2018年春湘教版八年级下册数学全册教案教学设计
2018年春湘教版八下数学全册教案
直角三角形的性质
教学目标
知识与技能：1理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理
2 能应用直角三角形的判定与性质，解决有关问题。
过程与方法：通过对几何问题的“操作—探究—讨论—交流—讲评”的学习过程，提高分析问
题和解决问题的能力。
情感、态度与价值观：感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，主动参与数学思维与交
流活动。
教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的推导与应用。
教学难点：“操作—探究—讨论—交流—讲评”得出直角三角形斜边上的中线性质定理。
教 学 过 程
一、教学引入
1、三角形的内角和是多少度。学生回答。
2、 什么是直角三角形？日常生活中有哪些物品与直角三角形有关？请举例说明。
3、 等腰三角形有哪些性质？ 二、探究新知
1、探究直角三角形判定定理：
⑴ 观察小黑板上的三角形，从∠A+∠B 的度数，能说明什么？ ——两个锐角互余的三角形是直角三角形。
⑵ 讨论：直角三角形的性质和判定定理是什么关系？ 2、探究直角三角形性质定理：
⑴ 学生画出直角三角形ABC 斜边的中线CD 。
⑵ 测量并讨论斜边上的中线的长度与斜边的关系。 ⑶ 学生猜想：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。 3、 共同探究：
例 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线。
求证：CD=12AB 。
[教师引导：数学方法——倒推法、辅助线]
（分析：要证CD=1
2AB ，先证CD=AD 、CD=AD ，在同一个三角形中证明CD=AD ，必须找
∠ACD=∠A ，但是题目中没有我们要怎样做呢？作∠1=∠A 。学生注意在作辅助线时只能作一个量。因此，我们要证明∠1与AB 的交点就是中点。）
三、应用迁移 巩固提高
练习：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证，这个三角形是直角三角形。
已知CD 是ABC ?的AB 边上的中线，且CD=1
2AB 。求证ABC ?是直角三角形。
提示：倒推法，要证明ABC ?是直角三角形，只有通过定义和判定定理，定义与判定定
理都与角有关系。现在我们只有边的关系，我们学过的边与角能联系起来的就是等腰三角形。还要找到与90°有关的角，但是我们只知道三角形的内角和为180°。通过提示，请同学们自己写出证明过程。
四、课堂小结
1、两个锐角互余的三角形是直角三角形。
2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。反过来讲也正确。
五、作业布置 P7练习题
教学反思：
直角三角形的性质的推论
重难点
重点：直角三角形的性质推论：
（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;
（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.
难点：
1.性质定理的证明方法.
2.性质定理及其推论在解题中的应用.
讲一讲
例1：已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，
∠A=30°，求BC，CD和DE的长
分析：由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC可求，由直角三角形斜边中线的性质可求CD.
在Rt△ADE中，有∠A=30°，则DE可求.
解：在Rt△ABC中
∵∠ACB=90 ∠A=30°∴
AB BC
2
1
∵AB=8 ∴BC=4
∵D为AB中点，CD为中线
∴
4
2
1
=
=AB CD
∵DE⊥AC，∴∠AED=90°
在Rt△ADE中，
AD
DE
2
1
=
，
AB
AD
2
1
=
∴
2
4
1
=
=AB DE
例2：已知：△ABC中，AB=AC=BC （△ABC为等边三角形）D为BC边上的中点，
DE⊥AC于E.求证：
AC CE
4
1
=
.
分析：CE在Rt△DEC中，可知是CD的一半，又D为中点，故CD为BC上的一半，因此可证.
证明：∵DE⊥AC于E，∴∠DEC=90°(垂直定义)
∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC ∠C=60°
∵在Rt△EDC中，∠C=60°，∴∠EDC=90°-60°=30°
∴
CD EC
2
1
=
∵D为BC中点，
∴
BC
DC
2
1
=
∴
AC
DC
2
1
=
∴
AC
CE
4
1
=
.
例3：已知：如图AD∥BC，且BD⊥CD，BD=CD，AC=BC.
求证：AB=BO.
分析：证AB=BD只需证明∠BAO=∠BOA
由已知中等腰直角三角形的性质，可知
BC
DF
2
1
=
。由此，建立起AE与AC之间的关系，
故可求题目中的角度，利用角度相等得证.
证明：作DF⊥BC于F，AE⊥BC于E
∵△BDC中，∠BDC=90°，BD=CD
∴
BC
DF
2
1
=
∵BC=AC ∴
AC
DF
2
1
=
∵DF=AE ∴
AC
AE
2
1
=
∴∠ACB=30°
∵∠CAB=∠ABC，∴∠CAB=∠ABC=75°∴∠OBA=30°
∴∠AOB=75°
∴∠BAO=∠BOA ∴AB=BO
练一练
1.△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，AE平分∠CAB。求证：AE=2CE。
2.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA。
求证：DE=DC。
3.如图：AB=AC，AD⊥BC于D，AF=FD，AE∥BC且交BF的延长线于E，若AD=9，BC=12，求BE的长。
4.在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等。
求证：AE=DF。
5.已知，如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，E为AC的中点，AB=6，求DE的长。
教学反思：
直角三角形的性质的练习
1．在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，若CD=5cm,则AB=
，三角形ABC 的面积=
2. 在直角三角形ABC 中，∠ACB=90度，CD 是AB 边上中线，图中有 个等腰三角形. 3．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，AB=6，求DE 的长。
4．已知：四边形ABCD 中，∠ABC= ∠ADC=90度，E 、F 分别是AC 、BD 的中点。
求证：EF ⊥BD B= 2∠C ，点D 在 BC 边上，且AD ⊥AC.求证：CD=2AB
6．在直角三角形ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=10，则AB=
顶角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高 ，三角形面积是 等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为 三角形ABC 中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC 边上的高AD=
7．Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=15°，AB 的垂直平分线交AC 于D,AB 于E, 求证AD=2BC.
8．已知：△ABC 中,AB=AC ，∠B=30°，AD ⊥AB ，
求证：2DC=BD
9.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=60 °，EF 是AB 的垂直平分线，判断CE 与BE 之间的关系
10．已知：∠ABC=∠ADC=90度，E 是AC 中点。求证：（1）ED=EB （2）图中有哪些等腰三角
D A
C B A
E F C B
A
形？
11、如图，AB 、CD 交与点O,且BD=BO ，CA=CO ，E 、F 、M 分别是OD 、OA 、BC 的中点。求证：ME=MF.
12、在等边三角形ABC 中，点D 、EF 分别在AB 、AC 边上，AD=CE ，CD 与BE
交与F,DG ⊥BE 。 求证：（1）BE=CD;
(2)DF=2GF
教学反思：
勾股定理的推导及应用
教学目标
知识与技能：1、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。
2、在勾股定理的探索过程中，体会数形结合思想，发展合情推理 能力。
过程与方法：1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
2、在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探究结 果。
情感、态度与价值观：
1、通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。
2、在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作 交流意识和探索精神。
教学重点：经历探索及验证勾股定理的过程。 教学难点：用拼图的方法证明勾股定理。
M F
E D C B A
G E F D
C
B
A
教学过程：
1、课前探究知识储备
请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多的寻找和了解验证勾股定理的方法，并填写探究报告。
方法种类及历史背景 验证定理的具体过程 知识运用及思想方法
提问：为什么我国科学家向太空发射勾股图试图与外星人沟通？
为什么把这个图案作为2002年在北京召开第24届国际数学家大会会徽？ 引出课题《勾股定理》 3、画图实践大胆猜想
沿着先人的足迹，开始勾股定理的探索之旅。
活动一：毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系。
（1）同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？
地面 图18.1-1
（2）你能找出图18.1-1中正方形A 、B 、C 面积之间的关系吗？
（3）图中正方形A 、B 、C 所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?
由等腰直角三角形中的发现，进一步提问：是否其余的直角三角形也有这个性质呢？学生们展开
活动二：在方格纸上，画一个顶点都在格点上的直角三角形；并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形，（四人小组每组成员所画图形相同，派小组代表前台投影展示）
（1）以斜边为边的正方形面积可以怎样求？ （2）三个正方形面积有何关系？ （3）直角三角形三边长有何关系？ （4）请大胆提出你的猜想。
学生在网格纸上按要求画图，然后回答给出的问题。进一步追问：
是否任意直角三角形三边都满足此关系？由学生归纳，得出命题：如果直角三角形的两直
角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么2
22c b a =+。设问：这是个真命题吗？
活动三：现有四个全等的直角三角形，两直角边为a 、b ，斜边为c ，请同学 们动手拼一拼。
（1）请用尽可能多的方法拼成一个正方形；
（2）请从你拼的图形中验证2
22c b a =+；
4、动手拼图定理证明
继续追问：你还有别的方法来验证这个结论吗？（请把你探究报告中了解的方法与大家一起分享）被证明为正确的命题称为定理
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么2
2c
2
+。
a=
b
5、学以致用体会美境
课件展示练习：
（1）求下图中字母所代表的正方形的面积。
（2）求下列图中表示边的未知数x、y的值。
（3）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__ _cm2。
（4）几何画板演示运动的勾股树。
6、总结升华
总结收获：通过本节课的学习，大家有什么收获？有什么疑问？你还有什么想要继续探索的问题？
结束寄语：
牛顿——从苹果落地最终确立了万有引力定律
我们——从朝夕相处的三角板发现了勾股定理
虽然两者尚不可同日而语
但探索和发现——终有价值
也许就在身边
也许就在眼前
还隐藏着无穷的“万有引力定律”和“勾股定理”……
祝愿同学们——
修得一个用数学思维思考世界的头脑
练就一双用数学视角观察世界的眼睛
开启新的探索——
发现平凡中的不平凡之谜……
教学反思：
勾股定理的逆定理
教学目标
知识与技能：1、体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2、探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
过程与方法：（1）通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展和形成的过程；
（2）通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数 形结合方法的应用。
情感、态度与价值观：
（1）通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数 与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系； （2）通过对勾股定理的逆定理的探索，培养了学生的交流、合作的 意识和严谨的学习态度。同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值。
教学重点：证明勾股定理的逆定理；用勾股定理的逆定理解决具体的问题。 教学难点：理解勾股定理的逆定理的推导。 教学过程
（1）复习
1、在直角三角形中，两直角边长分别是3和4，则斜边长是 。 。
2．一个直角三角形，量得其中两边的长分别为5㎝、3㎝则第三边的长是 。
3．要登上8 高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物6问至少需要多长的梯子？
（2）情境导入
1、在古代，没有直尺、圆规等作图工具，人们是怎样画直角三角形的呢？ 【实验观察】
用一根打了13个等距离结的细绳子，在小黑板上，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起．然后用三角板量出最大角的度数．可以发现这个三角形是直角三角形。（这是古埃及人画直角的方法）
2、 用圆规、刻度尺作△ABC ，使AB=5㎝，AC=4㎝，BC=3㎝，量一量∠C 。
再画一个三角形，使它的三边长分别是5㎝、12㎝、13㎝，这个三角形有什么特征？
3、为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的关系？（学生分组讨论，教师适当指导）
学生猜想：如果一个三角形的三边长c b a ,,满足下面的关系2
22c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
4、指出这个命题的题设和结论，对比勾股定理，理解互逆命题。 （3）探究新知
1、探究：在下图中，△ABC 的三边长a ，b ，c 满足2
22c b a =+。如果△ABC 是直角三角
形，它应该与直角边是a ，b 的直角三角形全等。实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形A ‘B ’C ‘， 使∠C ’=90°，A ‘C ’=b ，B ‘C ’=a 。把画好的△A ‘B ’C ‘ 剪下，放到△ABC 上，它们重合吗？（学生分组动手操作，教师巡视指导）
2、用三角形全等的方法证明这个命题。（难度较大，由教师示范证明过程）
已知：在△ABC 中，AB=c ，BC=a ，AC=b ，并且2
22c b a =+，如上图（1）。 求证：∠C=90°。
证明 : 作△A ’B ’C ’，使∠C ’=90°，A ’C ’=b ， B ’C ’=a ，如上图（2），
那么A ’B ’2
=22b a +（勾股定理）
又∵2
22c b a =+（已知）
∴A ’B ’2
=2c ，A ’B ’=c (A ’B ’＞0)
在△ABC 和△A ’B ’C ’中， BC=a =B ’C ’ CA=b =C ’A ’ AB=c =A ’B ’ ∴△ABC ≌△A ’B ’C ’(SSS) ∴∠C=∠C ’=90°，
∴△ABC 是直角三角形
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
【强调说明】（1）勾股定理及其逆定理的区别。
（2）勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理。 如果原命题成立，那么逆命题也成立吗？你能举出互为逆定理的例子吗？ （4）应用举例
1、例题 判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形: （1）15=a ，8=b ，17=c ； （2）13=a ，14=b ，15=c 。
2、像15、8、17这样，能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数。你还能举出其它一组勾股数吗？
（5）练习巩固
1. 判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形: （1）7=a ，24=b ，25=c ； （2）5.1=a ，2=b ，5.2=c ；
（3）
45=a ，1=b ，43=
c ； （4）40=a ，50=b ，60=c 。
2．如果三条线段长a ，b ，c 满足2
22b c a -=，这三条线段组成的三角形是不是直角三角
形?为什么?
3.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
（6）、课堂总结
通过这节课的学习，你有什么收获？还有什么困惑？
这节课我们学习了：
1、勾股定理的逆定理。
2、如何证明勾股定理的逆定理。
3、互逆命题和互逆定理。
4、利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。
（7）作业布置
P16习题
教学反思：
勾股定理知识总结
一、勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）
要点诠释：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
二、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：
用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2 三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别： 勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； a b c 联系： 勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 四：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a2+b2＝c2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 勾股定理的练习 填空题： 1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c= 。 （2）b=8，c=17，则S △ABC= 。 2.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，则这个三角形是 （按角分类）。 3. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为 。 4．传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为 厘米, 厘米, 厘米,其中的道理是 。 5.命题“对顶角相等”的逆命题为 ,它是 命题.(填“真”或“假”) 6．观察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；……；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子： 7．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图(最早由三国时期的数学家赵爽给出的)．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积． 因而c 2＝ ＋ ,化简后即为c 2＝ ． 8．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是 。 选择题： 9．观察下列几组数据形的三边长的有( )组 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4