3：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。注意：“函数)(x f 在 n m,上是减函数”与“函数)(x f 的单调减区间是b a,”的区别是前者是后者的子集。例已知函数2 () ln f x x a x + x 2在 , 1上是单调函数，求实数 a 的取值范围．（答案 , 0）题型 3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。方法1：正难则反，研究在某区间的不单调方法2:研究导函数是零点问题，再检验。方法3:直接研究不单调，分情况讨论。例设函数 1) (2 3 x ax x x f ，R a 在区间 1,2 1内不单调，求实数 a 的取值范围。（答案： 3, 2a ））三．极值、最值问题。题型1 求函数极值、最值。基本思路：定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值→ 最值。例已知函数12 1)1() (2 kx x e k x e x f x x ，求在2,1x 的极小值。（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）题型 2 已知函数极值，求系数值或范围。方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。方法2.转化为函数单调性问题。例函数1)1(2 1)1(3 14 1) (2 3 4 x p p px x p x x f 。0是函数)(x f 的极值点。求实数 p 值。（答案：1）

高考导数题的解题技巧绝版

高考导数题的解题技巧绝版 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

导数题的解题技巧导数命题趋势：（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值,证明不等式，函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是31 ()213 f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+= 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若 M P,则实数a 的取值范围是 ( )

A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1. 1 x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时综上可得M P 时, 1.a ∴> 考点2 曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题例3.（2007年湖南文）已知函数3211 ()32 f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点．（I ）求24a b -的最大值；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点 A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．思路启迪：用求导来求得切线斜率. 解答过程：（I ）因为函数3211 ()32 f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-，且2104x x <-≤．于是 2044a b <-，20416a b <-≤，且当11x =-， 23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．

导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧

函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法含参数问题及恒成立问题方法小结： 1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法一、分离讨论思想：例题1：讨论下列函数单调性： 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1 2≠<<--b x x bx 二、判别法例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围．解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足：（1）???<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或（2）?? ???<-=-=-040)2(202a a 解（1）得???<<-<2 22a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２．练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。三、分离法参数：分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即：（1）对任意x 都成立()min x f m ≤ （2）对任意x 都成立。例3．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(

(word完整版)高考导数解答题中常见的放缩大法

(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为 sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>. 将这些不等式简单变形如下： ex x ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(?≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x 高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ??<-> ???，()11ln 012x x x x ??>-<< ??? ， ) ln 1x x <>，)ln 01x x ><<，（放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102 x x x x +≤--<<，()()21ln 102 x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+ 第二组：指数放缩

高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)

高中数学导数经典题型解题技巧（运用方法）高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高中数学的必考容之一。因此，针对这两各部分的容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。好了，下面就来讲解常用逻辑用语的经典解题技巧。第一·认识导数概念和几何意义 1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。（2）理解导数的几何意义。 2．导数的运算

（1）能根据导数定义求函数的导数。（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。 3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。 4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题 5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。（2）了解微积分基本定理的含义。总结：先搞清楚导数概念以及几何意义，才能更好地运用其解题技巧！ 231(),,,,,y C C y x y x y x y y x ======为常数()f ax b +

第二·导数运用和解题方法一、利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。 2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。解题技巧：1．导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导()y f x =()y f x =0x ()f x '()y f x =00(,())P x f x ()s t t

导数常见题型与解题方法总结

导数题型总结 1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法-----结合图像分析 5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('=x f 得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=- - 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”，则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <

高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)

高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，针对这两各部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。好了，下面就来讲解常用逻辑用语的经典解题技巧。第一·认识导数概念和几何意义 1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。（2）理解导数的几何意义。 2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数的导数。（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。 3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。 4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题 5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。（2）了解微积分基本定理的含义。总结：先搞清楚导数概念以及几何意义，才能更好地运用其解题技巧！第二·导数运用和解题方法一、利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。 2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。

高中导数题的解题技巧

导数题的解题技巧【命题趋向】导数命题趋势：导数应用：导数－函数单调性－函数极值－函数最值－导数的实际应用．【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2006年辽宁卷）与方程 221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为 A.ln(1)y x =+ B.ln(1)y x =- C. ln(1)y x =-+ D. ln(1)y x =-- [考查目的]本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力 [解答过程]2221(0)(1)x x x y e e x e y =-+≥?-=，0,1x x e ≥∴≥，即：1ln(1)x e y x y =+?=+，所以1()ln(1)f x x -=+. 故选A. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合{|()0}x f x <'{|()0}x f x >,若,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1∞) D. [1∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1. 1 x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时 ()()() / /2211,0.11111. x x a x a x a a y y x x x x a ------??=∴===> ?--??--∴> 综上可得时, 1.a ∴> 考点2 曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线求曲线(x)在某一点P （）的切线，即求出函数(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.

高考导数题型及解题方法总结

高考压轴题：导数题型及解题方法一．切线问题题型1求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。题型2过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。例已知函数f（x）=x 3 ﹣3x．（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、（提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--）题型3求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）；建立21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x -='-，12212)()(y y x f x x -='-；求出21,x x ，进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。例求曲线2 x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。（答案02=--e y x e ）二．单调性问题题型1求函数的单调区间。求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；(3)在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4)在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。例已知函数x a x x a x f )1(2 1ln )(2+-+=（1）求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点的大小关系分类）

(完整版)高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)

高中数学导数经典题型解题技巧（运用方法）高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，针对这两各部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。好了，下面就来讲解常用逻辑用语的经典解题技巧。第一·认识导数概念和几何意义 1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。（2）理解导数的几何意义。 2．导数的运算

第二·导数运用和解题方法一、利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。 2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。解题技巧：1．导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。 ()y f x =()y f x =0x ()f x '()y f x =00(,())P x f x ()s t t

导数大题第一、二问解题方法

For personal use only in study and research; not for commercial use 导数大题一、二问专练一、求单调性解题步骤：（1）求函数()f x 的定义域（2）求函数的导函数()f x '，并化简；（3）令()0f x '=，求出所有的根，并检查根是否在定义域内。（注意此处是否引出讨论）．．．．．．．．．．．．（讨论：1）讨论的对象，即讨论哪个字母参数 2）讨论的引发，即为何讨论 3）讨论的范围，即讨论中要做到“不重不漏”）（4）列表：注意定义域的划分、()f x '正负号的确定（5）根据列表情况作出答案二、导数难点：难点一：如何讨论：（1）判断()0f x '=是否有根（可通过判别式的正负来确定），如果无法确定，引发讨论；（2）求完根后，比较()0f x '=两根的大小，如果无法确定，引发讨论。（3在填表时确定()f x '的正负或解不等式()0f x '>过程中，引发讨论。难点二、()f x '正负的确定 (1) 当()f x '或()f x '式中未确定部分是一次或二次函数时，画函数图象草图来确定正负号；（2）()f x '为其他函数时，由()0f x '>的解集来确定()f x '的正负。（3）若()0f x '=无根或重根，不必列表，直接判断导函数的正负即可。

题型一：讨论()0f x '=是否有根型（1）若导数是二次函数，需判断判别式?的正负（2）若导数是一次函数y kx b =+，需判断k 的正负 1、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与直线8y =相切，求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点 2．（10年）已知函数32()3(0)f x x ax bx c b =+++≠，且()()2g x f x =-是奇函数．（Ⅰ）求a ，c 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间 (18) （本小题共13分）已知函数x a x x f ln )(2 -=(R a ∈)．（练习）（Ⅰ）若2=a ，求证：)(x f 在(1,)+∞上是增函数；（2）求()f x 的单调区间； 18.设函数()0)(2>+=a b x ax x f 。（1）若函数)(x f 在1-=x 处取得极值2-，求b a ,的值；（2）求函数()f x 的单调区间（3）若函数)(x f 在区间()1,1-内单调递增，求b 的取值范围

(完整版)高考数学专题导数题的解题技巧

第十讲导数题的解题技巧【命题趋向】导数命题趋势：综观 2007 年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点： (1 )多项式求导(结合不等式求参数取值范围) ,和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题. (2 )求极值 , 函数单调性 ,应用题 ,与三角函数或向量结合 . 分值在 12---17 分之间，一般为 1 个选择题或 1 个填空题， 1个解答题 . 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．【例题解析】考点 1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念 . 1 3 例 1．( 2007 年北京卷) f (x) 是f (x) x32x 1 的导函数，则f ( 1) 的值是． [ 考查目的 ] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力 . 22 [ 解答过程 ] Q f (x) x22, f ( 1) 1 2 3. 故填 3. 例2. ( 2006 年湖南卷)设函数f(x) x a,集合 M={x|f(x) 0} ,P={ x| f '(x) 0},若 M P, 则实x1 数 a 的取值范围是 ( )

高考数学专题导数题的解题技巧

第十讲导数题的解题技巧【命题趋向】导数命题趋势：综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型及特点：（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,及三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性及其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是31 ()213 f x x x =++的导函数，则(1)f '-的

值是． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()22()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+= 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P=' {|()0}x f x >, 若M P,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1. 1 x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时 ()()() / /22 11,0.11111. x x a x a x a a y y x x x x a ------??=∴===> ?--??--∴> 综上可得M P 时, 1. a ∴> 考点2 曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线若一直线同时及两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题例3.（2007年湖南文）已知函数321 1()32 f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点．（I ）求24a b -的最大值；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l

利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧

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利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧趣题引入已知函数x x x g ln )(= 设b a <<0，证明:2ln )()2 ( 2)()(0a b b a b g a g -<+-+< 分析:主要考查利用导数证明不等式的能力。证明:1ln )(+='x x g ，设)2 ( 2)()()(x a g x g a g x F +-+= 2 ln ln )2()(21)2( 2)()(''''x a x x a g x g x a g x g x F +-=+-=?+-=' 当a x <<0时 0)(<'x F ，当a x >时 0)(>'x F ，即)(x F 在),0(a x ∈上为减函数，在),(+∞∈a x 上为增函数 ∴0)()(min ==a F x F ,又a b > ∴0)()(=>a F b F , 即0)2 ( 2)()(>+-+b a g b g a g 设2ln )()2(2)()()(a x x a g x g a g x G --+-+= )ln(ln 2ln 2 ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-='∴ 当0>x 时,0)(' ∴0)()(=