2017年全国高考文科数学试题及答案-全国卷3

2017 年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1．已知集合A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8} ，则 A B中元素的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

2．复平面内表示复数z=i( –2+i) 的点位于

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至2016 年

12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是

A．月接待游客逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月

D．各年 1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳

4．已知sin cos 4

3

，则sin 2 =

A．7

9

B ．

2

9

C．

2

9

D．

7

9

3x 2y 6 0

5．设x，y 满足约束条件x 0

，则z=x- y 的取值范围是

y 0

A．–3,0] B．–3,2] C．0,2] D．0,3] 6．函数 f ( x)= sin( x+ )+cos( x- ) 的最大值为

3 6

A．6

5

B．1 C．D．

- 1 -

7．函数y=1+x+ s in x

2

x

的部分图像大致为

A．B．

C．D．

8．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为

A．5 B．4 C．3 D．2

9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A．πB．3π

4

C．

π

2

D．

π

4

10．在正方体A BCD ABC D 中，E为棱CD的中点，

则

1 1 1 1

A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC

11．已知椭圆C：

2 2

x y

2 2 1

，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2 为直径的圆与a b

直线bx ay 2ab 0相切，则C的离心率为

A．

6

3

B．

3

3

C．

2

3

D．

1

3

12．已知函数 2 x 1 x 1

f (x) x 2x a(e e ) 有唯一零点，则a=

A．1

2

B．

1

3

C．

1

2

D．1

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分。13．已知向量 a ( 2,3), b (3, m) ，且a⊥b，则m = .

14．双曲线

2 2

x y

2 1

a 9

（a>0）的一条渐近线方程为

3

y x，则a= .

5

- 2 -

15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知C=60°，b= 6 ，c=3，则A=_________。

16．设函数 f (x) x 1 x 0

，，

则满足

x

2 ，0，

x

1

f (x) f ( x ) 1的x 的取值范围是__________。

2

三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每个试

题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60 分。

17．（12 分）设数列a满足a1 3a2 (2n 1)a n 2n.

n

（1）求a的通项公式；

n

（2）求数列

a

n

2n 1

的前n 项和.

18．（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当

天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为200 瓶．为了确定六月份的订购计划，

统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450 瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

19．（12 分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不

重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

- 3 -

20．（12 分）

在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx– 2 与x 轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1). 当m变化

时，解答下列问题：

（1）能否出现

A C⊥BC的情况？说明理由；

（2）证明过

A，B，C三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.

21．（12 分）已知函数 f ( x) =ln x+ax2+(2 a+1) x．

（1）讨论f (x) 的学%单调性；

（2）当a﹤0时，证明

3

f (x) 2

4a

．

（二）选考题：共

10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计

分。

22．选修4―4：坐标系与参数方程] （10 分）

在直角坐标系xOy 中，直线l 1 的参数方程为x2+t ,

y kt,

（t 为参数），直线l 2 的参数方程为

x 2 m,

y

m

k

,

（为参数）.设

l 1 与l 2 的交点为P，当k 变化时，P的轨迹为曲线C．

m

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ+sin θ) - 2 =0，M

为l 3 与C的交点，求M的极径.

23．选修4—5：不等式选讲]（10 分）

已知函数 f (x) =│x+1│–│x–2│.

（1）求不等式 f (x) ≥1的解集；

（2）若不等式 f (x) ≥x2–x + m的解集非空，求m的取值范围.

- 4 -

一、选择题：

1．B 2 ．B 3 A 4 A 5 ．B 6 A 7 ．D 8 ．D 9 ．B. 10 ．C 11 ．A 12 ．C 二、填空题

13．2 14 ．5 15 ．75°16．

1 ( , )

4

三、解答题：

17．

18．解：（1）需求量不超过300 瓶，即最高气温不高于25 C ，从表中可知有54 天，

∴所求概率为

54 3 P .

90 5

（2）Y 的可能值列表如下：

最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）Y 100 100 300 900 900 900 低于20 C ：y 200 6 250 2 450 4 100 ；

[ 20 ,25) ：y 300 6 150 2 450 4 300；

不低于25 C ：y 450 (6 4) 900

∴Y 大于0 的概率为

2 16 1

P .

90 90 5

- 5 -

19．（1）证明：取AC 中点O ，连OD ,OB

∵AD CD ，O 为AC 中点，

∴AC OD ，

又∵ABC 是等边三角形，

∴AC OB ，

又∵OB OD O ，∴AC 平面OBD ，BD 平面OBD ，

∴AC BD .

20．解：(1) 设A x1,0 ,B x2 ,0 ，则x1, x2 是方程 2 2 0

x mx 的根，

所以x1 x2 m, x1x2 2，

则A C BC x x x x ，

1,1 2,1 1 2 1 2 1 1 0

所以不会能否出现AC⊥BC的情况。

（2）解法1：过A，B，C 三点的圆的圆心必在线段AB 垂直平分线上，设圆心 E x0, y0 ，则

x 0 x x m

1 2

2 2 ，由

E A E C

得

2 2

x +x x x

1 2 2 1 2

x y y

1 0 0

2 2

1 2

，化简得

y 0 1 x x 1

1 2

2 2 ，所以圆 E 的方程为

2 2 2 2

m 1 m 1

x y 1

2 2 2 2 ，

- 6 -

令x 0 得y1 1, y2 2，所以过A，B，C三点的圆在y 轴上截得的弦长为 1 2 3，所以所以过A，B，C三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值

解法2：设过A，B，C三点的圆与y 轴的另一个交点为D，

由x1x2 2可知原点O在圆内，由相交弦定理可得OD OC OA OB x1 x2 2，

又OC 1，所以OD 2，

所以过A，B，C三点的圆在y 轴上截得的弦长为OC OD 3，为定值.

21．解：（1）f '( x)

2

2ax (2a

x

1) x 1 (2 a x 1)( x

x

1)

( x 0)

当a 0 时， f ' (x) 0 ，则 f (x) 在(0, ) 单调递增

1 当a 0 时，则 f ( x) 在)

(0,

2a

1

单调递增，在( , )

2a

单调递减.

1

（2）由（1）知，当 a 0 时， f (x)max )

f (

2a

1 3 1 1 1

f ( ) ( 2) ln( ) 1，令y ln t 1 t （t 0 ）

2a 4a 2a 2a 2a

1

则y' 1 0，解得t 1

t

∴y 在( 0,1) 单调递增，在(1, ) 单调递减

3 3

∴y max y (1) 0 ，∴y 0，即2)

f (x) ( ，∴ f (x) 2 .

max a

4 4a

（二）选考题：

22 ．（1）直线的普通方程为y k(x2)

直线的普通方程为x 2 ky

消去k 得 2 2 4

x y ，

即C的普通方程为 2 2 4

x y .

（2）化为普通方程为x y 2

联立x y

2 2

x y

2

4

得

x

y

3 2

2

2

2

∴2 2 2 18 2

x y

4 4

5

∴与C的交点M的极径为 5 .

- 7 -

23

2

x x 3 , x 1

由（1）知 2

g( x) x 3x 1 , 1 x 2

2

x x 3 , x 2

当x 1时，g(x) x2 x 3

其开口向下，对称轴x 1

2

1

∴g(x) g( 1) 1 1 3 5

当 1 x 2时g(x) x2 3x 1

其开口向下，对称轴为

x 3 2

∴

3 9 9 5 g(x) g() 1

2 4 2 4

当x 2 时，g (x) x2 x 3

（ 2 ）原式等价于存在x R ，使其开口向下，对称轴为

x

1

2

2

f (x) x x m

∴g(x) g (2) 4 2 3 1

成立，即 2

[ f (x) x x] m

max 综上max

g (x)

5

4

设 2

g(x) f (x) x x ∴m的取值范围为

5

( , ]

4

.

- 8 -