3.4定积分的应用
§3.4 定积分的应用
一、平面图形的面积 1.直角坐标系 模型Ⅰ []121()()b
a S y x y x dx =
-ò
其中[]21()(),y x y x x a b 澄，
模型Ⅱ []221()()d
c S x y x y dy =
-ò
其中[]21()(),x y x y y
c d 澄，
注：复杂图形分割为若干个小图形，使其中每一个符合模型Ⅰ或模型Ⅱ加以计算，然
后再相加．
【例
l 】 求星形线2
22
3
33x y a +
=
所围图形的面积
解 用参数方程 3
cos x a t =,3sin y a t =
3
20
2
44
sin (3cos sin )a
S ydx a t a t t dt p ==-蝌
＝2
4220
12sin cos a
t tdt p
ò
.
＝2
42
20
12sin (1sin )a
t t dt p
-ò
＝2
38
a p
【例2】 求曲线2
2y x =在点112??
???
，处法线与曲线所围成图形的面积
解 先找出法线方程()12
11
1221
y yy y y
=''
===，，，
法线方程()13
1122
y x x y ?
?-=--
+= ?
??， 曲线22y x =和法线32x y +=
的另一交点为932??- ???
， 所求面积2
1
33162
23y S y dy -??
??=--= ???????? 2．极坐标系
模型Ⅰ 2
11()2S r d b a
q q =ò
模型Ⅱ 22
2211()()2
S r r d b a q q q 轾=-犏臌ò
3．参数形式表出的曲线所围成的面积
设 曲线C 的参数方程()
()x t y t j y ì=??í
?=??
()t a b ＃
()a j a =，()b y b =，()t j 在[]αβ，（或[]βα，）上有连续导数，且()t j ￠不变
号，()0t j 3且连续
则曲边梯形面积（曲线C 与直线x a =，x b =和x 轴所围成)
()()b a
S ydx t t dt b a
y j ￠=
=
蝌
二、平面曲线的弧长(数学一和数学二)
1．直角坐标系
设光滑曲线()y y x =，(a ≤x ≤b )[也即y (x )有连续的导数]
弧长 a
S =ò
而dS =
也称为弧微分 2.极坐标系
设光滑曲线()r r q =，（a q b ＃）［()r q 在[]αβ，上有连续导数］
弧长 S b
a
q =
ò 3．参数方程所表曲线的弧长
设光滑曲线C ()()x x t y y t ì=??í?=??
()t
a b ＃
［()x t ，()y t 在[]αβ，上有连续的导数］
曲线C 的弧长 S b
a
=
ò 【例1】 求星形线2
2
2
333x y a +=周长
解 星形线的参数方程()3
3
cos sin 02x a t y a t t π==≤≤，，
周长2
04
12sin cos l a t tdt π
==?
22
6sin 6a t a π
==
【例2】 求心形线()()1cos 02r a θθπ=+≤≤，的周长
解 0
2
2l a π
π
θθ==?
?
022cos 82
a d a π
θ
θ==?
三、特殊的空间图形的体积
1．已知平行截面面积的立体体积．
设空间一个立体由一个曲面和垂直于z 轴两平面z =c 和z =d 所围成，z 轴每一点z (c ≤ z ≤d)且垂直于z 轴的立体截面的面积S(z)为已知的连续函数．则立体体积
()d
c
V S z dz =
ò
2.绕坐标轴旋转的旋转体体积
(1)平面图形由曲线()y f x =(≥O)与直线
x a =，x b =和x 轴围成
绕x 轴旋转一周的体积2()b
x a
V f x dx
p
=ò；
绕y 轴旋转一周的体积2()b
y a V xf x dx p
=ò
(2)平面图形由曲线()x g y =(≥O)与直线
y c =，y d =和y 轴围成
绕y 轴旋转一周的体积2()d
y c
V g y dy
p
=ò。
绕x 轴旋转一周的体积2()d
x c
V yg y dy p
=ò
【例1】 求由曲线22y x x =-和直线0y =，1x =，3x =所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.
解一 平面图形1A 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积
(2
11
1116
V dy π
ππ-=+-=
? 平面图形2A 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积
(2
3
20
432716
V dy πππ=-=
? 所求体积
129y V V V π=+= 解二 3
21
22y V x x xdx π
=-?
()()2
3
2212222x x x dx x x x dx π?
?=-+-???
?
??
4433232229123
443x x x x ππ??
????=-+-=?? ? ???????
【例2】 设1D 是由抛物线22y x =和直线2x a x ==，及0y =所围成的平面区域；
2D 是由抛物线22y x =的直线x a =，y=0所围成的平面区域，其中02a <<。
（1） 试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ；2D 绕y 轴而成的旋转体体积2V （如图）。
（2） 问当a 为何值时，12V V +取得最大值？试求此最大值。
解 （1）
()()2
2
25142325a V x
dx a π
π==
-? 2
22242022a y
V a a dy a πππ=-=? ，
（2）54
124(32)5V V V a a p p =+=-+.
由34(1)0V a a p ￠=-=，
得区间 (,2)a 内的惟一驻点1a =. 又1
40a V p =ⅱ=-<，因此1a =是极大值点，也是最大值点.此时12V V +的最大值
为
129
5
p . 四、绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积(数学一和数学二) 设平面曲线?C AB =位于x 轴上方．它绕x 轴一周所得
旋转曲面的面积为S ．
1.设?AB 的方程为()y f x = （a ≤x ≤b ）
则 2(b
a S f x p
=ò 2.设?AB 的极坐标方程为()r r q = （α≤θ≤β）
则 2()sin S r b
a p
q q =ò 3.设?AB 的参数方程为()x x t =，()y y t = （α≤t ≤β）
则 2(S y t b
a
p
=ò 4.设?AB 以弧长S 为参数的参数方程()x x s =，()y y s = （0≤s ≤l ） 则 02()l
S y s ds p
=ò
【例1】 求下列旋转面的面积
（1）()sin 00y x x y π=≤≤=，围成的图形绕x 轴旋转所得曲面； （2）()()1cos 0r a a θ=+>绕极轴旋转所成曲面。 解 （1）该旋转面的面积
22sin S π
π
ππ==??
()
2cos x π
π=-?
1
24π
π-==?
?
(114ln 0
2u π?=??
(
)
2ln 1π
=
（2）这是心形线()()1cos r a θθ=+，则()()r r θθ-=，曲线判刑极轴对称，在极轴上方部分，于是它绕极轴转所成曲面的面积为
()1cos 0r a θθπ=+≤≤，，
于是
()
2sin S r π
πθθ
=
?(0
21cos a d π
πθθθ=+
?
()()3
22021cos 1cos d π
πθθ=-
++?
()52
2
2
2
321cos 5
2
a ππθπ=-+=
==
五、几何应用的证明题
【例1】 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内()0f x '>，证明()a b ξ?∈，，且惟一，使得()()y f x y f x a ξ===，，，所围面积1S 是()()y f x y f x b ξ===，，所
围面积2S 的三倍。
证 令()()()()()3t b
a t F t f t f x dx f x f t dx =---?
????????? ∵()()()3
0b a
F a f x f a dx =--
()()()0a b
F b f b f x dx =->???
?? 由连续函数介值定理的推论可知()a b ξ?∈，，使()0F ξ= 再由()0f x '>
，可知()f x 的单调增加性，则ξ惟一
定积分的简单应用求体积
定积分的简单应用求体 积 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
定积分的简单应用(二) 复习： （1） 求曲边梯形面积的方法是什么 （2） 定积分的几何意义是什么 （3） 微积分基本定理是什么 引入： 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲） 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V 分析： 在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-，1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片，如图乙所示。当i x ?很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：
2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题，则有： 22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳： 设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=? 2. 利用定积分求旋转体的体积 （1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 （2） 分清端点 （3） 确定几何体的构造 （4） 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为 2()b a V g y dy π=? 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路： 由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角 坐标系，如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为： 22300|a a V a dx a x a πππ=?==?
定积分的方法总结
定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+浅谈定积分的应用
浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definitio n of definite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in t he higher mathematics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, t hrough the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very co nvenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5]。本文将举例介绍定积分在的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么
§1.7定积分的简单应用
定积分的简单应用 一：教学目标 知识与技能目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x x y x ?=??==? =??及，所以两曲线的交点为 （0，0）、（1，1），面积S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 2 0S =(x -x )dx 321 3 023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 2 x y =y x A B C D O
巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x = 以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标， 直线4y x =-与 x 轴的交点． 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的 面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 334 82822044 2222140||(4)|23 x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图， 再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限． 例3.求曲线], [sin 320π∈=x x y 与直线,,3 20π==x x x 轴所围成的图形面积。
定积分的简单应用(6)
§1.7 定积分的简单应用（一） 一：教学目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 解：201y x x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图阴影部分的面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 33482822044 2222140||(4)|3323 x x x =+-=. 例3.求曲线],[sin 3 20π ∈=x x y 与直线,,3 20π ==x x x 轴所围成的图形面积。 答案： 2 33 2320 = -=? ππo x xdx S |cos sin ＝ 练习 1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。 答案：3 32 33323132 23 1= -+=--? |))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3） 2 x y =y x = A B C D O
七大积分总结
七大积分总结 一． 定积分 1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点： a=x 0 ? ??==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(。 （2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。 （3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ →0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限： 例：∑?=∞→=n i n n i f dx x f 1 1 0n 1 )()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理 定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义 对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x) 小于0时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分?b a dx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质 线性性质（性质一、性质二） 定积分的简单应用 【学习目标】 1.会用定积分求平面图形的面积。 2.会用定积分求变速直线运动的路程 3.会用定积分求变力作功问题。 【要点梳理】 要点一、应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积： ()[()()]b b a a S f x dx f x g x dx ==-?? 2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线 ()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积： ()()[()()]b b b a a a S f x dx f x dx g x f x dx = =-=-? ?? 3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上 ()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积： ()c a S f x dx = + ? ()b c f x dx ? ＝()c a f x dx -?＋()b c f x dx ?. 4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围 成图形的面积： 1212[()()]()()b b b a a a S f x f x dx f x dx f x dx =-=-??? 要点诠释： 研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积； ② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）； 要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 （1）画出图形； （2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式； （5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。 要点三、定积分在物理中的应用 ① 速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间 [,]a b 上的定积分，即()b a S v t dt =?. ②变力作功 物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W = ()b a F x dx ? . 要点诠释： 1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情 况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。 2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。 【典型例题】 类型一、求平面图形的面积 【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例1】 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 定积分知识点总结 航空航天大学 权州 一、定积分定义与基本性质 1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数 )1,...,1,0(1-=-=?+n i x x x i i i 中最大者. 在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=. )1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ 而做成总和 ∑-=?=1 0)(n i i i x f ξσ 然后建立这个总和的极限概念： σπ0 ||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义： 0>?ε，0>?δ，在||||πδ<时，恒有 εσ<-||I 则称该总和σ在0→λ时有极限I . 总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为 ?=b a dx x f I )( 2.性质 设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性 如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则??≥b a b a dx x g dx x f ,)()( 特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则?≥b a dx x f 0)( (2) 积分的线性性质 ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα 特别地，有??=b a b a x f c dx x cf )()(. 设f(x)在[a,b]上可积，且连续， (1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足 ???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得 )()()(θf a b dx x f b a -=? 二、达布定理 1.达布和 分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和 ∑∑=+=+-=-=n i i i i n i i i i x x m f S x x M f S 1 11 1)(),(,)(),(ππ ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下和 特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界. 回到一般情况，有上下界定义知道 定积分的几个简单应用 一、定积分在经济生活中的应用 在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决． 例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余． 解 由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是 dq q )5015.065(10000 0--? 10000023 ) 1.015(q q -= 50000=， 所求消费者剩余为50000元． 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量． 解 所求的总产量为 ??+='=10 5105)1240()(dt t dt t Q Q 1052) 640(t t +=650=（件）． 二、用定积分求极限 例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123 lim ． 解 n n n n n n n n k n k 12111123 +++=∑= )21(1n n n n n +++= ． 上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取?? ????-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有 ∑=∞→n k n n k 12 3lim ??????+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==?dx x ． 例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑ =∞→． 解 212213)(11n k n k n k n n k n k n k -?=-∑∑==． 上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等分，i ξ取?? ????-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有 2213lim k n n k n k n -∑=∞→3 1)1(311102321 02=??????--=-=?x dx x x ． 三、用定积分证明不等式 定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明． 例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证： ?? +≥b a b a dx x f b a dx x xf )(2)(． 证明 作辅助函数 dt t f x a dt t tf x x a x a ??+-=)(2)()(?， 显然0)(=a ?，且 )(2 )(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ?+--='? )(2 ))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2 ξf x f a x --=， 其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ?，从而)(x ?在闭区间[]b a ,上单调增加，所以 0)()(=≥a x ??， 定积分的简单应用 海口实验中学陈晓玲 一、教材分析 “定积分的简单应用”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章1.7的内容。从题目中可以看出，这一节教学的要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念，计算，几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中了解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。 二、教学目标（以教材为背景，根据课标要求，设计了本节课的教学目标） 1、知识与技能目标： （1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题； （2）学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、过程与方法目标： 通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、情感态度与价值观目标： 通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。 三、教学重点与难点 1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2、难点：将实际问题化归为定积分的问题。 四、教学用具：多媒体 五、教学设计 教学环节教学设计师生 互动 设计意图 一、 创设情境 引出新课1、生活实例： 实例1：国家大剧院的主题构造 类似半球的构造，如何计算建造时中间玻璃段的使用面积？ 边缘的玻璃形状属于曲边梯形，要计算使用面积可以通过计算 曲边梯形的面积实现。 实例2：一辆做变速直线运动的汽车，我们如何计算它行驶的 路程？ 2、复习回顾： 如何计算曲边梯形的面积？ 3、引入课题： 定积分的简单应用 学生:观 察。 教师：启 发，引导 学生：思 考，回 忆。 学生：疑 惑，思 考，感 受。 教师：启 发，引 导。 学生：复 习，回忆 老师：引 入课题 数学源于生活，又服 务于生活。 通过对国家大剧院的 观察，创设问题情境，体 验数学在现实生活中的 无处不在，激发学生的学 习热情，引导他们积极主 动的参与到学习中来。 启发学生把物理问题 与数学知识联系起来，训 练学生对学科间的思维 转换和综合思维能力。 学生感受定积分的工 具性作用与应用价值。 在生活实例的启发 下，引导学生把所学知识 与实际问题联系起来，回 忆如何计算曲边梯形面 积。 这是这节课的知识基 础。 引入本节课的课题。 哎呀，里程表坏了，你 能帮我算算我走了多 少路程吗? x y o y f(x) = a b A ?=b a dx x f A) ( 定积分计算方法总结 Final revision by standardization team on December 10, 2020. 定积分计算方法总结 一、不定积分计算方法 1.凑微分法 2.裂项法 3.变量代换法 1)三角代换 2)根幂代换 3)倒代换 4.配方后积分 5.有理化 6.和差化积法 7.分部积分法（反、对、幂、指、三） 8.降幂法 二、定积分的计算方法 1.利用函数奇偶性 2.利用函数周期性 3.参考不定积分计算方法 三、定积分与极限 1.积和式极限 2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3.洛必达法则 4.等价无穷小 四、 定积分的估值及其不等式的应用 1. 不计算积分，比较积分值的大小 1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x)>=g(x),则∫f (f )ff f f >=∫f (f )f f dx 2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) 当0 3)常数变易法 4)利用泰勒公式展开法 五、变限积分的导数方法 1.7.1定积分在几何中的应用 教材分析 这一节的教学要求是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分解决实际问题的基本思想和方法.在学习过程中，理解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的使用价值以及数学在实际应用中的强大作用.在整个高中数学体系中，这部分内容也是进一步学习高 等数学的基础.教学方法是“问题诱导一一启发讨论一一探索结果”、“直观观察一一抽象归纳一一总结规 律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习，形成师生互动的教学氛围.探究式的学习方法能 够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究. 课时分配 本课时是定积分应用部分的第一课时，主要解决的是平面图形的面积问题 教学目标 重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值. 难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数 知识点：应用定积分解决平面图形的面积. 能力点：通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法. 教育点：在解决问题的过程中体会定积分的价值 自主探究点：探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法. 考试点：应用定积分解决平面图形的面积. 易错易混点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数 拓展点：链接咼考. 教具准备实物投影机和粉笔. 课堂模式基于问题驱动的诱思探究. 一、创设情境 1、求曲边梯形的思想方法是什么？（以直代曲，无限逼近） 2、定积分的几何意义是什么？ o - - cos 二-(-cosO) =2 , 若f(x)^O则表示面积 sin xdx = -cosx =f "sin xdx=—cosx ?=—cos2x —(—cosn) =-2，若f (x)兰0则表示面积相反数 定积分知识点总结 北京航空航天大学 李权州 一、定积分定义与基本性质 1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数 )1,...,1,0(1-=-=?+n i x x x i i i 中最大者. 在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=. )1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ 而做成总和 ∑-=?=1 0)(n i i i x f ξσ 然后建立这个总和的极限概念： σπ0 ||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义： 0>?ε，0>?δ，在||||πδ<时，恒有 εσ<-||I 则称该总和σ在0→λ时有极限I . 总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为 ?=b a dx x f I )( 2.性质 设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性 如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则??≥b a b a dx x g dx x f ,)()( 特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则?≥b a dx x f 0)( (2) 积分的线性性质 ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα 特别地，有??=b a b a x f c dx x cf )()(. 设f(x)在[a,b]上可积，且连续， (1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足 ???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得 )()()(θf a b dx x f b a -=? 二、达布定理 1.达布和 分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和 ∑∑=+=+-=-=n i i i i n i i i i x x m f S x x M f S 1 11 1)(),(,)(),(ππ ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下 和 特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界. 回到一般情况，有上下界定义知道 i i i M f m ≤≤)(ξ 将这些不等式逐项各乘以i x ?(i x ?是正数)并依i 求其总和，可以得到 第六章 定积分的应用 总结 一、定积分的元素法 1．用定积分表示量U 的条件 如果量U 满足： （1） ； （2） ； （3） ，那么就可考虑用定积分表示这个量U ． 2．写出量U 的积分表达式的步骤： （1） ； （2） ； （3） ． 二、平面图形的面积 1．若平面图形由连续曲线))()()((),(x g x f x g y x f y ≥==及直线)(,b a b x a x <==所围成，则其面积为=A ． 2．若平面图形由连续曲线))()()((),(y y y x y x ψ?ψ?≥==及直线)(,d c d y c y <==所围成，则其面积为=A ． 3．由连续曲线0)(),(≥=θ?θ?ρ及两射线βθαθ==,围成的曲边扇形的面积为=A ． 三、体积 1．旋转体的体积 （1）由连续曲线0)(≥=x f y ，直线)(,b a b x a x <==及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为=x V ． （2）由连续曲线0)(≥=y x ?，直线)(,d c d y c y <==及y 轴所围成的平面图形绕y 轴 旋转一周而成的旋转体的体积为=V ． 2．平行截面面积为已知的立体的体积 适当建立x 轴，使立体在过点)(,b a b x a x <==且垂直于x 轴的两平面之间，)(x A 为该立体过点x 且垂直于x 轴截面的面积，于是该立体的体积为=V ． 四、平面曲线的弧长 1．曲线可求长的充分条件： ． 2．求光滑曲线弧的长度的公式：（设L 为平面光滑曲线弧） 如果已知L 的参数方程：)(),(), (βαψ?≤≤???==t t y t x ，其中)(t ?和)(t ψ在],[βα上有连续导数， 且0)()(22≠'+'t t ψ?，则L 的长度为=s ． 如果已知L 的直角坐标方程：)()(b x a x f y ≤≤=，其中)(x f 在],[b a 上有一阶连续导数，则L 的长度为=s ． 如果已知L 的极坐标方程：)()(βθαθρρ≤≤=，其中)(θρ在],[βα上有一阶连续导数，则L 的长度为=s ． 四、定积分在物理学上的应用 1．变速直线运动的路程 某物体作直线运动，已知速度)(t v 是时间t 的连续函数，且0)(≥t v ，则该物体从时刻1t 到时刻2t （21t t ≤）的运动路程为=s ． 2．变力沿直线作功 如果力F 的方向不变（与x 轴同向）且大小为)(x F ，物体在力F 的作用下由x 轴上的点a 移动到点b ，则力F 对物体作的功为=W ． 3．水压力 一般使用定积分的 法得到水压力的定积分表示式，再计算其值． 4．引力 求引力时通常分别求引力在两个坐标轴上的分力，使用定积分的 法．要注意充分利用对称性． 17定积分的简单应用 03622 定积分的简单应用 一：教学目标 知识与技能目标 1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边 梯形的思想方法； 2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做 功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点曲边梯形面积的求法 难点定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线?Skip Record If...?和?Skip Record If...?所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 6 - 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢- 6 - 解：?Skip Record If...?，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...??Skip Record If...?=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四 个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线?Skip Record If...?和?Skip Record If...?所围成的图形的面积. 例2．计算由直线?Skip Record If...?，曲线?Skip Record If...?以及x 轴所围 图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线?Skip Record If...?与曲线?Skip Record If...?的交点的横坐标，直线?Skip Record If...?与 x 轴的交点． 解：作出直线?Skip Record If...?，曲线?Skip Record If...?的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积． 解方程组?Skip Record If...? 得直线?Skip Record If...?与曲线?Skip Record If...?的交点的坐标为（8,4) . 2x y =y x = A B C D O 定积分讲义总结 内容一 定积分概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和： 1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功． 分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =?． 1．分割 在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 0,b n ??????，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -???=? ? ??L ，其长度为()1i b i b b x n n n -??=-= 把在分段0, b n ? ???? ?，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 上所作的功分别记作：1W ?，2W ?，…，n W ? （2）近似代替 有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --???=??=?? ? ?? (1,2,,)i n =L （3）求和 ()1 1 1n n n i i i i b b W W k n n ==-=?=??∑∑ =()()22222 110121122n n kb kb kb n n n n -?? ++++-==-?? ?? ??? L知识讲解_定积分的简单应用(基础)
定积分知识点总结
定积分的几个简单应用
定积分的简单应用
定积分计算方法总结
21-17定积分的简单应用
定积分知识点总结.doc
第六章 定积分的应用总结
最新17定积分的简单应用03622
定积分总结