初等数论期末复习资料

数论教案

§1整数的整除 带余除法

1 整数的整除

设a,b 是整数,且b ≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b 整除a,记为b|a,也称b 是a 的因数,a 是b 的倍数. 如果没有整数q,使得a=bq,则称b 不能整除a,记为b?a.例如 2|4, 4|-12, -5|15; 2?3， -3?22. 在中小学数学里,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负. 判断是否b|a 当a,b 的数值较大时,可借助计算器判别.

如果b 除a 的商数是整数,说明b|a;如果b 除a 的商不是整数,说明b?a. 例1判断下列各题是否b|a(1) 7|127 (2) 11|129 (3) 46|9529 (4) 29|5939 整除的简单性质

(1)如果c|b,b|a,那么c|a;

(2)如果d|a,d|b,那么对任意整数m,n,都有d|ma+nb.

(3)如果

12,,,n a a a L 都是m 的倍数,12,,,n q q q L 是任意整数,那么

1122n n q a q a q a +++L 是m 的倍数.

(4)如果c|a,d|b,那么cd|ab 。

例如： 2|4,2|(-6),那么2|4+(-6),2|4-(-6). 2|4,3|(-6),那么2×3|4×(-6). 例2证明任意2个连续整数的乘积,一定可被2整除. 练习 证明任意3个连续整数的乘积,一定可被3整除. 2.带余除法

设a,b 是整数,且b>0,那么有唯一一对整数q,r 使得 a=bq+r,0≤r ＜ b . (1) 这里q 称为b 除a 的商,r 称为b 除a 的余数.

例如-5=3×(-2)+1 5=3×1+2 -5=(-3)×2+1 5=(-3)×(-1)+2 15=(-5)×(-3), -24=(-2)×12. 事实上,以b 除a 的余数也可以是负的.例如 -5=3×(-1)-2=3×(-2)+1.

求b 除a 的余数,也称为模运算(取余):mod.可用计算器进行.

具体操作:输入a-按mod(取余)键-输入b-按=键得出余数.如果b 除a 的余数=0,则b|a;如果b 除a 的余数≠0,则b?a.

例3 利用计算器求余数:

(1) 7除127;(2)11除-129 ;(3)46除-9529;(4)-29除5939 奇数、偶数及性质

能被2整除的整数称为偶数.如,0,4,10,-6,-8都是偶数. 不能被2整除的整数称为奇数.如,-5,-3,1,7,11都是奇数. 偶数的形式为2n(n 是整数);奇数的形式为2n-1(n 是整数).

奇数、偶数的性质: 偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,

偶数×偶数=偶数,偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数.

例如 2+4,2-4,3+1,3-1,3+4,6+5

设a,b 是任意两个整数,则a+b 与a-b 同奇同偶. 例如3+5,3-5,6+3,6-3,

例4设a,b,n 是任意3个整数,而且22

2a b n -=,证明n 是偶数.

例5设a 是任一奇数,试证明8|2

1a -.

例6设n 是正整数,证明形如3n-1整数不是完全平方数.

证明 对任意整a,设a=3q 或a=3q ±1,于是

2

a =92q 或 2a =92q ±6q+1=3(32q ±2q)+1.

即

2

a

≠3n-1,故3n-1不是完全平方数.

练习 设n 是正整数,证明形如4n-1、4n+2的整数都不是完全平方数. 习题:P3-4:1t,2t.

§2公因数、最大公因数

1.最大公因数、辗转相除法

中小学里的公因数、最大公因数的概念：

几个数的公有因数叫做这几个数的公因数.公因数中最大的整数称为这几个数的最大公因数. (1)几个数:不能确定;(2)因数、公因数:都是正整数; 最大公因数:没有专门的符号. 定义设1

2,,,n a a a L ,d 都是整数,d ≠0,如果i d a ,i=1,2,…,n,称d 是

12,,,n a a a L 的公因数,12,,,n a a a L 的公因数中最大的整数称为最大公因数.记为12(,,,)n a a a L .如果12(,,,)n a a a L =1,则

称12,,,n a a a L

互质。

例1 (-6,8)=2,(-3,6,-9,15)=3,(1,2,3,-4)=1.

在中小学数学里,求正整数a,b 的最大公因数主要有这个样几种方法：

(1)观察法；

(2)将a,b 的所有公因数都求出来,再从中挑最大的； (3)用短除法.

辗转相除法:设a,b 是正整数,而且有

111,0;a bq r r b =+<<

12221,0;b rq r r r =+<< 123332,0;r r q r r r =+<<

…………… （*）

211,0;n n n n n n r r q r r r ---=+<<

11.n n n r r q -+=

(,)n a b r =。

例2用辗转相除法求(123,78),

练习:用辗转相除法求(66,54).

下面说明辗转相除法的正确性.先证明

性质1设整数a,b,c 不全为0,而且有整数q 使得a=bq+c 则(a,b)=(b,c). 证明 由a,b,c 不全为0知,(a,b)、(b,c)都存在.

因(a,b)|a,(a,b)|b,c=a-bq,得(a,b)|c,又得(a,b)≤(b,c); 反之,由(b,c)|b,(b,c)|c,a=bq+c,得(b,c)|a,(b,c)≤(a,b). 所以(a,b)=(b,c). 由(*)式知

1210,

n n b r r r r ->>>>>>L 而n 是有限正整数,再由性质1得

112(,)(,)(,)a b b r r r ===…=211(,)(,)(,0)n n n n n n r r r r r r ---===.

2.最大公因数的性质 最大公因数的几个性质：

性质2 (am,bm)=(a,b)m,m>0.(短除法的根据) 例3求(84,90),(120,36).

(84,90)=3(28,30)=6(14,15)=6.(120,36)=12(10,3)=12. 性质3 (a,b)=(|a|,|b|). 性质4 (a,b,c)=((a,b),c).

例4求(-84,120),(-120,-72),(24,-60,-96).

例5设n 是任意整数,证明31

52

n n ++是既约分数.

证明 设d=(3n+1,5n+2),则d|3(5n+2)-5(3n+1),即d|1,d=1，

所以3n+1与5n+2互质.

作业 1.利用辗转相除法求(84,90). 2.求(120,36).

3.设n 是整数，证明

31

72

n n ++是既约分数。

§3整除的进一步性质及最小公倍数

1.整除的进一步性质

推论1设a,b 不全为零,那么有s,t ∈Z 使得as+bt=(a,b). 证明 将(*)中每式中的余数解出得

21n n n n

r r r q --=-,

1321

n n n n r r r q ----=-,…,

212

r b rq =-,

11

r a bq =-,再将

1221,,,,n n r r r r --L 的表达式依次代入到21n n n n r r r q --=-中就得au+bv=n r =(a,b)=d,u,v ∈Z.

例1用辗转相除法求(120,54),并求整数u,v 使得

120u+54v=(120,54).

解∵120=2×54+12,54=12×4+6,12=6×2,∴(120,54)=6. 12=120-2×54,6=54-12×4=54-(120-2×54)×4 =120×(-4)+54×9. ∴ u=-4,v=9.

练习用辗转相除法求(84,45),并求整数u,v 使得

84u+45v=(84,45).

设a,b 都是正整数,问a,b 的公因数与最大公因数有什么关系 例2 ①求(12,18)及12与18的所有正的公因数；

通过这个例子,请同学们观察最大公因数与公因数有何关系能否提出自己的猜想能否证明自己的猜想

性质1 设d 是a,b 的最大公因数,那么,a,b 的任一公因数都是d 的因数.

证明 如果d=(a,b),由性质2有u,v ∈Z 使得au+bv=d.设s 是a,b 的任一公因数,则s|au,s|bv,且s|au+bv,即s|d.

性质2如果d=(a,b),则(

,a b d d

)=1.

性质3如果(a,c)=1,且c|ab,则c|b. 性质4如果(a,c)=1,则(ab,c)=(b,c). 性质5如果(a,b)=1,且a|c,b|c,则ab|c. 例3证明 三个连续整数的积一定可被6整除. 2最小公倍数

定义 如果m 是

12,,,n a a a L 中每一个数的倍数,则称m 是整数

12,,,n

a a a L 的一个公倍数.

12,,,n

a a a L 的公倍中最小正整数称为

12,,,n

a a a L 的最小公倍数.用

[

12,,,n a a a L ]来表示.

例如 [2,4,-3]=12,[15,12,20]=60,[6,10,15]=30.

定理3 [

12,,,n a a a L ]=[|1a |,|2a |,…,|n a |].

定理4 设a,b 是两个正整数,则 (i)a,b 的任一公倍数是[a,b]的倍数；

(ii)[a,b]=

(,)ab

a b .而且若(a,b)=1,则[a,b]=ab.

证明(i)设m 是a,b 的任一公倍数,而且m=t[a,b]+r,0≤r<[a,b]

,因m,[a,b]都是a,b 的公倍数,由r=m-t[a,b]知r 也是a,b 的公倍数,若0

(ii)记d=[,]ab

a b ,则d 是整数,由a|[a,b],a|[a,b]及

[,]a a b d b =,

[,]b a b d a =

知d|a,d|b,即d 是a,b 的公因数.

设h 是a,b 的任一公因数,由ab b a

a b h h h ==是a,b 的公倍数及TH16知[a,b]|ab h ,即[,]ab d Z a b h h

=∈,所以h|d,

(a,b)=d,从而(a,b)=

[,]ab

a b .

定理5 设

12,,,n a a a L 都是正整数,令

122[,]a a m =,233[,]m a m =,…,1[,]n n n m a m -=,则12[,,,]n n a a a m =L .

定理19设

12,,,n a a a L 是n(≥2)个正整数,且两两互素,则

12[,,,]n a a a =L 12n a a a L

例2 求[123,456,-789]

例3 求正整数a,b,满足:a+b=120,(a,b)=24,[a,b]=144.

例14设a,b,c 是正整数,则[a,b,c]=

(,,)abc

ab bc ca

作业:P14:1.

2.求(84,45),并求整数u,v 使得84u+45v=(84,45) .

§4质数 算术基本定理

1.质数

定义设整数a>1,如果a 除了1和a 外再无其它正因数,则称a 为质数,也称为素数.否则,称a 为合数. 2,3,5,7,11都是质数，4,6,8,9,10都是合数.

1-100内有素数25个,1-1000内有素数168个,1-10000内有素数1229,10万内有素数9592个,100万之内78498个.

定理1设整数a>1,则a 除1外的最小正因数q 是素数,而且当a 是合数时,q ≤

.

证明 假定q 是合数,设q=bc,1

若a 是合数,设a=qm,由q 的最小性知a=qm ≥qq,即q ≤

.

素数判定定理 设整数a>1,不超过

所有素数为

12,,,k p p p L ,如果i p ?a,i=1,…,k,则a 为素数.

例1 以下正整数哪个是素数哪个是合数 231,89,103,169.

素数判别威尔逊定理:设整数p>1,那么p 是素数的充分必要条件是 p|(p-1)!+1. 例2 利用威尔逊定理判别3,5,7,11都是素数.

当p 较大时,(p-1)!+1的数值非常大,在实际运用时不可行。 定理2 设P 是素数,a 为任一整数,则或P|a,或(P,a)=1.

证明 因(P,a)|P,P 为素数,所以(P,a)=P,或(P,a)=1.即P|a,或(P,a)=1.

2.整数的唯一分解定理

定理3 任何a>1的整数都有标准分解式:a=12

12k k

p p p αααL (3)

这里

12,,,k p p p L 为不同素数,整数0i α>,i=1,…,k.

推论

1 若正整数

a>1

的标准分解式为

a=

1212k

k

p p p αααL ,则a 的正因数d 为

d=

1212k

k p p p βββL ,0i i βα≤≤,i=1,…,k.而且a 有不同的正因数12(1)(1)(1)k ααα+++L 个.

推论2设a=

1212k

k

p p p αααL ,b=

1212k

k p p p

βββL ,0i

α≥,0i β≥,i=1,…,k.

则

(1)(a,b)=1

2

12k

k

p p p γγγL ,[a,b]=1

2

12k

k

p p p δδδL ，

其中min(,)i

i i γαβ=,max(,)i i i δαβ=,i=1,…,k.

(2)a,b 共有正公因数12(1)(1)(1)k γγγ+++L 个;

(3)a,b 共有公因数

122(1)(1)(1)k γγγ+++L 个.

例3 求725760,154200的标准分解式,并求它们的最大公因数和最小公倍数.

解 因725760=82×5×11×41, 154200=32×3×2

5×257,

所以(725760,154200)=

3

2

×5, [725760,154200]=8

2×3×2

5×11×41×257.

例4求下列各组数的最大公因数及其公因数的个数:

(1)123,78；(2)120,54.

练习:求下列各组数的最大公因数及其公因数的个数:

(1)125,70；(2)140,56.

例8设p,q 都是大于3的素数,证明24|22

p q

-.

3质数的多少和质数的求法

定理4 素数有无穷多个.

证明 反证法,设质数只有k 个:

12,,,k p p p L ,令121k M p p p =+L ,

M>1,于是M 有素数因数p.因

i p ?M,i=1,2,…,k,p|M,所以p ≠i p ,i=

1,2,…,k.这就是说,

12,,,k p p p L ,p 是k+1个不同素数.这与假设矛盾.

1-n 之间的所有素数怎样求出来

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

按以下步骤进行：

(1)删去1，剩下的后面的第一个数是2，2是素数；

(2)删去2后面被2整除的数(从4开始),2后面剩下的第一个数3是素数； (3)删去3后面的被3整除的数(从9开始),3后面剩下的第一个数5是素数； (4)删去5后面的被5整除的数(从25开始),5后面剩下的第一个数7是素数； ? ?

现在表中剩下的就全为素数了:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97. 对较小范围内的素数以上求法方便,对较大范围内的素数,需要编程求素数了. 现在运行程序,求较大范围内的素数.找两个同学来求.

作业:1.判别1577是否为素数;:5t；

3.求725760,154200的标准分解式,并求它们的最大公因数和最小公倍数,并求它们的所有公因数的个数。

§5 函数[x],{x}及其应用

1. 函数[x],{x}的定义

定义1 设x是实数,以[x]表示不超过x的最大整数，称它为x的整数部分，又称{x} = x ? [x]为x的小数部分。例1 []=3,[]=-4,[]=-1,[]=0,[π]=3,[-π]=-4.

性质设x与y是实数,则

(1)x?y?[x]?[y]；

(2)若m是整数,?[m?x]=m?[x]；

(3)若0?x<1,则[x]=0；

(4)(带余除法)设a,b是整数,且b>0,则a=b []

a

b+b

{}

a

b.

设a=bq?r,0?r

q

b b

=+

,故

[]

a

b=q,

{}

a r

b b

=

,所以a=b

[]

a

b+b

{}

a

b.

(5)设a与b是正整数,则1-a中能被b整除的整数有[]

a

b个。

证明能被b整除的正整数是b,2b,3b,?,因此,若数1,2,?,a中能被b整除的整数有k个,则kb?a<(k+1)b?k?a

b

[]

a

b.

例2 不超过101且是5的倍数的正整数有[101

5]=20个,100-500的整数中7的倍数的正整数有[

500

7]-[

99

7]=71-14=57.

2. 函数[x]的应用

设p

是素数,n是整数,如果

k

p

│n,

1

k

p+

?n,则称

k

p

恰好整除n.

例3设p

是素数,那么在1-n的整数中,恰好被

k

p

整除的整数有多少个

定理1 在n!的标准分解式中,质因数p的指数是

h=[n

p]+[2

n

p]+[3

n

p]+…

证明在1,2,3,…,n中,

① 恰被p 整除的整数有[

n

p ]-[2

n p ]个;

② 恰被p 整除的整数有[

2n p ]-[

3n p ]个;

③ 恰被p 整除的整数有[3n p ]-[4

n p ]个;…,

④ 恰被p 整除的整数有[r

n p ]-[

1

r n p +]个,…,于是

h=[

n

p

]-[2

n p ]+2([

2

n

p ]-[

3

n p ])+3([3

n p ]-[

4

n p ])+…+r([

r

n p ]-[

1

r n p +])+…=[

n

p

]+[2

n p ]+[

3

n

p ]+….

性质 [

1

r n p +]=[[

r

n p ]/r].

例3 求50!的标准分解式中,素数2,3,5的指数,并确定50!的十进制数的末尾0的个数. 练习1:200-300的整数中,求11的倍数的整数的个数.

练习2:60!的十进制数的末尾0的个数. 作业P23:1t.

2t,求100!的十进制数的末尾0的个数.

习题课

第二章 不定方程

§1二元一次不定方程 1.二元一次不定方程概念

例1百鸡问题:“鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱3,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何” 设百钱买鸡翁、鸡母、鸡雏分别x 只、y 只、z 只.依题意得 x+y+z=100,且5x+3y+z/3=100. 整理得 14x+8y=200且x+y+z=100.

这里要求x,y,z 都是非负整数.14x+8y=200称为二元一次不定方程.

二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c,(a,b,c ∈Z).如果整数m,n 满足am+bn=c, 则称m,n 为ax+by=c 的一组整数解,ax+by=c 的一组已知整数解,也称为特解. 2.二元一次不定方程解法

定理1二元一次不定方程ax+by=c 有整数解的充分必要条件是,(a,b)|c.

证明 若不定方程ax+by=c 有整数解m,n,则am+bn=c,因为(a,b)|a,(a,b)|b,所以 (a,b)|am+bn,即(a,b)|c.

反之,若(a,b)|c,设c=t(a,b).由第一章§3定理1知,有整数u,v 使得au+bv=(a,b),两边都乘以t 得aut+bvt=t(a,b)=c,即ut,vy 是ax+by=c 的整数解。

定理2二元一次不定方程 ax+by=c,(a,b)=1 (1) 有整数解m,n,则方程的一切整数解为

x=m-bt,y=n+at,t ∈Z,或x=m+bt,y=n-at,t ∈Z. (2) 证明 易知?t ∈Z,由(2)得到的整数x,y 都是方程(1)的解.

设x,y 是(1)的任一整数解,于是ax+by=c,am+bn=c ，所以a(x-m)+b(y-n)=0,又得 a(x-m)=-b(y-n),从而b|a(x-m).因为(a,b)=1,所以b|(x-m),设x-m=bt,t ∈Z,a(x-m) =-b(y-n)得y-n=-at,这样就得x=m-bt,y=n+at,t ∈Z. 3.例子与应用

例1 求14x+8y=200的一切整数解和所有非负整数解. 例2 求111x-321y=75的一切整数解.

例3 甲物品每件12元，乙物品每件18元，现用100元钱去买这两种物品，若要求每种物品至少买1件，且尽量不剩或少剩钱，问甲乙物品各买多少件 作业P31:1(a),2.

§2多元一次不定方程

n 元一次不定方程的一般形式为 1122n n a x a x a x N

+++=L (1)

其中

12,,,,n a a a N Z

∈L .n ≥2是整数.

Th1 不定方程(1)有整数解充分必要条件是,(12,,,n

a a a L ) |N.

例1求9x+24y-5z=1000的一切整数解.

解 因(9,24,-5)=1,所以不定方程有整数解,因(9,24)=3,可设9x+24y=3u,于是 ①3x+8y=u, ②3u-5z=100

①的通解为x=u-8s,y=-u+3s,s ∈Z,②的通解为u=5t,z=-20+3t,t ∈Z. 故原不定方程的通解为x=5t-8s,y=-5t+3s,z=-20+3t,s,t ∈Z.

例2 把17/60写成分母两两互质的三个既约分数之和.

解 因60=3×4×5,设

1760345x y z =++,整理得20x+15y+12z=17.因(20,15,12=1,不定故方程有整数解,设20x+15y=5u,则 ①4x+3y=u, ②5u+12z=17.

①的通解为

x=u-3s,y=-u+4s,s ∈Z,②的通解为

u=1-12t,z=1+5t,t ∈Z. 故原不定方程的通解为

x=1-12t-3s,y=-1+12t+4s,z=1+5t,s,t ∈Z.

所以，

17112311241560345t s t s t ---+++=++.当t=s=0时,x=-y=z=1,此时有 1711160345-=++

. 作业:1求3x+6y-5z=15的一切整数解.

§3 勾股数

1.不定方程222x y z +=

不定方程222

x y z +=的一组整数解(x,y,z)称为一组勾股数.

例如,(3,4,5),(6,8,10),(9,12,15),(8,15,17)等都是勾股数.

定理 不定方程222

x y z +=， (1)

满足x>0,y>0,z>0,(x,y)=1,2 |x (2)

一切正整数解可由下式表出：x=2ab,y=22a b -,z=22

a b + (3)

其中a>b>0,(a,b)=1,a,b 一奇一偶. (4) ① a=2,b=1,x=4,y=3,z=5; ②a=3,b=2,x=12,y=5,z=13; ③ a=4,b=1,x=8,y=15,z=17; ④a=4,b=3,x=24,y=7,z=25; ⑤ a=5,b=2,x=20,y=21,z=29; ⑥a=5,b=4,x=40,y=9,z=41. 2.其它不定方程

例3 求不定方程的全部整数解 ①xy=6, ②xy-x+y-4=0.

解① x=±1且y=±6,或x=±6,且y=±1,或x=±2,且y=±3,或x=±3,且y=±2。 ②原方程可变为(x+1)(y-1)-3=0,即(x+1)(y-1)=3.所以有

x+1=±1且y-1=±3,或x+1=±3,且y-1=±1.故得不定方程的全部整数解为 x=0,y=4;x=-2,y=-2;x=2,y=2,x=-4,y=0.

作业:1.写出不定方程222x y z +=的满足x>0,y>0,z>0,(x,y)=1,2 |x 的2组正整数解。

2.求不定方程xy-x-y-4=0的全部整数解.

第三章 同 余

§1同余的概念及其性质

1.同余及性质

定义 设m 是正整数,称m 为模.a,b ∈Z,如果a,b 被m 除所得的余数相同,则称a,b 对模m 同余,记为a ≡b(modm).如果a,b 被m 除所得的余数不同,则称a,b 对模m 不同余,记为a?b(modm).

例如 4≡7(mod3),6≡11(mod5),4?5(mod3),6?8(mod5).

定理1 整数a,b 对模m 同余的充分必要条件是,m|a-b,即a=b+mt,t ∈Z. 证明 必要性,若a ≡b(modm).可设a=msa=r,b=mua=r,s,u ∈Z,则a-b=m(s-u)=mt, T=s-u ∈Z.所以m|a-b,且a=b+mt.

充分性,设a=ms+1r ,b=mu+2r ,a-b=m(s-u)+1r -2r .因m|a-b,所以m|1r -2r ,但|1r -2r

|

,即a ≡b(modm).

同余的性质

甲:a ≡b(modm).

乙:若a ≡b(modm),b ≡a(modm).

丙:若a ≡b(modm),b ≡c(modm),则a ≡c(modm). 丁、戊:

1122(mod ),(mod ),a b m a b m ≡≡则

12121212(mod ),

(mod )

a a

b b m a a b b m +≡+≡

由此可得,若

1122(mod ),(mod ),,(mod )

k k a b m a b m a b m ≡≡≡L 则

12121212(mod ),(mod )

k k k k a a a b b b m a a a b b b m +++≡+++≡L L L L .

由此可得定理2. 2.同余的应用 (9)|a 的条件

设a=110101010n n i n n a a a a --++++L ,09,1,,,0i n a i n a ≤≤=≠L .则

因101i ≡(mod3(9)),i=1,…,n,则a 110

n n a a a a -≡++++L (modm),于是

3(9)|a ?是3(9)|10

n a a a +++L .

(11,13)|a 的条件

设a=110100010001000n n i n n a a a a --++++L ,0999,1,,,0

i n a i n a ≤≤=≠L .因

10001i ≡-(mod7(11,13)),则a 01(1)n

n a a a ≡-++-L (modm),于是

7(11,13)|a ?是7(11,13)|

01(1)n n

a a a -++-L .

例1 设a=5874192,b=435693,10

n a a a +++L =5+8+7+4+1+9+2=36,10

n a a a +++L

=4+3+5+6+9+3=30,所以9|a,3|b.

例2若a=637693,

01(1)n n

a a a -++-L =693-637=56,

7|56,11?56,13?56,所以7|5a,11?a6,13?a. 作业：:2.

§2 剩余类及完全剩余系

1.模m 的剩余类及完全剩余系

设m 是正整数,Z 是整数集,令r

K ={mt+r|t ∈Z},r=0,1,…,m-1,则

0K ,1K ,…,1m K

-称为模m 的剩余类.

易知,?a,b ∈r

K ,则a ≡b(modm).称a 为r

K 中其它数的剩余.

设

r r

a K ∈,r=0,1,…,m-1,称

0a ,1

a ,…,1m a -为模m 的完全剩余系.

定义 设m 是正整数,0,1,…,m-1称为模m 的非负最小完全剩余系.

m 为偶数时,

,1,,1,0,1,,1,-1,,1,0,1,,22222m m m m m -

-+--+-L L L L 或称为模m 的绝对最小完全剩余系；m 为奇数

时,

11

,,1,0,1,,22m m ---

-L L 称为模m 的绝对最小完全剩余系. 例1 m=6,模6的剩余类为

0K ,1K ,2K ,3K ,4K ,5

K ,0,1,2,3,4,5是模6的一个完全剩余系,1,2,3,4,5,6也是模6的一个完全剩余

系.-3,-2,-1,0,1,2;-2,-1,0,1,2,3都是模6的完全剩余系,称为模6的绝对最小完全剩余系.

例2 m=5时,0,1,2,3,4;-2，-1,0,1,2分别叫做模5的非负最小完全剩余系和绝对最小完全剩余系. 2.完全剩余系的判定

定理1 m 个整数1a ,2a ,…,m a 为模m 的完全剩余系的充分必要条件为，1a ,2a ,…,m a

对模m 两两不同余.

定理2 设m 是正整数,(a,m)=1,b ∈Z,

1x ,2x ,…,m x

是模m 的一个完全剩余系,则

1ax b +,2ax b

+,…, m ax b +是模m 的一个完全剩余系.

证明 对j ≠i,m?

()

j i x x -,因为

()()

j i j i ax b ax b a x x +-+=-,且(a,m)=1,于是m?

()

j i a x x -,所以m?

()j i ax b ax b +-+.j ax b +?i ax b +（modm ）,i,j=1,2,…,m, j ≠i,从而1ax b +,2ax b

+,…,m ax b +是模m 的一个完

全剩余系.

例3 ①写出模9的一组完全剩余系,它的每一个数都是偶数; ②写出模9的一组完全剩余系,它的每一个数都是奇数. 作业：1.分别写出模7、模8的非负最小完全剩余系、绝对最小完全剩余系.

3 简化剩余系与欧拉函数

1.简化剩余系、欧拉函数

定义若模m 的一个剩余类里的数与m 互质,则称这个剩余类为与模m 互质的.

对与模m 互质的全部剩余类,从每一类里任取一数组成的集合,叫做模m 的简化剩余系. m=6时,

1K ,5K 是全部与模m 互质的剩余类,1,5是模6的简化剩余系.m=8时, 1K ,

3K ,5K ,7

K 是模8的简化剩余系.

定义设a 是正整数,欧拉函数()a ?=0,1,…,a-1中与a 互质的整数的个数. 例如(1)?=1,(2)?=1,(3)?=2,(4)?=2,(5)?=4,(6)?=2,(7)?=6. 模m 的一个简化剩余系中含有()m ?个数。 2.简化剩余系的判定 定理1 模m 的剩余类

r

K 与模m 互质的?是?a ∈Z,使得(a,m)=1.与模m 互质的剩余类的个数是()m ?.模m 的每一个简化剩余系,是

由与m 互质的对模m 两两不同余的()m ?个整数组成.

定理3设m 是正整数,(a,m)=1,

1x ,2x ,…,()m x ?是模m 的一个简化剩余系,则1ax

,

2

ax ,…,

()

m ax ?是模m 的一个简化剩余系.

定理4若

1m ,2m 是互质的两个正整数,1x ,2x 分别通过模的简化剩余系,则1m 2x +

2m 1

x 通过模

1m 2

m 的简化剩余系.

推论 若

1m ,2m 是互质的两个正整数,则

1212()()()m m m m ???=. 定理5 设正整数a 的标准分解式为a=

12

12k k

p p p αααL ,则

()a ?=1

2

111

1122(1)(1)(1)k

k k p p p p p p ααα------L =

12111

(1)(1)(1)k a p p p -

--L

证明 在数列1,2,…,p-1,p,p+1,…,p+p-1,2p,……,

p(1p α--1)+1,…, p(1p α--1)+p-1,1

p α-p

中与

p α互质的整数有1

p

α-(p-1)个，即1

()(1)p p p αα?-=-.

作业P60:3.

§4欧拉定理 费尔玛定理及其应用 1.欧拉定理 费尔玛定理

定理1(Euler)设a,m ∈Z,m>1,(a,m)=1,则

)(mod 1)

(m a m ≡?. 证明取模m 的一个简化剩余系))

((,,,,21m s b b b s ?=Λ,由于(a ,m )=1,由§3定理3知,

s

ab ab ab ,,,21Λ也是模m 的一个简化剩余系，

于是

1212()()()(mod )

s s ab ab ab b b b m ≡L L ,即

()1212(mod )

m s s a b b b b b b m φ≡L L ,因(m,i b

)=1,i=

1,2,…,()m ?,所以(m,12(),,,m b b b ?L )=1,从而

)(mod 1)(m a m ≡?.证毕。 推论(费尔玛定理)设P 是素数,则1

1(mod )P a

P -≡,而且?a ∈Z,(mod )P a a P ≡.

证明 若p |a,则0P

a a ≡≡(modP)，若(a ,m )=1，则1

1(mod )P a P -≡，所以

(mod )P a a P ≡.

例1 设p,q 是不同的素数,证明

111P q q p --+≡(modpq). 证明 因p,q 是不同的素数,所以(p,q)=1,由费尔玛定理知,

11

1P q q p --+≡(modp), 111P q q p --+≡(modq).由同余的性质得,111P q q p --+≡(modpq).

例2设p ≠2,5为素数,整数a 的十进制数由p-1位,而且每一位上的数字都是9,证明p |a. 证明因p ≠2,5为素数,所以(10,p)=1,由费尔玛定理得,a=99…9=1

101P --≡0(mo

dp),即p |a.

例3 若变量x 取整数时,多项式P(x)=

01n

n b b x b x +++L 的值总为整数,则称P(x)

为整值多项式.证明,131

()

2730x x -是整值多项式.

证明 2730=2×3×5×7×13,当x 取整数值时,由费尔玛定理,

130x x -≡(mod13),即13|13x x -.

1376()(1)0x x x x x -=-+≡(mod7),即7|13x x -. 13584()(1)0x x x x x x -=-++≡(mod5),即5|13x x -.

133108642()(1)0x x x x x x x x x -=-+++++≡(mod3),即3|13x x -. 13211()(1)0x x x x x x -=-+++≡L (mod2),即2|13x x -.

因2,3,5.7.13两两互质,由整除的性质知,2×3×5×7×13|13

x x -，即2730|

13

x x -.故131

()2730x x -是整值多项式.

例4 今天是星期一，问从今天起再过10

1010

天是星期几

解 10≡3(mod7),221032≡≡(mod7), 33

1032361≡≡=≡-g

(mod7),所以 6101≡(mod7)。又因10≡-2(mod6), 221022≡≡-(mod6),故101024≡-≡(mod6)。

设10

1064k =+，k 为正整数,于是10

1064

64

10

10

101034k k +==≡-≡(mod7),这就是说，从今天起再过10

1010

天是星期五（1+4）。

例5求

2011

2011

2011被8除的余数。

作业:P64:1.例3 2.分数与循环小数

定义 如果无限小数0.

12n a a a L L

（

n a ∈

{0,1，…,9}）从任何一位数后不全为0,且能找到两个整数s ≥0,t ＞0,使得

s i s i kt

a a +++=,i=1,2,…,t,k=0,1,2,…. (*)

则称它为循环小数，并简记为0.112s s t

s a a a a a ++g

g

L L .

对满足(*)的最小正整数t,称1s s t a a ++g

g L 为循环节，称t 为循环节的长度.若最小的s=0,那小数就叫做纯循环小数，否则叫做混循环小数。

定理2有理数a

b ,0

b ,0

b <1及定义知 a

b =0.121t t a a a a a L L L =0.12t a a a L +121100.t

t t a a a a a -g L L L .于是 1210t

t a a a a b =L +0.121t t a a a a a L L L =q+a b .所以(101)t a bq -=,因(a,b)=1,所以b|101t -,设101t -=qb,则

10t qb -=1,故(b,10)=1. 充分性：如果(b,10)=1,由定理1知有一正整数t 使得101t ≡(modb),0

(101)t

qb a =-,

0(101)

101t t a

q b <=-<-.

令q=

12121101010t t t t

a a a a ---++++L ,显然

12,,,t

a a a L 不全为9,也不全为0.而且

10t q =120.t a a a L ,又由10t a qb a =+得11010t t a q a b b =+=1210.10t t a a a a b +L ，反复利用a b =1210.10t t a

a a a

b +L 即得a b =0.121t t a a a a a L L L =10.t a a g g

L .

定理3有理数a b ,0

αβ=g 不全为0,1(,10)b =1,11

b >,则a

b 能表成纯循环小数.其中不循环部分的位数是

max(,)μαβ=,

四章 同余方程

§1基本的概念及一次同余方程

1.同余方程的概念

定义 设f(x)=01n

n a a x a x +++L ,这里

i a Z

∈,i=0,1,…,是正整数,则称

f(x)=

01n n a a x a x +++≡

L 0(modm). (1)

为同余式,或模m 的同余方程.

若

n a ≡0(modm),n 称为同余方程(1)的次数.若a ∈Z 而且f(a)≡0(modm),则称

x ≡a(modm)为同余方程(1)的解.

例1 f(x)=2

3x x ++≡0(mod5)是模5的2次同余方程,由于f(1)=5≡0(mod5),因此

x ≡1(mod5)是同余方程的一个解.另外x x=

10

m t x +，

1/m m d

=,

t=0,±1,±2,…, (mod5)也是同余方程的一个解. 2一次同余方程

一次同余方程的一般形式：ax ≡b(modm),a ≡0(modm) (2) 例如 2x ≡3(mod5), 4x ≡8(mod7), 3x ≡9(mod11),

定理1 同余方程(2)有解的充分必要条件是,(a,m)|b.而且当(2)有解时,(2)对模m 来说有(a,m)个解. 证明 (2)有解的充分必要条件是ax-my=b 有整数解,充分必要条件是(a,m)|b.

设d=(a,m),如果(2)有解,则满足(2)的一切整数可以写成x=10m t x +,1/m tm d

=,

t=0,±1,±2,…,但对模m 来说,这些整数可以写成x ≡10

m t x +(modm),t=0,1,2,…,d-1.

而它们关于模m 两两不同余.

例2 解一次同余方程2x+6≡0 (mod4),

解 因(2,4)|6,由定理1,同余方程有(2,4)=2个整数解.设2x-4y=-6,则x-2y=-3,由此可得x=-1+2t,t ∈Z,所以同余方程的结为x ≡-1+2t(mod4),t=0,1.即x ≡-1(mod4) x ≡1(mod4).

例3 解一次同余方程12x+4≡0 (mod8),

因(12,8)=4,4|4,由定理1,同余方程有4个整数解.设12x-8y=-4,则3x-2y=-1,由此可得x=-1+2t,t ∈Z,所以同余方程的结为x ≡-1+2t(mod4),t=0,1,2,3. 即x ≡-1,1,3 5(mod8).

例4 解一次同余方程15x+6≡0 (mod9),

作业:1 解一次同余方程:12x-6≡0(mod9).

§2 孙子定理

中国古代的《孙子算经》中有物不知数：

今有物不知数,三三数之剩二，五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何答曰二十三.

设物的数量为x,则x ≡2(mod3),x ≡3(mod3),x ≡2(mod7).求满足此条件的整数x. 这个同余方程可推广为

x ≡1b (mod 1m ), x ≡2b (mod 2m ),…,x ≡k b

(mod k m ). (1)

这里

1m ,2m ,…,k m

为两两互质的正整数.

定理 设

1m ,2m ,…,k m 为两两互质的正整数,m=1m 2m …k m =i i m M

.i=1,2,…,k.则同余方程(1)的解为

x ≡

1112

22k k k M M b M M b M M b '''+++L (modm).

这里

1

i i M M '≡(mod

i

m ),i=1,2,…,k.

例1 解同余方程x ≡1b (mod5),x ≡2b (mod6),x ≡3b (mod7),x ≡4b

(mod11).

解m=2310=5·6·7·11=5·462=6·385=7·330=11·210.解1

i i M M '≡(mod

i

m ), i=1,2,

3,4得,

13,M '=2

1M '=,31M '=,41M '=.故原同余式组的解为

x=3·4261b +3852b +3303b +2104b

(mod2310).

例 2 韩信点兵:有兵一队,若列成五行纵队,则末行一人,若列成六行纵队,则末行五人, 若列成七行纵队,则末行四人, 若列成十一行纵队,则末行十人,求兵数.

解 此时

11b =,25b =,34b =,410

b =,由例1即得

x=3·426·1+385·5+330·4+210·10=6730≡2111(mod2310). 例3 解同余方程组x ≡2(mod3),x ≡3(mod3),x ≡2(mod7). 解 105=3×5×7=3×35=5×21=7×15.由35

11

M '≡(mod3),21

2

1M '≡(mod5),15

3

1M '≡(mod7)得

11M '=-,2

1M '=,31M '=.所以原同余方程组的解为

x=35·(-1)·2+1·21·3+1·15·2=23(mod105).

作业P79:1(i).

高中数学必修、选修全部知识点精华归纳总结

高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。

选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数

初等数论试卷和答案

初等数论试卷和答案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.

三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]= 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求 ??? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共 32分) 1、证明对于任意整数n ,数6233 2n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. 试卷1答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.

初等数论试卷

初等数论试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-=-=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( D ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;

初等数论总复习题及知识点总结

初等数论总复习题及知识点总结 最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题 的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经 说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相 当于只身来到宝库而空手返回而异。数论有丰富的知识和悠久的 历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅 导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马 大定理的阅读材料。初等数论自学安排第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时整除的定义、带余数除法最大公因数和辗转相除法整除的进一步性质和最小公倍数素数、算术基本定理[x]和{x}的性质及其在数论中的应用习题要求：2，3 ；：4 ；：1；： 1，2，5；：1。第二章：不定方程（4学时）自学12学时二元一次不定方程多元一次不定方程勾股数费尔马大定理。习题要求：1，2，4；：2，3。第三章：同余（4学时）自学12学时同余的定义、性质剩余类和完全剩余系欧拉函数、简化剩余系欧拉定理、 费尔马小定理及在循环小数中的应用习题要求：2，6；：1；： 2，3；1，2。第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时同余方程概念孙子定理高次同余方程的解数和解法素数模的同余方 程威尔逊定理。习题要求：1；：1，2；：1，2。第五章：二次同余式和平方剩余（4学时）自学12学时二次同余式单素数的平方剩余与平方非剩余勒让德符号二次互反律雅可比符号、素数模同

余方程的解法习题要求：2；：1，2，3；：1，2；：2；：1。第一章：原根与指标（2学时）自学8学时指数的定义及基本性质原根存在的条件指标及n次乘余模2及合数模指标组、特征函数习题要求：3。 第一章整除 一、主要内容整除的定义、带余除法定理、余数、最大公因数、最小公倍数、辗转相除法、互素、两两互素、素数、合数、算术基本定理、Eratosthesen筛法、[x]和{x}的性质、n！的标准分解式。 二、基本要求通过本章的学习，能了解引进整除概念的意义，熟练掌握整除整除的定义以及它的基本性质，并能应用这些性质，了解解决整除问题的若干方法，熟练掌握本章中二个著名的定理：带余除法定理和算术基本定理。认真体会求二个数的最大公因数的求法的理论依据，掌握素数的定义以及证明素数有无穷多个的方法。能熟练求出二个整数的最大公因数和最小公倍数，掌握高斯函数[x]的性质及其应用。 三、重点和难点（1）素数以及它有关的性质，判别正整数a 为素数的方法，算术基本定理及其应用。（2）素数有无穷多个的证明方法。（3）整除性问题的若干解决方法。（4）[x]的性质及其应用，n！的标准分解式。 四、自学指导整除是初等数论中最基本的概念之一，b∣a的意思是存在一个整数q，使得等式a=bq成立。因此这一标准作为

初等数论试卷模拟试题和答案

初等数论试卷一 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-= -=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10;

整理全面《高中数学知识点归纳总结》

整理全面《高中数学知识点归纳总结》

教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向 量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用

天津高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结

高三第一轮复习资料（个人汇编请注意保密） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等 函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线 与方程、导数及其应用。选修1—2：统计案例、推理与证明、 数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。选修2—2：导数及其应用，推理与证 明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其 分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平 面向量，圆锥曲线，立体几 何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运 算、简易逻辑、充 要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与 定义域、值域与最值、反函 数、三大性质、函数图象、 指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用

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引言 1.课程内容： 必修课程由5 个模块组成：教师版 2015 高中数学必修+选修知识点归纳 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充 必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3：算法初步、统计、概率。 必修 4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修 5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有 4 个系列： 系列 1：由 2 个模块组成。 选修 1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修 1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列 2：由 3 个模块组成。 选修 2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修 2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充 与复数 选修 2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列 3：由 6 个专题组成。 选修 3—1：数学史选讲。 选修 3—2：信息安全与密码。 选修 3—3：球面上的几何。选 修 3—4：对称与群。 要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、 反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函 数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列 求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、 倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数 的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积 及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、 不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、 线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥 曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、 平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理 及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正 态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 必修 1 数学知识点 第一章：集合与函数概念 §1.1.1、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体 叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合 相等。 选修 3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修 3—6：三等分角与数域扩充。 系列 4：由 10 个专题组成。 3、常见集合：正整数集合：N *或N + ，整数集合：Z ， 选修 4—1：几何证明选讲。 选修 4—2：矩阵与变换。 选修 4—3：数列与差分。 选修 4—4：坐标系与参数方程。 选修 4—5：不等式选讲。 选修 4—6：初等数论初步。 选修 4—7：优选法与试验设计初步。 选修 4—8：统筹法与图论初步。 选修 4—9：风险与决策。 选修 4—10：开关电路与布尔代数。 2.重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意 一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合 A 是集合 B 的子集。记作A ?B . 2、如果集合A ?B ，但存在元素x ∈B ，且x ?A ， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规 定：空集合是任何集合的子集. - 0 -

最全教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》

教师版2015高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充 与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案 例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充 要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最 值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指 数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列 求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、 倍、半公式、求值、化简、证明、三角函 数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积 及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、 不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、 线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥 曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、 平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理 及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正 态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 必修1数学知识点 第一章：集合与函数概念 §1.1.1、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体 叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集 合相等。 3、常见集合：正整数集合：* N或 + N，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R. 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意 一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合 B的子集。记作B A?. 2、如果集合B A?，但存在元素B x∈，且A x?，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规 定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有n2个子 - 1 - / 35

0初等数论试卷及答案

初等数论考试试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； < Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗】 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± （ 4．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡

初等数论知识点汇总

第一节 整数的p 进位制及其应用 正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即 012 21 11010 10 a a a a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且 01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。在我们的日常 生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m --=，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示： 012 21 1a p a p a p a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且 01≠-m a 。而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。 第二节 整数的性质及其应用（1） 基础知识 整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。 由整除的定义，容易推出以下性质： (1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；

高中数学知识点归纳总结》

教师版高中数学必修+选修知识点归纳

安徽·合肥郭建德老师整理 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二 项式定理及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、 抽样、正态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 必修1数学知识点 第一章：集合与函数概念 §

初等数论试卷

一、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.μ(2002)=_________； d(2002)=_________. 2.自然数225，226，…，240中的素数是_________. 3.n+2,2n+3,3n+1中必定互素的一组数是_________. 4.模7的绝对值最小简化剩余系是_________. 5.同余方程16x ≡6(mod 46)的解是_________. 6.不定方程3x+4y=5的通解是_________. 7.17|(2002n -1)，则正整数n 的最小值是_________. 8.满足?(n) =20的n 有多个，其中两个是_________. 9.弗罗贝纽斯(Frobenius)问题可表述为_________. 10.?? ? ??17954 =_________. 二、计算题(本大题共3小题，第1，2小题各7分，第3小题9分，共23分) 1.判断下面同余方程组是否有解，如有解则求出其解： ?? ???≡≡≡9).5(mod x 20),7(mod x 15),2(mod x 2.试求不定方程y 2+x=x 2 +y-22的所有正整数解. 3.判断同余方程x 2≡62(mod 113)是否有解，如有解，则使用高斯(Gauss)逐步淘汰法求其解. 三、论证题(本大题共4小题，第1，2小题各8分，第3小题10分，第4题11分，共37 分) 1.试证一个正整数的平方，必与该正整数的各位数码字的和的平方，关于模9同余。 2.设(a,m)=1,x 通过模m 的一个简化剩余系，试证ax 也通过模m 的简化剩余系. 3.设F n =n 22+1，试证(F n ,F n+1)=1. 4.试证在两继自然数的平方之间，不存在四个自然数a

初等数论知识点汇总

第一节整数的p进位制及其应用 正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m位的正整数A，其各位上的数字分别记为，则此数可以简记为：（其中）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的次多项式，即，其中 且，像这种10的多项式表示的数常常简记为。在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A的p进制表示： ，其中且。而仍然为十进制数字，简记为。 第二节整数的性质及其应用（1） 基础知识 整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数(因子)，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除记作。

初等数论试卷和答案

初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求 ??? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)

教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》

教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》 教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、 对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、 三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图

系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。选修3—1：数学史选讲。选修3—2：信息安全与密码。选修3—3：球面上的几何。选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。 - 1 - 系列4：由10个专题组成。选修4—1：几何证明选讲。选修4—2：矩阵与变换。选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，

02013初等数论两套试卷及答案

初等数论考试试卷（一） 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡，c 是任意整数，则 A ) (mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 5、如果( )，则不定方程c by ax =+有解. B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数，则存在( )整数r q ,，使r bq a +=，b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136，221，391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求? ?? ??563429，其中563是素数. （8分）

四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分) 1、证明对于任意整数n ，数62 332n n n + +是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. 初等数论考试试卷（一）答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ] [b a ). 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数，则存在( 唯一 )整数r q ,，使r bq a +=，b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136，221，391]=?（8分） 解 [136，221，391] =[[136，221]，391] =[391,17221 136?] =[1768，391] ------------(4分) = 173911768? =104?391 =40664. ------------（4分） 2、求解不定方程144219=+y x .（8分）