高三数学二轮专题复习 三角函数

三角函数二轮复习建议

三角函数内容主要有两块；一是三角函数的图象和性质，二是三角恒等变换．近三年高考中基本上是一个小题（三角函数的图象与性质）、一个大题（三角恒等变换），大都是容易题和中等题，难度不大，容易得分，也是必须要得分的．

第1~2课时 三角函数的图象和性质

基本题型一：求三角函数的周期

例 1 函数f (x )＝3sin(2x ＋π3

)的最小正周期为 ；图象的对称中心是 ；对称轴方程是 ；当x ∈[0，π2

]时，函数的值域是 ． 说明：

1．函数y ＝A sin(wx ＋?)的图像与参数A ，w ，?的关系；通过换元可将y ＝A sin(wx ＋?)的图象转化为对y ＝A sin x 的图象的研究．

2．对于三角函数的图象与性质，周期性是最本质的内容，周期与一个最高点就可决定决定整个三角函数的图象．

3．此类问题呈现的形式有三种：①正面呈现，象例1的形式；②给出函数的一部分性质，如已知直线y ＝a (0＜a ＜A )与函数y ＝A sin(wx ＋?)的图象的三个相邻交点的横坐标为2，4，8，写出函数y ＝A sin(wx ＋?)的一个单调增区间；③以图象形式呈现，给出函数y ＝A sin(wx ＋?)的一部分图象．

例2 若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的图象(部分)如图所示，则ω＝_________，φ＝_________．

说明：方法一 由图知T ＝4×[2π3－(－π3)]＝2π，所以ω＝1，从而2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π6

，k ∈Z ．因为0≤φ＜2π，所以φ＝11π6

． 方法二 由图知T ＝4×[2π3－(－π3

)]＝2π，所以ω＝1，所以f (x )的图像可以看作是sin x 的图像向右移了π6个单位，即向左移了11π6

个单位，．因为0≤φ＜2π，所以φ＝11π6

． 基本策略：根据函数的图像先确定振幅A ，再确定周期T ．利用周期求出角速度ω，最后利用峰(谷)点的坐标求出φ的值．一般不用平衡点(零点)来确定．三角函数图像的变换，每一次变换前，应先将“已知”函数一般化，写成f (x )的形式，再分别按照f (x )→f (x －a )，

f (x )→f (ωx )，f (x )→f (x )＋k ，f (x )→Af (x )的变化特征写出变换后的函数解析式．

例3 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ．问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？

说明：

对于此类以图形为背景的应用题，重点应放在变量的选择上．

例4 已知函数f (x )＝2sin x (sin x －cos x )＋2，x ∈R ．

（1）求函数f (x )的最小正周期；

（2）求函数在区间[π8，3π4

]上的最大值和最小值； （3）若f (α)＝3－425，0＜α＜π2

，求cos2α的值． 说明：

此类题型的考查要求虽然不高，不要深挖，但在二轮复习中还要涉及一点．

基本策略：

利用恒等变形，化为“一个角的一个三角函数的一次式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (ω＞0，0≤φ＜2π)”是研究复杂三角函数式性质的基本方法．其中，对于函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的单调性，要用整体化的观点，将ωx ＋φ看作是一个角的大小，结合y ＝sin x 的单调区间和ωx ＋φ关于x 的单调性进行判断．

第3~4课时 三角恒等变换

例1 cos(－600°)＝ ．

说明：

利用诱导公式将其转化为特殊角的三角函数值，也可根据三角函数定义利用数形结合直接求值．

例2 若3cosα＋4sinα＝5(0＜α＜π)，求tan(α＋π4

)的值． 说明：

1．重视最基本方法的运用，即把cosα，sinα当成未知数，通过解方程组求得

cosα，

C

sinα；

2．在三角函数求值中要注意两点：①根据角之间的关系选择适当的三角变换；②根据角所在象限确定三角函数值的符号，要加以说明（题目条件中已经给定，角的范围太大，需要由几个条件或解题过程中得到的结论共同确定）．

例3 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2

x sin2x

的最小值为 ． 说明：

利用二倍角公式对f (x )进行化简，转化为用基本不等式求解的最值问题．

例4 已知tan(π4＋α)＝12

． (1)求tan α的值；(2)求sin2α－cos 2α1＋cos2α

的值．

基本策略：

在化简过程中，通过变角、变名、变次，换元等将其转化为最简单的三角函数或简单的初等函数．

第5~6课时 解三角形 例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255

，AB →·AC →＝3．

（1）求△ABC 的面积；

（2）若c ＝1，求a 的值．

例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45

，b ＝3． （1）求sin C 的值；

（2）求△ABC 的面积．

说明：

1．根据条件，结合图形灵活选择正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．

2．向量中有关概念的理解，公式的正确使用．

例3 在平面四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ⊥CD ，∠DBC ＝60°，AB ＝23，BD ＝4，求CD 的长．

说明：

这种以图形为载体的三角函数求值问题（与解三角形联系）在高考中也是一种常见题型，其关键是要弄清图中各种量（边、角）之间的关系，合理选择正弦定理、余弦定理、三角恒等变换进行求解．

例4 (08上海)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120o 的扇形AOB ，小区的两个出

入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．

说明

基本策略：

条件中给出了三角形中的边角关系，应利用正弦定理或余弦定理将条件统一到边或统一到角．在三角应用题中，应根据已知条件构造确定的三角形，构造的依据是全等三角形的条件．

在二轮复习过程中，对于三角函数的复习应突出以下重点：

1．三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性等性质以及图像的对称性，充分体现数形结合的思想．

2．三角函数与代数、几何、向量的综合联系，尤其是以图形为背景的一类数学问题．

3．三角恒等变换的核心是根据角之间的关系，选择适当的三角公式，在求值时应强调三角函数值的符号由角所在象限确定．

4．上述一些例题仅供参考，教学中应适当增加一些相似题、变式题，同时还需选择一定量的练习加以巩固．

5．本单元二轮专题和课时建议：

A

O D B C H A O D B C A O D B C