厦门大学第十二届(2015)景润杯数学竞赛试卷答案(理工类)评分标准
厦门大学第十二届“景润杯”数学竞赛
试卷（理工类）参考答案
一、求下列各题极限（每小题4分，共8分）
（1） 求极限 20(32sin )3lim tan x x
x x x
→+-. 解一：20(32sin )3lim tan x
x
x x x →+-2002(1sin )13lim3lim x
x x x x x
→→+-=? …………………………..1分 2
ln(1sin )
3
2
e
1
lim
x x x x +→-= …………………………..2分
202
ln(1sin )
3lim x x x x →+= ……………………………….1分 02sin 23lim 3
x x
x →== ……………………………………..1分
解二：20(32sin )3lim tan x x x x x →+-ln(32sin )ln32
0e e lim x x x x x +→-= ………………………………………..1分
20[ln(32sin )ln 3]
lime x x x x
ξ
→+-= ……………………2分 202
ln(1sin )
3lim x x x x
→+= …………………………….1分 02sin 23lim 3x x
x →== …………………………………..1分
其中ξ在ln(32sin )ln3x x x +与之间.
(2)设12121,2,(2,3,)n n n x x x x x n --===+= ，求极限1
lim
n n
x →∞. 解一：由题设条件知，对2n ?>，0n x >，且120n n n x x x ---=>，即{}n x 严格单增，所以, 1212n n n n x x x x ---=+<，112n n x x ->，即有 211
2
n n x x -->， 故 2111212133
33
()()()22
22
n n n n n n n x x x x x x ------=+>
>>>= …………………….3分
所以，1
11
03()2
n n x -≤
≤
， ……………………….1分 由1
1
lim 03()
2
n n →∞-=得1lim 0.n n x →∞= ………………………..1分
解二：用归纳法证明：n x n ≥，1,2,n =
事实上，当1,2n =时，结论成立。假设结论对n k =时成立. 则当1n k =+时，
1111k k k x x x k k k +-=+≥+-≥+ ……………………….3分
因此，11
0n x n
≤
≤ ……………………….1分 由1lim
0n n →∞=得1
lim 0n n
x →∞=. ……………………….1分 二、（8分）设可微函数()f x 满足 0()lim
1x f x x
→=，
求0t +→
解：
2]d 2f y y f y += ……………………….2分
2t
u ?
……………………….2分
t t
t t +
+
→→=
t
u
t +
→= ……………………….2分
3
0()d πlim t
t uf u u t +
→=? ……………………….1分
2
0()ππlim 33
t tf t t +→== ……………………….1分 三、（8分）设函数()f x 满足1()()c
af x bf x x
+= (0x ≠)，其中,,a b c 都是非零常数，且||||a b ≠，求
(())f f x 的导数.
解：由已知条件，当0x ≠时，
1()()(1)
1()()(2)
c af x bf x x af bf x cx x ?
+=???
?+=??
, .…………….1分
(1)(2)a b ?-?，得22()()ac
a b f x bcx x
-=
-，即 22
()()()c a
f x bx a b x
=
--, 0x ≠, ……………….2分 则 222
()()()c a
f x b a b x '=
---, 0x ≠. .…………….1分
令 22
()()()c a
u f x bx a b x
==
--，则 d[(())]d[()]d d ()d d d d f f x f u u u
f u x u x x
'=?=? .……………………….2分
222222
()()()()c a c a
b b a b u a b x
=
--?---- 22222
22222
()[()]()()c a a b a a bx b b a b c x x
--=-++-，0x ≠且2a x b ≠ .……….….2分 四、（8分）设函数()f x 在[0,1]上有连续的导数，且(0)(1)0f f '==，证明至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()()f f ξξ'=.
证明：构造辅助函数()e
()x
F x f x -=， ……………………….2分
则()F x 在[0,1]上连续可导，且
()e [()()]x F x f x f x -''=-，1(0)(0),(1)e (1),F f F f -'''==- ………………….1分
若对(0,1),()0x F x '?∈≠，则有下面两种情况
对(0,1),()0x F x '?∈>，此时()F x 单调增加，(1)(0)0F F >=，1
e (1)0
f ->，
从而(1)0F '<，这与1
(1)lim ()0x F F x -
→''=≥矛盾， ……………………….2分 对(0,1),()0x F x '?∈<，此时()F x 单调减少，(1)(0)0F F <=，1
e (1)0
f -<，
从而(1)0F '>，这与1
(1)lim ()0x F F x -
→''=≤矛盾。 ………………………2分
从而至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()()f f ξξ'=. ……………………….1分 五、（8分） 证明不等式sin π(1)(01)π
x
x x x >-<<. 证明：设sin π()(1)(01)π
x
F x x x x =
--<<, …………………….1分 则()cos π21F x x x '=+-，2
()2πsin ππ(sin π)π
F x x x ''=-=- ……………………….1分
令()0,F x '= 解得驻点为1
0,,12
x = ………………….1分
在区间1(0,)2上，2
()π(sin π)πF x x ''=-仅有唯一的一个零点1ξ，且当10x ξ<<时，()0F x ''>，当
11
2
x ξ<<时，()0F x ''<.
又1(0)()02F F ''==, 因此在1(0,)2上，()0F x '>，从而在1
(0,)2
上，()F x 单调增加，且
()(0)0F x F >=. ………………………2分
类似地，在区间1(,1)2上，2()π(
sin π)πF x x ''=-仅有唯一的一个零点2ξ，且当21
2
x ξ<<时，()0F x ''<，当21x ξ<<时，()0F x ''>.
又1
()(1)02F F ''==，因此在1(,1)2上，()0F x '<，从而()F x 在1(,1)2
上单调减少，且
()(1)0F x F >=. ………………………2分
综上所述，()F x 在区间(0,1)上恒大于零，即()F x 在[0,1]上的最小值为(0)0F =，即
()0,(0,1)F x x >?∈，从而不等式成立。 ………………………1分
六、（10分）设幂级数
n
n n a x
∞
=∑的系数满足012,1,1n n a na a n n -==+-≥，求此幂级数的收敛半径R 及
和函数()S x .
解：首先用数学归纳法证明对n,1n a ?>，即数列{}n a 有下界1.
当k=1时，102a a ==，假设k=n-1时，11n a ->，当k=n 时，1111n n na a n n n -=+->+-=， 故1n a >，由归纳法假设，数列{}n a 有下界1. 又
1111111
1n n n a n n a n a n n n
----=+?<+=，即1n n a a ->，数列{}n a 是单调降的，故有lim 1n n a a →∞=≥
.………………………2分
且11lim lim[
]1n n n n a n a a n n -→∞
→∞
-==+=，11
1
lim lim 1n n n n n a a a →∞→∞--==，所以幂级数的收敛半径1R =.
………………………1分
设0
()n
n n S x a x ∞==
∑，则1
1
()n n n S x na x ∞
-='=∑，由条件11n n na a n -=+-，当1x <时，有
1
1
111
1
1
1
()(1)()()n n n
n n n n n n S x a x
n x
S x nx S x x nx ∞
∞
∞∞
----===='=+-=+=+∑∑∑∑ …………………2分
2
()()()1(1)
x x
S x x S x x x '=+=+-- ………………………1分 解此一阶线性微分方程，得1
()e 1x
S x C x
=+
- . ………………………3分 由(0)2S =，得1C =，故1()e 1x
S x x
=+- ， 1 1.x -<< .………………………1分
七、（10分）设(),g()f x x 是[,]a b 上的连续函数，且对[,]x,y a b ?∈有
[()()][g()g()]0f x f y x y --≤ （称()g()f x x 与具有反序性）
（1）证明：
()d ()d ()()g()d ;b
b b
a
a
a
f x x
g x x b a f x x x ?≥-?
??
（2）利用（1）的结论，证明：若()f x 是[0,1]上的连续函数，且对[0,1]x ?∈有0()1f x ≤<，则
1
1
100
()d ()d 1()1()d f x x f x x f x f x x ≥--???
.
证：（1）由[()()][()g()]0f x f y g x y --≤ 得
()g()()g()()g()()g()f x x f y y f x y f y x +≤+ ……………………1分
不等式两端在D 上求二重积分，其中{(,)|,}D x y a y b a x b =≤≤≤≤，即
()g()d d ()g()d d ()g()d d ()g()d d D
D
D
D
f x x x y f y y x y f x y x y f y x x y +≤+????????
……………………2分 即 ()
()g()d ()d g()d b
b b
a
a
a
b a f x x x f x x x x -≤?
?? .………………………2分
另解：做辅助函数()()d ()d ()()g()d ;x
x x
a
a
a
x f t t g t t x a f t t t ?=
?--?
?? .……………………1分
()()()d ()()d ()g()d ()()()x x x
a
a
a
x f x g t t g x f t t f t t t x a f x g x ?'=+---???
.………………………1分
[()()][()()]d
x
a
f x f t
g x g t t =---≥?
………………………2分 故()()0b a ??≥=，即
()d ()d ()()g()d .b
b b
a
a
a
f x x
g x x b a f x x x ?≥-?
?? ……………….………1分
（2）由于对[0,1]x ?∈有0()1f x ≤<，
[]2
()()[()()](1())(1())01()1()[1()][1()]f x f y f x f y f x f y f x f y f x f y ??-----=-≤??----??
即
()
1()
f x f x -与1()f x -在上[0,1]具有反序性， ……………….………2分
则由(1)，
1
1
110
000
()()
()d (1())d d (1())d 1()1()f x f x f x x f x x x f x x f x f x =-≤---?
???
1
100()
d [1()d ]1()f x x f x x f x ≤?--?
? ……………….………2分
因为1
1()d 0f x x -
>?
，所以 1
1
100
()d ()d 1()
1()d f x x f x x f x f x x
≥--??? .……………….………1分 八、（10分）已知曲线2C :3(1)
y x
z y ?=?=-?，在纵坐标为1y =的点处的切线为L ，∏是通过L 且与曲面
22:4x y z ∑+=相切的平面，求∏的方程.
解：若以y 为参数，曲线C 的参数方程为2:3(1)x y C y y z y ?=?
=??=-?，C 在对应1y =点(1,1,0)处的切向量为
11T {(),,()}{2,1,3}|{2,1,3}y y x y y z y y =='''===， ……………….………1分
所以C 在点(1,1,0)处的切线L 的方程为
11213
x y z
--==，或者 210
330
x y y z -+=??
--=? ……………….………1分
过L 的平面束方程为(33)(21)0y z x y λ--+-+=，即
(32)30x y z λλλ+--+-= （1） …………….………2分
记22(,,)4F x y z x y z =+-，设∏与曲面∑的切点为0000()M x ,y ,z ，则曲面∑在点0000()M x ,y ,z 处的法向量为0
00{
,
,
}{2,2,4}M M M F F F x y x
y
z
???=-???，
由于所求的平面∏与∑相切，因此λ应满足
0321
224
x y λ
λ--=
=
-，由此可得， 002,64x y λλ==-. ………….………3分
因为0M 在∑上，则22
20001()51294
z x +y λλ=
=-+, ……………….………1分 又因为0000()M x ,y ,z 也应在∏上，将其代入（1）得
222(32)(64)(5129)30λλλλλλ+----++-=，
即 2
51160λλ-+=，解得6
1,
5
λ=， ……………….………1分 因而得到所求的∏的平面方程为
20x y z +--=或63590x y z +--= .……………….………1分
九、（10分）设,a b 分别是函数π
2
()|cos |d x x
f x t t +
=
?
在[0,π]上的最大值和最小值，L 是连接原点与点
(1,0)A 的位于第一象限内的光滑曲线，并且与线段OA 围成的闭区域D 的面积为1，求关于坐标的曲线积
分.
(3e sin )d (e cos )d x x L
I by y x ax y y =++++?（其中L 为逆时针方向）
解：先确定,a b ，再计算I .
由()f x 的积分表达式 πsin cos 02
()|sin ||cos |πsin cos π
2
x x x f x x x x x x ?
-≤
于是()0f x '=的根为π3π
,44
x =
. .……………….………2分
3ππ3π
π
3π424
24ππππ
π442
2
4
π()|c o s |d |c o s |d s i n |s 22
4f t t t t t t
==+=-=???
5π5π5π
44
43π3π3π444
3π()|cos |d cos d sin 4f t t t t t ==-=-=
??. πππ2220
00
(0)|cos |d cos d sin |1f t t t t t ====??， 3π
3π3π222π
π
π
(π)|cos |d cos d sin |1f t t t t t ==-=-=??
所以
π3πm a x {(),(),(0),π)}44a f
f f f ==
π3πmin{(),(),(0),(π)}244
b f f f f ==- .……………….………3分
(3(2e sin )d e cos )d x x L
I y y x y y =++++? （由格林公式）
d D
x y =??
(3(2e sin )d e cos )d x x OA
y y x y y -+-+++? .……………….………2分
1
2)d d 3d 2)35D
x y x =-=-=???. .……………….………3分
十、（12分）设L 是过原点，方向为{},,αβγ（其中2
2
2
1αβγ++=）的直线，均匀椭球222
2221
x y z a b c
++≤（其中0c b a <<<，密度为1）绕L 旋转 （1）求其转动惯量；
（2）其转动惯量关于方向{},,αβγ的最大值和最小值.
解：（1）设旋转轴L 的方向向量为{},,αβγ，椭球内任意一点(,,)P x y z 到旋转轴L 的距离的平方为
{}{}222222222[,,,,]()d x y z x y z x y z x y z αβγαβγ=++-?=++-++
222222(1)(1)(1)222x y z xy yz xz αβγαββγγα=-+-+---- .…………….………2分
由积分区域的对称性，
[222]d d d 0xy yz xz x y z αββγγαΩ
++=???， .……………….………1分
其中222
222{(,,)|1}x y z x y z a b c
Ω=++≤，而
222222232
2
2
214π
d d d d d d π(1)d 15a
a
y z x a a b c a x a bc x x y z x x y z x bc x a -+≤--Ω
==-=???????.
同理 332
2
4π4πd d d ,d d d 1515ab c abc y x y z z x y z ΩΩ
==
??????. .……….………2分 所求的转动惯量为2
2222224π
d d d [(1)(1)(1)]15
abc I d x y z a b c αβγΩ
=
=-+-+-??? ……………1分 （2）设考虑目标函数222222(1)(1)(1)a b c αβγ-+-+-在约束条件2221αβγ++=下的条件极值. 设拉格朗日函数为
222222222(,,,)(1)(1)(1)(1)L a b c αβγλαβγλαβγ=-+-+-+++- .………….………1分
令22
2
2222()02()0,2()0,
1.
L a L b L c αβγαλβλγλαβγ?=-=?=-=??=-=??++=?，. 求得极值点为 21(1,0,0,)Q a ±，22(0,1,0,)Q b ±，23(0,0,1,).Q c ± .……………….………3分
通过比较可知，当(,,)(0,0,1)αβγ=±时，即绕旋转轴L 轴转动惯量最大，即
2
2max 4π()15
abc I a b =
+， .……………….………1分 当(,,)(1,0,0)αβγ=±时，即绕旋转轴L 轴转动惯量最小，即
22
min 4π()15
abc I b c =
+. .……………….………1分 十一、（8分）在不断抽打下，陀螺会飞快地旋转，但当一旦停止对它进行抽打，它也就不再转动而停下来.设陀螺材质均匀，且旋转体所占的立体区域为
222
{()|()2},0}x,y,z x y z a a a
Ω=+≤≤>，
试求当陀螺停止转动后，在稳定平衡状态下它的中心轴与水平地面的夹角θ. 如图（轴截面）(其中A 为陀螺停止转动后，在稳定平衡状态下与地平面的接触点) .
解：首先求陀螺的质心坐标.由于陀螺材质均匀的旋转体，所
以它的质心就是几何体的形心，根据对称性可知，必有0x y ==. 由于
223
πd d d d d π2z
a
a
D az v z x y z a Ω
===????
???
，2
22400π4d d d d d π23z
a a D az z v z z x y z a Ω===???????.
所以d 4
3
d z v
z a v
Ω
Ω
=
=
??????，即陀螺的质心坐标为4G(0,0,)3a . .……………….………2分
当陀螺停止转动后，在稳定平衡状态下时，它的质心到水平地面的距离应达到最短. 如图轴截面，设陀螺在稳定平衡状态下，它与水平地面的切点为(,)A y z . 于是问题就转化为一个条件极值问题，其目标函数为
2223()()4L GA y z a ==+-，约束条件为22
z y a
=（陀螺侧面的轴截线）
将其代入目标函数，有2
2223(),04
L y y a y a a =+-≤≤. …………….………1分
令
222d 2(82)0d L y
y a y a
=-=，得012y a =.
当102y a <<
时，d 0d L y <，当12a y a <<时，d 0d L
y
>，从而得到点A 的坐标为11(,)22a a . ………………………2分
轴截线22z y a =
与y 轴在点11
(,)22
A a a 处的切线与y 轴的夹角为 1122d 4arctan(
)|arctan()|arctan 2d y a y a
z y
y a α===== …………….………2分 π2θα=
-，π11tan tan()cot 2tan 2θααα=-===，1arctan 2
θ= ….….…1分
希望杯数学竞赛小学三年级试题知识讲解
希望杯数学竞赛小学三年级试题
希望杯数学竞赛（小学三年级）赛前训练题1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形． 5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（）． （2）2，3，5，8，13，21，（）． （3）9，16，25，36，49，（）．
（4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（）． （5）3，8，15，24，35，（）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数． 8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成． （2）寻找图7中规律填空． 9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是．
10．图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来． 11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？ 14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？
15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是． 16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员，是运动员． 17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）987-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： （1）634+（266-137）（2）2011-（364+611） （3）558-（369-342）（4）2010-（374-990-874）19．用基准法计算： 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+89 21．求100以内的所有正偶数的和是多少？ 22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问：
华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛
图1 第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛 一、填空题： 1 ）计算： 2）如图1所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图形中，共有25个格点，在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有 个。 3）将七位数1357924重复写287次组成一个2009位数“13579241357924……”。删去 这个新数中所有位于奇数位（从左往右数）上的数字组成一个新数，再删去新数中所有 位于奇数位上的数字，按上述方法一直删下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数 字是 。 4）如图2所示，在由七个小正方形组成的图形中，直线l 将原图形分为面积相等的两部 分，l 与AB 的交点为E ，与CD 的交点为F ，若线段CF 与线段AE 的长度之和为91厘米， 那么小正方形的边长是 厘米。 5）某班学生要栽一批树苗，若每个人分k 棵树苗，则剩下38棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵，那么这个班共有 名学生。 6）已知三个合数A 、B 、C 两两互质，且A ×B ×C =11011×28，那么A +B +C 的最大值是 。 7）方格中的图形符号“◇”，“○”，“▽”“☆”代表填入方格内的数，相同的符号表示相同的数。如图所示。若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别为36，50，41，37。则第三行的四个数的和是 。 8）已知1＋2＋3＋……＋n (n ＞2)的和的个位数为3，十位数为0，则n 的最小值 为 。 二、解答下列各题（要求写出简要过程）： 9）下列六个分数的和在哪两个连续自然数之间？
10）2009年的元旦是星期四。问：在2009年，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有5个星期日？ 11）已知a,b,c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270，求b与c的最小公倍数是多少？ 12）在51个连续奇数1，3，5，……，101中选取k个数，使得他们的和为1949，那么k的最大值是多少？ 三、解答下列各题（要求写出详细解答过程） 13）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BC相交于O点，已知AB=5，CD=3，且梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积。 14）如下算式，汉字代表1至9这9个数字，不同的汉字代表不同的数字。若“祝”字和“贺”字分别代表数字“ 4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数。
最新全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及参考答案 一．选择题（5×7'=35'） 1.对正整数n ，记n ！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )． A ．0 B ．1 C ．3 D ．5 【分析】5≥n 时，n ！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C ． 2.已知关于x 的不等式组??????? <-+->-+x t x x x 2 353 52恰好有5个整数解，则t 的取值范围是( )． 2116.-<<-t A 2116.-<≤-t B 2116.-≤<-t C 2 116.-≤≤-t D 【分析】20232 35352<<-????????<-+->-+x t x t x x x ，则5个整数解是15,16,17,18,19=x ． 注意到15=x 时，只有4个整数解．所以 2116152314-≤<-?<-≤t t ，本题选C 3.已知关于x 的方程x x x a x x x x 22222--=-+-恰好有一个实根，则实数a 的值有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【分析】422222222+-=?--=-+-x x a x x x a x x x x ，下面先考虑增根： ⅰ）令0=x ，则4=a ，当4=a 时，0,1,022212===-x x x x （舍）； ⅱ）令2=x ，则8=a ，当8=a 时，2,1,0422212=-==--x x x x （舍）； 再考虑等根： ⅲ）对04222=-+-a x x ，270)4(84= →=--=?a a ，当21,272,1==x a . 故27, 8,4=a ，2 1,1,1-=x 共3个.本题选C ．
历届(第1-21届)希望杯数学竞赛初一试题及答案(最新整理)
希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题................................................ 003-005 希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题................................................ 010-012 希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题................................................ 017-020 希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题................................................ 023-026 希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题................................................ 031-032 希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题................................................ 037-040 希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题................................................ 047-050 希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题................................................ 055-058 希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题................................................ 063-066 希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 ............................................... 070-073 希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题................................................ 077-080 希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题................................................ 084-087 希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题................................................ 095-098 希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题................................................ 102-105 希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题................................................ 110-113 希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题................................................ 117-120 希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题................................................ 126-129 希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题................................................ 135-138 希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题................................................ 144-147 希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题................................................ 148-151 希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题............................................ 158-161 希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题............................................ 166-169 希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题............................................ 170-174 希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题............................................ 175-178 希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题............................................ 181-184 希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题............................................ 185-189 希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题............................................ 192-196 希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题............................................ 197-200
华罗庚杯六年级数学竞赛试题：
华罗庚杯六年级数学竞赛试题： 华罗庚杯六年级数学竞赛试题：一、认真思考、填一填。(18分，每空0.5分) 1、猪八戒的电话号码是4个8、3个0组成的7位数，且只能读出一个零的最小数，是( )。 2、一个多位数，省略万位后面的尾数约是6万，这个多位数最大可能是( )、最小可能是( )。 3、 =( )：( )=0.375=6 ÷( )=( )% 4、a是b的7倍，b就是a的( )。2个白球，2个黄球装在一个口袋里，任意摸一个( )是红球。 5、被减数，减数与差的和是4 ，被减数是( )。被除数+除数+商=39，商是3，被除数是( )。 6、甲、乙、丙三个数之和是194，乙数是甲数的1.2倍，丙是乙的1.4倍，甲是( )。 7、圆的周长与直径的比是( )。上5层楼花1.2分钟，上8层楼要( )分钟， 8、任意写出两个大小相等，精确度不一样的两个小数( )、( )。 9、甲数比乙数多25，乙数比丙数多75，甲数比丙数多( )。 10.、三个连续偶数的和是a，最小偶数是( )。 11、的分母增加10，要使分数值不变，分子应增加( )。 12、小红比小刚多a元，那么小红给小刚( )元，两人的钱数
相等。 13、一本故事书页，小华每天看m页，看了y天，还剩( )页未看。 14、a的与b的相等，那么a与b的比值是( )。 15、甲÷乙=15，甲乙两数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 16、一个数的小数点向左移动一位，比原来的数小了2.25，原数是( )。 17、：6的前项乘4，要使比值不变，后项应该加上( )。 18、是把整体“1”平均分成( )份，表示其中的( )份，也可以说把( )平均分成( ) ，份表示其中的( )份，或许说( )是( )的。 二、我是聪明的小法官(对的√、错的×)(5分，每空0.5分) 1、40500平方米=40.5公顷 ( ) 2、统计一个病人的体温最好选择条形统计图。 ( ) 3、小刚生于1995年2月29日。 ( ) 4、圆的半径是，求半圆周长公式是 ( +2)。 ( ) 5、与20%表示意义完全相同。 ( ) 6、一根绳子长剪成两段，第一段长米，第二段占全长的， 第二段绳子长( )米 7、众数的特点是用来代表一组数据的“多数水平”。( ) 8、甲数比乙数多，则乙数比甲数少20% 。 ( ) 9、4900÷400=49÷4=12……1 ( ) 10、同样长的铁丝，围成正方形和围成圆形，它们的面积一
中国航天科技集团casc公益奖学金申请书模板
中国航天科技集团casc公益奖学金申请书 模板 篇一：11.华南农业大学20XX-20XX学年度一等奖学金和先进班集体奖申报先进事迹材料 致术存道冠群英不囿小我事躬行 ——华南农业大学20XX-20XX学年度一等奖学金申报者突出事迹材料 xx学院 xxx xxx,男,汉族,1989年10月出生,中共党员,华南农业大学理学院数学与应用数学专业12级本科生。荣获两次国家奖学金、获得两次八校联盟数学竞赛唯一特等奖、全国大学生数学建模竞赛国家一等奖、第二届全国大学生数学竞赛国家一等奖第九名，并被授予华南农业大学十佳优秀团员、校级优秀三好学生等荣誉称号。 人生格言：励志人生最精彩 “Hope is a good thing, maybe the best of things and no good thing ever die.”电影《肖申克的救赎》里的这句话，一直鼓励着我奋发图强。自12年进入素有“花城”美誉的广州华南农业大学以来，我一直以高标准严格要求自己，追求卓越，志存高远：专业学习上刻苦专研，保持成绩名列前茅；学生工作中尽心尽职，发挥先锋模范作用；
志愿服务里积极奉献，促进自己全面发展。 创新学习源头活水汩汩来 从高中开始，我就对数学产生了浓厚的兴趣，进入大学后，我更加沉浸在数学这颗人类智慧皇冠上最璀璨的珍珠的魅力之中。入学伊始，我便崭露头角，在第一学期的期末考试中，我的3门专业课都是99分，并最终以第一名入选了华南农业大学理学。大学三年以来，我的学业成绩和综合测评始终名列年级第一名，专业课平均分在97分以上，多门数 学核心课程都是满分。对学术的热情，让我奋发前进，先后获得国家奖学金和“中国航天科技集团公司CASC公益奖学金”等荣誉。 我深知，当今社会最重要的品质是不断创新，对已有知识的学习是远远不够的。在夯实专业知识的基础上，我积极参加各种学科竞赛，力图用竞赛锻炼创新能力。在20XX年5月进行的首届“八校联盟”国际数学竞赛中我发挥出色，获得了唯一的特等奖，为学校争得了荣誉。20XX年和20XX年的7月，我包揽了在两届“景润杯”数学竞赛一等奖第一名。20XX年10月，我作为队长带领代表队一行17名同学赴福建师范大学参加全国大学生数学竞赛福建赛区的初赛，以第一名的成绩入选省代表队。次日参加了第二届“八校联盟”国际数学竞赛，卫冕了唯一的特等奖。20XX年3月参加了在北
(完整word版)希望杯数学竞赛小学三年级试题
希望杯数学竞赛（小学三年级）赛前训练题1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形． 5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（）． （2）2，3，5，8，13，21，（）． （3）9，16，25，36，49，（）． （4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（）． （5）3，8，15，24，35，（）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数．
8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成．（2）寻找图7中规律填空． 9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是． 10．图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来． 11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？
14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？ 15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是． 16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员，是运动员． 17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）987-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： （1）634+（266-137）（2）2011-（364+611） （3）558-（369-342）（4）2010-（374-990-874） 19．用基准法计算： 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+89 21．求100以内的所有正偶数的和是多少？ 22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问： （1）这组数列共有多少项？（2）第15项是多少？（3）111是第几项的数？ 23．有10只盒子，54只乒乓球，把这54只乒乓球放到10只盒子中，要求每个盒子中最少放1只乒乓球，并且每只盒子中的乒乓球的只数都不相同，如果能放，请说出放的方法；如果不能放，请说明理由．
厦门大学第十届(2013)景润杯数学竞赛试卷答案(经管)
1. (15分)求下列极限（每小题5分，共15分） （1） n n n n n n n ln )ln 2ln (lim +-∞ → 解：321ln ln ln ln ) ln 21()ln 1(lim )ln 21ln 1(lim )ln 2ln (lim --∞→∞→∞→==+-=+-=+-e e e n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ( 2）2 3 202 arctan )1(sin lim 2 2 t e dy y dx t t t x t --→??+ π； 解：2 322 2 320 2 arctan )1(sin lim arctan )1(sin lim 2 2 2 t e dxdy y t e dy y dx t D t t t t x t -=-- →- →?? ??+ + π π 7 sin lim 2 2sin lim 2 7 2023 2 002 0ππ π - =- =-=? ??+ + →→t dy y y t t dx y dy t t t y t . （3）y x x y e R D x R d d arctan lim ??-+∞ →，其中R D 是由12,0,-===x R y y R x 所围成. 解：由于函数x y e x arctan -在R D 上连续，由积分中值定理得 ,arctan 4d d arctan d d arctan ξ ηξηξξ ---==????e R y x e y x x y e R R D D x 其中R D ∈),(ηξ，即10,2 ≤≤≤≤ηξR R ，于是当+∞→R 时， 0arctan 4d d arctan |d d arctan |2→≤=---????ξ ηξηξ R D D x e R y x e y x x y e R R ， 所以0d d arctan lim =??-+∞ →y x x y e R D x R . 厦门大学第十届景润杯数学竞赛试卷 ＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿年级＿＿＿＿＿＿专业 竞赛时间 2013.06.22 （经管卷）
2009年第二十届“希望杯”全国高二数学邀请赛(第2试)
第20届全国希望杯高二数学邀请赛 第二试 一、选择题（每题4分，40分） 1、设的定义域为D ，又()()().h x f x g x =+若(),()f x g x 的最大值分别是M ，N ，最小值分别是m ，n ，则下面的结论中正确的是（ ） A ．()h x 的最大值是M+N B ．()h x 的最小值是m ＋n C ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+ D ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+的一个子集 2、方程log (0,1)x a a x a a -=>≠的实数根的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、已知函数32()1(0)f x ax bx cx a =++-<，且(5)3f =，那么使()0f x =成立的x 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定的 4、设22{(,)|S x y x y =-是奇数，,}x y R ∈,22{(,)|sin(2)sin(2)T x y x y ππ=-＝ 22cos(2)cos(2),,}x y x y R ππ-∈，则S ，T 的关系是（ ） A ．S ≠?T B ．T ≠ ?S C ．S=T D ．S T =Φ 5、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =，N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ） A ．9 B ．6 C ．18 D ．16 6、关于x 的整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，若a b +是偶数，c 是奇数，则（ ） A ．方程没有整数根 B ．方程有两个相等的整数根 C ．方程有两个不相等的整数根 D ．不能判定方程整数根的情况 7、设x 是某个三角形的最小内角，则cos cos sin 22 x y x x =-的值域是（ ） A ．( B ．( C ． D ． 8、已知e tan ）
第十届华罗庚金杯数学竞赛试卷
第十届华罗庚金杯初赛试题 1. 2005年是中国伟大航海家郑和首次下西洋600周年, 西班牙伟大航海家哥伦布首次远洋航行是在1492 年. 问这两次远洋航行相差多少年？ 2. 从冬至之日起每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, …, 九九. 2004年的冬至为12月21日, 2005年的立春是2月4日. 问立春之日是几九的第几天？ 3. 左下方是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于 1 的正方形. 问这个直三棱柱的体积是多少？ 4. 爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶. 若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？ 5. 在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的 4 倍，游泳的距离是自行车的，长跑与游泳的距离之差为8.5千米. 求三项的总距离. 6. 如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形. 其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为: 3, 6, 10, 15, 21, … 问这列数中的第 9 个是多少？ 7. 一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示. 若用甲容器取水来注满乙容器, 问: 至少要注水多少次？
8. 100 名学生参加社会实践, 高年级学生两人一组, 低年级学生三人一组,共有 41组. 问: 高、低年级学生各多少人？ 9. 小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本. 如果按批发价购买, 每本便宜 2元, 恰好多买4本. 问: 零售价每本多少元？ 10. 不足100 名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈. 问最多有多少名同学？ 11. 输液100毫升, 每分钟输2.5毫升. 请你观察第12分钟时吊瓶图像中的数据, 回答整个吊瓶的容积是多少毫升？ 12. 两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”. 现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是 300, 600 或 900. 问: 至多有多少条直线？ 初赛试题答案 1 87年. 2 六九的第一天.
初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛初赛试题汇编 （1998-2018） 目录 1998年全国初中数学竞赛试卷 (1) 1999年全国初中数学竞赛试卷 (6) 2000年全国初中数学竞赛试题解答 (9) 2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 (14) 2002年全国初中数学竞赛试题 (15) 2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 (17) 2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 (25) 2005年全国初中数学竞赛试卷 (30) 2006年全国初中数学竞赛试题 (32) 2007年全国初中数学竞赛试题 (38) 2008年全国初中数学竞赛试题 (46) 2009年全国初中数学竞赛试题 (47) 2010年全国初中数学竞赛试题 (52) 2011年全国初中数学竞赛试题 (57) 2012年全国初中数学竞赛试题 (60) 2013年全国初中数学竞赛试题 (73) 2014年全国初中数学竞赛预赛 (77) 2015年全国初中数学竞赛预赛 (85) 2016年全国初中数学联合竞赛试题 (94) 2017年全国初中数学联赛初赛试卷 (103)
2018 年初中数学联赛试题 (105)
1998年全国初中数学竞赛试卷 一、选择题：（每小题6分，共30分） 1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ） c b c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）5 3、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ） （Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知0≠abc ，并且 p b a c a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组? ??<-≥-080 9b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、 b ）共有（ ） （Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分） 6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。 7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。 8、已知圆环内直径为acm ，外直径为bcm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。 9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。 10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是___________km 。 三、解答题：（每小题20分，共60分） 11、如图，在等腰三角形ABC 中，AB=1，∠A=900，点E 为腰AC 中点， 点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积。 A B C E F
厦门大学第12届景润杯数学竞赛试卷答案(理工类)
一、 求下列各题极限（每小题5分，共15分） （1） 求极限 20(32sin )3lim tan x x x x x →+-. 原式2 ln(1sin )3222 000022(1sin )1ln(1sin )e 133lim3lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x +→→→→+-+-=?== 02 sin 23lim 3 x x x →==. 另解：原式ln(32sin )ln32200e [ln(32sin )ln 3]lim lim x x x x x e x x e x x ξ+→→-+-== 0012sin 2sin 2 lim lim 33 x x x x x x η→→===. （两次应用拉格朗日中值定理） 其中ξ在ln(32sin )ln 3x x x +与之间，η在(32sin )3x +与之间. (1) 设12121,2,(2,3,)n n n x x x x x n --===+=，求极限1 lim n n x →∞ . 解：将递推的数列等式12n n n x x x --=+看成是二阶常系数的齐次差分方程 其特征方程为210λλ--=，其特征根为12λλ= =，故此差分方程的通解为1122n n n x c c λλ=+，其中12,c c 为常数，其特解可由121,2x x ==定 出,由于12lim ,lim 0n n n n λλ→∞→∞ =+∞=，所以 112211 lim lim 0n n n n n x c c λλ→∞→∞==+. 另解：由题设条件知，对1n ?>，0n x >，且120n n n x x x ---=>，即{}n x 严格单增，所以1212n n n n x x x x ---=+<，112n n x x ->，即有 211 2 n n x x -->， 故 211121213333()()()2 2 22 n n n n n n n x x x x x x ------=+>>> >= 厦门大学第十二届“景润杯” 数学竞赛试卷（理工类） 竞赛日期 2015年5月30日
数学希望杯竞赛
刚刚结束的“中环杯”初赛，今年题型的变化纷纷让学生们措手不及，历来中环杯的难度都是各热门的数学杯赛竞赛中偏高的，小学中热门的数学竞赛，由于“希望杯”相对而言更注重基础，因此似乎对考生来说是最有“希望”拿到证书的数学竞赛。而掌握“希望杯”备考及竞赛过程中的几个要点，对取得好成绩大有帮助。更多信息请点击>> 破解简单题目中的玄机 “希望杯“主要考察学生奥数基础知识的掌握情况，一般奥数教材里的数论、几何、应用题等都会考到，覆盖面较广。比如学生的计算能力；是否能熟记基本的知识点；有无学会对知识和解题方法进行归纳总结，并举一反三，触类旁通等。 相对于其他杯赛，“希望杯”命题风格非常直白，考察学生运用知识点解决实际问题的能力。考试题目虽然比较简单，但可能暗藏陷阱，学生一不留神就可能“中招”。 “希望杯”竞赛的一个特色就是面向的参赛群体非常广泛。在校成绩突出的学生有机会获奖；成绩并不突出但学习踏实的学生同样也有机会获奖。“希望杯”的最终评奖结果在每年的六月初揭晓，而第一试是在每年三月初就公布成绩，进入第二试的比例为20%。有一点要提醒大家注意，“希望杯”第一试往往是“一题两解”，考生在解题时要考虑周全可能包含的各种情况，切勿粗心大意。
专家认为，“希望杯”思维能力竞赛的试题内容不超教学大纲，不超进度，贴近现行的数学课本，又稍高于课本。试题活而不难，巧而不偏，能将知识、能力的考察和思维能力的培养结合起来，而不只是让学生单纯地解答数学题目。 更重视解题过程 由于“希望杯”考察的知识点不偏不刁，这就对不一定具有数学天分但是学习踏实的同学很有利；而且“希望杯”的第二试试题重视解题过程，平时学习习惯好，作业过程认真清晰的学生有希望冲击更高的奖项。从这两点可以看出，“希望杯”非常有利于大部分成绩并不突出的同学获奖，这也是“希望杯”有别于其他杯赛的重要区别之一。 奥数知识基础相对扎实、解题认真的考生最适合报考“希望杯”，那些在学校学习处于中等偏上、学有余力的同学都可以参加。对他们来说，参加考试最大的意义在于检验知识的灵活运用能力。“希望杯”强调灵活的变通，这正符合喜欢思考、善于思考的学生的需求。学生不妨看看“希望杯”基础在哪，基础之上的变通又在哪，从而检测自己对于数学学习的掌握情况。我们建议只要对数学有兴趣者都可以参加，“希望杯”注重基础知识点的考察，难度又稍高于平时。考生要想获得名次，就肯定要花时间去“吃透”这些知识点。如果学生能以此标准来要求自己，那学起基础数学就更是应对自如了。 历年真题是法宝
初一华罗庚杯数学竞赛
绝密★启用前 2015-2016学年度???学校12月月考卷 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1．船在江中顺水航行与逆水航行的速度之比为7：2，那么它在两港间往返一次的平均速度与顺 水速度之比为( )。 (A) 14 7 (B) 14 9 (C) 92 (D) 94 。 【答案】D 【解析】分析：设出顺水速度和逆水速度，那么可让总路程÷总时间求得平均速度，相比即可． 解答：解：设船在江中顺水速度为7x ，则逆水速度为2x ，一次的航程为1． ∴平均速度= 2117x 2x += 28 9 x ， ∴它在两港间往返一次的平均速度与顺水速度之比为 289 x ：7x=94． 故选D ． 2． 如右图所示，三角形ABC 的面积为1cm 2 。AP 垂直∠B 的平分线BP 于P 。则与三角形PBC 的面积相等的长方形是( )。 【答案】B 【解析】分析：过P 点作PE ⊥BP ，垂足为P ，交BC 于E ，根据AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，即可求出△ABP ≌△BEP ，又知△APC 和△CPE 等底同高，可以证明两三角形面 0.5cm 0.5cm 0.9cm 1.0cm 1.1cm 1.2cm (A) (B) (C) (D) B
试卷第2页，总5页 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ 内 ※ ※ 答 ※ ※ 题 ※ ※ 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ 积相等，即可证明三角形PBC的面积． 解答：解：过P点作PE⊥BP，垂足为P，交BC于E， ∵AP垂直∠B的平分线BP于P， ∠ABP=∠EBP， 又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°， ∴△ABP≌△BEP， ∴AP=PE， ∵△APC和△CPE等底同高， ∴S△APC=S△PCE， ∴三角形PBC的面积=1 2 三角形ABC的面积= 1 2 cm2， 选项中只有B的长方形面积为1 2 cm2， 故选B． 3．设a，B的解集为x x的不等式bx-a>0的解集是( )。 (A) x x
2018年全国初中数学竞赛试题及答案
１ 2018年全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则 ab c ca b bc a 2 22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20a t b t c ++ =，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有333 3a b c abc ++=， 所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ， 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ， 所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。
2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷(小高组)
2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小 高组） 一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.） 1．（10分）两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（）种可能的取值． A．16 B．17 C．18 D．19 2．（10分）小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（）分钟． A．6 B．8 C．10 D．12 3．（10分）将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成如图，长方形ABCD 内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（）平方厘米． A．14 B．16 C．18 D．20 4．（10分）请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（） A．2986 B．2858 C．2672 D．2754
5．（10分）在序列20170…中，从第5 个数字开始，每个数字都是前面4 个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第 5 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（） A．8615 B．2016 C．4023 D．2017 6．（10分）从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（）种填法使得方框中话是正确的． 这句话里有（）个数大于1，有（）个数大于2，有（）个数大 于3，有（）个数大于4． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题10分，共40分） 7．（10分）若[﹣]×÷+2.25=4，那么A 的值是． 8．（10分）如图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1﹣5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有种情况使得这五个和恰为五个连续自然数． 9．（10分）如图中，ABCD是平行四边形，E为CD的中点，AE和BD的交点为F，AC和BE的交点为H，AC和BD的交点为G，四边形EHGF的面积是15平方厘米，则ABCD的面积是平方厘米．
2020年全国初中数学竞赛试题及答案
初三数学竞赛试题 2009年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．已知非零实数a，b 满足，则等于（）． （A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 【答】C．解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是，从而＝1． 2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）． 【答】A．解：因为△BOC ∽△ABC，所以，即，所以，． 由，解得． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（）． （A）（B）（C）（D） 【答】D．解：当时，方程组无解．当时，方程组的解为 由已知，得即或由，的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得 共有 5×2＝10种情况；或共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，. 动点P从点 B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y 看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（）． （A）10 （B）16 （C）18 （D）32
【答】B． 解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故S△ABC＝×8×4＝16. 5．关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（）． （A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组 【答】C．解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为． 由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数．由≥，解得≤．于是 1 4 9 16 116 109 88 53 4 显然，只有时，是完全平方数，符合要求． 当时，原方程为，此时； 当y＝－4时，原方程为，此时．
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