pH值中和反应过程的无模型学习自适应控制

计算机工程与应用２００６．２８１引言

ｐＨ值的控制在化工过程和生物工业中经常发生，例如污

水处理过程尤其是工业废水处理过程中为了保证出水符合国家排放标准，将ｐＨ值控制在期望的范围内是非常重要的。虽然ｐＨ值的检测和控制并非一个新课题，但要取得良好效果也并非易事，因为酸碱中和过程呈现出严重的非线性和ｐＨ响应的时滞性，以及进水ｐＨ值不确定动态变化，使得许多在理论上成熟的控制策略在实际应用中遭到严峻的考验。加之反应大多发生在容器和循环管路中，使得系统存在较大时滞，给ｐＨ值控制不仅带来极大困难，而且浪费大量的中和剂。为此ｐＨ值被公认为最难的控制变量之一［１］

。

传统的ＰＩＤ对于这种参数不确定性的系统的应用其控制效果不甚理想，且参数整定非常困难。随着现代控制理论的发展，对ｐＨ值的控制已经给出了一些有效控制方法，如自适应控制［２］

，Ｗｉｅｎｅｒ模型的辨识与预测控制［３］

，模糊控制和神经网络

控制［４］等等。然而自适应控制和预测控制的方法，都基于受控系

统精确数学模型的控制理论和方法，因此，模型的好坏对控制系统的影响非常大，鲁棒性不好，使用不方便。

而且，众所周知，建立受控系统精确的数学模型，不是一件容易的事情，有时甚至比控制本身更为困难。模糊控制和神经网络控制则算法复杂，难于在实际工程中应用，为此也使得ｐＨ值控制方法的研

究一直是极具挑战性的研究课题［５～

７］

。无模型学习自适应控制（ＭＦＬＡＣ）［８，９］在１９９３～１９９４被提出，其基本思想是利用一个新引入的伪梯度向量的概念，用一系列的动态线性时变模型，包括紧格式、偏格式、全格式线性化模型来替代一般非线性系统，并仅用受控系统的Ｉ／Ｏ数据来在线估计系统的伪梯度向量，从而实现非线性系统的无模型学习自适应控制。目前已成功应用于炼油、化工、电力、轻工等领域［１０］及城市快速路交通流入口匝道控制的研究。由于无模型自适应控制无需受控系统的数学模型，在线估计参数少、

设计简单、易于实现，所以对控制理论在实际中的应用具有重要的意义。而传统的自适应控制系统需要辨识受控系统的模型参数或者是辨识受控系统的模型结构等辨识环节。

基金项目：国家自然科学基金资助项目（编号：６０４７４０３８）

作者简介：曹荣敏（１９６４－），女，副教授，主要研究方向为计算机控制技术、过程控制、电气控制及无模型控制理论的应用。侯忠生，男，教授，博导，

主要研究方向无模型自适应控制理论及其应用、迭代学习控制理论与应用、智能交通系统。

ｐＨ值中和反应过程的无模型学习自适应控制

曹荣敏１

侯忠生２

１

（北京机械工业学院计算机及自动化系，北京１０００８５）２

（北京交通大学先进控制系统研究所，北京１０００４４）

Ｅ－ｍａｉｌ：ｒｏｎｇｍｉｎ＿ｃａｏ＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ

摘要根据ｐＨ值处理过程的时变和非线性特性，将基于紧格式线性化的单入单出非线性离散时间系统的无模型学

习自适应控制方法应用在带有时滞的ｐＨ值中和反应过程中。控制器的设计是无模型的，是直接基于称为伪偏导数的向量，此伪偏导数是通过一种新型参数估计算法，根据酸碱中和反应系统的输入输出信息在线导出的。此无模型控制方法非常适用于实际的模型参数难以辨识，且是时变的非线性系统。仿真控制验证了该方法对不确知动态的非线性ｐＨ值的控制具有鲁棒性强、响应速度快和控制精度高的优点，性能好于传统的ＰＩＤ控制。关键词

无模型控制方法

非线性系统

ｐＨ值控制时滞鲁棒性

文章编号１００２－８３３１（２００６）２８－０１９１－０４文献标识码Ａ

中图分类号ＴＰ２７３．３

Ｍｏｄｅｌ－ｆｒｅｅＬｅａｒｎｉｎｇＡｄａｐｔｉｖｅＣｏｎｔｒｏｌｏｆａｐＨＮｅｕｔｒａｌｉｓａｔｉｏｎＰｒｏｃｅｓｓ

ＣＡＯＲｏｎｇ－ｍｉｎ１ＨＯＵＺｈｏｎｇ－ｓｈｅｎｇ２

１

（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒ＆Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，ＢｅｉｊｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＭａｃｈｉｎｅｒｙＩｎｄｕｓｔｒｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００８５）

２

（ＡｄｖａｎｃｅｄＣｏｎｔｒｏｌＳｙｓｔｅｍＬａｂｏｒａｔｏｒｙ，ＢｅｉｊｉｎｇＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００４４）

Ａｂａｔｒａｃｔ：Ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｔｉｍｅ－ｖａｒｙｉｎｇａｎｄｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｔｈｅｐＨｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，ｔｈｅＭｏｄｅｌ－ＦｒｅｅＬｅａｒｎｉｎｇＡｄａｐｔｉｖｅＣｏｎｔｒｏｌ（ＭＦＬＡＣ）ａｐｐｒｏａｃｈｏｆａｃｌａｓｓｏｆＳＩＳＯｎｏｎｌｉｎｅａｒｄｉｓｃｒｅｔｅ－ｔｉｍｅｓｙｓｔｅｍｓｂａｓｅｄｏｎｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｉｇｈｔｆｏｒｍａｔｉｓａｐｐｌｉｅｄｔｏｐＨｎｅｕｔｒａｌｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｗｉｔｈｔｉｍｅｄｅｌａｙ．Ｔｈｅｄｅｓｉｇｎｏｆｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｉｓｍｏｄｅｌ－ｆｒｅｅ，ｂａｓｅｄｄｉｒｅｃｔｌｙｏｎＰｓｅｕｄｏ－Ｐａｒｔｉａｌ－Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ（ＰＰＤ）ｄｅｒｉｖｅｄｏｎ－ｌｉｎｅｆｒｏｍｔｈｅｉｎｐｕｔａｎｄｏｕｔｐｕｔｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅａｃｉｄ＿ｂａｓｅｓｎｅｕｔｒａｌｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｓｙｓｔｅｍｕｓｉｎｇａｎｏｖｅｌｐａｒａｍｅｔｅｒｅｓｔｉｍａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｔｈｅｍｏｄｅｌ－ｆｒｅｅｃｏｎｔｒｏｌｉｓｅｓｐｅｃｉａｌｌｙｕｓｅｆｕｌｆｏｒｒｅａｌｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓｗｈｏｓｅｍｏｄｅｌｐａｒａｍｅｔｅｒａｒｅｖｅｒｙｄｉｆｆｉｃｕｌｔｔｏｂｅｉｄｅｎｔｉｆｉｅｄａｎｄｔｉｍｅｖａｒｙｉｎｇ．Ｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｃｏｎｔｒｏｌｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｅｘｈｉｂｉｔｓｕｃｈａｄｖａｎｔａｇｅｓａｓｇｏｏｄｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ，ｑｕｉｃｋｒｅｓｐｏｎｓｅ，ａｎｄｈｉｇｈｃｏｎｔｒｏｌａｃｃｕｒａｃｙｆｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｖａｇｕｅｌｙｋｎｏｗｎｄｙｎａｍｉｃｓ，ｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｕｔｐｅｒｆｏｒｍｓｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌＰＩＤｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｏｄｅｌ－ｆｒｅｅｃｏｎｔｒｏｌｍｅｔｈｏｄ，ｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ，ｐＨｃｏｎｔｒｏｌ，ｔｉｍｅｄｅｌａｙ，ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ

１９１

２００６．２８计算机工程与应用

２无模型学习自适应控制的设计

被控系统可以通过下列单入单出非线性离散时间方程来

描述：

ｙ（ｋ＋１）＝ｆ（ｙ（ｋ），ｙ（ｋ＋１），…，ｙ（ｋ－ｎｙ），ｕ（ｋ），

ｕ（ｋ＋１），…，ｕ（ｋ－ｎｕ））

（１）

ｙ（ｋ），ｕ（ｋ）分别表示系统ｋ时刻的输入与输出，ｎｙ，ｎｕ分别

表示系统未知的阶数，ｆ（…）是未知的非线性函数。

２．１单入单出非线性系统的紧格式线性化

紧格式线性化是在以下三个假设条件下完成的。假设１系统（１）式对某一系统有界的期望输出信号ｙ＊

（ｋ＋１），

存在一有界的可行控制输入信号，在此控制输入信号的作用下，系统输出等于期望输出。此假设是对受控系统的基本假设。

假设２ｆ（…）关于系统当前的控制输入信号ｕ（ｋ）的偏导数是连续的，它包括了一大类非线性系统。

假设３系统（１）式满足对任意的ｋ和!ｕ（ｋ）≠０有：

!ｙ（ｋ＋１）≤ｂ!ｕ（ｋ）

其中!ｙ（ｋ＋１）＝ｙ（ｋ＋１）－ｙ（ｋ），!ｕ（ｋ）＝ｕ（ｋ）－ｕ（ｋ－１），ｂ是常

数。此假设是对系统输出变化量的限制。

定理１［８］对非线性系统（１）式，如果满足假设条件１～３，那么当!ｕ（ｋ）≠０时，一定存在一个称为是伪偏导数（Ｐｓｅｕｄｏ－

Ｐａｒｔｉａｌ－Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ，ＰＰＤ）的向量，使得：

!ｙ（ｋ＋１）＝!（ｋ）!ｕ（ｋ）

（２）并且｜!（ｋ）｜≤ｂ其中ｂ是一个常数。

定理１的证明见文献［８］，其中的伪偏导数是一个时变参数，如果采样周期及!ｕ（ｋ）的值均很小时，ＰＰＤ可以看成是一个慢时变参数。且与!ｕ（ｋ）的关系可以忽略，因此理论上是能够设

计自适应控制系统的。同时它的结构非常简单，它将一个复杂的ＳＩＳＯ非线性系统转化成一个带有单参数的线性时变系统。

２．２基于紧格式线性化的无模型学习自适应控制控

制率算法

为保证表示一般非线性系统的（１）式由动态线性化（２）式

合理替代，必须限制控制输入ｕ（ｋ）的变化量，除在算法中要保证!ｕ（ｋ）≠０以外，由于自适应控制系统是在动态闭环方式下工作，还必须在控制率算法中加入可调参数，用以限制!ｕ（ｋ）的变化，使其变化不能太大。

考虑如下控制输入准则函数：

Ｊ（ｕ（ｋ））＝［ｙ＊

（ｋ＋１）－ｙ（ｋ＋１）

２

＋"ｕ（ｋ）－ｕ（ｋ－１）

２

］（３）

此准则函数中引入"ｕ（ｋ）－ｕ（ｋ－１）２

的目的，是使控制输

入量的变化受到限制，且能克服稳态跟踪误差。其中"是权重系数。将（２）式带入（３）式，对ｕ（ｋ）求导，并令其等于零，得：

ｕ（ｋ）＝ｕ（ｋ－１）＝

#ｋ!（ｋ）"＋!（ｋ）

２

［ｙ＊

（ｋ＋１）－ｙ（ｋ）］

（４）

其中#ｋ是步长序列。

（４）式中"的作用是限制了!ｕ（ｋ）的变化，保证了（２）式对（１）式的合理替代范围，因此可以间接限制伪偏导数值的变化。同时可以避免控制率算法（４）式中分母可能为零的情况。"是一个非常重要的参数，后面的仿真结果表明它可以改变系统的动态特性。

从（４）式可知，此类控制率与受控系统参数数学模型结构、系统阶数无关，仅用系统Ｉ／Ｏ数据设计，这正是无模型自适应控制的优势所在。

２．３

基于紧格式线性化的无模型学习自适应控制伪偏导数估计算法

实践证明用传统的参数估计准则函数推导出的参数估计算法在估计参数时，估计值常常变化太快，或者对某些突变的

采样数据过于敏感，而对自适应控制系统设计的非线性系统参数估计算法必须满足在线控制的快速性要求。且线性化范围不能太大。新的估计准则函数如下［８］：

Ｊ（!（ｋ））＝［（ｙ０

（ｋ）－ｙ（ｋ－１）－!（ｋ）!ｕ（ｋ－１））２

＋

$（!（ｋ）－!

!（ｋ－１））２］（５）

其中ｙ０

（ｋ）表示系统的真实输出，$是关于参数估计变化量的惩罚因子，通过它的适当选取，可以限制非线性系统进行

线性替代的范围。准则函数（５）式中由于项$（!（ｋ）－!

!（ｋ－１））２

的引入，惩罚了参数!的变化，且由于（５）式中仅考虑了第ｋ个采样时刻，故由准则函数推导来的参数估计算法应具有对时变参数的跟踪能力。通过极小化推导过程［９］，得到如下伪偏导数估计算法：

!!（ｋ）＝!!（ｋ－１）＋%ｋ!ｕ（ｋ－１）$＋!ｕ（ｋ－１）２

（!ｙ（ｋ）－!!（ｋ－１）!ｕ（ｋ－１））（６）!

!（ｋ）＝!!（１），若!!（ｋ）≤&或!ｕ（ｋ－１）≤&（７）（７）式是为了使定理２．１的条件得到满足，同时也为了使

参数估计算法具有更强的时变参数跟踪能力。

在（４）、（６）、（７）式中，%ｋ，#ｋ∈（０，２），$，"是权重因子，&是

充分小的正数，!

!（１）是!!（ｋ）的初值。由于上述控制方案比传统的自适应控制方案在线调整参数少，计算量小，系统伪偏导数是唯一在线调整的参数，因此能适应系统快速性要求，且易于实现。

３在ｐＨ值控制中的仿真研究及性能分析

ｐＨ值是酸碱中和反应中对溶液酸碱度的定义，中和反应

过程是将酸溶液、碱溶液和缓冲剂混合在一个固定体积的容器中，酸碱中和反应过程描述如图１。

系统的输入是碱的流速ｕ（ｔ）、缓冲剂流速’（ｔ）和酸的流速Ｆ（ｔ），系统的输出是排出溶液的ｐＨ值ｙ（ｔ）。假设酸的流速

Ｆ（ｔ）和容器的体积Ｖ是固定不变的，通常最终目的是通过控制

碱的流速来控制排出溶液的ｐＨ值。不可测得的缓冲剂流速’（ｔ）可以作为系统的干扰来处理。

图２给出了ｐＨ碱滴定酸的滴定曲线［５］，这是一个非线性变化的过程，ｐＨ较低或较高时，变化非常缓慢，而在接近中性时，即ｐＨ在７左右时，添加的中和剂稍有变化，就能引起ｐＨ值较大幅度的变化，图中ｃ点所示。又由于反应过程一般在大

１９２

容器中进行，从中和剂加入到ｐＨ值变化需要时间较长，这一严重的非线性与时滞特性给ｐＨ值控制带来极大的困难，不仅难以控制准确，而且还浪费大量中和剂。

本文通过基于紧格式线性化的无模型学习自适应控制（ＭＦＬＡＣ）方法在ｐＨ值控制中的应用研究，分析当系统参数变化时，系统的输出对给定期望值的跟踪情况，证明此控制方法在酸碱中和反应过程中应用的鲁棒性、快速性等。

３．１ｐＨ值控制系统模型

实际生产过程中的中和反应过程是非常复杂的，这里考虑的被控对象选用通用化非线性动态模型如下［５］：

Ｖｄｙ

１

（ｔ）

ｄｔ

＝Ｆ（ｔ）（ａ－ｙ

１

（ｔ））－ｕ（ｔ）（ｂ＋ｙ

１

（ｔ））（８）

ｙ１（ｔ）＝１０－ｙ（ｔ）－１０ｙ（ｔ）Ｋ

ｗ

（９）

其中，Ｋ

ｗ＝１０－１４是水平衡常数；ｙ

１

（ｔ）为溶液的浓度，定义为

ｙ

１

（ｔ）＝［Ｈ＋］－［ＯＨ－］?ｙ（ｔ）为输出溶液的ｐＨ值。被控对象的近似离散化模型表示为：

ｙ１（ｔ＋１）＝（１－Ｔ

Ｖ

Ｆ（ｔ））ｙ

１

（ｔ）－ｂＴ

Ｖ

ｕ（ｔ）－Ｔ

Ｖ

ｙ

１

（ｔ）ｕ（ｔ）＋

ａＴ

Ｖ

Ｆ（ｔ）＋!（ｔ＋１）（１０）

式中，Ｖ为反应容器的容积，单位为Ｌ；Ｆ（ｔ）为酸的流量，单位为Ｌ／ｍｉｎ；ｕ（ｔ）为碱的流量，单位为Ｌ／ｍｉｎ；ａ为酸的浓度，单位为ｍｏｌ／Ｌ；ｂ为碱的浓度，单位为ｍｏｌ／Ｌ；Ｔ为采样周期，单位为ｍｉｎ；!（ｔ）为缓冲剂的流量，这里作为系统的干扰输入信号。由（２）式解得输出溶液的ｐＨ值为：

ｙ（ｔ）＝ｌｇ－ｙ

１

（ｔ）＋（ｙ

１

（ｔ）２＋４Ｋ

ｗ

）

!

２Ｋ

ｗ

（１１）

由上述方程可知由ｙ

１

（ｔ）到ｙ（ｔ）的变化导致了严重的非线性，如图２所示。

３．２仿真研究及稳定性分析

至此，ｐＨ值的非线性时变系统，通过（４）式的控制率来控制。伪偏导数通过（６）式根据ｐＨ值控制系统数学模型的输入输出信息（８）至（１１）式在线估计，通过仿真取得了好的过程响应。所给出的被控对象动态数学模型仅用于受控系统Ｉ／Ｏ数据的产生，不参加控制器的设计。因此即使系统自身参数发生变化，对控制器并无影响。系统的参数选择为：ａ＝０．００４ｍｏｌ／Ｌ，ｂ＝０．００１ｍｏｌ／Ｌ，Ｖ＝２Ｌ，Ｔ＝１ｍｉｎ，Ｆ（ｔ）＝０．１１２５Ｌ／ｍｉｎ。仿真初值设为ｕ（１）＝ｕ（２）＝０．００００１，ｙ（１）＝ｙ（２）＝ｙ（３）＝１，"（１）＝"（２）＝２，重设

值时取为０．５，#＝０．００００１，步长序列$

ｋ＝１，%

ｋ

＝１．５，采样周期取

为１ｍｉｎ。

如果设置权重常数&＝１，’＝５０００００，Ｍａｔｌａｂ下的仿真结果如图３所示，具有好的控制效果和非常小的跟踪误差。系统稳定性好。

当设置权重常数&＝１，’＞５０００００后，虽然超调可减小，但延时加大，且’越大延时越大，’＜３０００００后，延时减小，但超调增大，当’＜２１０００后，系统开始不稳定，由此可见，’的调节范围很宽，从２１０００到１００００００内可调。

在第１０００个采样点时，ｐＨ设定值由７变为８，系统能够很快地达到稳态，响应曲线如图４所示。

对系统加入方差为０．１的随机干扰，只要稍微的调节参数’就可得到如图５所示的好的控制效果。

由于&是关于参数估计变化量的惩罚因子，可以限制非线性直线电机系统进行线性替代的范围。’限制了控制量的变化，因此可以间接限制伪偏导数值的变化。从以上仿真结果可知，当适当的选取权重常数’、&，可以改变系统的动态特性，使无模型学习自适应控制在ｐＨ值控制中的控制效果达到很好。

为了演示本文方法的优越性，应用经典的ＰＩＤ控制技术进行了仿真以便与本文所述方案进行比较。控制结果的比较见图６所示。其中ＰＩＤ的参数为Ｋ

ｐ

＝０．０００００１，Ｋ

ｉ

＝０．０００００１，Ｋ

ｄ

＝０．０００００１，已调整到最佳。从仿真结果可知ＰＩＤ控制响应速度较慢，有较大的时滞，另外，ＰＩＤ参数调整非常的麻烦，须特别小心，稍微的变化都有可能使控制效果不好，产生震荡，

甚至失稳。

１９３

计算机工程与应用２００６．２８

（上接１０１页）

管理的水平的不断提高，设计变更自动化解决方案的不断成熟，设计变更给项目组带来的不利影响将会逐渐减少，我们期盼着那一天的早日到来。（收稿日期：２００５年１２月）

参考文献

１．ＤａｒｙｌＫｕｌａｋ，ＥａｍｏｎｎＧｕｉｎｅｙ，ＥｒｉｎＬａｖｋｕｌｉｃｈ．ＵｓｅＣａｓｅｓＲｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓｉｎＣｏｎｔｅｘｔ［Ｍ］．ＳｅｃｏｎｄＥｄｉｔｉｏｎ，Ａｄｄｉｓｏｎ－Ｗｅｓｌｅｙ，２００３

２．ＩａｎＳｏｍｍｅｒｖｉｌｌｅ．ＳｏｆｔｗａｒｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ［Ｍ］．７ｔｈＥｄｉｔｉｏｎ，Ａｄｄｉｓｏｎ－Ｗｅｓｌｅｙ，２００４

３．ＲｏｇｅｒＳＰｒｅｓｓｍａｎ．ＳｏｆｔｗａｒｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ：ＡＰｒａｃｔｉｔｉｏｎｅｒ＇ｓＡｐｐｒｏａｃｈ［Ｍ］．ＳｉｘｔｈＥｄｉｔｉｏｎ，ＭｃＧｒａｗ－Ｈｉｌｌ，２００４

４．ＫｅｎｔＢｅｃｋ．ＥｘｔｒｅｍｅＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｅｘｐｌａｉｎｅｄ：ＥｍｂｒａｃｅＣｈａｎｇｅ［Ｍ］．Ａｄｄｉ－ｓｏｎＷｅｓｌｅｙ，２００２

５．ＸｉａｏｈｕａＺｈａｏ，ＳｈｉｇｅｋａｚｕＨａｓｈｉｍｏｔｏ，ＺｈｅｎｇＷａｎｇｅｔａｌ．ＰｒｏｊｅｃｔＭａｎ－ａｇｅｍｅｎｔＤａｔａＣｏｌｌｅｃｔｉｏｎｉｎＰａｔｔｅｒｎ－ＯｒｉｅｎｔｅｄＳｏｆｔｗａｒｅＲｅ－ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ［Ｃ］．Ｉｎ：２００４Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅ２ｎｄＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＰｒｏｊｅｃｔ

Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ（ＰｒｏＭＡＣ２００４），ＩＳＢＮ４－９０２３７８－０３－５Ｃ－２０３４，２００４：１２９～１３６

６．ＡｌａｎＳｈａｌｌｏｗａｙ，ＪａｍｅｓＲＴｒｏｔｔ．ＤｅｓｉｇｎＰａｔｔｅｒｎｓＥｘｐｌａｉｎｅｄ：ＡＮｅｗＰｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｏｎＯｂｊｅｃｔ－ＯｒｉｅｎｔｅｄＤｅｓｉｇｎ

７．ＳｃｏｔｔＷＡｍｂｌｅｒ．ＭｏｒｅＰｒｏｃｅｓｓＰａｔｔｅｒｎｓ——

—ＤｅｌｉｖｅｒｉｎｇＬａｒｇｅ－ＳｃａｌｅＳｙｓｔｅｍｓＵｓｉｎｇＯｂｊｅｃｔＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ［Ｍ］．ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，１９９９８．ＮｅｎａｄＳｔａｎｋｏｖｉｃ．ＳｏｆｔｗａｒｅＰｒｏｊｅｃｔＭａｎａｇｅｍｅｎｔ：ＡＰｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ［Ｃ］．Ｉｎ：２００４Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅ２ｎｄＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＰｒｏｊｅｃｔＭａｎ－ａｇｅｍｅｎｔ（ＰｒｏＭＡＣ２００４），ＩＳＢＮ４－９０２３７８－０３－５Ｃ－２０３４，２００４：２５～３０９．ＢｒｉａｎＡＷｈｉｔｅ．ＳｏｆｔｗａｒｅＣｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎＭａｎａｇｅｍｅｎｔＳｔｒａｔｅｇｉｅｓａｎｄＲａｔｉｏｎａｌＣｌｅａｒＣａｓｅ［Ｍ］．Ａｄｄｉｓｏｎ－Ｗｅｓｌｅｙ，２０００

１０．ＳｃｏｔｔＷＡｍｂｌｅｒ．ＭｏｒｅＰｒｏｃｅｓｓＰａｔｔｅｒｎｓ——

—ＤｅｌｉｖｅｒｉｎｇＬａｒｇｅ－ＳｃａｌｅＳｙｓｔｅｍｓＵｓｉｎｇＯｂｊｅｃｔＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ［Ｍ］．ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，１９９９１１．赵晓华，虞文明，陈晨等．采集再工程项目管理数据的“黑匣”解决方案［Ｊ］．北京工业大学学报，２００５；３１（４）：３９４～３９８

１２．张振彪．再工程过程中逆向工程分析工具的研究与实现［Ｄ］．北京工业大学，２００３

４结论

在本文中，将基于紧格式线性化的无模型学习自适应控制方法应用在ｐＨ值控制中，该算法能对大时滞、强非线性的ｐＨ值进行有效控制，而且响应速度快、算法简单、易于实现，得到了很好的控制效果。所设计的控制器是无模型的，只需从Ｉ／Ｏ数据在线导出伪偏导数（ＰＰＤ）。闭环响应和鲁棒性可以由适当的选取权重常数来折中，由于无模型学习自适应控制方案中系统伪偏导数是唯一在线调整的参数，比传统的自适应控制方案在线调整参数少、计算量小、易于实现，能适应系统的快速性需求。（收稿日期：２００６年６月）

参考文献

１．邵惠鹤．工业过程高级控制［Ｍ］．上海：上海交通大学出版社，１９９７：４０～４１

２．ＨｅｎｓｏｎＭ，ＳｅｂｏｒｇＤ．ＡｄａｐｔｉｖｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｏｎｔｒｏｌｏｆａｐＨｎｅｕｔｒａｌｉｚａ－ｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓＣｏｎｔｒｏｌＳｙｓｔＴｅｃｈｎｏｌ，１９９４；２（３）：１６９～１８２３．ＪＣＧｏｍｅｚ，ＡＪｕｔａｎ，ＥＢａｅｙｅｎｓ．ＷｉｅｎｅｒｍｏｄｅｌｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎａｎｄｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅｃｏｎｔｒｏｌｏｆａｐＨｎｅｕｔｒａｌｉｓａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥＰｒｏｃ－Ｃｏｎ－ｔｒｏｌＴｈｅｏｒｙＡｐｐｌ，２００４；１５１（３）：３２９～３３８

４．ＳｅｂｏｒｇＤＥ．ＦｕｚｚｙｍｏｄｅｌｉｎｇｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｐＨｐｒｏｃｅｓｓｅｓｔｈｒｏｕｇｈｎｅｕ－ｒａｌａｐｐｒｏａｃｈ［Ｊ］．ＩＥＥＥｏｎＳｙｓｔｅｍｓ，１９９４；（２）：１２２４～１２２９

５．杨照华，杨智，王慧中．两种新型ｐＨ值的控制方法研究［Ｊ］．甘肃工业大学学报，２００１；２７（３）：５１～５４

６．Ｊ－ＨＬｅｅ，Ｉ－ＹＬｅｅ，Ｍ－ＫＫｉｍｅｔａｌ．ＯｐｔｉｍａｌｐＨｃｏｎｔｒｏｌｏｆｂａｔｃｈｐｒｏ－ｃｅｓｓｅｓｆｏｒｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｏｆｃｕｒｄｌａｎｂｙＡｇｒｏｂａｃｔｅｒｉｕｍｓｐｅｃｉｅｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＩｎｄｕｓｔｒｉａｌＭｉｃｒｏｂｉｏｌｏｇｙ＆Ｂｉｏｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，１９９９；２３：１４３～１４８

７．ＺｉｄｏｎｇＷａｎｇ，ＨｏＤａｎｉｅｌＷＣ，ＸｉａｏｈｕｉＬｉｕ．ＡＮｏｔｅｏｎｔｈｅＲｏｂｕｓｔＳｔａｂｉｌｉｔｙｏｆＵｎｃｅｒｔａｉｎＳｔｏｃｈａｓｔｉｃＦｕｚｚｙＳｙｓｔｅｍｓＷｉｔｈＴｉｍｅ－Ｄｅｌａｙｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＳｙｓｔｅｍｓ，Ｍａｎ＆Ｃｙｂｅｒｎｅｔｉｃｓ：ＰａｒｔＡ，２００４；３４（４）：５７０～５７６

８．侯忠生．非参数模型及其自适应控制理论［Ｍ］．北京：科学出版社，１９９９：８３～８７

９．ＺｈｏｎｇｓｈｅｎｇＨｏｕｅｔａｌ．Ｔｈｅｍｏｄｅｌ－ｆｒｅｅｌｅａｒｎｉｎｇａｄａｐｔｉｖｅｃｏｎｔｒｏｌｏｆａｃｌａｓｓｏｆＳＩＳＯｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ［Ｃ］．Ｉｎ：ＰｒｏｃｏｆｔｈｅＡｍｅｒｉｃａｎＣｏｎｔｒｏｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ，Ａｌｂｕｑｕｅｒｑｕｅ，ＮｅｗＭｅｘｉｃｏ，１９９７：３４３～３４４

１０．ＴａｎＫＫ．ＡｄａｐｔｉｖｅＰｒｅｄｉｃｔｉｖｅＣｏｎｔｒｏｌｏｆａＣｌａｓｓｏｆＳＩＳＯＮｏｎｌｉｎｅａｒＳｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．ＤｙｎａｍｉｃｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２００１；１１（２）：１５１～

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２００６．２８计算机工程与应用

模型参考自适应控制

10．自适应控制 严格地说，实际过程中的控制对象自身及能所处的环境都是十分复杂的，其参数会由于种种外部与内部的原因而发生变化。如，化学反应过程中的参数随环境温度和湿度的变化而变化（外部原因），化学反应速度随催化剂活性的衰减而变慢（内部原因），等等。如果实际控制对象客观存在着较强的不确定，那么，前面所述的一些基于确定性模型参数来设计控制系统的方法是不适用的。 所谓自适应控制是对于系统无法预知的变化，能自动地不断使系统保持所希望的状态。因此，一个自适应控制系统，应能在其运行过程中，通过不断地测取系统的输入、状态、输出或性能参数，逐渐地了解和掌握对象，然后根据所获得的过程信息，按一定的设计方法，作出控制决策去修正控制器的结构，参数或控制作用，以便在某种意义下，使控制效果达到最优或近似更优。目前比较成熟的自适应控制可分为两大类：模型参考自适应控制（Model Reference Adaptive Control）和自校正控制（Self-Turning）。 10.1模型参考自适应控制 10.1.1模型参考自适应控制原理 模型参考自适应控制系统的基本结构与图10.1所示： 10.1模型参考自适应控制系统 它由两个环路组成，由控制器和受控对象组成内环，这一部分称之为可调系统，由参考模型和自适应机构组成外环。实际上，该系统是在常规的反馈控制回路上再附加一个参考模型和控制器参数的自动调节回路而形成。

在该系统中，参考模型的输出或状态相当于给定一个动态性能指标，（通常，参考模型是一个响应比较好的模型），目标信号同时加在可调系统与参考模型上，通过比较受控对象与参考模型的输出或状态来得到两者之间的误差信息，按照一定的规律（自适应律）来修正控制器的参数（参数自适应）或产生一个辅助输入信号（信号综合自适应），从而使受控制对象的输出尽可能地跟随参考模型的输出。 在这个系统，当受控制对象由于外界或自身的原因系统的特性发生变化时，将导致受控对象输出与参考模型输出间误差的增大。于是，系统的自适应机构再次发生作用调整控制器的参数，使得受控对象的输出再一次趋近于参考模型的输出（即与理想的希望输出相一致）。这就是参考模型自适应控制的基本工作原理。 模型参考自适应控制设计的核心问题是怎样决定和综合自适应律，有两类方法，一类为参数最优化方法，即利用优化方法寻找一组控制器的最优参数，使与系统有关的某个评价目标，如：J=? t o e 2(t)dt ，达到最小。另一类方法是基于稳 定性理论的方法，其基本思想是保证控制器参数自适应调节过程是稳定的。如基于Lyapunov 稳定性理论的设计方法和基于Popov 超稳定理论的方法。 系统设计举例 以下通过一个设计举例说明参数最优化设计方法的具体应用。 例10.1设一受控系统的开环传递函数为W a (s)=) 1(+s s k ，其中K 可变，要求 用一参考模型自适应控制使系统得到较好的输出。 解：对于该系统，我们选其控制器为PID 控制器，而PID 控制器的参数由自适应机构来调节，参考模型选性能综合指标良好的一个二阶系统： W m (d)= 1 414.11 2 ++s s 自适应津决定的评价函数取 minJ =?t e 2 (t)dt ，e(t)为参考模型输出与对象输出的误差。 由于评价函数不能写成PID 参数的解析函数形式，因此选用单纯形法做为寻优方法。（参见有关优化设计参考文献）。 在上述分析及考虑下，可将系统表示具体结构表示如下图10.2所示。

无模型自适应(MFA)控制

无模型自适应（MFA）控制 无模型自适应控制的概念和意义 无模型自适应控制系统应具有如下属性或特征： ? 无需过程的精确的定量知识； ?系统中不含过程辨识机制和辨识器； ?不需要针对某一过程进行控制器设计； ? 不需要复杂的人工控制器参数整定； ? 具有闭环系统稳定性分析和判据，确保系统的稳定性。 下面结合燃烧过程的控制详细讨论以下五个问题，阐述无模型自适应控制理论的精髓： 过程知识 大多数先进控制技术都需要对过程及其环境有较深的了解，一般用拉普拉斯变换或动态微分方程来描述过程动态特性。然而在过程控制领域，许多系统过于复杂，或者其内在规律难以了解，因此很难得到过程的定量知识，这通常称为“黑箱”问题。 在许多情况下，我们可能掌握了一些过程知识但是不知道这些知识是否精确。在包括燃烧控制的过程控制中，经常碰到进料的波动，燃料类型和热值的改变，下游需求不可预测的变化以及产品尺寸、配方、批次和负荷等频繁的切换。这些就导致一个问题：即无法确定所掌握的过程知识的精确程度。这种现象通常被叫做“灰箱”问题。 如果能掌握过程的大量知识，那就是一个“白箱”问题。在这种情况下，基于对过程的了解，利用成熟的控制方法及工具设计控制器就容易多了。 尽管无模型自适应控制器可以解决黑箱、灰箱和白箱问题，但更适用于灰箱问题，事实上大多数工业过程都是灰箱问题。 过程辨识 对于传统的自适应控制方法，如果不能获得过程的定量信息，一般需要采用某种辨识机制，以在线或离线的方式获得系统的动态特性。由此产成了以下一些难以解决的问题： ? 需要离线学习； ?辨识所需的不断的激励信号与系统平稳运行的矛盾； ?模型收敛和局部最小值问题； ? 系统稳定性问题。 基于辨识的控制方法不适用于过程控制的主要原因是控制和辨识是一对矛盾体。好的控制使系统处于一个稳定状态，这种情况下设定值（SP）、控制器输出（OP）和过程变量（PV）在趋势图中显示出来的都是直线。任何稳定系统都会达到另一个稳定状态，而其中的过程动态特性的变化却不能被察觉，因此通常需要施加激励信号来进行有效的过程辨识。然而，实际生产过程很难容许这样做。 MFA控制系统中没有辨识环节因此可以避免上述问题。一旦运行，MFA控制器就可立刻接管控制。MFA控制器中

无模型自适应控制方法的应用研究

无模型自适应控制方法的应用研究 XXX （北京化工大学自动化系，北京100029） 摘要：概述了一种新型的控制方法无模型自适应控制。目的是对当前无模型自 适应控制有一个总体的认识, 它是一种无需建立过程模型的自适应控制方法。与传统的基于模型的控制方法相比，无模型控制既不是基于模型也不是基于规则，它是一种基于信息的控制方法。无模型控制器作为一种先进的控制策略，具有很强的参数自适应性和结构自适应性。基于以上背景，首先介绍了无模型自适应控制的性质及特征，结合对北京化工大学405仿真实验室三级液位控制系统的仿真研究，并将其与PID控制器的效果进行了对比。仿真表明, 无模型控制器具有良好的抗干扰能力、参数自适应性和结构自适应性。 关键字：无模型；自适应；控制； Model Free Adaptive Control Theory and its Applications XXX (Department of Automation, Beijing University of Chemical Technology Beijing 100029) Abstract: A new kind of control method model-free adaptive control is given. The purpose is to make MFA to be understood. Model free adaptive control(MFAC)theory is an adaptive control method which does not need to model the industrial process．Compared with traditional control methods based on modeling，MFAC is an advanced control strategy which based on information of Input／Output Data．It has parameter adaptability and structure adaptability．Based on the background，First the property and character of MFA are introduced, Then Combining 405 Simulation Laboratory of Beijing University of Chemical technology three- level control system simulation．The simulation results show that MFAC controller has excellent robustness，anti-jamming capability, parameter and structure adaptability．

系统辨识与自适应控制作业

系统辨识与自适应控制 学院： 专业： 学号： 姓名：

系统辨识与自适应控制作业 一、 对时变系统进行参数估计。 系统方程为：y(k)+a(k)y(k-1)=b(k)u(k-1)+e(k) 其中：e(k)为零均值噪声，a(k)= b(k)= 要求：1对定常系统（a=0.8,b=0.5）进行结构（阶数）确定和参数估计； 2对时变系统，λ取不同值（0.9——0.99）时对系统辨识结果和过程进行 比较、讨论 3对辨识结果必须进行残差检验 解：一（1）： 分析：采用最小二乘法（LS ）：最小二乘的思想就是寻找一个θ的估计值θ? ， 使得各次测量的),1(m i Z i =与由估计θ? 确定的量测估计θ??i i H Z =之差的平方和最小，由于此方法兼顾了所有方程的近似程度，使整体误差达到最小，因而对抑制误差是有利的。在此，我应用批处理最小二乘法，收敛较快，易于理解，在系统参数估计应用中十分广泛。 作业程序： clear all; a=[1 0.8]'; b=[ 0.5]'; d=3; %对象参数 na=length(a)-1; nb=length(b)-1; %na 、nb 为A 、B 阶次 L=500; %数据长度 uk=zeros(d+nb,1); %输入初值：uk(i)表示u(k-i) yk=zeros(na,1); %输出初值 x1=1; x2=1; x3=1; x4=0; S=1; %移位寄存器初值、方波初值 xi=randn(L,1); %白噪声序列 theta=[a(2:na+1);b]; %对象参数真值 for k=1:L phi(k,:)=[-yk;uk(d:d+nb)]'; %此处phi(k,:)为行向量，便于组成phi 矩阵 y(k)=phi(k,:)*theta+xi(k); %采集输出数据 IM=xor(S,x4); %产生逆M 序列 if IM==0 u(k)=-1; else u(k)=1; end S=not(S); M=xor(x3,x4); %产生M 序列

侯忠生教授无模型自适应控制程序

%以下是侯忠生教授无模型自适应控制中的一个简单例子，在网上找了很多参考程序没找到，故而自己简单写了下，运行没问题，欢迎探讨。 clc,clear for k=1:1000 if k<=300 ys(k)=0.5*(-1)^round(k/100); elseif 300500 y(k+1)=(y(k)*y(k-1)*y(k-2)*u(k-1)*(y(k-2)-1)+round(k/100)*u(k))/(1+y(k-1)^2+y(k-2)^2); end end plot(1:1000,y,'r') ylim([-1.5,1.5]) % plot(1:999,u,'r') % % plot(1:999,fai,'r')

系统辨识与自适应控制论文

XXXXXXXXXX 系统辨识与自适应控制课程论文 题目：自适应控制综述与应用 课程名称：系统辨识与自适应控制 院系：自动化学院 专业：自动化 班级：自动化102 姓名： XXXXXX 学号: XXXXXXXXX 课程论文成绩： 任课教师： XXXXX 2013年 11 月 15 日

自适应控制综述与应用 一．前言 对于系统辨识与自适应控制这门课，前部分主要讲了系统辨识的经典方法（阶跃响应法、频率响应法、相关分析法）与现代方法（最小二乘法、随机逼近法、极大似然法、预报误差法）。对于系统辨识，简单的说就是数学建模，建立黑箱系统的输入输出关系；而其主要分为结构辨识（n）与参数辨识（a、b）这两个任务。 由于在课上刘老师对系统辨识部分讲的比较详细，在此不再赘述，下面讨论自适应控制部分的相关内容。 对于自适应控制的概念，我觉得具备以下特点的控制系统，可以称为自适应控制系统： 1、在线进行系统结构和参数辨识或系统性能指标的度量，以便得到系统当前状态的改变情况。 2、按一定的规律确定当前的控制策略。 3、在线修改控制器的参数或可调系统的输入信号。 二．自适应控制综述 1.常规控制系统与自适应控制系统比较 （1）控制器结构不同 在传统的控制理论与控制工程中，常规控制系统的结构主要由控制器、控制对象以及反馈控制回路组成。 而自适应控制系统主要由控制器、控制对象、自适应器及反馈控制回路和自适应控制回路组成。 （2）适用的对象与条件不同 传统的控制理论与控制工程中，当对象是线性定常、并且完全已知的时候，才能进行分析和控制器设计。无论采用频域方法，还是状态空间方法，对象一定是已知的。这类方法称为基于完全模型的方法。在模型能够精确地描述实际对象时，基于完全模型的控制方法可以进行各种分析、综合，并得到可靠、精确和满意的控制效果。 然而,有一些实际被控系统的数学模型是很难事先通过机理建模或离线系统辨识来确知的,或者它们的数学模型的某些参数或结构是处于变化之中的.对于这类事先难以确定数学模型的系统,通过事先整定好控制器参数的常规控制往往难以对付。 面对上述系统特性未知或经常处于变化之中而无法完全事先确定的情况,如何设计一个满意的控制系统,使得能主动适应这些特性未知或变化的情况,这就 是自适应控制所要研究解决的问题.自适应控制的基本思想是:在控制系统的运行过程中,系统本身不断地测量被控系统的状态、性能和参数,从而“认识”或“掌握”系统当前的运行指标并与期望的指标相比较,进而作出决策,来改变控制器的结构、参数或根据自适应规律来改变控制作用，以保证系统运行在某种意义下的最优或次优状态。按这种思想建立起来的控制系统就称为自适应控制系统。

模型参考自适应控制—MIT法

一 原理及方法 模型参考自适应系统，是用理想模型代表过程期望的动态特征，可使被控系统的特征与理想模型相一致。一般模型参考自适应控制系统的结构如图1所示。 图1 一般的模型参考自适应控制系统 其工作原理为，当外界条件发生变化或出现干扰时，被控对象的特征也会产生相应的变化，通过检测出实际系统与理想模型之间的误差，由自适应机构对可调系统的参数进行调整，补偿外界环境或其他干扰对系统的影响，逐步使性能指标达到最小值。 基于这种结构的模型参考自适应控制有很多种方案，其中由麻省理工学院科研人员首先利用局部参数最优化方法设计出世界上第一个真正意义上的自适应控制律，简称为MIT 自适应控制，其结构如图2所示。 图2 MIT 控制结构图 系统中，理想模型Km 为常数，由期望动态特性所得，被控系统中的增益Kp 在外界环境发生变化或有其他干扰出现时可能会受到影响而产生变化，从而使其动态特征发生偏离。而Kp 的变化是不可测量的，但这种特性的变化会体现在广义误差e 上，为了消除或降低由于Kp 的变化造成的影响，在系统中增加一个可调增益Kc ，来补偿Kp 的变化，自适应机构的任务即是依据误差最小指标及时调整Kc ，使得Kc 与Kp 的乘积始终与理想的Km 一致，这里使用的优化方法为最优梯度法，自适应律为： ??+=t m d y e B Kc t Kc 0)0()(τ Yp Ym e +__ + R 参考模型 调节器被控对象 适应机构 可调系统 ———kmq(s) p(s) Kc Kp q(s)-----p(s)适应律 R ym yp e +-

MIT 方法的优点在于理论简单，实施方便，动态过程总偏差小，偏差消除的速率快，而且用模拟元件就可以实现；缺点是不能保证过程的稳定性，换言之，被控对象可能会发散。 二 对象及参考模型 该实验中我们使用的对象为： 1 22) ()()(2 ++= =s s s p s q K s G p p 参考模型为： 1 21) ()()(2 ++= =s s s p s q K s G m m 用局部参数最优化方法设计一个模型参考自适应系统，设可调增益的初值Kc(0)=0.2，给定值r(t)为单位阶跃信号，即r(t)=A ×1(t)。A 取1。 三 自适应过程 将对象及参考模型离散化，采样时间取0.1s ，进而可得对象及参考模型的差分方程分别为： )2(0044.0)1(0047.0)2(8187.0)1(8079.1)(-+-+---=k r k r k y k y k y m )2(0088.0)1(0094.0)2(8187.0)1(8097.1)(-+-+---=k u k u k y k y k y p p p 其中u 为经过可调增益控制器后的信号。编程进行仿真，经大量实验发现，取修正常数B 为0.3，可得较好的动态过度过程，如下图3所示：

无模型自适应技术MFA中文版(非常好的学习资料)

无模型自适应（MFA）控制技术 摘 要 MFA… 关键字：无模型自适应控制MFA …

目 录 无模型自适应（MFA）控制技术 (1) 单回路MFA控制系统 (1) MFA控制器结构 (2) SISO MFA控制算法 (3) MFA与PID (4) MFA控制系统的要求 (4) SISO MFA控制器设置 (5) 非线性MFA控制器（Nonlinear MFA） (5) 非线性MFA控制器设置 (6) MFA pH控制器（MFA pH） (6) MFA pH控制器设置 (7) 前馈MFA控制器（Feedforward MFA） (8) 前馈MFA控制器设置 (8) 抗滞后MFA控制器（Anti-delay MFA） (9) 鲁棒MFA控制器（Robust MFA） (10) 鲁棒MFA控制器设置 (11) 时变MFA控制器（Time-varying MFA） (12) 时变MFA控制器设置 (12) 抗滞后MFA pH控制器（Anti-delay MFA pH） (13) 多变量MFA控制器（MIMO MFA） (13) 两输入两输出MFA控制系统 (13) 2×2MFA控制器参数 (14) MIMO MFA控制器应用指南 (15) MFA控制方法论 (15) 总结 (16) 简易的解决方案 (16) 利用所有的过程信息 (16) 不依赖于信息的精确程度 (16) 将合适的技术应用于相应的场合 (16) 参考文献 (17)

无模型自适应（MFA）控制技术 无模型自适应（MFA）控制技术，顾名思义，是一种无需建立过程模型的一种自适应控制方法。MFA控制系统具有以下五点属性： 1. 不依赖于精确的过程知识； 2. 系统不含过程辨识机制； 3. 对一实际过程无需进行控制器设计； 4. 没有复杂的控制器参数整定过程； 5. 有稳定性分析和判据，保证闭环系统稳定。[1-3] 基于MFA核心控制技术，针对特殊的控制问题，设计了多种MFA控制器：[4-14] 标准MFA控制器（SISO MFA）－取代PID，免去了复杂的控制器参数整定； 非线性MFA控制器（Nonlinear MFA）－控制极端非线性过程； MFA pH控制器－控制pH过程； 前馈MFA控制器（Feedforward MFA）－抑制可测的扰动； 抗滞后MFA控制器（Anti-delay MFA）－控制大滞后过程； 鲁棒MFA控制器（Robust MFA）－迫使过程变量维持在预定的范围； 时变MFA控制器（Time-varying MFA）－控制大惯性、滞后时间不确定的过程； 抗滞后MFA pH控制器（Anti-delay MFA pH）－控制大滞后的pH过程； MIMO MFA控制器（多变量MFA）－控制多变量过程。 MFA控制器能很方便地嵌入于各种设备，并且越来越多的平台已经能提供这些先进的控制器，包括楼宇控制器、单回路控制器、可编程逻辑控制器（PLC）、混合式控制器、过程自动控制器（PAC），以及控制软件和集散控制系统（DCS）等。 单回路MFA控制系统 如图1所示，单回路MFA控制系统包括一个单输入单输出（SISO）过程，一个SISO MFA控制器和一个反馈回路。MFA控制器的控制目标是通过产生合理的控制作用()t u，()t y 迫使过程变量在设定值变化，存在扰动和过程动态特性改变的情况下仍然能跟踪设

系统辨识及自适应控制实验..

Harbin Institute of Technology 系统辨识与自适应控制 实验报告 题目：渐消记忆最小二乘法、MIT方案 与卫星振动抑制仿真实验 专业：控制科学与工程 姓名： 学号： 15S004001 指导老师： 日期： 2015.12.06 哈尔滨工业大学 2015年11月

本实验第一部分是辨识部分，仿真了渐消记忆递推最小二乘辨识法，研究了这种方法对减缓数据饱和作用现象的作用； 第二部分是自适应控制部分，对MIT 方案模型参考自适应系统作出了仿真，分别探究了改变系统增益、自适应参数的输出，并研究了输入信号对该系统稳定性的影响； 第三部分探究自适应控制的实际应用情况，来自我本科毕设的课题，我从自适应控制角度重新考虑了这一问题并相应节选了一段实验。针对挠性卫星姿态变化前后导致参数改变的特点，探究了用模糊自适应理论中的模糊PID 法对这种变参数系统挠性振动抑制效果，并与传统PID 法比较仿真。 一、系统辨识 1. 最小二乘法的引出 在系统辨识中用得最广泛的估计方法是最小二乘法(LS)。设单输入-单输出线性定长系统的差分方程为： ()()()()()101123n n x k a x k a k n b u k b u x k n k +-+?+-=+?+-=，，，， (1.1) 错误！未找到引用源。 式中:()u k 错误！未找到引用源。为控制量；错误！未找到引用源。为理论上的输出值。错误！未找到引用源。只有通过观测才能得到，在观测过程中往往附加有随机干扰。错误！未找到引用源。的观测值错误！未找到引用源。可表示为： 错误！未找到引用源。 (1.2) 式中:()n k 为随机干扰。由式(1.2)得 错误！未找到引用源。 ()()()x k y k n k =- (1.3) 将式(1.3)带入式(1.1)得 ()()()()()()()101111()n n n i i y k a y k a y k n b u k b u k b u k n n k a k i n =+-+?+-=+-+?+ -++-∑ (1.4) 我们可能不知道()n k 错误！未找到引用源。的统计特性，在这种情况下，往往把()n k 看做均值为0的白噪声。 设 错误！未找到引用源。 (1.5)

无模型自适应控制

这种新的自适应控制技术用来应付各种控制的挑战PID 回路控制着大部分工业装置中的自动化过程。比例-积分-微分算法简单、可靠，50年来被广泛用于成千上万个控制回路。 然而，并不是所有工业过程都可以用PID回路来控制。例如，多变量、非线性和时变等过程都需要用更先进的控制技术。曾几何时，这些技术只出现在学术界的实验室和航天领域，价廉物美的计算机平台的出现使得那些晦涩难解的算法接近了工业用户。 一 自适应控制就是这样的例子。早在1970年代，学术界和工业界的研究人员一直在研究能够自己学习和适应被控过程特性渐变的反馈控制器。 诚然，就迫使过程的输出调整到操作人员所需要的值来讲，所有的过程控制器都是‘自适应的’。然而大多数控制器是根据控制器开始工作之前由操作人员设计（至少是调整）好的算法运行的。操作员会定期地调整常规控制器的参数，在一般情况下，只有在控制器性能由于某种原因恶化后才由人工进行这种调整。真正的自适应控制器，即使过程的特性发生了变化，也能够在运行中自己调整参数以保持其最佳性能。这相当于自动改变控制器的整个策略以适应过程新的特性。例如，一个原先调好用于控制迟缓过程的自适应控制器，当它发现过程对控制作用的响应变得敏感时，就会采用比较保守的整定参数。而固定参数的常规控制器则会继续过度地控制该过程，造成过程的输出严重振荡。 自适应控制器的形式大小各异，也许最常见的是能够自己产生整定参数的自整定PID。1980年代推出的那些按指令或可连续整定PID参数的方法在单回路控制器中到处可见。许多自整定控制器采用专家系统来解决自身P、I、D参数的刷新问题。它们试图仿效控制专家的思维过程，按照一组旨在改善回路闭环性能的、复杂的经验规则来整定参数。当被控过程比较简单并且可以预测时，这种方法很奏效。许多专家自整定控制器都假设过程的动态特性可以完全用增益、滞后时间和时间常数加以量化。控制器无需知道这三个参数的值，但它假定控制器提供的过程输入与由此而生的过程输出之间的关系不受任何其它过程动态特性的影响。 当过程的动态特性变得复杂时问题就会出现。专家系统的规则可能会产生虚假的结果，因为它们并没有收录对付更复杂过程的经验。 在投运新回路时，专家自整定控制器会经历一段痛苦的历程。它们的规则一般被设计成用于处理过程动态特性的逐渐变化或用于校正已有的整定参数。在启用控制器时，一般需人工设定一组控制器的初始参数。 基于模型的自适应控制提供了比专家系统启发式逼近更为精确的控制算法。其控制决策建立在对过程的经验模型上，把输入输出的关系量化为一个微分方程。在连续控制过程的同时，它也能根据最新的输入输出数据提炼模型。 假定最新的模型可以保持到不久的将来，控制器就可以预测未来的过程变化并决定采取何种控制作用拨正其运行方向。考虑到意外因素或时变系统会影响控制作用的未来结果，控制器必须不断地更新自己的过程模型。 据本人的经验，这种方法比起基于规则的控制器，可以适应更广范的过程动态特性。基于模型的自适应控制器可以利用各种已开发出来的整定公式将模型参数转化成控制器参数，如P、I、D值。事实上，我推测这就是在线建模如此受宠

无模型自适应动态规划及其在多智能体协同控制中的应用

无模型自适应动态规划及其在多智能体协同控制中的应用 智能控制系统通过模拟人类获取知识的学习过程,可以有效弥补传统控制理论的不足,并且为克服复杂工业过程的技术难题提供新思路。自适应动态规划方法融合了神经网络、强化学习、自适应评价设计等思想,在应用于求解复杂系统的最优控制问题时可以避免动态规划算法中“维数灾难”问题。本文在自适应动态规划理论的基础研究上,对学习算法的收敛性和闭环系统的稳定性进行了深入探讨,并将 自适应动态规划应用于分布式多智能体协同控制。本文的主要工作如下:(1)借鉴优化问题的迭代寻优算法,将连续时间动态系统的最优控制问题描述为三个子问题,在此基础上提出了基于汉密尔顿泛函的理论框架。该理论框架从几何角度给出了最优控制问题迭代求解算法收敛的充要条件。最后利用李雅普诺夫理论证明了在该理论框架下闭环系统的稳定性。(2)针对离散时间动态系统的鲁棒控制问题,首先将该问题转化为辅助标称系统的最优控制问题,并从理论上给出了这种问题转化等价性的充分条件。然后仅利用系统在线运行数据,提出了一种基于数据的无模型自适应动态规划算法,解决了最优控制问题的求解依赖系统模型这一约束。同时也给出了无模型自适应动态规划算法收敛性和闭环系统稳定性证明。(3)针对领航者带有未知控制输入的异构多智能体系统输出同步控制问题,提出了无模型自适应动态规划,解决了目前已有方法对系统模型的依赖,设计了分布式输出同步控制律。此外,已有的多智能体输出同步控制律设计仅考虑了输出同步误差的渐近稳定性,本文提出的无模型自适应动态规划方法考虑了输出

同步误差的暂态性能,因而保证了该分布式输出同步控制律的最优性。 (4)针对具有多个领航者的异构多智能体系统的包含控制问题,利用 无模型自适应动态规划,设计了完全分布式的最优包含控制律。目前 已有的分布式控制律设计大多依赖于多智能体系统的全局拉普拉斯 矩阵特征值信息,而本文提出的分布式最优包含控制律设计解决了这 一问题,从而实现了真正意义上的完全分布式。最终给出了该算法的 收敛性和稳定性分析。

自适应控制习题(系统辨识)

自适应控制习题 (徐湘元，自适应控制理论与应用，电子工业出版社， 2007) 【2-1】 设某物理量丫与XI 、X2、X3的关系如下：丫=0 1X1 + 0 2X2+0 3X3 由试验获得的数据如下表。试用最小二乘法确定模型参数 0 1、0 2和0 3 X1:0.620.4 0.420.820.660.720.380.520.450.690.550.36 X2:12.014.214.612.110.88.2013.010.58.8017.014.212.8 X3:5.206.100.328.305.107.904.208.003.905.503.806.20 Y: 51.649.948.550.649.748.842.645.937.864.853.445.3 【2-3】 考虑如下模型 其中w(t)为零均值、方差为1的白噪声。根据模型生成的输入/输出数据u(k)和y(k), 分别采用批处理最小二乘法、具有遗忘因子的最小二乘法(入 =0.95)和递推最小二乘法 估计模型参数(限定数据长度 N 为某一数值，如N=150或其它数值)，并将结果加以比 较。 【2-4】 对于如下模型 (1 _0.8z 1 0.15z 2 )y(k) 一(z 2 0.5z 3 )u(k) - (1 - 0.65z 1 - 0.1z 2 )w(k) 其中w(k)为零均值、方差为1的白噪声。根据模型生成的输入/输出数据u(k)和y(k), 分别采用增广最小二乘法和随机逼近法进行模型参数估计，并比较结果。 (提示：w(t)可以用MATLAB^的函数“ randn ”产生)。 【3-1】 设有不稳定系统: (1z 1)y(k) - z ^(10.9z 1)u(k) 期望传递函数的分母多项式为 Amz z m r 且无稳态误差。试按照极点配置方法设计控制系统，并写出控制表达式。 【3-2} 设有被控过程：一 - _ (1 1.7z 1 0.6z 2)y(k)z 2(11.2z 1 )u(k) 一 ~ - 一 - -1.3z 0.5z u(t)w(t) I 0.3z 2 1 - - T ()(10.5 )，期望输出y 跟踪参考输入y , y(t)

自适应控制习题(系统辨识)

自适应控制习题 （徐湘元，自适应控制理论与应用，电子工业出版社，2007） 【2-1】 设某物理量Y 与X1、X2、X3的关系如下：Y=θ1X 1+θ2X 2+θ3X 3 由试验获得的数据如下表。试用最小二乘法确定模型参数θ1、θ2和θ3 X1: 0.62 0.4 0.42 0.82 0.66 0.72 0.38 0.52 0.45 0.69 0.55 0.36 X2: 12.0 14.2 14.6 12.1 10.8 8.20 13.0 10.5 8.80 17.0 14.2 12.8 X3: 5.20 6.10 0.32 8.30 5.10 7.90 4.20 8.00 3.90 5.50 3.80 6.20 Y: 51.6 49.9 48.5 50.6 49.7 48.8 42.6 45.9 37.8 64.8 53.4 45.3 【2-3】 考虑如下模型 )()(3.03.115.0)(212 1t w t u z z z z t y ++-+=---- 其中w(t)为零均值、方差为1的白噪声。根据模型生成的输入/输出数据u(k)和y(k),分别采用批处理最小二乘法、具有遗忘因子的最小二乘法（λ=0.95）和递推最小二乘法估计模型参数（限定数据长度N 为某一数值，如N=150或其它数值），并将结果加以比较。 【2-4】 对于如下模型 )()1.065.01()()5.0()()15.08.01(213221k w z z k u z z k y z z ------+-++=+- 其中w(k)为零均值、方差为1的白噪声。根据模型生成的输入/输出数据u(k)和y(k),分别采用增广最小二乘法和随机逼近法进行模型参数估计，并比较结果。 （提示：w(t)可以用MATLAB 中的函数“randn ”产生）。 【3-1】 设有不稳定系统： )()9.01()()1(111k u z z k y z ---+=- 期望传递函数的分母多项式为)5.01()(11---=z z Am ，期望输出m y 跟踪参考输入r y ，且无稳态误差。试按照极点配置方法设计控制系统，并写出控制表达式。 【3-2】 设有被控过程： )()2.11()()6.07.11(1221k u z z k y z z ----+=+- 给定期望传递函数的分母多项式为)08.06.01()(211---+-=z z z A m ，试按照极点配置方法设计控制系统，使期望输出无稳态误差，并写出控制表达式u(k)。

哈工大研究生选修课系统辨识与自适应控制考点

系统辨识考点 1、辨识定义： 是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。 2、系统辨识步骤 辨识目的及 先验知识 试验设计 输入输出数据 采集、处理 模型结构选取 与辨识 模型参数辨识 模型验证 合格？ 最终模型Y N 3、递推最小二乘辨识模型 4、广义最小二乘和增广最小二乘的区别 广义最小二乘法是对系统过程模型的输入、输出和过程噪声加以变换（滤波）变成一般最小二乘法的标准格式，再用一般最小二乘法()1111???T N N N N N N y ++++=+-θθK φθ()111111T N N N N N N -++++=+K P φφP φ111T N N N N N +++=-P P K φP

对系统的参数进行估计。 增广矩阵法就是使系统模型变成符合一般最小二乘法的标准格式的，并将模型参数和噪声模型参数同时估计出来的方法。 增广矩阵法用近似估计的噪声序列代替白噪声序列。这和广义最小二乘法的不同点在于：后者噪声模型参数的估计和系统模型参数的估计是交替地进行的。 5、数据饱和的原因和解决方法 ① 参数缓慢变化（易产生数据饱和现象） 解决方法：渐消记忆最小二乘、限定记忆最小二乘 ② 参数突变但不频繁？？？？？ 6、自适应系统定义、分类 自适应控制系统是一种特殊形式的非线性控制系统。系统本身的特性(结构和参数)、环境及干扰的特性存在各种不确定性。在系统运行期间，系统自身能在线地积累与实行有效控制有关的信息，并修正系统结构的有关参数和控制作用，使系统处于所要求的(接近最优的)状态。 ?????????????????????????????????增益列表补偿法最小方差控制算法预测控制算法随机自适应控制系统极点配置控制算法控制算法参数最优化设计方法模型参考自适应控制系统李亚普诺夫稳定性理论设计方法波波夫超稳定性理论设计方法PID

电加热炉的系统辨识与自适应控制

电加热炉的系统辨识与自适应控制

目录 一、电加热炉的先验知识 (1) 1.1 电加热炉的工作原理 (1) 1.2 电加热炉温度控制系统的硬件构成 (2) 二、电加热炉系统辨识 (3) 2.1 电加热炉温度系统模型 (3) 2.2 最小二乘估计的递推算法 (4) 2.3 最小二乘估计的递推算法辨识及仿真 (5) 三、电加热炉系统的自适应控制算法及仿真 (8) 3.1 电加热炉系统控制问题的提出 (8) 3.2 广义最小方差间接自校正控制算法 (8) 3.3 广义最小方差间接自校正控制仿真 (9) 参考资料 (15)

电加热炉的系统辨识与自适应控制 一、电加热炉的先验知识 1.1 电加热炉的工作原理 我选择电加热炉作为辨识和自适应控制设计与仿真实验的对象。 电加热炉的工作原理为：布置在炉内的加热元件将电能转化为热能，通过辐射或对流的方式将热能传递给加热对象，从而改变对象的温度。 通常的工业过程都对炉温的控制提出了一定的要求，这就需要对电加热炉的进行控制，调节它的通电时间或通电强度来改变它输出的热能。传统的控制方法 有两种：第一种就是手动调压法，即是依靠人的经验直接改变电加热炉的输入电压，其控温效果依赖于人为的调节，控制精度不高，且浪费人力资源。第二种控制方法在主回路中采取可控硅装置，并结合一些简单的仪表，保温阶段自动调节，升温过程仍依赖于试验者的调节，它属于半自动控制。随着微型计算机、可编程逻辑控制器的出现和迅速更新换代，智能温度控制仪表、工业控制计算机在电加热炉温度控制领域日益得到广泛地应用。借助计算机强大的数据处理和运算能力，引入反馈的思想，运用现代控制理论，实现对炉温的全自动化控制[1]。 以常用的恒温箱式电加加热炉为例，采用反馈控制。该控制系统的目的是要实现炉内的温度与给定温度值一致，即保持温度恒定，是一个典型的自动控制系统。 当然，系统给定的不是具体的期望温度值，而是通过给定电位器给定一个电压sT U 。电加热炉内的实际温度由热电偶转换为对应的电压T U f 。给定电压信号 sT U 与实际温度所对应的电压T U f 比较得温度偏差信号U ?经放大器放大后,用以 驱动执行电动机，并通过传动机构拖动调压器动触头。当温度偏高时,动触头向减小电压的方向运动,反之加大电压,直到温度达到给定值为止,此时,偏差0=?U ,电机停止转动。 上面只是一个比较简单的闭环温度控制系统。

基于RBFNN的直接模型参考自适应控制

自动化专业综合设计报告 设计题目： 基于RBFNN的直接模型参考自适应控制所在实验室：matlab仿真实验室 指导教师：杜 学生姓名 班级文自112-2 学号201190 成绩评定：

仿真截图

三角输入 clear all; close all; u_1=0; y_1=0; ym_1=0; x=[0,0,0]'; c=[-3 -2 -1 1 2 3; -3 -2 -1 1 2 3; -3 -2 -1 1 2 3]; b=2*ones(6,1); w=[ 0.8283 0.3887 -0.8872 -0.3668 0.8233 0.8274]; xite=0.45; alfa=0.05; h=[0,0,0,0,0,0]'; c_1=c;c_2=c; b_1=b;b_2=b; w_1=w;w_2=w; ts=0.001; for k=1:1:4000 time(k)=k*ts; r(k)=0.2*sawtooth(2*pi*k*ts,0.5); ym(k)=0.6*ym_1+r(k); y(k)=(-0.1*y_1+u_1)/(1+y_1^2); %Nonlinear plant for j=1:1:6 h(j)=exp(-norm(x-c(:,j))^2/(2*b(j)*b(j))); end u(k)=w'*h; ec(k)=ym(k)-y(k); dyu(k)=sign((y(k)-y_1)/(u(k)-u_1)); d_w=0*w; for j=1:1:6 d_w(j)=xite*ec(k)*h(j)*dyu(k); end w=w_1+d_w+alfa*(w_1-w_2); d_b=0*b; for j=1:1:6 d_b(j)=xite*ec(k)*w(j)*h(j)*(b(j)^-3)*norm(x-c(:,j))^2*dyu(k); end

系统辨识与自适应控制--大作业

1 辨识的对象模型 假设有一理想数学模型，它的离散化方程如下式所示： () 1.8(1)0.3(2) 1.2(1)(2)()y k y k y k u k u k e k +-+-=-+-+ 式中，()e k 是服从正态分布的白噪声)1,0(N ，()k u 为系统输入，()k y 为系统输出。 现在输入信号采用4阶M 序列，其幅值为1。假设系统的模型阶次是已知的，即 1212()(1)(2)(1)( 2)()y k a y k a y k bu k b u k e k +-+-=-+-+。 下面采用递推最小二乘参数辨识。 2 递推最小二乘参数辨识方法 简单的最小二乘参数辨识一次性方法计算复杂，不能够进行在线辨识，而且 所需要的计算存储空间很大，而很多计算都是重复的计算。为了解决这个问题，并实现在线的实时辨识，引入递推的最小二乘参数辨识。 递推最小二乘参数辨识的整体思想是，最新辨识出来的参数是建立在上次辨识的参数基础上，根据最新得到的辨识数据，对辨识的参数添加了一个参数增量。下面利用数学语言对递推最小二乘参数辨识方法进行描述。 根据最小二乘原理，用N 次观测数据，得出参数向量θ的最小二乘估计l θ? 1()()T T N N N H H H Y N θ-= (1) 其中，?N θ表示根据N 次观测数据所得到的最小二乘值计量，下表N 表示该符号代表N 次观测数据构成的矩阵。 ()[(1),(2),...,()]T Y N y y y N = (2) N H =(0) .....(1)(0).....(1)(1).....(2)(1).....(2). .(1).....()(1).....()y y n u u n y y n u u n y N y N n u N u N n ----????----?? ???? ?? ??------?? （3）然后令1()T N N N P H H -=，且N P 是一方阵，它的维数取决于未知数的个数，而与观 测次数无关。则 1 1111T N N N N P P h h --+++??=+? ? （4） 式中1N h +表示第1N +次观测数据。 利用矩阵反演公式计算（4）式

系统辨识在自适应控制中的应用

第八章 系统辨识在自适应控制中的应用-自校正调节器（ Self-Tuning Requlator 简称 STR ） §8 —1 最小方差控制器 ( Minimal Variance Control 简称 MVC ) 1. 考虑 CARMA 过程 A(z -1) ?y(k) = z -d B(z -1) ?u(k)+λ C (z -1) ?ε(k) 式（8-1-1） { ε(k) } 为 N (0,1) 白噪声，滞后量 d ≥ 1 。 A(z - 1) = 1+ a 1z - 1 +…+ a n z - n B(z - 1) = b 0+b 1z - 1 +…+ b n z - n （b 0 ≠ 0） C(z - 1) = 1+ c 1z - 1 +…+ c n z - n 设A 、B 、C 均为稳定多项式(过程稳定且逆稳定)。 有： 式（8-1-2） 2. 将C /A 分解成两部分 令： 式（8-1-3） 其中：F(z - 1) 为d 项的商多项式 C A F z G A d =+-. ) ()() ()()() ()(1111k z A z C k u z A z B z k y d ελ-----+=

F(z - 1) = 1+ f 1z - 1 +…+ f d -1 z - d+1 ( d 项 ) G (z - 1) 为余数多项式，有n 项 G(z - 1) = g 0+g 1z - 1 +…+ g n -1 z - n+1 ( n 项 ) 例：A = 1-1.7 z - 1+0.7 z - 2 ; C = 1+1.5 z - 1+0.9 z - 2 ；d=2 ; n=2 3. 证明以下多项式恒等式成立 式（8 -1- 4） 证明： 式（8-1-3） 将左右同 ? A 同 ÷ C 同 ÷ A 同 ? B 4． 向前d 步最优预报 y * ( k+d ∣k ) 由式（8-1-2）向前移d 步，有： B F C B A z G C d .(.)=--1 C A F z G A A F C z G A F C z G C F C A z G C B F C B A z G C d d d d d =+??=-??=-?=-??=-?-----1111()() y k z B z A z u k C z A z k d ()() ()()() ()()=+-----1111λε