排列组合问题常用方法(二十种)

解排列组合问题常用方法（二十种）

一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）

例1、由01,2,3,4,5，

可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。末位和首位有特殊要求。先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有1

3C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有1

4C 种组合；最后

排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有3

4A 种排列。由分步计数原理得113

344288C C A =。

变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多

少不同的种法？

分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有2

4A 种排列，再种其它葵花有5

5A 种排列。由

分步计数原理得25451440A A =。

二、相邻问题捆绑法

例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？

分析：分三步。先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理得

522522480A A A =。

变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。

分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有2

5A 种排列。 三、相离问题插空法

例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？

分析：相离问题即不相邻问题。分两步。第一步排2个相声和3个独唱共有5

5A 种排列，第二步将4个

舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有4

6A 种排列，由分步计数原理得

545643200A A =。

变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节

目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。

分析：将2个新节目插入原定5个节目排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有2

6A 种排列， 由分步计数原理得2

630A =。

四、定序问题除序（去重复）、空位、插入法

例4、7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？

分析：（除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。共有不同排法种数为：

77

33

840A A =。 （空位法）设想有7把椅子，让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有4

7A 种坐法；甲、乙、丙坐

其余的三个位置，共有1种坐法。总共有4

7840A =种排法。

思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（可以）

（插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有3

7C 种选法；余下四个空座位让其余四人

就坐，共有4

4A 种坐法。总共有3474840C A =种排法。

变式4、10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种不同的

排法？

分析：10人身高各不相等且从左至右身高逐渐增加，说明顺序一定。若排成一排，则只有一种排法；

现排成前后两排，因此共有5

10252C =种排法。

五、平均分组问题倍除法（去重复法）

例5、6本不同的书平均分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？

分析：分三步取书有222

642C C C 种分法，但存在重复计数。记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB ，

第二步取CD ，第三步取EF ，该分法记为()AB CD EF ，，，则在222642C C C 中还有()AB CD EF ，，、

()AB CD EF ，，、()AB CD EF ，，、()AB CD EF ，，、()AB CD EF ，，共33A 种分法 ，而这些分

法仅是()AB CD EF ，，一种分法。总共应有222

642

3

3

C C C A 种分法。平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，分组后一定要除以n

n A （n 为均分的组数），避免重复计数。

变式5①、将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多少种不同的分法？

分析：分三步。第一步取5个队为一组，有513C 种分法；余下8个队平均分成两组，每组4个队，有44

84C C 种分法，但存在重复计数。记8个队为ABCDEFGH ，若第二步取ABCD ，第三步取EFGH ，该分法

记为()ABCD EFGH ，，则在44

84C C 中还有()EFGH ABCD ，共22

A 种分法，而这22A 种分法是同一种分法。总共应有44

584

13

2

2

C C C A ?种分法。 变式5②、10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人，正、副班长不能分在同一组，有多少种不

同的分组方法？

分析：㈠总的分组方法：分三步。第一步取4人为一组，有4

10C 种分法；余下6个人平均分成两组，

每组3个人，有33

63C C 种分法，

但存在重复计数。记6个人为ABCDEF ，若第二步取ABC ，第三步取DEF ，该分法记为()ABC DEF ，，则在3363C C 中还有()DEF ABC ，共2

2A 种分法，而这2

2A 种分法是同一种分

法。总共应有33

4

63

10

2

2

2100C C C A ?=种分法。 ㈡正、副班长同分在4人一组：分三步。第一步在8人中取2人，加上正、副班长共4人为一

组，有28C 种分法；余下6个人平均分成两组，每组3个人，有33

63C C 种分法，但存在重复计数。记6个人

为ABCDEF ，若第二步取ABC ，第三步取DEF ，该分法记为()ABC DEF ，，则在33

63C C 中还有()DEF ABC ，共22A 种分法，而这22A 种分法是同一种分法。总共应有33

2638

22

280C C

C A ?=种分法。

㈢正、副班长同分在3人一组：分三步。第一步在8人中取4人，有4

8C 种分法；第二步在余下的4人中取3人，有3

4C 种分法；第三步余下1人加上正、副班长形成一组，只有一种分法。总共应有

43

84280C C =种分法。

㈠减㈡减㈢得：总共有3333

4243

636310

8842

222

21002802801540C C C C C C C C A A ?-?-=--=种分法。 变式5③、某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排2名，则不同的安排种数为 。

分析：分三步。前两步将转入的4名学生平均分成两组，每组2名学生，有22

42C C 种分法，但存在重

复计数。记4名学生为ABCD ，若第一步取AB ，第二步取CD ，该分法记为()AB CD ，，则在2

2

42C C 中

还有()CD AB ，共2

2A 种分法，而这2

2A 种分法是同一种分法。第三步将分成的两组分配到6个班级，有2

6

A 种分法。总共应有22

2

4262

2

90C C A A ?=种分法。 六、元素相同问题隔板法

例6、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？

分析：隔板法也就是档板法。分两步。第一步：每班分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的3个名额分配给7个班。取716-=块相同隔板，连同3个相同名额排成一排，共9个位置。由隔板法知，

在9个位置中任取6个位置排上隔板，有6

9C 种排法。每一种插板方法对应一种分法，由分步计数原理知，共有6984C =种分法。

变式6①、10个相同的球装入5个盒中，每盒至少一球，有多少中装法？

分析：分两步。第一步：每盒先装入1个球，只有1种装法；第二步：将剩下的5个球装入5个盒中。取514-=块相同隔板，连同5个相同的球排成一排，共9个位置。由隔板法知，在9个位置中任取4个

位置排上隔板，有4

9C 种排法。每一种插板方法对应一种装法，由分步计数原理知，共有49126C =种装法。 变式6②、100x y z w +++=，求这个方程的自然数解的组数。

分析：取413-=块相同隔板，连同100个相同的1排成一排，共103个位置。由隔板法知，在103个

位置中任取3个位置排上隔板，有3103C 种排法。每一种插板方法对应一组数，共有3

103176851C =组数。 七、正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法） 例7、从0123456789，，，，，，，，，十个数字中取出三个，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种？ 分析：直接求不小于10的偶数很困难，可用总体淘汰法。十个数字中有5个偶数5个奇数，所取的三

个数字含有3个偶数的取法有35C ，只含有1个偶数的取法有12

55C C ，和为偶数的取法共有123555

C C C +。淘汰和小于10的偶数共9种()024++、()026++、()013++、()015++、()017++、()019++、

()213++、()215++、()413++，符合条件的取法共有123

5

559C C C +-。 变式7、一个班有43名同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有多少种?

分析：未抽到正、副班长、团支部书记的抽法有5

40C 种；正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽

法有55

4340

C C -种。 八、重排问题求幂法

例8、把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？

分析：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7种分法，把第二名实习生分配到车间也有7种分法，依此类推，由分步计数原理共有67种不同的分法。

变式8①、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新

节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 。

分析：完成此事共分两步：把第一个新节目插入原定5个节目排后形成的六个空中，有6种插法；把第二个新节目插入前面6个节目排后形成的七个空中，有7种插法。由分步计数原理共有6742?=种不同的插法。

变式8②、某8层大楼一楼电梯上来8名乘客，他们到各自的一层下电梯，下电梯的下法有多少种？ 分析：完成此事共分八步：第一名乘客下电梯有7种下法，第二名乘客下电梯也有7种下法，依此类推，由分步计数原理共有87种不同的下法。

九、环（圆）排问题直排法

①环形排列问题：如果在圆周上m 个不同的位置编上不同的号码，那么从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题。

②环形排列数：

一个m 个元素的环形排列，相当于一个有m 个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m 个元素的环形排列对应着m 个直线排列。

设从n 个元素中取出m 个元素组成的环形排列数为N 个，则对应的直线排列数为mN 个。

又因为从n 个元素中取出m 个元素排成一排的排列数为m n A 个，所以m

n mN A =，即1m

n N A m

=

。 ③环形排列数公式：

㈠从n 个元素中取出m 个元素组成的环形排列数为1m

n N A m

=。 ㈡n 个元素的环形排列数为()1!

1!n n n N A n n n

=

==-。 例9、8人围桌而坐，共有多少种坐法？

分析：围桌而坐与坐成一排的不同点在于坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线（如图所示），其余7人共有()81!7!76543215040-==??????=种不同的坐法。

H

F

D C A

A B C D E A

B E G

H G F

变式9、6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？

分析：可穿成()61!5!54321120-==????=种不同的钻石圈。

十、多排问题单排法

例10、8人排成前后两排，每排4人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有多少种排法？

分析：8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排。先排前4个位置上的2个特

殊元素甲、乙有24A 种排法；再排后4个位置上的2个特殊元素丙有1

4A 种；其余的5人在5个位置上任意

排列有5

5A 种。共有21

54455760A A A =种不同的排法。排好后，按前4人为前排，后4人为后排分成两排即

可。

变式10、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位。现安排2人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同坐法的种数为 。

分析：①前后两排共有23个座位。②前排中间第567，，号3个座位甲、乙二人不能坐。③甲、乙二人

不能左右相邻。前排第14811，，，号和后排第112

，号6个座位，甲、乙中任一人就坐，有1

6C 种坐法，与之相邻座位只能排除一个，另一人有11

2331118C C ---=种坐法，共有11

618C C 种坐法；而其它233614--=个座位，甲、乙中任一人就坐，有1

14C 种坐法，与之相邻座位要排除两个，另一人有112332117C C ---=种坐法，共有111417C C 种坐法。总共有1111

6181417108238346C C C C +=+=种不同坐法。

十一、排列组合混合问题先选后排法

例11、有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少种不同的装法？

分析：第一步从5个球中选出2个组成复合元素，有2

5C 种方法；第二部把4个元素（包含一个复合元

素）装入4个不同的盒内，有4

4A 种方法。由分步计数原理得24

54240C A =。

变式11、一个班有6名战士，其中正、副班长各1人。现从中选4人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正、副班长有且只有1人参加，则不同的选法有多少种？

分析：①正、副班长选一人，有12C 种选法。②4名战士选三人，有3

4C 种选法。③给选出的4人分配

四种不同任务，有4

4A 种分配法。由分步计数原理得134

244192C C A =。

十二、小集团问题先整体后局部法

例12、用12345，，，，组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数在15，

之间，这样的五位数有多少个？ 分析：①两个偶数24，在15，之间是一个不能打破的小集团，3在这个小集团之外。②把1524，，，当作一个小集团与３排列，有22A 种排法。③再排小集团内部。15，有22A 种排法；24，也有2

2A 种排法。由分步

计数原理得2

2

2

2228A A A =。

变式12①、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列。要求同一

品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为 。

分析：4幅油画是一个小集团，内部有44A 种排法；5幅国画也是一个小集团，内部有5

5A 种排法；两个小集团排列，有2

2A 种排法；将1幅水彩画插入两个小集团排列后形成的一个空中，有1种排法。由分步

计数原理得45245215760A A A ?=。

变式12②、5男生和5女生站成一排照像，男生相邻且女生也相邻的排法有 种。

分析：5男生是一个小集团，内部有55A 种排法；5女生也是一个小集团，内部也有5

5A 种排法；两个

小集团排列，有2

2A 种排法。由分步计数原理得55255228800A A A =。

十三、含约束条件问题合理分类与分步法

例13、在一次演唱会上共10名演员，其中8人会唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的

节目，有多少种选派方法？

分析：10名演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，3人为全能演员。以选上唱歌人员为标准分三类，

每一类中再分步：①只会唱歌的5人中没有人选上唱歌人员，有22

33C C 种；②只会唱歌的5人中只有1人选上唱歌人员，有112534C C C 种；③只会唱歌的5人中有2人选上唱歌人员，有2255C C 种。由分类计数原理得，共有2211222

3353455199C C C C C C C ++=种选派方法。

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步。做到分类标准明确，贯穿解题过程始终；每一类中分步层次清楚，不重不漏。

本题还有如下分类标准：①以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准；②以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准；③以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准。

变式13①、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 种。

分析：以选上女生为标准分三类，每一类中再分步：①选上女生1人，有13

34C C 种；②选上女生2人，有2234C C 种；③选上女生3人，有3134C C 种。由分类计数原理得，共有13223134343434C C C C C C ++=种选派方

法。本题还可以选上男生为标准分三类。

变式13②、3成人2小孩乘船游玩，1号船最多乘3人，2号船最多乘2人，3号船只能乘1人，他们任选2只船或3只船，但小孩不能单独乘一只船，这3人共有多少种乘船方法？

分析：分两大类。第一大类为选2只船，则只能选1号船和2号船。以1号船乘成人为标准，又可分为

两小类：每一小类乘成人1人，有1232C C 种；每二小类乘成人2人，有21

32

C C 种。第二大类为选3只船。以1号船乘成人为标准，又可分为三小类，每一小类均有11212222C C C C +种。由分类计数原理得，共有()1221112132322222327C C C C C C C C +++=种乘船方法。

十四、简单问题实际操作穷举法

例14、设有编号1，2，3，4，5的五个球和编号1，2，3，4，5的五个盒子，现将5个球放入5个盒子内，要求每个盒子放1个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？

分析：从5个球中取出2个与盒子对号，有2

5C 种取法；剩下3球3盒不对号，利用实际操作法。如果剩下3，4，5号球，3，4，5号盒，3号球只能装入4号或5号盒，有两种装法；当3号球装4号盒时，

则4，5号球，只有1种装法；同理3号球装5号盒时，4，5号球有也只有1种装法。由分步计数原理有2

5

2C 种。

变式14、同一寝室4人，每人写一张贺年卡集中起来，然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡

不同的分配方式有多少种？

分析：设甲、乙、丙、丁4人，甲可拿乙、丙、丁的贺年卡。分三类。第一类：甲拿乙的，则乙可拿甲、丙、丁的，无论乙拿甲（或丙或丁）的，丙、丁的拿法都唯一，有3种。第二类：甲拿丙的，则乙只能拿甲、丁的。若乙拿甲的，丙、丁的拿法唯一，有1种；若乙拿丁的，则丙拿甲丁拿乙或丙拿乙丁拿甲，有2种。小计有3种。第三类：与第二类同理，有3种。由分类计数原理知，共有3339++=种。

十五、数字排序问题查字典法

例15、由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？

分析：数字排序问题可用查字典法。从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，根据分类计数原

理求出其总数。①首位（十万位）为5或4，各有55A 个；②首位为3，万位为5或4，各有4

4A 个；③首

位为3，万位为2，千位为5，有33A 个；④首位为3，万位为2，千位为4，百位为5，有22A 个；⑤首位为3，万位为2，千位为4，百位为5，十位为1，有11A 个。共有543215432122297A A A A A ++++=个。

变式15、用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来，第71个数是 。

分析：①千位为1，个位为0，有2412A =个；②千位为1，个位为2，有2

412A =个；③千位为1，个

位为4，有2412A =个；④千位为2，个位为0，有2412A =个；⑤千位为2，个位为4，有2412A =个；

⑥千位为3，十位为0，个位为2（或4），各有3个。共66个。接下来有3102，3104，3120，3124，3140，，第71个数是3140。

十六、复杂问题分解与合成法

分解与合成法是解排列组合问题的一种最基本的解题方法。把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成。从而得到问题的答案。每个比较复杂的问题，都要用到这种解题方法。 例16、30030能被多少个不同的偶数整除？

分析：先把30030分解成质因数的乘积形式3003023571113=?????。依题意可知：偶因数必先

取2，再从其余5个因数中任取若干个组成乘积。所有的偶因数为：12345

55555

C C C C C ++++。 变式16、正方体的8个顶点可连成多少对异面直线？

分析：从8个顶点中任取4个顶点构成四面体共有4

81258C -=个，每个四面体有3对异面直线，正方体的8个顶点可连成358174?=对异面直线。 十七、复杂问题转化归结法（化归法）

例17、25人排成55?方阵，现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？

分析：将问题退化成9人排成33?方阵，现从中 选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，有多少种 不同的选法？这样每行（列）有且只有1人，从其中的 一行中选取1人后，把这人所在的行列都划掉，如此继

续下去，从33?方队中选3人的方法有111

321C C C 种。再 从55?方阵选出33?方阵便可解决问题。从55?方队

中选取3行3列，有3355C C 选法。所以从55?方阵选不在同一行也不在同一列的3人有33111

55321C C C C C 选法。

变式17、某城市的街区由12个全等的矩形区域组成，

其中实线表示马路，从A 走到B 的最短路径有多少种？

分析：将问题退化成从A 走到B 的最短路径需要

七步，四步向右三步向上，共有37C （或4

7C ）35=种。

十八、复杂分类问题表格法

例18、有红、黄、兰色的球各5只，分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字母，现从中取5只，要求各字母均有且三色齐备，则共有多少种不同的取法？

分析：一些复杂的分类选取题，要满足的条件比较多，无从入手，经常出现重复遗漏的情况，用表格法，则分类明确，能保证题中须满足的条件，达到好的效果。

红 1 1 1 2 2

3

黄 1 2 3 1 2 1 兰 3 2 1 2 1 1 取法 1415C C 2415C C 3415C C 1325C C

2325C C 1235C C A B

十九、运算困难问题树图法

例19、3人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲的手中，则不同

的传球方式有 种？

解析：此题不易用公式进行运算，用树图法会收到意想不到的结果。()10N =

*

*********

甲

乙

丙

丙

乙

甲甲

甲甲乙乙乙丙丙丙丙丙丙丙丙乙乙乙乙乙甲

甲甲甲甲甲

甲

甲

甲

甲

甲

甲

甲

甲

甲

甲

变式19、 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i 号人不坐i 号椅()12345i =，，，，的不同坐法有

多少种？

解析：树图法如下：()44N =

453153415434515141532413531134513431???????????????????????????????????????????

→→→→→→→→→→→→→→→→→→ 254145252415234251

12

521124521412421?

?

?

??????????????????

???????????

??

?

???

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413

231

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????????????????????→→→→→→→→→→→→→→ 二十、不易理解问题构造模型法

例20、马路上有编号为123456789，，，，，，，，的九只路灯，

现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，求满足条件的关灯方法有多少种？

分析：此问题可转化为排队模型。在6盏亮灯形成的5个空隙中，插入3盏不亮的灯，有3

510C = 种。

一些不易理解的排列组合问题可转化为熟悉的模型，使问题直观化。

变式20、某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120） 分析：每人坐一个座位,还剩6个。把这6个座位,插入4个人,且两头必须有座位,两人之间至少有一个座位。用******表示6个空座位,用0000表示4个人。①0000******；②0000******；③0000******；④0000******；⑤0000******。有5种。又，这4个人的坐法有顺序,共有：

445120A =种。

此问题也可转化为排队模型。每人坐一个座位,还剩6个。这6个座位排成一排，可迭相邻的两个座位，

有5种迭法。跌后有5个座位形成4个空隙（不包括两端），插入4个人，有4

5

C种。又，这4个人的坐法

有顺序,共有：44

54120

C A 种。

(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合7排列组合问题的常用方法总结1,推荐文档

m m m n ! n m 知识内容 1. 基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1 种不同的方法，在第二类办法中 有 m 2 种方法，……，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m 1 种不同的方法，做第二个 步骤有 m 2 种不同方法，……，做第 n 个步骤有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2. ⑴排列：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m (m ≤ n ) 顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 个元素的一个排列．（其中被取的象叫做元素） 排列数：从 n 个不同的元素中取出个元素的排列数，用符号 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 排列数公式： ， m ， n ∈ N + ，并且 m ≤ n ． 全排列：一般地， n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1 到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 ⑵组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出个元素的一个组合． 表示．规定： 0! = 1 ． 个元素并成一组，叫做从 n 个元素中任取个 组合数：从 n 个不同元素中，任意取出任意取出 m 个元素的组合数，用符号 表示． 元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中， 组合数公式： ， m , n ∈ N + ，并且 m ≤ n ． 1 / 20 排列组合问题的常用方法总 结 1 m (m ≤ n ) m ! C m n = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) = n C m n ! m !(n - m )! (m ≤n ) m (m ≤ n ) N = m 1 ? m 2 ? ? m n N = m 1 + m 2 + + m n A m n 表示． A m = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) n

排列组合(20份)

排列组合与概率总结复习 两个基本原理： 1.加法原理（分类计数原理）:做一件事,完成它有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法, 在第二类办法中有2m 种不同的方法, ……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有：n m m m m N +???+++=321种不同的方法. 2.乘法原理（分步计数原理）: 做一件事,完成它有n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法, 做第二步有有2m 种不同的方法, ……, 做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有： n m m m m N ???????=321种不同的方法. 特别注意：分类是独立的、一次性的；分步是连续的、多次的。 三组基本概念： 1．排列 1）排列：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 2）排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素 中取出m 个元素的排列数。通常用m n A 表示。 特别地，当n m =时，称为全排列，当n m 时，称为选排列。 2． 组合 1）组合：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 2）组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元 素中取出m 个元素的组合数,记作m n C 。 3． 事件与概率 1）事件的分类：（1）必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件；（2）不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件；（3）随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件。 2）一些特殊事件： （1）等可能事件：对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；另外，所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的。 （2）互斥事件：不可能同时发生的两个事件，我们把它称为互斥事件。如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥。 （3）对立事件：必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件。事件A 的对立事件通常记作 A 。特别地，有 B A +、B A ?的对立事件分别是B A ?、B A +，即B A B A ?=+、B A B A +=?。 （4）相互独立事件：一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响的两个事件叫做相互独立事件。 3）事件的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率 n m 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P (A )。 一些重要公式： 1．排列数公式 ：

排列组合常用方法总结

/////////解决排列组合问题常见策略 学习指导 1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。 较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列。 排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧。 集合是常用的工具之一。为了将抽象问题具体化，可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。 “正难则反”是处理问题常用的策略。 常用方法： 一. 合理选择主元 例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同 的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。 二. “至少”型组合问题用隔板法 对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。 例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？ 解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有： （种） 三. 注意合理分类 元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。再用分类计数原理求出总数。 例6. 求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。解：比2015大的四位数可分成以下三类： 第一类：3×××，4×××，5×××，共有：（个）； 第二类：21××，23××，24××，25××，共有：（个）； 第三类：203×，204×，205×，共有：（个） ∴比2015大的四位数共有237个。

☆排列组合解题技巧归纳总结

排列组合解题技巧归纳总结 教学内容 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =++ + 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =?? ? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其 它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 5 22480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ C 14A 34C 1 3

高三数学排列组合20种解题方法汇总含例题及解析

排列组合解法 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同 的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排 列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪， 4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列 数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73 73/A A

排列组合常用方法总结

排列组合常用方法总结 排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是，请参考！ 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何

一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定。 又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入 （一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。

排列组合方法归纳大全

排列组合方法归纳大全 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为

四.定序问题倍缩空位插入策略 例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 练习题： 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 七.多排问题直排策略 例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是

超全超全的排列组合的二十种解法

排列有两种定义，但计算方法只有一种，凡是符合这两种定义的都用这种方法计算。定义的前提条件是m≦n，m与n均为自然数。①从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。②从n个不同元素中，取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。 ③用具体的例子来理解上面的定义：4种颜色按不同颜色，进行排列，有多少种排列方法，如果是6种颜色呢。从6种颜色中取出4种进行排列呢。 解：A(4,4)=4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)=4x1x2x3x1=24。 A(6,6)=6x5x4x3x2x1=720。 A(6,4)=6!/(6-4)!=(6x5x4x3x2x1)/2=360。 [计算公式] 排列用符号A(n,m)表示，m≦n。 计算公式是：A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)! 此外规定0!=1，n!表示n(n-1)(n-2) (1) 例如：6!=6x5x4x3x2x1=720，4!=4x3x2x1=24。 组合的定义及其计算公式 1 组合的定义有两种。定义的前提条件是m≦n。 ①从n个不同元素中，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 ②从n个不同元素中，取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。 ③用例子来理解定义：从4种颜色中，取出2种颜色，能形成多少种组合。 解：C(4,2)=A(4,2)/2!={[4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)]/[2x(2-1)x(2-2+1)]}/[2x(2-1)x(2-2+1)]=[( 4x3x2x1)/2]/2=6。 [计算公式] 组合用符号C(n,m)表示，m≦n。 公式是：C(n,m)=A(n,m)/m! 或C(n,m)=C(n,n-m)。

完整版排列组合的二十种解法最全的排列组合方法总结

教学目标 1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2. 掌握解决排列组合问题的常用策略 ；能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分 析问题的能力 3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题 复习巩固 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有 m i 种不同的方法，在第 2类办法中有m 2种不同的方 法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m i m 2 L m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有叶种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，… 做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有: N mi m 2 L m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 ： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事 ，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少 类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题 （有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素 . 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共有C ； 然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有 A 3 由分步计数原理得C 4C ；A ； 288 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 ，若以元素分析为主，需 先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位 置。若 有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里 多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排 A 3 ,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，冋有 A 5 A 2 A 2 480种不同的

排列组合常用方法总结

排列组合常用方法总结 导读：排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是排列组合常用方法总结，请参考！ 排列组合常用方法总结 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法

中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定， 又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?

排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.

先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进 行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入

高中数学排列组合难题十一种方法

高考数学排列组合难题解决方法 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： N = mi + m2 j + m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有： N = mi江m2汇川X m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进 行,确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略

解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 练习题:7种不同的花种在排成一列的xx，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的xx，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 练习题1.用1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？ 解：把1，5，2，4当作一个小集团与3排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法. 1524

排列组合常用方法总结归纳

排列组合常用方法总结归纳 排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是排列组合常用方法总结，请参考！ 排列组合常用方法总结 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法

中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差，∴2b=a+c, 可知b由a,c决定， 又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入

排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有 2m 种不同的方 法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522480A A A =种不同的 排法

排列组合问题常用方法(二十种)

解排列组合问题常用方法（二十种） 一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法） 例1、由01,2,3,4,5， 可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。末位和首位有特殊要求。先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有1 4C 种组合；最后 排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。由分步计数原理得113344288C C A =。 变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多 少不同的种法？ 分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有5 5A 种排列。由 分步计数原理得25451440A A =。 二、相邻问题捆绑法 例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？ 分析：分三步。先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理得522522480A A A =。 变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。 分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。 三、相离问题插空法 例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？ 分析：相离问题即不相邻问题。分两步。第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个 舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。 变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节 目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。 分析：将2个新节目插入原定5个节目排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有2 6A 种排列， 由分步计数原理得2630A =。 四、定序问题除序（去重复）、空位、插入法 例4、7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？ 分析：（除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。共有不同排法种数为：7733 840A A =。 （空位法）设想有7把椅子，让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有4 7A 种坐法；甲、乙、丙坐 其余的三个位置，共有1种坐法。总共有47840A =种排法。 思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（可以） （插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有3 7C 种选法；余下四个空座位让其余四人 就坐，共有44A 种坐法。总共有3474840C A =种排法。 变式4、10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种不同的 排法？ 分析：10人身高各不相等且从左至右身高逐渐增加，说明顺序一定。若排成一排，则只有一种排法； 现排成前后两排，因此共有510252C =种排法。

排列组合问题常用的解题方法含答案

高中数学排列组合问题常用的解题方法 一、相邻问题捆绑法 题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列． 例1:五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的 排法种数有种。 二、相离问题插空法 元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相 离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端． 例2：七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是。 三、定序问题缩倍法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法． 例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可 不相邻)，那么不同的排法种数有。 四、标号排位问题分步法 把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一 个元素，如此继续下去，依次即可完成． 例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。 五、有序分配问题逐分法 有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法。 例5：有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人 中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有。 六、多元问题分类法 元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计。 例6：由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数 字小于十位数字的共有个。 例7：从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7 整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？ 例8：从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种？ 七、交叉问题集合法 某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 n A B n A n B n A B ?=+-?。 ()()()() 例 9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙 不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？ 八、定位问题优先法 某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素。 例10：1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不

[超全]排列组合二十种经典解法!

超全的排列组合解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2. 掌握解决排列组合问题的常用策略；能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题复习巩固 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 g种不同的方法，在第 2类办法中有m2 种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有： N m-\ m2 L m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m,种不同的方法，做第 2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有： N m1 m2 L m n 种不同的方法.

3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素? 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,123,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有C； 然后排首位共有C1 最后排其它位置共有A3 ；A：288 由分步计数原理得C4C 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

排列组合问题的几种基本方法(复习归纳)

排列组合问题 1. 分组（堆）问题 分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.) 处理问题的原则： ①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积. ④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列. 1. 分组（堆）问题 例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？ 解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤： ⑴先将四项工程分为三“堆”，有 211421 2 2 6C C C A 种分法； ⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队， 有3!＝6种给法. ∴共有6×6＝36种不同的发包方式. 2.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决. ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 解：分两步进行： 55A 有=120种排法 第1步，把除甲乙外的一般人排列： 第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)： 26A 有=30种插入法

120303600∴?共有＝种排法 () 种不同的排法有22 5566P P P -∴ 3.捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列. 例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ 解：（1）分两步进行： 甲 乙 第一步，把甲乙排列(捆绑)： 22 A 有＝2种捆法 第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队： 55 A 有＝120种排法 几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔. 几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.

(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合8.排列组合问题的常用方法总结2

1 思维的发掘 能力的飞跃 1．基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理． ⑴乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =???L 种不同的方法．又称乘法原理． ⑴加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． 排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑴组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取知识内容 排列组合问题的常用方法总结2