初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第17章几何不等式与极值问题试题新人教版

第17章 几何不等式与极值问题

一个凸行边形的内角中，恰好有4个钝角，求n 的最大值．

解析

考虑这个凸行边形的n 个外角，有4n -个角90?≥，故有()490360n -??

小于是由于4个钝角的外角和大于0?），因此8n <，n 的最大值是7．易构造这样的例子。 如果恰好有k 个钝角，则n 的最大值是3k +.

在ABC △中，AB AC >，P 为BC 边的高AD 上的一点，求证：AB AC PB PC -<-. 解析 易知AB AC PB PC +>+，

又2222AB AC BD CD -=- 22PB PC =-，

故有AB AC PB PC -<-．

评注 读者不妨考虑AD 是角平分线与中线的情况．

17.1.3 已知四边形ABCD ，AC 、BD 交于O ，ADO △和BCO △的面积分别为3、12，求四边形ABCD 面积的最小值．

解析 易知ABO BCO

ADO DCO S S BO S DO S ==

△△△△，故36ABO CDO ADO BCO S S S S ?=?=△△△△.

从而12ABO CDO S S +=△△≥，

且当ABO CDO S S =△△（此时四边形ABCD 为一梯形）时等号成立，所以此时四边形ABCD 面积达到最小值27.

已知：直角三角形ABC 中，斜边BC 上的高6h =． （1）求证：BC h AB AC +>+； （2）求()()2

2

BC h AB AC ++-. 解析

()

()2

2

BC h AB AC +-+

222222BC h BC h AB AC AB AC =++?---?，

由条件，知242ABC BC h S AB AC ?==?△，且222AB AC BC +=， 于是()()2

2

236BC h AB AC h +-+==.

注意：这同时解决了（1）和（2）.

设矩形ABCD ，10BC =，7CD =，动点F 、E 分别在BC 、CD 上，且4BF ED +=，求AFE △面积的最小值． 解析设 BF x

=，

()

4DE y x ==-，则

()()()11

7101077022ABF ADE ECF S S S x y x y xy ++=++--=+????△△△。 由()2

144

xy x y +=≤

。故 ()1

70704332

AEF S -?+=△≥.

当2BF ED ==时达到最小值． 设P 是定角A ∠内一定点，过P 作动直线交两边于M 、N ，求证：AMN △面积最小时，P 为MN 的中点． 解析 如图，连结AP ，设MAP α∠=，NAP β∠=，θαβ=+，由 AMP ANP MAN S S S +=△△△，得

sin sin sin AM AP AN AP AM AN αβθ??+??=?。

又 左式2AP ≥， 故 212sin sin sin 2sin AMN

AP S AM AN αβ

θθ

=??△≥

。 达到最小值时，须AMP ANP S S =△△，故P 为MN 之中点.

正三角形ABC 的边长为1，M 、N 、P 分别在BC 、CA 、AB 上，1BM CN AP ++=，

求MNP △的最大面积。

解析 如图，设BM x =，CN y =，AP z =，则0x ≤，y ，1z ≤，1x y z ++=。

()()()1111sin602APN BPM MNC S S S x z y x z y ++=-+-+-?????△△△， 于是问题变为求()()()111x z y x z y -+-+-的

最小值，展开后约去()1x y z ++=，即求xz yx zy ++的最大值． 由

不

等

式

()2

1133

xy yz zx x y z ++++=≤

知，当1

3

x y z ===

时，

2

9

APN BPM MNC ABC S S S S ===△△△△，此时MNP S △的面积达到最大值。

()max 13MNP ABC S S =

△△.

设ABC △是边长为l 的正三角形，过顶点A 引直线l ，顶点B 、C 到l 的距离记为1d 、

2d ，求12d d +的最大值．

解析

如图，若l 穿过BC ，则由“直角边小于斜边”知121d d BC +=≤，取到等号时仅当

l BC ⊥.

若l 不经过BC ，取BC 中点P ，作PQ l ⊥，Q 在l 上，则1222d d PQ AP +==≤号仅当l BC ∥.

综上所述，12d d +

17.1.9 在数1、

12、13、14、15、16、17、18、19、1

10

中，若任找三个数能组成三角形的三边，则称这三个数是“好搭档”，则总共有多少组“好搭档”？ 解析 此题可分类讨论。

显然1不可能为边．

由于1115910<+，故15???，16，17，18，19，110???中任三数可构成三角形的三边，一共有6!20

3!3!=组。 当最大边为

12时，次大边只能为13

，最小边为14或1

5，有2组。 当最大边为13时，次大边为14或15．次大边为14时，最小边1113412>-=，故可取11

~510；

次大边为15时，最小边1123515>-=，可取16与1

7共有8组．

当最大边为

14时，次大边为15、16

、1

7．次大边 为15时，最小边1114520>-=，可取11

~610；次

大边为

16时，最小边1114612>-=，可取11

~710； 次大边为

17时，最小边1134728>-=，可取1

8

和1

9

。共有11组。 综上所述，总共有41组．

设60XOY ∠=?，A 、B 是OX 上的两个定点，P 是OY 上的一个动点，问当P 在什么位置时，22PA PB +最小？

解析 如图，设OA a =，OB b =，OP x =，不妨设a b <。则 222PA a x ax =+-， 222PB b x bx =+-，

故 ()222222PA PB x a b x a b +=-+++

()2

2

22

248a b a b x a b ++??=-++- ?

?

?。 显然当4

a b

x +=时，22PA PB +最小。 评注

容易验证，此时P 为AB 的中点在OY 上的射影。

设直角ABC △中，90C ∠=?，求证：

2

4

ABC AB S △≤. 解析 如图，作A 关于BC 的对称点A '，连结'A B 、'A C ，则

2211

sin 244

AB B AB =

≤. 取等号仅当ABC △为等腰直角三角形。 X 是ABC △的边AB 上一点，P 为ACX △的内心，Q 是BCX △的内心，M 是PQ 的中点，求证：MC MX >.

解析

如图，连结XP 、XQ 、CP 、CQ ，则90QXP ∠=?，1

2

MX PQ =

，又1902PCQ BCA ∠=∠

2

CM PQ >，于是结论成立。

评注 三角形某边上的中线分别大于、等于、小于该边的充要条件是该边所对内角为锐角、直角或钝角，这是一个常见的结论．

已知凸六边形ABCDEF 中，AF CD ∥，AB ED ∥，BC EF ∥， 求证：ACE BDF ABCDEF S S S +△△≥. 解析

如图，作ABCD □、QCDE □、EFAR □，于是出现三组全等三角形。这样便有

()2ACE PQR PQR ABCDEF S S S S -+=△△△六边形，

即 ()1

+2ACE PQR ABCDEF

S S

S =

△△六边形 1

2

ABCDEF S 六边形≥. 同理有 1

2

BDF ABCDEF S S △六边形≥.

评注 不破除对称性，此题就比较复杂（当然不是所有的题目都能带给你好运）．另外，用这种方法还能证明ACE BDF S S =△△.

已知矩形ABCD ，3AB =，5BC =，P 是AD 上一点，CP 、BA 延长后交于M ，直线CQ 垂直于BP ，交BM 于Q ，若Q 为MB 中点，求AP .又条件同上，若BC 的长度不固定，求BC 的最小值． 解析

如图，设AP x =，由MBC △∽CDP △，得

MB CD BC PD =

，代入得15

5MB x

=-。 又APB △∽BQC △，得BQ AP BC AB =

，5

3

BQ x =。 由2MB BQ =，得32

53

x x =-，或221090x x -+=，

解得x =

若BC 长度不固定，设其为y ，3y MB y x =

-，3

xy

BQ =，故由2MB BQ =得323x y x =-，或

22290x yx -+=，由0?≥得y ≥BC 可取的最小值是P 为AD 中点。

设I 为ABC △的内心，P 是ABC △内部的一点，满足PBA PCA PBC PCB ∠+∠=∠+∠.

求证：AP AI ≥，并说明等号成立的充分必要条件是P I =. 解析 易知

()1

2

PBC PCB B C IBC ICB ∠+∠=

∠+∠=∠+∠， 因此 BPC BIC ∠=∠.

故B 、C 、I 、P 四点共圆，即点P 在BCI △的外接圆ω上。 记ABC △的外接圆为Ω，则ω的中心M 为Ω的BC 的中点，即为A ∠的平分线AI 与Ω的

交点。

在APM △中，有

AP PM AM AI IM AI PM +=+=+≥， 故 AP AI ≥.

等号成立的充分必要条件是点P 位于线段AI 上，即P I =.

延长一凸四边形形的四边和对角线，得六条直线，任两条直线有一个不大于90?的夹角（这些线无两条平行），求这些夹角中最小的一个的最大值． 解析 如图，标好各角，则12345612180ACB ABC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=?，故总有一角30?≤，当ABC △为正三角形，DB AB ⊥、DC AC ⊥时最小角达到最大值30? 凸四边形ABCD 中，点M 、P 分别是BC 、CD 的中点，若AM AP a +=，求证：

21

<2

ABCD S a 四边形。

解析 如图，连结AC 、MP ，易知 11

42AMP BDC AMCP ABCD S S S S +==△△四边形四边形．

又

BDC ABCD S S <△四边形，

22

1()1288

AM AP AM AP a +?=≤≤， 因此 2111

248

ABCD ABCD S S a <+四边形四边形，

即

21

2

ABCD S a <四边形．

在三角形ABC 中，4AC =，6BC =，2BAC ABC ∠=∠．P 是平面上任意一点，求32PA PB PC ++的最小值． 解析 因为

224AB AC AB +=+≥． 下面来求AB ．

延长BA 至D ，使得DA AC =，连结CD ，则

1

2D DCA BAC ABC ∠=∠=∠=∠，

所以DCA △∽DBC △，故

DC DA

BD DC

=

，所以2DC DA DB =?，即364(4)AB =+，故5AB =． 所以，所求的最小值为14． 在锐角三角形ABC 中，求证： cos cos 2sin

2

A B C +≤． 解析 当B C ∠=∠时，显然有cos cos 2sin

2

A

B C +=．下面不妨设AB AC >． 在AB 上取点F ，使AF AC =．作角平分线AE 、高AD ，则AE 垂直平分CF ．又作FH AD ⊥于H ，AD 与CF 交于G ，则2sin cos cos 2A CF FG CG FH CD

B C AC FA AC FA AC

==+>+=+． ABC △中，点D 为BC 之中点，点E 、F 分别在AC 、AB 上，求证： 2DEF ABC AEF S S S <-△△△．

解析 如图，连结BE 、CF ，则由BD CD =，得 2DEF BEF CEF S S S =+△△△．

而BEF BCF S S <△△，故BEF CEF BCF CEF ABC AEF S S S S S S +<+=-△△△△△△．于是结论成立． 设a 、b 、c 为三角形三边长，则对任意实数x 、y 、z ，有 22()()()()a x y x z b y z y x --+--2()()0c z x z y +--≥．

解析 设x y p -=，y z q -=，则x z p q -=+， 原式222()()a p p q b qp c p q q =+-++ 2222222()()a p a b c pq c q f p =+-++=．

它的判别式 22222222()4a b c q a c q ?=-+-

0≤．

于是

()0f p ≥．

已知图中窗框总材料一定，问何时窗的面积最大？（图中6个矩形全等） 解析 设AB x =，AC y =，则总材料为109πl x y x =++（l 为常数），面积为2

π62

S xy x =+．于是

(10π)9l x y -+=

，代入，得2220π336l S x x ??

=-+ ???

．

这个二次函数在240π

l

x =

+时取到极大值，此时x 、y 均有实际意义．取得窗的最大面积为2

21203π

l +．

ABCD 和EFGH 都是边长为1的正方形，且AB EF ∥．两个正方形重叠部分的面积为

116

，求两个正方形中心距离的最小值． 解析 如图，设ABCD 的中心为I ，EFGH 的中心为J ，过I 、J 分别作IK AB ∥，JK BC ∥，

IK 、JK 交于K ．又设两正方形重叠部分为矩形BMHN ，HM x =，HN y =，则1

16

xy =

，11122IK x x ??

=

+-=- ???

，同理1JK y =-， 所以

222(1)(1)IJ x y =-+-

277

(1)88

x y =+-+≥．

所以， IJ ．

当x ，23y 时等号成立．故所求的最小值为4

． 在锐角ABC △的边BC 、CA 、AB 上各有一动点D 、E 、F ，求证：DEF △的周长达到

最小当且仅当AD 、BE 、CF 为ABC △的三条高．

解析 如图，设D 关于AB 、AC 的对称点分别为G 、H ，GD 与AB 交于M ，DH 与AC 交于N ，则DEF

△的周长22sin GF FE EH GH MN AD BAC =++==∠≥≥42sin ABC

S AD BAC BC

'∠=

?△ 2sin ABC

S BAC R

∠=

△． 这里AD '为ABC △的高，R 为ABC △的外接圆半径．又由对称性，除了AD BC ⊥外，BE 、CF 也分别必须垂直于AC 、AB 时方能达到．

直角三角形内切圆半径为1，求其面积的最小值．

解析 设该直角三角形直角边长为a 、b ，则易知其内切圆半径为1

(12a b +=，

整理，得222(2)a b a b +-=+，或2222ab a b =+-≥，此即22)2≥．

由于每条直角边均大于内切圆直径22>2

积为3+

梯形ABCD 高为d ，上底AD a =，对角线交于P ，求用a 、d 表示APD △与BCP △面积之和的最小值．

解析 如图，作EPF 与AD 、BC 垂直，垂足分别是E 、F ．设BC x =，则PE PF d +=，

PE AD a

PF BC x ==，解得ad PE a x

=

+，

xd PF a x

=

+，于是

2222

111222APD BCP

a d x d a x S S d a x a x a x

++=?+?=?

+++△△．

设22

a x y a x

+=+，

则220x yx a ay -+-=有解，故0?≥，即224()y a ay -≥，即2y a +≥，

y 的最小值为1)a ，故最小面积为1)ad ．此时1)x a =．

设D 是ABC △的边BC 的中点，E 、F 分别在边AB 、AC 上，DE DF ⊥，试比较BE CF +与EF 的大小关系．

解析 如图，延长FD 至P 使DP DF =，由BD CD =，知BDP △≌(SAS)CDF △，故

CF BP =．

又ED 垂直平分PF ，故EF PE =，易见EP BE BP <+，所以EF BE CF <+．

一凸六边形ABCDEF 每条边长均为1，求证：AD 、BE 、CF 中至少有一个2≤．

解析 如图，由于720A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=?，不妨设240A F ∠+∠?≤，作菱形ABGF ，则60GFE ∠?≤，1FG FE ==，则GE 是FGE △最小边，1GE ≤，又1BG =，故2BE BG GE +≤≤．

在正ABC △内，P 是一动点，求以P 在三边上的射影为顶点的三角形面积的最大值． 解析 如图，ABC △内一点P 在BC 、CA 、AB 的射影分别为D 、E 、F ，则

)PD PE PE PF PF PD =

?+?+?． 由熟知的不等式21

()3ab bc ca a b c ++++≤，及PD PE PF ++为常数（ABC △的高h ），得

21144

ABC S =

=△． 等式成立，仅当PD PE PF ==，此时P 为ABC △的中心．

证明：四边形四边的平方和不小于对角线的平方和，等号成立仅当该四边形为平行四边形时．

解析 如图，设BD 中点为E ，由中线长公式知 222

2

24

AB AD BD AE +=-

， 222

2

24

BC CD BD CE +=-

． 又由基本不等式，有

22222()()AE CE AE CE AC ++≥≥，

故用中线长公式代入，即得四边形四边平方和的不等式．

等号成立时A 、E 、C 共线，且E 为AC 中点，即AC 、BD 互相平分，于是四边形ABCD 为一平行四边形．

评注 又由托勒密不等式AD BC AB CD AC BD ?+??≥，知有222()()()AD BC AB CD AC BD ++++≥，等号成立仅当四边形ABCD 为矩形．

设面积为1的锐角ABC △三条边分别是a 、b 、c ，动点P 在AC 上，P 在BC 上的射影是

Q ，求BPQ △面积的最大值（用a 、b 、c 表示）

． 解析 如图，作AR BC ⊥于R ．因为cot BQ PQ C BC +=（常数），于是4cot BQ PQ C ??= 22()BC BQ CQ --．

当BR RC ≤，即AB AC ≤或c b ≤时，Q 可为BC 中点，此时BQ CQ =，从而BPQ S △可得最大值为 22224cos 2()

ABC a S a b C a b c ?==+-△． 当BR RC >，即c b >时，BQ CQ >．当Q 落在R 上，BQ CQ -达到最小，BQ PQ ?达到最

大．此时BPQ S △的最大值为2222

2

sin cos cos 22ABR c c a c b S B B B a a +-===△．

设D 为定线段AB 上一定点，P 为动点，PD 的长度固定，求PA PB +之最大值． 解析 由斯图沃特定理222PA BD PB AD AD BD AB PD AB ?+?=??+?，注意等式右端为定值． 又由柯西不等式（或展开后移项配方）有

22211()()PA BD PB AD PA PB BD AD ??+?+?+ ???≥， 故

22

2

PD AB AB BD AD

?=+

?，

于是PA PB +的最大值是PA AD

PB BD

=

，PD 为APB ∠的平分线． 直角三角形ABC 的直角顶点C 在直角三角形DEF 的斜边DF 上，而E 在ABC △的斜边

AB 上，如AC 、BC 、DE 、EF 分别等于10、15、12、12，求凸四边形ABFD 之面积的最大值．

解析 如图，由四边形面积公式，知

11

15022

ABFD AECD EBFC S S S AC DE EF BC =+?+?=四边形四边形四边形≤．

取等号须AC DE ⊥，EF BC ⊥．此时若将点C 位于DF 中点，则由DE 、EF 的值易知E 在

ACB ∠平分线上，BC 垂直平分EF ，AC 垂直平分DE ，

进而由AC 、BC 之值可知E 在AB 上，满足要求．所以ABFD S 四边形的最大值为150．

凸四边形一内点到四个顶点的距离分别是1、2、3、4，求这样的四边形的最大面积．

解析 设凸四边形ABCD 内有一点P ， {PA ，PB ，PC ，}{1PD =，2，3，4}， 则

2125

()82

PA PC PB PD +++=

≤． 等号成立，必须PA PC PB PD +=+，比如1PA =，4PC =，2PB =，3PD =，且A 、P 、

C 共线，B 、P 、

D 共线，AC BD ⊥，此时，5AC BD ==，ABCD S 四边形取最大值25

2

．

面积为1的三角形ABC 中，三条边长a 、b 、c 满足a b c ≤≤，求a b +的最小值． 解析 如图，过C 作直线l AB ∥，又作BE l ⊥于E ，延长一倍至D ，连结CD ．则

a b AC CD AD +=+≥h BE =．

显然有22448c h ch +==≥，于是a b +≥

仅当A 、C 、D 共线，即a b ==，且22c h ==时取等号，此时ABC △为等腰直角三角形．

三角形两边长分别等于10和15，证明：这两个边的夹角的角平分线小于12． 解析 如图，不妨设15AB =，10AC =，AD 为角平分线．今在AB 上取一点E ，使ED AC ∥，则易知

153

255

ED BD AB AC BC AB AC ====+， 故3

1065

ED =?=，又由EAD DAC EDA ∠=∠=∠知6AE ED ==，于是12AD AE ED <+=．

显然12是最佳上界．

正三角形ABC 边长为1，M 、N 、P 分别在BC 、CA 、AB 上（含顶点），AP AN BP BM MC CN +=+=+，求MNP △的最大周长和最小周长． 解析 如图，易知1AP AN BP BM MC CN +=+=+=．

由PN AP AN +≤等知MNP △的周长3AB BC CA ++=≤，达到最大值时M 、N 、P 分别落在ABC △的三个顶点上．

又作BAC ∠的平分线AST ，PT 、NS 分别与AST 垂直于T 、S ，由于30PAS NAS ∠=∠=?，1222AP AN PT SN PN =+=+≤，故1

2PN ≥，取等号时PN AS ⊥，且P 、N 是AB 、AC

的中点，同理有PM ，12MN ≥，故MNP △的周长3

2

≥，取等号仅当M 、N 、P 为各边之

中点时．

已知面积为T 的梯形ABCD 满足AB CD ∥，E 为边AB 上一点，且满足EC AD ∥，直线

AC 、BD 、DE 交出的三角形面积为t ．当

t T 最大时，求AB CD

． 解析 如图，设DE 与AC 交于M ，BD 与AC 交于N ，则MND S t =△． 设CD x =，()AB y x =≥，

2ADCE ABCD S x

S x y

=

+梯形，即2ADCE

xT S x y =

+，2()

DMC xT

S x y =+△，又设AM CM p ==，MN q =，则y AB AN p q

x CD CN p q

+===

-，解出

q y x

p y x

-=

+，即2()2()2()DMN y x xT y x xT t S y x x y x y --==

?=

+++△．于是要2

()()y x x

x y -+达到最大，即21(1)k k -+达最大，其中1y k x =≥．令1112S k ??= ?+??

≤，则2

2

2111212122(12)(1)2228k S S S S S S k -+-??=-=??-?= ?+??≤，

仅当212S S =-时达到最大，此时3k =．

已知ABC △的边AB 、AC 上分别有点D 、E

，F 在DE 上，求证： ABC S △，

并求等号成立的条件．

解析 如图，连结CD 、AF ．设1AD k DB =，2AE k CE =，3DF

k EF =，则 231

11111EFC EFC AFC ADC

ABC AFC ADC ABC

S S S S k

S S S S k k k =??

=??

+++△△△△△△△△． 同理

32132

1

111DFB ABC S k k S k k k =??+++△△． 于是

3122222

123

1111

(1)(1)(1)44464EFC DFB ABC S S k k k S k k k ?=????=+++△△△≤． 开方即得结论．取等号时1231k k k ===，即DE 是中位线，F 为DE 中点．

已知Rt ABC △中，90C ∠=?，CD AB ⊥于D ，B ∠的平分线交CD 于E ，交CA 于F ，G

是EF 的中点，连结CG ，设CFG △、BED △、BFC △的周长分别为1C 、2C 、3C ．求1

2

3C C C +的最大值．

解析 易知1

902

CFB ABC BED CEF ∠=?-∠=∠=∠，可得CE CF =，则CG 平分ECF ∠，

而90ECF BCD ABC ∠=?-∠=∠，所以FCG ECG CBF ABF ∠=∠=∠=∠，可推得CFG △∽

BFC △∽BED △．因此13C CF C BF =

，23C BE

C BF =． 设CF

x BF =，因为2BE BF GF =-，2CF GF BF =

，所以 2

2

121212BE GF CF x BF BF BF ??=-?=-?=- ???

．

因此，2

21

212333199(12)2488C C C C CF BE x x x C C C BF BF +?

?=+=+=+-=--+ ??

?≤，所以，当14x =，即4CF BF =时，

123C C C +有最大值9

8

． BE 、CF 是ABC △的中线，且BE CF ⊥，设AC b =，()AB c c b =>． （1）求BC 之长（用b 、c 表示）；

（2）若ABC △存在，求

b

c

的范围． 解析 （1）设BE 交CF 于G ，则G 为ABC △的重心，故2GF GC =，2GE BG =，设GE x =，GF y =，因FGB △、EGC △、GBC △为直角三角形，于是有： 由①+②得22221

5()()4x y b c +=+，

由③得 2221

()5BC b c =+，

即

BC =

（2）如果ABC △存在，则 AB AC BC AB AC +>>-， 于是有：

从而

222

2221()(),5

1()().5c b b c c b b c ?+>+???

?-<+??

④⑤

不等式④恒成立；由不等式⑤得： 2

41040b b c c ????

-+< ? ?????

， 解之得：

122b

c

<<． 由于0c b >>，结合不等式⑤的解，得： 112b

c

<<． 所以，当

112b

c

<<时，ABC △存在． ABC △中，点D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上，求证：

1

min(,,)4

AFE BFD CED ABC S S S S △△△△≤，

并求等号成立的条件． 解析 如图，

222AFE BFD DCE ABC ABC ABC S S S AF AE BF BD CD CE AF BF BD CD CE EA

S S S AB AC AB BC BC CA AB BC AC ????????=??=??

???△△△△△△．

易知

22

1()4AF BF AF BF AB AF BF ??=+≤，仅当F 为AB 中点时取等号，同理2BD CD BC ?，21

4

CE EA AC ?≤，于是记min(,,)AFE BFD CED S S S S =△△△，则

3

3

1

64

AFE BFD DCE ABC

ABC ABC ABC S S S S S S S S ??△△△△△△△≤

≤． 所以1

4

ABC S S △≤，取等号时仅当D 、E 、F 为各边中点．

已知：锐角ABC △中，角平分线AD 、中线BM 、高CH 交于一点P ，证明：45BAC ∠>?． 解析 如图，若45BAC ∠?≤，则由于90ACB ∠?，故AC BC >，AH BH >．

作边AB 上的中线CN ，交BM 于Q ，易知N 在AH 内，于是1

2AH HP NQ AC CP QC =<=，故在直

角三角形AHC 中，60BAC ∠>?，矛盾，于是45BAC ∠>?．

证明托勒密定理和托勒密不等式：对于凸四边形ABCD ，AB CD AD BC AC BD ?+??≥，等号成立仅当A 、B 、C 、D 共圆．

解析 如图，今在AB 或延长线上取一点M ，在AD 或延长线上取一点N ，使2AB AM AC AD AN ?==?，连结MC 、NC 、MN ．

易知ABC △∽ACM △，故AC MC BC AB =?，同理，AC

NC CD AD

=?，又ABD △∽ANM △，

故

2

AM BD AC MN BD AD AD AB

=?=?

． 由于MN CM CN +≤，上几式代入，得

2BD AC AC AC

BC CD AD AB AB AD

??+?

≤， 去分母，即得托勒密不等式．等式成立的条件是M 、C 、N 共线，此时 180ABC ADC ACM ACN ∠+∠=∠+∠=?， 即A 、B 、C 、D 共圆．

边长为1的正方形内部或边界上有n

个点，则必有两点距离3)n =，1(4)n =． 解析 如图(a)，先说明一个结果：ABC △中AD 为角平分线，AA '是AD 的反向延长，则由90A AB A AC ''∠=∠>?，得A B AB '>，A C AC '>．

先考虑3n =的情形，假定P 、Q 、R 三点在正方形ABCD （边长1）内或边上．若P 在内，则可用QPR ∠角平分线反向延长，交到正方形某边或顶点为P '，这样P QR '△的每边都不小于PQR △的相应边．于是P 、Q 、R 三点最终都被“调”到正方形ABCD 的边或顶点上．再通过平移，必能使某点落在正方形的顶点上，其余点若在正方形内，再按上述办法继续调，最终三个顶点都落在正方形边界上，且其中至少有一个点的正方形的顶点．

不妨设P 落在A 的位置，若Q 在AD 或AB 上，

则1PQ <≤于是由对称性，可设Q 在CD 上，而R 在BC 上．如图(b)

．若AQ >

2DQ ，

1CQ <，

同理1CR <，RQ

综上所述结论成立．

以下讨论4n =的情形．由于正方形内或边上最远两点距离是正方形对角线长度，故正方形

ABCD （边长1）中四点P 、Q 、R 、S 中任两点距离

如四点构成凸四边形PQRS ，不妨设90S ∠?≥，则2222PS SR PR +≤≤，所以PS 、SR 中有一个1≤．如四点中S 位于PQR △内或边上，不妨设12090PSR ∠?>?≥，同理得min(,)1PS PS <．

设ABC △三边长分别为a 、b 、c ，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE 平分ABC △的面积，求DE 的最值（用a 、b 、c 表示）． 解析 如图，设CF 、BH 为中线．

设AD x =，AE y =，则由12ADE ABC S S =△△，有1

2

xy bc =．

又由余弦定理，222222cos ()2(1cos )()(1cos )DE x y xy A x y xy A x y bc A =+-=-+-=-+-． 因(1cos )bc A -为常数，故DE 的大小取决于||x y -．由于xy 为常数，故x y -是x 的增函

数．当||x y -取最大值，x 需最大或最小，x 最大为AB c =（这时y 取最小值2b ），最小为2

c

（这时y 取最大值b ）．因此DE 的最大值是AB 、AC 中短边上的中线．比如当c b ≥时，DE

． 记()f x x y =-，若()0f c ≥，02c f ??

???≤，则x y =可取到，于是当122c b ≤≤时，DE 的最

=

当

12c b <或2c b >时，比如2c b >时，x 总不会小于y ，此时2

c

x =时，||x y -最小，DE 就是CF ，即为AB 、AC 中长边上的中线，所以在2c b >的前提下，DE 最小值是

．2b c >时可以类推． 在Rt ABC △中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，H 为斜边AB 的高的垂足，G 是DH 的中点．设O 为AB 上的任一点，求证：EOF ∠取最大的角便是EGF ∠． 解析 连结CH ，则HF 为Rt CHB △斜边BC 上的中线，故1

2

HF BC FB =

=． D 、E 分别为AB 、AC 中点，故DE ==∥1

2

BC ，所以DE HF =，ADE ABC FHB ∠=∠=∠，

从而EDG FHG ∠=∠．

又DG GH =，故EDG △≌FHG △． 于是有

EG GF =，EGD FGH ∠=∠．

延长EG 至N ，使GN EG =，连结HN ，易知FGH △≌NGH △．

从而FH HN =．结合GF GN =知GH 为线段FN 的垂直平分线．

设O 为AB 上任一异于G 的点，则OF ON =，且易知ON OF OE =>（若O 在G 的左边，

OF OE >，O 在G 的右边，则OE OF >）

．从而 OFG ONG OEM ∠=∠∠≤，

在OEM △与MGF △中，EMO ∠与FMG ∠为对顶角，于是有： （等号当且仅当点O 与点G 重合时取到）． 这就证明了EOF ∠取最大角时便是EGF ∠．

设四边形四边依次为a 、b 、c 、d ，则其面积S 中2

a b c d

p +++=

．取到最大值时，仅当四边形内接于圆． 解析 如图，连结AC 、BD ，交于O ，AOB θ∠=，则由四边形的余弦定理（见题，得 22222cos b d a c AC BD θ+--=?，

又

42sin ABCD S AC BD θ=??四边形，

两式平方后相加，得

2222222164()ABCD S AC BD b d a c =?-+--四边形，

即

ABCD S 四边形 由托勒密不等式（参见题17．1．44），有AC BD ac bd ?+≤，故

由托勒密定理知，仅当ABCD 内接于圆时，面积取最大值.

，D 、E 分别是边BC 、AB 上的点，且123∠=∠=∠．如果ABC △、EBD △、

ADC △的周长依次为m 、1m 、2m ，求证：

125

4m m m +≤. 解析

因为23∠=∠，所以ED AC ∥，EBD △∽ABC △，

1m BD

m BC

=

；又13∠=∠，所以ADC △∽BAC △，2m AC m BC

=

，设AC b =，BC a =，由ADC △∽BAC △得22

AC b DC BC a ==，222

b a b BD a a a -=-=，这样，由2212m BD a b m BC a -==，2m AC b m BC a ==

，可得2

22122

155

1244

m m a b b b b b m a a a a a +-????=+=-++=--+ ? ?????≤.当12b a =，即2BC AC =时，等号成立．

17．1．50★★★为ABC △内一点，过O 引三条边的平行线DE BC ∥，FG CA ∥，HI AB ∥．D 、E 、F 、G 、H ，I 为各边上的点（如图），记1S 为六边形DGHEFJ 的面

积，2S 为ABC △的面积．证明：122

3

S S ≥.

解析 可以从DGO △、OHE △，OIF △的面积与ABC △的面积关系入手． 设BC a =，CA b =，AB c =，FI x =，EH y =，DG z =.易知

OIF △∽HOE △∽GDO △∽ABC △，

所以，z OD BI c a a ==，y OE FC

b a a

==

， 由此可得

1x y z IF FC BI

a b c a

++++==. 由柯西不等式知： 2

222222211

33

OIF OEH OGD S S S x y z x y z S a b c a b c ++??=++++= ???△△△≥，

从而22

3

OHAG OEFC OIBD S S S S ++四边形四边形四边形≤.

而四边形OHAG 、OECF 、OIBD 均为平行四边形，所以

21

3

AHG CEF BDI S S S S ++△△≤，即1223S S ≥.

ABC ，1BC =，90C ∠=?，30A ∠=?，P 、Q 、R 分别在AB 、BC 、CA 上，求()max , , PQ QR RP 的最小值．

解析 如图，猜想最小值是当PQR △为正三角形时取到．为求此值，不妨设图中的PQR

△为正三角形．作QD AC ∥，S 在AB 上．当S 在AP 上时1

302

PSQ PRQ ∠=?=∠，故S 、P ，

Q 至R 等距，S 在BP 上亦然．

于是SR RQ =，SR RQ =

，RQ =，而显

见SQ +=，

故

RQ 当3

7

CQ =

时，

RQ

若能证明对一般的动点P 、Q 、R ，有

(

)max , , PQ QR RP 问题就解决了．用反证法，假定PQ ，QR

，RP <

设ABC △的费马点为F （图中未画出），则120BFA AFC CFB ∠=∠=∠=?，设FA a =，FB b =，FC c =，则由余弦定理，知

①-②，得()()1b c a b c -++=， ②-③，得()()2a b a b c -++=，

故a b c >>，22a b b c -=-，32a b c =-，代入②得 2222331b c bc b c bc +-==++，

于是224b bc =，2b c =，4a c =，代入上式得

c

，b =

，a =

，a b c ++=

()1

2ABC APFR CRPQ BPFQ S S S S PR FA RQ FC PQ FB ==++?+?+?△≤

)a b c <++= 因此()max , , PQ QR RP

评注

PQR △实为费马点的等角共扼点的垂足三角形．a b c ++

其实也等于(CD =，

ABD △为向外作的正三角形．

a b c ，则1a b +、1b c +、1c a +也能．又若a 、b 、c 构成锐角三角形三边长，则1a b +、1

b c

+、

1

c a

+呢? 解析 不妨设a ≥b ≥c >0，问题归结为：若b c a +>，则

111

a b c a b c

+>

+++．证明如下： 111

2222b c b c b c

>

+=

+++． 当a 、b 、c 构成锐角三角形时，1a b +、1b c +、1

c a

+也构成锐角三角形，证明如下(仍设a ≥b ≥c >0)： 由于

()

()()()2

2

1

12c a a b c a a b +++++≥，下证()()()2

21a b c a b c >+++即可，此等价于()2

22b c a bc ab ca

+>+++，由于

()

2

222222b c b c bc a bc a bc +=++>+>+，又

()

()()()2

b c b c b c a b c ab ac +=++>+=+，两式相加即得结论．

D E F BC CA AB ，若分别记AEF S △、BFD S △、CED S △为1S 、2S 、3S ，证明

：

DEF S △≥，当且仅当AD 、BE 、CF 共点时等号成立．

解析 设

1AF BF λ=，2BD CD λ=，3CE

AE λ=，则 ()()1

11311ABC

S S

λλλ=++△， ()()

2

22111ABC S S λλλ=

++△，

()()

3

32311ABC S S λλλ=

++△，

所以 ()()()

123

1231111ABC S λλλλλλ+=

+++△．

又有

()()()123123

2322

123111ABC

S S S S λλλλλλ=+++△， 故 2

23

123123DEF ABC DEF ABC

ABC S S S S S S S S S S S ???=?

???

△△△△△ ()

2

123123

14λλλλλλ+=

≥，

于是命题得证．仅当1231λλλ=时取等号，由塞瓦逆定理知，此时必有AD 、BE 、CF 共点． ()XOY θ=∠P ，动直线l 过P ，交XOY ∠两边于M 、N ，求OM ON +之最小值(假定

POX α=∠，POY β=∠，PO d =)．

解

析

如

图

，

由

面

积

得

MON MOP NOP

S S S =+△△△，即

sin sin sin OM ON OM OP ON OP θαβ??=??+??，此式可化为

sin sin sin ON OM d

αβθ

+=

． 用柯西不等式(或展开后用平均不等式)，可得

2

≥

，

故OM ON +

的最小值为

2

sin d

θ

．等号成立，仅当OM ON =

．其与sin sin sin ON OM d αβθ

+=联立

，

可

解

得

)

sin sin d

OM β

θ

=

，

)

sin sin d ON αθ=

．又作PK OY ∥，与OX 交于K ，则sin sin d

OK βθ=?，

OK OM <，这样的M 、N 的确存在．

ABC ，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 上的动点，求证：222DE EF FD ++达到最小时，

满足GD BC ⊥、GE AC ⊥、GF AB ⊥，及等价的AB AC BC

GF GE GD

==

，此处G 为DEF △重心，并用ABC △三边及面积表示这个最小值．

解析 如图，先设E 、F 固定，M 为EF 中点，则22221

22

DE DF MD EF +=+．当MD 达

最小时，应有MD BC ⊥，如对三边作处理，便有GD BC ⊥、GE AC ⊥、GF AB ⊥，此时GFD GED S S =△△，sin sin FG FGD GE EGD ?=?∠∠，故sin sin FG B GE C ?=?，

sin sin FG GE

C B

=

，同理此值为

sin GD A ，此即AB AC BC

GF GE GD

==．

下证此时的DEF △确实达到三边之平方和最小．先求此值，设GF k AB =?，GE k AC =?，

GD k BC =?，则()2222ABC k AB BC CA S ++=△．

又2222cos DE GE GD GE GD C =++??

()222222k AC BC AB =+-，

同理有另两式，加之，得

22

22

12ABC

S AB BC CA =++△． 下证对于一般的DEF △，有 2

12ABC S △≥．

找到DEF △重心G ，由中线长，易知有

212ABC S △≥．

评注 这里用到柯西不等式，不难得出等号成立之条件．此题还包含了另一个问题：三角形内求一点至三边距离平方和最小．

ABC △，D 、E 分别在BC 、AB 上，AD 、CE 交于O ，记ACO △、EDO △、BED △的面积分别是1S 、2S 、3S ，求3S 的最小值(假定1s 、2s 已知，用1S 、2S 表示之)． 解析 如图，若设AEO S S =△，ODC S S =△′，则由简单的比例知S S ?′12S S =?，又

2

3

1S =

+，

故3S

最小值为2

S S S =′，即ED AC ∥．

ABC △a b c ，其中b 、c 确定，D 为BC 中点，ADC θ=∠，求sin θ的最大值(a 不固定，用b 、c 表示)．

解析 易知2222cos a b c bc A =+-，()22221

2cos 4

AD l b c bc A ==++(延长AD 一倍至E 并连

CE 即知)．于是

()

2

2222

sin 4sin ABC bc A S a l θ==△，

下证此式()

22

2

2

24b c b

c

+≤

．这等价于

()()2

2

222222224cos sin b c b c A b c A +-+≥，

这可由222b c bc +≥及2cos 0A ≥推出，故sin θ的最大值为

22

2bc

b c +，仅当90BAC =∠゜或

AB AC =时成立．

A B ，在介质分界面l 上折射．设C 为l 上一点，直线AC 、BC 与l 所夹锐角分别为1θ、2θ，

又设C ′是l 上另一点．求证：当1v 、2v (光线在两种不同介质中的速度)满足 时必有

1212

AC BC AC BC

v v v v ''+>+

． 解析 作点B 关于直线l 的对称点1B ，则有 1B C BC =，1B C ′BC =′， 12DCB DCB θ==∠∠．

过A 作CA 的垂线，过1B 作1B C 的垂线，两垂线交于点F ，且与l 分别交于E 、D ．在DEF △中，

EF C ?′A DF C +?′()12C EF C FD B S S ''>+△△

1EF CA DF CB =?+?．

由正弦定理，得

22

11

cos sin sin cos v EF FDE DF FED v θθ===∠∠， 故 2v AC ?′11v B C +?′211v AC v B C >?+?， 即 111212B C B C

AC AC v v v v ''+>+， 得

1212

AC BC AC BC v v v v ''+>+． ABC △D ，180ADC ABC +=∠∠゜，CD AB a ==，AC b =．a

最大值(用a 、b 表示，需分情况讨论)．

解析 易知90ADC >∠゜．如图，延长AD 至P ，使APC ABC CDP ==∠∠∠，则CP CD AB ==，且A 、B 、P 、C 共圆，于是四边形ABPC 为等腰梯形，因此ABC ACD APC ACD DCP S S S S S -=-=△△△△△．

问题归结为求DCP S △的最大值．当然是希望90DCP =∠゜，这样21

2

DCP S a =△．下面来研究

DCP ∠的可取范围，设DCP θ=∠．

由于AE CE =，DAC DCA ∠≥∠，因此CD AD ≥．

在

ACP △中，由等腰三角形CDP 知22b a AD AP -=?(见题

222

2sin 2

AD AD DP CD CD DP a a a θ=+?+?=+?≤，即221sin 22b a θ-≤．

因为b <2a ，故左式<1，θ总有解，下面讨论之． (1)

当1b

a

<

θ可取90

゜，此时的最大面积正是212a ；

(2)

2b

a

<时，取22sin 122b a θ=-，则22sin 22b PD a a a θ==-，DCP S △得最大值为

2

sin cos 22

a θθ

=

．

60O =∠゜，内有一定点P ，OP 平分O ∠，OP d =，过P 作一动直线交O ∠两边于A 、

B (OAB ∠、90

OBA ∠≤゜)，过A 、B 分别作OA 、OB 的垂线交于Q ．求四边形AOBQ 面积的最大值，并刻画此时AB 的位置．

解析 不妨设OA a =，OB b =，作AD OB ⊥于D ，则cos602

a BD

b a b =-=-゜，2cos a

b ABO AB

-

=

∠，同理 2cos b a OAB AB

-

=

∠． 由正弦定理，

sin sin BQ AB BAQ Q =∠，或cos sin 60BQ AB

OAB =∠゜

，故2b BQ a ?=-??

，

2215222422ABQ

a b a b S BD BQ b a ab ????=??=--=--??????????

△，又OAB S =

△，故)224OBQA S ab a b =

--． 下面求出a 与b 之间的关系．由AOB AOP BOP S S S =+△△△，得sin30sin30sin60ad bd ab +=゜

゜゜，不妨设d a b ab

+=．由此得ab ≥4ab ≥． 又()

()()()222

22466938ab a b ab a b ab ab ab -+=-+=-=--≤． 于是当2a b ==时，OBQA

S 一般情况下．当a b

=2)，此时AB OP ⊥．

ABC △BC D ，AD BC ⊥，又在BC 上找一点E ，使BE CD =(E 比D 靠近B )，过E 任作一直线，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ，求证：BC FG <．

解析1 如图(a )，连结BG 、DG ，显然ABC ∠、ACB ∠均为锐角．由梅氏定理，有

1BA FG EC AF GE CB ??=，于是欲证结论变成求证1BA EC AF GE ?<，或BF GE CE

AF CE

-<

． 作GH BC ⊥于H ，连结AE 、AH ，注意左边为

BEG DCG DHG AHG AEG AEG AEG AEG S S S S CH EH CE GE CE

S S S S CE CE CE --=<===<

△△△△△△△△． 于是结论成立．

解析2 如图(b )，作FM 、GN 与BC 垂直，垂足为M 、N ．由梅氏定理知

1AG CE BF

GC BE AF

??=，

初中数学竞赛辅导几何变换(旋转)

第2讲几何变换——旋转 典型例题 【例1】C是线段AE上的点，以AC、CE为边在线段AE的同侧作等边三角形ABC、CDE， △是等设AD的中点是M，BE的中点是N，连结MN、MC、NC，求证：CMN 边三角形．Array【例2】如图，两个正方形ABCD和AKLM有一个公共点A．求证：这两个正方形的中心以 及线段BM，DK的中点是某正方形的顶点． L

【例3】 已知：如图，ABC △、CDE △、EHK △都在等边三角形，且A 、D 、K 共线， AD DK =．求证：HBD △也是等边三角形． 【例4】 ABC △是等边三角形，P 是AB 边的中点，Q 是AC 边的中点，R 为BC 边的中点， M 为RC 上任意一点，且PMS △是等边三角形，S 与Q 在PM 的同侧，求证： RM QS =． E C H D B A Q ? S M P C B A R

【例5】 ABCD 是正方形，P 是ABCD 内一点，1PA =，3PB = ，PD =求正方形ABCD 的面积． 【例6】 P 是等边三角形ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =．求ABC △的边长． D

【例7】 设O 是等边ABC △内一点，已知115AOB ?∠=，125BOC ?∠=，求以线段OA 、OB 、 OC 为边所构成的三角形的各内角大小． 【例8】 如图，在ABC △中，90ACB ?∠=，AC BC =，P 是ABC △内一点，3PA =，1PB =， 2PC =，求BPC ∠． A P C

如图，已知ABC △中，90A =，AB AC =，D 为BC 上一点，求证：2222BD DC AD +=． 【例9】 如图，在等腰直角ABC △中，90ACB ?∠=，CA CB =，P 、Q 在斜边AB 上，且 45PCQ ?∠=，求证：222PQ AP BQ =+． A D C B A Q B C P

初中数学基本几何图形

初中数学基本几何图形 这篇帖子是关于几何基本图形的。每一个几何压轴题，几乎都是由几个基本图形构成的，所以如果能把这些图形 用熟，做几何题应该不成问题。 1、 正方形与等腰直角三角形 正方形 ABCD ，EF 为过正方形点 B 的直线且 AE ⊥EF ，CF ⊥EF ，则有△AEB ≌△BFC 。 将上图进行转换，则该基本图形存在于等腰三角形中，可利用此图证明勾股定理： 1 1 令 AD=BE=a ，DB=CE=b ，AB=BC=c ，S △ABC = 2 c = 2 （a+b ） -ab ；化简得到：c =a +b 2、 梯形中位线 梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别为 AB 、DC 中点，则有 EF= 1 （AD+BC ） 结合 1、2 有一道经典题目，在此奉上。 1 △ABC ，分别以 AB 、AC 为边向外做正方形 ABFG 、ACDE ，连接 FD ，取 FD 中点 H ，作 HI ⊥BC ，证明：HI= BC 2 2 2 2 2 2 2

提示:先证明BC等于梯形上下底边之和 【变形题 1】 如图1，以△A BC的边AB、AC为边向内作正方形ABFG和正方形ACDE，M是DF的中点，N是BC的中点，连接MN．探究线段MN与BC之间的关系，并加以证 明．说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以从下面①、②中选取一种情况完成你的证明，选取①比原题少得6分，选取②比原题少得8分． ①如图2，将正方形ACDE绕点A旋转，使点C、E分别落在AG、AB上； ②如图3，将正方形ACDE绕点A旋转，使点B、A、C在一条直线． 答案： 解：BC⊥MN． 证明：连接CM，然后延长CM至H，使CM=MH，连接FH、BH、CM、BM，HG、CG，延长CD，与BF相交于I， ∵MF=MD，CM=HM，∠CMD=∠HMF，

初中数学几何题及答案

经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典难题（二） A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 A N F E C D B

P C G F B Q A D E 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） 经典难题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二） · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A A F D E C B

数学竞赛平面几何重要知识点绝对精华

数学竞赛平面几何重要知识点 梅涅劳斯定理： 设D 、E 、F 分别是ABC ?三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=??EA CE FC BF DB AD 。 斯德瓦特定理：设P 是ABC ?的边BC 边上的任一点，则 BC PC BP AP BC AB PC AC BP ??+?=?+?222 西摩松定理： 设P 是ABC ?外接圆上任一点，过P 向ABC ?的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。

6、共角定理：设ABC ?和C B A '''?中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A AC AB S S C B A ABC ' '?''?='''?? 与圆有关的重要定理 4.四点共圆的主要判定定理 （1）若∠1=∠2，则A 、B 、C 、D 四点共圆； （2）若∠EAB=∠BCD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆； （3）若PA ?PC=PB ?PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆； 三角形的五心 三角形的三条中线共点，三条角平分线共点，三条高线共点，三条中垂线共点。三角形的垂心、重心、外心共线（欧拉线），并且重心把连结垂心和外心的线段分成2∶1的两段。三角形的外心和内心的距离)2(r R R d -=。此公式称为欧拉式，由此还得到r R 2≥。当且仅当△ABC 为正三角形时,d=0,此时R=2r.其中R 和r 分别是三角形外接圆半径和内切圆半径。 与△的一边及另两边的延长线均相切的圆称为△的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。

重要例题 例1.设M 是任意ABC ?的边BC 上的中点，在AB 、AC 上分别取点E 、F,连EF 与AM 交于N ，求证：)(21AF AC AE AB AN AM +=（1978年辽宁省中学数学竞赛） 例 2. 已知点O 在ABC ?内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ??与的面积之比为_________________. 例3. 如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点． ⑴如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点． ⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ． ①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

初中数学几何图形综合题(供参考)

初中数学几何图形综合题 必胜中学2018-01-30 15:15:15 题型专项几何图形综合题 【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用. 【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等. 【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决. 【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势. 为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.

类型1操作探究题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D作DF⊥AC于点F. (1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC；

初中数学几何题(超难)及答案分析

几何经典难题 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初三） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点， ∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1 的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交 MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 5、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初三） A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 A N F E C D M B · A D H E M C B O

P C G F B Q A D E 6、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ， 直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初三） 7、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初三 ） 8、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A

高中数学竞赛题之平面几何

第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,错角相等,同旁角互补.利用这些 性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA . 在△DBP ＝∠AQC 中,显然 ∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知 △DBP ≌△AQC . 有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP . 则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP . 所以AB ＝AC . 这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2 如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE . 由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . ∥＝ A D B P Q 图1 P E D G A B F C 图2

初中数学几何基本图形

432 1F E D C B A 432 1F E D C B A F E D C B A H G F E D C B A c b a C B A D C B A F E D C B A C B A 初中数学几何基本图形 1． 平行线的性质： ∵A B ∥CD （已知） ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等。） ∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等。） ∴∠1+∠4=180° （两直线平行，同旁内角互补。） 2． 平行线的判定： （1）∵∠1=∠2（已知） ∴A B ∥CD （同位角相等，两直线平行。） （2）∵∠1=∠3（已知） ∴A B ∥CD （内错角相等，两直线平行。） （3）∵∠1+∠4=180o （已知） ∴A B ∥CD （同旁内角互补，两直线平行。） 3． 平行线的传递性： ∵A B ∥CD ，A B ∥EF （已知） ∴C D ∥EF （如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行。） 4． 两条平行线间距离： ∵A B ∥CD ，EF ⊥CD ，GH ⊥CD （已知） ∴EF=GH （平行线间距离处处相等。） 5． 三角形的性质： （1）∠A+∠B+∠C=180o （三角形内角之和为180o 。） （2）a+b ＞c ，∣a-b ∣＜c （三角形任意两边之和大于第三边， 三角形任意两边之差小于第三边。） （3）∠ACD=∠A+∠B （三角形一个 外角等于与它不相邻的两个外角之和。） 6．三角形中重要线段： （1）∵AD 是△ABC 边BC 上的高（已知） ∴AD ⊥BC 即∠ADC=900（三角形高的意义） （2）∵BF 是△ABC 边AC 上的中线（已知） ∴AF=FC=12 AC （AC=2AF=2FC ）（三角形中线的意义） （3）∵CE 是△ABC 的∠ACB 的角平分线（已知） ∴∠ACE=∠BCE= 1 2 ∠ACB （∠ACB=2∠ACE=2∠BCE ）（三角形角平分线的意义） 6． 等腰三角形的性质和判定： （1）∵AB=AC （已知）∴∠B=∠C （等边对等角） （2）∵∠B=∠C （已知）∴AB=AC （等角对等边）

初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析

初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（ ） A ．主视图 B ．俯视图 C ．左视图 D ．一样大 【答案】C 【解析】 如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成， 左视图是由3个小正方形组成， 俯视图是由5个小正方形组成， 故三种视图面积最小的是左视图， 故选C ． 2．如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm ，宽留出1,cm 则该六棱柱的侧面积是（ ） A ．210824(3) cm - B ．(2 108123cm - C ．(2 54243cm - D ．(2 54123cm - 【答案】A 【解析】 【分析】 设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，分别表示出挪动前后所在矩形的长与宽，由题意列出方程求出a ＝2，h ＝9?36ah 求解． 【详解】 解：设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，

如图，正六边形边长AB ＝acm 时，由正六边形的性质可知∠BAD ＝30°， ∴BD ＝ 12a cm ，AD ＝32 a cm ， ∴AC ＝2AD ＝3a cm ， ∴挪动前所在矩形的长为（2h ＋23a ）cm ，宽为（4a ＋ 1 2 a ）cm ， 挪动后所在矩形的长为（h ＋2a ＋3a ）cm ，宽为4acm ， 由题意得：（2h ＋23a ）?（h ＋2a ＋3a ）＝5，（4a ＋1 2 a ）?4a ＝1， ∴a ＝2，h ＝9?23， ∴该六棱柱的侧面积是6ah ＝6×2×（9?23）＝210824(3) cm -； 故选：A ． 【点睛】 本题考查了几何体的展开图，正六棱柱的性质，含30度角的直角三角形的性质；能够求出正六棱柱的高与底面边长是解题的关键． 3．将一副三角板如下图放置，使点A 落在DE 上，若BC DE P ，则AFC ∠的度数为（ ） A ．90° B ．75° C ．105° D ．120° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得30E BCE ==?∠∠，再根据三角形外角的性质即可求解AFC ∠的度数． 【详解】

数学初中竞赛大题训练：几何专题(包含答案)

数学初中竞赛大题训练：几何专题 1．阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆． （1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝55°； （2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE 的长； （3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长． 解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°， 故答案为：55°； （2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示： ∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB， ∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°， ∴∠AFD＝135°， ∵BE⊥AB，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°， ∴∠AFD＝∠DBE， ∵AD⊥DE，

∴∠ADE＝90°， ∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°， ∴∠FAD＝∠BDE， 在△ADF和△DEB中，， ∴△ADF≌△DEB（ASA）， ∴AD＝DE， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝AD＝2； （3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°， ∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆， ∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°， ∴△ABK是等边三角形， ∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点， ∴KM＝AK?sin60°＝2， ∵AE＝3，AM＝AB＝2， ∴ME＝3﹣2＝1， ∴EK＝＝＝， ∴EF＝＝＝．

初中数学平面几何图形

第四课时几何图形初步 LYX 1、几何图形 ①几何图形：我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。 ②平面图形：几何图形（如线段、角、三角形、长方形等）的各部分都在同一平面内。 常见平面图形： ③立体图形：有些几何图形的各部分不都在同一平内,这样的几何图形叫做立体图形。 ⑴常见立体图形：⑵常见立体图形的归类： ★画立体图形时，看得见的棱线画成实线，看不见的棱线画成虚线。 ④展开图：有些立体图形是由平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 例1、圆锥由_______面组成,其中一个是_______面 ,另一个是_______面. 例2、如图所示，一个三边相等的三角形，三边的中点用虚线连接，如果将三角形沿虚线 向上折叠，得到的立体图形是（）. （A）三棱柱（B）三棱锥（C）正方体（D）圆锥 例3、分别从正面、左面和上面这三个方向看下面的四个几何体，得到如图所示的平面图形，那么这个几何体是（）

例4、下列各图形，都是柱体的是（） 例5、下列四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（） 2、点、线、面、体 ①点动成线，分为直线和曲线； ②线动成面线运动生成的有平面、曲面； ③面运动成体；（直角三角板绕它的一边旋转，形成了什么图形？长方形绕着它的一边旋转，形成了什么图形？） 总结： ⑴几何图形是由点、线、面、体组成。点是构成图形的基本元素。 ⑵点无大小，线有直线和曲线，面有平的面和曲的面。 ⑶点动成线，线动成面，面动成体。 ⑷体由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点。 3、直线、射线、线段 ①两点确定一条直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 ⑴因为两点确定一条直线，所以除了用一个小写字母表示直线（直线）外，还经常用一条直线上的两点来表示这个直线； ⑵一个点在直线上，也可以说这条直线经过这个点；一个点在直线外，也可以说直线不经过这个点； ⑶当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。 ②线段的表示方法 ③射线的表示方法 ★用数学符号表示直线、线段、射线?

(易错题精选)初中数学几何图形初步易错题汇编及答案解析

（易错题精选）初中数学几何图形初步易错题汇编及答案解析 一、选择题 1．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果145∠=°，330∠=°时，那么2∠的度数是（ ） A ．15° B ．25° C ．30° D ．45° 【答案】A 【解析】 【分析】 根据∠2=∠BOD+EOC-∠BOE ，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD 和∠EOC 的度数从而求解． 【详解】 ∵∠BOD=90°-∠3=90°-30°=60°， ∠EOC=90°-∠1=90°-45°=45°， ∵∠2=∠BOD+∠EOC-∠BOE ， ∴∠2=60°+45°-90°=15°． 故选：A ． 【点睛】 此题考查余角和补角，正确理解∠2=∠BOD+EOC-∠BOE 这一关系是解题的关键． 2．将如图所示的Rt △ACB 绕直角边AC 旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是（ ）

A．B．C． D． 【答案】D 【解析】 解：Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体是圆锥，主视图是等腰三角形． 故选D． 首先判断直角三角形ACB绕直角边AC旋转一周所得到的几何体是圆锥，再找出圆锥的主视图即可． 3．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，那么∠2的度数是（） A．20°B．30°C．35°D．50° 【答案】C 【解析】 【分析】 由垂线的性质可得∠ABC=90°，所以∠3=180°﹣90°﹣∠1=35°，再由平行线的性质可得到∠2的度数. 【详解】 解： 由垂线的性质可得∠ABC=90°， 所以∠3=180°﹣90°﹣∠1=35°， 又∵a∥b， 所以∠2=∠3=35°． 故选C． 【点睛】

人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题(含答案)

人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案） 【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧上任意一点.求证：为定值. AD ⌒ PA PC PB P A B C D 【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦 CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A.到CD 的距离保持不变 B.位置不变 C.等分 D.随C 点的移动而移动 DB ⌒ A

【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂 线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角. B 【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是上异于A ，B 的动点，过点C AB ⌒ 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形； （2）当点C 在上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段AB ⌒ 的长度； （3）求证：CD 2+3CH 2是定值. B O A C E H G D 【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8.

初中数学竞赛 几何专题：点共线问题(含答案)

初中数学竞赛 几何专题：点共线问题（含答案） 1. 锐角三角形ABC 中，45BAC ∠=?，BE 、CF 是两条高，H 为ABC △的垂心，M 、K 分别是BC 、 AH 的中点.证明：MK 、EF 和OH 共点，这里O 为ABC △的外心. 解析 如图，由条件45BAE ∠=?，可知AEB △和AFC △都是等腰直角三角形，而O 为AB 、BC 的中垂线上的点，故EO AB ⊥，FO AC ⊥，于是EO CF ∥，FO BE ∥，从而四边形EOFH 为平行四边形.故EF 与OH 的交点为EF 的中点. 另一方面，M 、K 为BC 、AH 的中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知 12EM MF BC ==，1 2 EK KF AH ==.即四边形EKFM 为菱形，所以EF 与KM 的交点亦是EF 的中点. 从而命题获证. 2. 四边形SPNM 与PFET 都是正方形，且点S 、P 、T 共线，点N 、P 、F 共线，连结MT 、SE ， 点S 在MT 上的射影是点A ，点T 在SE 上的射影是点B ，求证：点A 、P 、B 共线. 解析 设AB 与ST 交于点P '，又设ATS α∠=，TSE β∠=.于是由180ASB ATB ∠+∠=?，有 tan cot ASB ATB S SP AS BS P T S AT BT αβ'?===?'?△△ MS ST MS SP ST TE TE PT = ?== ， 即点P 与点P '重合. 3. 在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取异于顶点的K 、L 、M 、N ，已知KL MN ∥.证明KM 与LN 的交点O 在矩形的对角线BD 上. 解析 连结OB 、OD . B M N A S P T F E D M C N O L A K B

初二数学几何综合训练题及答案

初二几何难题训练题 1，如图矩形ABCD对角线AC、BD交于O，E F分别是OA、OB的中点（1）求证△ADE≌△BCF：（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长。 2，如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm． （1）求证：四边形ABFE是等腰梯形； （2）求AE的长．

3，如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q， （1）若AB=6，求线段BP的长； （2）观察图形，是否有三角形与△ACQ全等？并证明你的结论 4，已知点E,F在三角形ABC的边AB所在的直线上,且AE=BF，FH//EG//AC，FH、EC分别交边BC所在的直线于点H，G 1 如果点E。F在边AB上，那么EG+FH=AC，请证明这个结论 2 如果点E在AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG，FH，AC的长度关系是什么？ 3 如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG，FH，AC的长度关系是什么？ 4 请你就1，2，3的结论，选择一种情况给予证明 5，如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA=15mm，DO=24mm，DC=10mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距离．

6，如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C，（1）求证：△ABF∽△EAD ；（2）若AB=5，AD=3，∠BAE=30°，求BF 的长 7，如图,AB与CD相交于E,AE=EB,CE=ED,D为线段FB的中点,GF与AB相交于点G，若CF=15cm，求GF之长。 8， 如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F，过F作FH∥CD交BC于H，可以证明结论FH/AB =FG /BG 成立．（考生不必证明）（1）探究：如图2，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （2）计算：若菱形ABCD中AB=6，∠ADC=60°，G在直线CD上，且CG=16，连接BG 交AC所在的直线于F，过F作FH∥CD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长．（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论FH /AB =FG /BG 还成立吗？

初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第18章整数几何试题新人教版

第18章 整数几何 ABC △，第三条高的长数，求这条高之长的所有可能值． 解析 由面积知，三条高的倒数可组成三角形三边，这是它们的全部条件． 设第三条高为h ，则 解得1515 45 h <<，h 可取4、5、6、7这四个值． ABC △3AB n x =+，2BC n x =+，CA n x =+，且BC 边上的高AD 的长为n ，其中n 为正整数，且01x <≤，问：满足上述条件的三角形有几个？ 解析 注意AB 为ABC △之最长边，故90B ∠，而z 可正可负． 由2y z n x +=+，及()()()2 2 223242y z n x n x n x x -=+-+=+?，得4y z x -=，32 n y x = +，由勾股定理，知()2 22332n x n n x ?? ++=+ ??? ，展开得12n x =，由01x <≤及n 为正整数，知 1n =，2，…，12，这样的三角形有12个． ，其中一条直角边不超过20，其外接圆半径与内切圆半径之比为52∶，求此三角形周长的最大值． 解析 设该直角三角形直角边长为a 、b ，斜边为c ，则外接圆半径2 c R = ，内切圆半径2 a b c r +-= ，不妨设20a ≤． 由条件知 5 2 c a b c =+-，557a b c +=，平方，得()() 222225249a b ab a b ++=+，即 ()2212250a b ab +-=， ()()34430a b a b --=， 于是3a k =，4b k =，5c k =，或4a k =，3b k =，5c k =，周长为12k ，k 为正整数．k 的最大值为6，此时各边为18、24、30，周长最大值为72． ABC △，60A ∠=?，7BC =，其他两边长均为整数，求ABC △的面积． 解析 设AB x =，AC y =，则由余弦定理，有 2249x y xy +-=． 由条件x y ≠，不妨设x y <，则AB 为ABC △之最小边，x 只能取值1、2、3、4、5、6，分别代入，发现当3x =或5时，8y =，其余情形均无整数解． 于是1 sin 602 ABC S xy = ?=△． P ，求经过P 且长为整数的弦的条数． 解析 如图，O 半径为15，9OP =，过P 的弦ST 长为整数，APB 为直径，6AP =，24PB =，则144SP TP PA PB ?=?=，因此 24ST SP TP =+≥．

新初中数学几何图形初步技巧及练习题

新初中数学几何图形初步技巧及练习题 一、选择题 1．如图，已知ABC ?的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ^于D ，且4OD =，则ABC ?的面积是（ ） A ．25米 B ．84米 C ．42米 D ．21米 【答案】C 【解析】 【分析】 根据角平分线的性质可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离为4，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】 连接OA ∵OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ^于D ，且4OD = ∴点O 到AB 、AC 、BC 的距离为4 ∴ABC AOC OBC ABO S S S S =++△△△△ ()142 AB BC AC =??++ 14212 =?? 42=（米） 故答案为：C ． 【点睛】 本题考查了三角形的面积问题，掌握角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键．

2．∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，若∠3=125°，则∠2=（） A．35°B．45°C．55°D．65° 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据题意得：∠1+∠3=180°，∠3=125°，则∠1=55°，∵∠1+∠2=90°，则∠2=35° 故选：A． 【点睛】 本题考查余角、补角的计算． 3．将如图所示的Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是（） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】 解：Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体是圆锥，主视图是等腰三角形． 故选D． 首先判断直角三角形ACB绕直角边AC旋转一周所得到的几何体是圆锥，再找出圆锥的主视图即可． 4．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是

初中数学经典几何题及答案

4e d c 经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 A N F E C D M B

P C G F B Q A D E 经典难题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） 经典难题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二） · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A A F D E C B

人教版 初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题(包含答案)

人教版 初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案） 【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD ⌒上任意一点.求证：PA PC PB 为定值. 【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A.到CD 的距离保持不变 B.位置不变 C.等分DB ⌒ D.随C 点的移动而移动 【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线 的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角. 【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是AB ⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE . （1）求证：四边形OGCH 是平行四边形； （2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度； （3）求证：CD 2+3CH 2是定值. P A B C D A P B

【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标； （2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ； （3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时， PF OF 的比值是否发 生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. （图1） （图2） 【例6】 如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点.求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值. 【能力训练】 1.如图，点A ，B 是双曲线x y 3 上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段.若S 阴影=1，则B O A C E H G D A

初中数学几何图形初步技巧及练习题

初中数学几何图形初步技巧及练习题 一、选择题 1．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（） A．主视图B．俯视图C．左视图D．一样大 【答案】C 【解析】 如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成， 左视图是由3个小正方形组成， 俯视图是由5个小正方形组成， 故三种视图面积最小的是左视图， 故选C． 2．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是 A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3） 【答案】D 【解析】 【详解】 解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′， 此时△ABC的周长最小，

∵点A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0）， ∴B ′点坐标为：（-3，0），则OB′=3 过点A 作AE 垂直x 轴，则AE=4，OE=1 则B′E=4，即B′E=AE ，∴∠EB ′A=∠B ′AE ， ∵C ′O ∥AE ， ∴∠B ′C ′O=∠B ′AE ， ∴∠B ′C ′O=∠EB ′A ∴B ′O=C ′O=3， ∴点C ′的坐标是（0，3），此时△ABC 的周长最小． 故选D ． 3．如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，2,3BE AE BE ==，P 是AC 上一动点，则PB PE +的最小值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 【答案】C 【解析】 【分析】 连接DE ，交AC 于P ，连接BP ，则此时PB+PE 的值最小，进而利用勾股定理求出即可． 【详解】 解：如图，连接DE ，交AC 于P ，连接BP ，则此时PB PE +的值最小 ∵四边形ABCD 是正方形 B D ∴、关于A C 对称 PB PD =∴