(理数)梅州市高三第二次总复习质检试卷

2009年梅州市高三总复习质检试卷

数学（理科）

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：

1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号填在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上 角“条形码粘贴处”。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂先做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作 答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积：Sh V 3

1=

，其中S 为锥体底面面积，h 为锥体的高.

一、选择题：本大题有8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z=（a2-1）+（a-1）i 为纯虚数，则a 的值为

A.1

B.-1 C ．1± D.0

2.已知A={0，1，2}，},2|{A a a x x B ∈==，则集合A ∩B= A.{0} B.{0,1} C.{1,2} D.{0,2}

3.某中学高一(1)班中段考试数学成绩的茎叶图如图1所示，那么优 秀率(90分以上)和最低分分别是 A.15%,15 B.15%,51 C.10%,51 D.10%，15

4．由几个棱长为1的正方体木块堆成的几 何体的三视图如图2所示，则该几何体的 体积是

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

5．以双曲线13

2

2

=-y x 的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是 A. y 2=4x B. y 2=-4x C.x y 242-= D ．y 2

=-8x 6.下列判断正确的是

A.命题“负数的平方是正数”不是全称命题

B ．命题“23,x x N x >∈?

”的否定是“2

3,x x N x <∈?” C ．“a=1”是“函数ax ax x f 2

2sin cos )(-=的最小正周期是π”的必要不充分条件

D ．“2±=a ”是“直线x+y-a=0与圆x 2+y 2

=1相切”的充要条件

7.先后连掷两次骰子分别得到点数m 和n ，则向量),(n m a =与向量)1,1(-=b 的夹角θ>900

的概率是 A ．

2

1 B.

3

1 C.

12

7 D.

12

5

8．已知函数1

cos sin 2cos 2)(2-+=x x x x f 的图象与g(x)=-1的图象在y 轴右侧的交点按 横坐标由小到大的顺序记为D 1，D 2，D 3，……，则||75D D = A.π B.

2

3π C.2π D.

2

5π

二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题(9～12题)

9．已知向量)4,2(),,8(a n a m ==，若n m //，则a= ________.

10.如图3，程序框图的输出结果S=______. 11．设函数?

?

?≥+-<+=.2,13,2,1log )(2

2x x x x x x f 若f(x 0)>1，则x 0

的取值范围是______.

12.某校开设9门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有_____种不同选修方案．（用数值作答） (二)选做题(13-15题)

13.（坐标系与参数方程选做题）过A(2，0)且倾斜角为3

π的直线l 的极坐标方程为

____________.

14.（不等式选讲选做题）若函数|

3|||)(x m x x f -+-= 的最小值为1，则m 的值为_______.

15.（几何证明选讲选做题）如图4，AB 是半圆O 的直径， BC 为半圆的切线，且BC=6，AB=8，则点O 到AC 的距离OD =_________.

三、解答题：本大题有6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把

答案做在答题卡相应题号的位置上，不能做在本卷内． 16．（本小题满分12分）

在△ABC 中，10

10

cos ,55==∞

B sA . (1)求角

C ； (2)设2=AB ，求AB 边上的高．

17.（本小题满分14分）

在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +c(c 为常数，n ∈N*），a 1、a 1、a 5成公比不为1的等比数 列．

(1)求c 的值；

(2)设1

1+=n n n a a b ，求证：数列{b n }的前n 项和1

2+=

n n S n .

18．（本小题满分12分）

广东某玩具厂生产x 套2010年广州亚运会吉祥物“乐羊羊”所需成本费用为P 元，且

210151000x x P ++=，而每套售出的价格为Q 元，其中),(R b a b

x

a Q ∈+=.

(1)问：该玩具厂生产多少套“乐羊羊”时，使每套“乐羊羊”所需成本费用最少？

(2)若生产出的“乐羊羊”能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套售价为 30元，求a 和b 的值． （利润=销售收入-成本）

19.（本小题满分14分）

如图5所示，BC 是△ABC 的外接圆直径，且∠CBA=600

，

32=BC ，点B 1，C 1在平面ABC 外，11//CC BB ，△BAC ∽

△C 1CB,131=AC .

(1)求证：CC 1⊥平面ABC ； (2)求多面体ABCC 1B 1的体积；

(3)D 是AC 上的点，当AB 1∥平面BDC 1时，求二面角C-BC 1-D 的正切值．

20.（本小题满分14分） 如图6,A 、B 是椭圆

)0(122

22>>=+

b a b

y

a

x

的右、上顶

点，O 是椭圆的中心，F 是椭圆的右焦点． (1)当OF=1且椭圆的离心率2

1=

e 时，求椭圆的标

准方程；

(2)设P 是椭圆上的一点，是否存在这样的椭圆使 OP ⊥AB 且PF ⊥OF 成立？请说明理由．

21．（本小题满分14分）

设函数f(x)定义域为R ，对于任意实数x 、y ，总有f(x+y)=f(x)f(y)，且当x>0时， 0

(1)证明：f(0)=1，且x<0时，f(x)>1；

(2)证明：f(x)在R 上单调递减，并举两个满足条件(1)、(2)的函数f(x)；

(3)设)}1()()(|),{(2

2f y f x f y x M >=，}

,1)2(|),{(R a y ax f y x N ∈=+-=，若M ∩N=φ，求a 的取值范围.

参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

1.B

2.D

3.C

4.B

5.D

6.D

7.D

8.A

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题(9-12题)

9.4或-4. 10. 20. 11.(1,2)∪(3,+∞). 12.75. （二）选做题(13-15题)

13．3)3

sin(=-θπρ 14.4或2. 15.5

12

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.解：(1)由1010cos ,55cos ==

B A ，得)2,0(π

∈B A 、，

.

10

3

sin ,5

2=

=

∴B nA t s …………………2分

=+-=)](cos[cos B A C π

B

A B A B A sin sin cos cos )cos(+-=+- 10103552?2

2

101055=?- ……………6分 且0

π

=

C …………8分

(2)根据正弦定理得

AC B

AC C

AB ?=sin sin 10

6sin sin =

?=C

B AB ................10分

∴AB 边上的高为5

2

6sin =

?A AC .....................12分

17.解：(1)∵a n+1=a n +c,a 1=1,c 为常数，∴a n =1+(n-1)c ，…………………………2分

∴a 2=1+c,a 5=1+4c ，又a 1,a 2,a 5成等比数列，∴(1+c)2

=1+4c,………4分 解得：c=0或c=2， 6分

当c=0时，a n+1=a n ，不合题意，舍去，∴c=2． ………………………………7分 (2)由(1)，得a n =2n-1，…………………………………………8分

=

=

+1

1n n n a a b 21

)

12)(12(1

=

+-n n )1

21

1

21

(

+-

-n n .............. 11分

则S n =b 1+b 2+…+b n

)51

31()311[(21-+-=)]121121(+--++

n n )1211(21+-=n 1

2+=

n n .

1

2+=

∴n n S n （也可以用数学归纳法证明）……………………………14分

18．解：(1)每套“乐羊羊”所需成本费用为：

=

++=

x

x

x x

P 2

101

5100051000

10

1++

x

x , .............2分 ≥++51000

101x

x 255100

2=+ ……4分 当且仅当

x

x 100010

1=

，即x=100时取等号，…………………………………5分

∴x=100时，每套“乐羊羊”所需成本费用最少，为25元．

答：生产100套“乐羊羊”时，使每套“乐羊羊”所需成本费用最少．……6分

(2)利润为)(b

x

a x P Qx +=-)105100(

2

x x ++- 100

)5()10

11(2

--+-=x a x b ……………………8分 由题意得???

????

=+=-

-.30150

,150)1011(25b a b a ………………10分

解得：a=25,b=30．……………………………………12分

19．(1)证明：∵BC 是△ABC 的外接圆直径，

∴∠CAB=900

,

∴△BAC ∽△C 1CB ，∴∠CAB=∠C 1CB-900

,

即CC 1⊥BC ， ………………………………………1分

由△BAC ∽△C 1CB, ∠CBA=600,得∠CBA=∠CC 1B=600

，

32=BC ，==

∴0

130tan BC CC 3

3

32? =2,AC=BCsin600

=32

3

32=?

， 131=AC ，2

12

2

1CC AC AC +=∴，

∴AC ⊥CC 1,…………………………………………………………………………3分

CC 1与BC 相交于点C ，∴CC 1⊥平面ABC ．………………………………………4分 (2)过点A 作AM ⊥BC 于M ，由(2)知CC 1⊥AM ，∴AM ⊥平面BC 1， ∴AM 是四棱锥A-BB 1C 1C 的高，可得2

3=

AM ……………6分

由(2)知，BB 1C 1C 是矩形，其面积342321

=?=?=C C BC S …7分 ∴多面体ABCC 1B 1的体积2

33

11

1?=-B BCC A V 3234=?（立方单位）． ………8分

(3)解法一：

连接B 1C 交BC 1于点E ，E 为B 1C 的中点，连接DE ． 则ED 是平面AB 1C 与平面BDC 1的交线，

AB 1∥平面BDC 1，∴AB 1∥ED ，E 为B 1C 的中点，

∴DE 是△AB1C 的中位线，∴D 是AC 的中点． ………………………………10分 过D 作DF ⊥BC 于F ，过F 作FG ⊥BC 1于点G ，连GD ． 由(1)知CC 1⊥DF ，∴DF ⊥平面BC 1，∴DF ⊥BC 1，

∴BC 1⊥平面FGD ，∴∠DGF 是所求二面角的平面角 …………………12分 Rt △CDF 中，可得4

341=

=

AC DF ，4

3

3=

CF ， -

=∴32BF 4

3

5433=

， Rt △BGF 中，可得8

3

52

1

=

=BF GF ， Rt △DGF 中，==

∠GF DF DGF tan 5328

3543

.=

. ∴二面角C —BC 1-D 的正切值为53

2 ..................... 14分

解法二：

以A 为原点，AB 为x 轴,AC 为y 轴，过点A 垂直于平面 ABC 的直线为z 轴，建立如图的空间直角坐标系A —xyz, 据已知和(1)可求得：A(0，0，0)，)0,0,3(B ，

)2,0

,3(1B ,C(0, 3,0),C1(0,3,2) .................9分 设D(0，x ，0)，则)0,,3(x BD -=，)2,0,3

(1=AB ， )2,3,0(1

--=x D C . ∵AB 1∥平面BDC 1，

+=∴BD m AB 1),(1

R n m D C n ∈， =∴)2,0,3()

2,)3(,0()0,,3(n n x xm m --+-. 因此有：??

?

??-=-+=-=.22),3(0,

33n x n xm m

解得；2

3=

x .

)0,2

3,

0(D ∴ ………………10分

[或用解法一得D 是AC 的中点，可求得)0,23,0(D ]．

设平面CBC 1的法向量为),,(1111z y x n =，

)0,3,3(-=BC ，)2,0,0(

1=CC ， 由BC n ⊥1得：01=?BC n ，033=+-∴y x ，x y 3

3

=∴. 又由11CC n ⊥得：011=?CC n ,∴ 2z 1=0,∴z 1=0. 令x=1，)0,3

3

,

1(1=∴n . 同理可求得平面BC1D 的法向量为)43

,1,23(

.

2-=n ………………12分 21,n n ∴的夹角的余弦值为=

),cos(21n n 37

516

37433323

=+

+37

37

5=

…………13分 可求得：5

3

2),tan(21=

n n ， ∴二面角C —BC 1—D 的正切为53

2 ........... 14分

20．解：(1)由2

1=

e ，得

4

12

2

=

a c

，

∴a 2

=4c 2

，又c=1，得a=2，………………3分 ∵a 2=b 2+c 2,∴b 2

=3.………………………5分

因此椭圆的标准方程是13

42

2

=+y x .........6分 (2)假设存在符合题设条件的椭圆． x p =c ，代入椭圆方程解得：a

b

y P

2

=. 而A(a ，0)，B(0，b)，则由OP ⊥AB ，得1-=?AB

k kop ， 即1)(2

-=-? a b

ac b ，即1)(2

2

222=--c

a c a c a ………………8分 就是11)1

(2=--e e e

，

可化为e 6-3e 4+4e 2

-1=0． 令u=e 2，则上述方程可化为三次方程：u 3-3u 2

+4u-1=0.……①…………9分

设f(u)=u 3-3u 2

+4u-1，

则f'(u)=3u 2-6u+4=3(u-1)2

+1>0，

∴三次函数f （u ）是增函数，…………………………………………………10分 又∵f(0)=-1<0，f(1)=1>0,

∴方程①存在唯一实根u=e 2

∈(0，1)，………………………………………12分 ∴存在唯一的离心率)1,0(∈=u e …………………13分

∴符合题设条件的椭圆是存在的．……………………………………………14分

21.解：(1)在f(x+y)=f(x)f(y)中，令x=1、y=0，得f(0)=1． 取y=-x ，则1=f(x-x ）=f(x)f （-x ），即)

(1)(x f x f -=

，

当x<0时，-x>0，又∵01．………………………4分 (2)设x 10，于是00,则 f(x 2)-f(x 1)=f[(x 2-x 1）+x 1]=f （x 2-x 1）f （x 1）-f(x 1) =f(x 1)[f （x 2-x 1）-1]<0．

∴f(x)在R 上单调递减．………………………………………………………8分 满足条件(1)(2)的函数可以是x x f )2

1

()(=或，x x f )3

2

()(=，等等．.........9分

(3)由f(x 2)f(y 2)>f(1)，得f(x 2+y 2)>f(1)，即x 2+y 2

<1 ………………10分 由f(ax-y+2)=1=f(0)，得ax-y+2=0．………………………………11分

由?=N M

，由数形结合知11

|2|2

≥+a

......................... 13分

解得实数a 的取值范围是]3,3[- ...................... 14分