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高考数学压轴专题最新备战高考《不等式》难题汇编及答案

数学《不等式》试卷含答案

一、选择题

1.若实数x ,y ,对任意实数m ,满足()()22

2122211x y m x y m x y m ?-≤-??

+≥+??-+-≤??

,则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A .

1

4

π

B .12

π

C .π

D .

32

π 【答案】A 【解析】 【分析】

画出约束条件的可行域,然后求解可行域的面积. 【详解】

实数x ,y ,对任意实数m ,满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --??

++??-+-?

?…?的可行域如图:

可行域是扇形,14

个圆,面积为:2

11144ππ??=.

故选:A .

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【点睛】

本题考查线性规划的应用,考查数形结合以及计算能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2.设a b c ,,为非零实数,且a c b c >>,,则( ) A .a b c +> B .2ab c >

C .

a b

2

c +> D .

112a b c

+> 【答案】C 【解析】

取1,1,2a b c =-=-=-,计算知ABD 错误,根据不等式性质知C 正确,得到答案. 【详解】

,a c b c >>,故2a b c +>,

2

a b

c +>,故C 正确; 取1,1,2a b c =-=-=-,计算知ABD 错误; 故选:C . 【点睛】

本题考查了不等式性质,意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.

3.

若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为( )

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A .6

B .83

C .

163

D .

173

【答案】C 【解析】 【分析】

由3log (2)1a b +=+21

3b a

+=,且0,0a b >>,又由

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12142(42)3a b a b b a ??

+=++ ???

,展开之后利用基本不等式,即可得到本题答案.

【详解】

因为3log (2)1a b +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=,

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所以,23a b ab +=,等式两边同时除以ab 得21

3b a

+=,且0,0a b >>,

所以12118211642(42)()(8)(83333

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a b a b a b b a b a +=++=++≥+=, 当且仅当82a b b a

=,即2b a =时取等号,所以42a b +的最小值为163.

故选:C. 【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求最值,其中涉及对数的运算,考查计算能力,属于中等题.

4.设x ,y 满足约束条件21210

x y x y x y +≤??+≥-??-≤?

,若32z x y =-+的最大值为n

,则2n

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x ? ?的展开式中2x 项的系数为( ) A .60 B .80

C .90

D .120

【答案】B

【分析】

画出可行域和目标函数,根据平移得到5n =,再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】

如图所示:画出可行域和目标函数,

32z x y =-+,即322

z

y x =

+,故z 表示直线与y 截距的2倍, 根据图像知:当1,1x y =-=时,32z x y =-+的最大值为5,故5n =.

52x x ?- ???展开式的通项为:()()35552155221r

r r r r r r r T C x C x

x ---+?=?-=??-? ???, 取2r =得到2x 项的系数为:()2

2

5252180C -??-=.

故选:B .

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【点睛】

本题考查了线性规划求最值,二项式定理,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

5.给出下列五个命题,其中正确命题的个数为( )

①命题“0x R ?∈,使得2

0010x x ++<”的否定是“x R ?∈,均有210x x ++<”;

②若正整数m 和n 满足m n ≤()2

n m n m -; ③在ABC ?中 ,A B >是sin sin A B >的充要条件;

④一条光线经过点()1,3P ,射在直线:10l x y ++=上,反射后穿过点()1,1Q ,则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=;

⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率,则m n k ++为定值.

A .2

B .3

C .4

D .5

【答案】C 【解析】 【分析】

①根据特称命题的否定的知识来判断;②根据基本不等式的知识来判断;③根据充要条件的知识来判断;④求得入射光线来判断;⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】

①,命题“0x R ?∈,使得2

0010x x ++<”的否定是“x R ?∈,均有210x x ++≥”,故①

错误.

②,由于正整数m 和n 满足m n ≤,0n m -≥,由基本不等式得

22

m n m n

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+-=,当m n m =-即2n m =时等号成立,故②正确. ③,在ABC ?中,由正弦定理得sin sin A B a b A B >?>?>,即

sin sin A B A B >?>,所以A B >是sin sin A B >的充要条件,故③正确.

④,设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ,则线段AQ 中点为

11,22a b ++?? ?

??,则11

10221121

112AQ a b b k a ++?++=???+?-?==+?

-??,解得2a b ==-,所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ,即312321

y x --=----,化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤,由于抛物线的离心率是1,所以(1)0f =,即10m n k +++=,所以1

m n k ++=-为定值,所以⑤正确. 故选:C 【点睛】

本小题主要考查特称命题的否定,考查基本不等式,考查充要条件,考查直线方程,考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率,属于中档题.

6.已知0a b >>,则下列不等式正确的是( ) A .ln ln a b b a ->-

B

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.|||b a < C .ln ln a b b a -<-

D

.|||b a ->

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【答案】C 【解析】 【分析】

利用特殊值代入法,作差比较法,排除不符合条件的选项,即可求解,得到答案. 【详解】

由题意,因为0a b >>,取,1a e b ==,则ln 0,ln a b b a e -=-=,

1b a e ==-,可排除A 、D 项;

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取11,49a b =

=71

1812

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b a ==,可排除B 项; 因为满足0a b >>条件的排除法,可得A 、B 、D 是错误的. 故选:C . 【点睛】

本题主要考查了不等式与不等关系,以及不等式的的基本性质,其中解答中合理赋值,代入排除是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.

7.对于函数()f x ,若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+,则称12,x x 为函数()f x 的

一对“线性对称点”.若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x

f x =的两对“线性对称点”,则c

的最大值为( ) A .3log 4 B .3log 41+

C .

43

D .3log 41-

【答案】D 【解析】 【分析】

根据已知有333b c a b c a ++++=,可得1313

1

c

a b

+=+

-,只需求出3a b +的最小值,根据

333a b a b +=+,利用基本不等式,得到3a b +的最小值,即可得出结论.

【详解】

依题意知,a 与b 为函数()3x

f x =的“线性对称点”,

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所以333a b a b +=+=≥ 故34a b +≥(当且仅当a b =时取等号).

又+a b 与c 为函数()3x

f x =的“线性对称点,

所以333b c a b c a ++++=,

所以314

3131313

a b c

a b a b +++==+≤--,

从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】

本题以新定义为背景,考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式,理解新定义含义,正确求出c 的表达式是解题的关键,属于中档题.

8.在锐角ABC V 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若222cos 3a ab C b +=,则

tan 6

tan tan tan A B C A

+?的最小值为( )

A

B

C

D .

32

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【答案】B 【解析】 【分析】

根据余弦定理得到4cos c b A =,再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =,故

tan 3tan A B =,

3t 53tan 4an 6ta 3ta tan tan n n B A B C A B ??

=+ ??+?

?,计算得到答案. 【详解】

由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=,

即22222a b b c -=+,得22222cos a b a bc A -=+,整理得22 2cos a b bc A =+.

2222cos a b c bc A =+-Q ,2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-,得4cos c b A =.

由正弦定理得sin 4sin cos C B A =,又()sin sin C A B =+,()sin 4sin cos A B B A ∴+=, 整理得sin cos 3sin cos A B B A =.

易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠, cos 0B ≠,tan 3tan A B ∴=, 且tan 0B >.

πA B C ++=Q , ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=-

-?24tan 3tan 1

B

B =-,

tan 6tan tan tan A B C A ∴+?()233tan 124tan tan B B B -=+353tan 43tan B B ??=+ ??

?34≥?

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当且仅当tan B 时等号成立. 故选:B . 【点睛】

本题考查了正余弦定理,三角恒等变换,均值不等式,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

9.若x ,y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥??

-≤??+-≥?

且z ax y =+的最大值为26a +,则a 的取值范

围是( ) A .[1,)-+∞ B .(,1]-∞-

C .(1,)-+∞

D .(,1)-∞-

【答案】A 【解析】 【分析】

画出约束条件的可行域,利用目标函数的最值,判断a 的范围即可. 【详解】

作出约束条件表示的可行域,如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +,所以

z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值,则1a -≤,即1a ≥-.

故选:A

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【点睛】

本题主要考查线性规划的应用,利用z 的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.

10.若变量x ,y 满足2,

{239,0,

x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是

A .4

B .9

C .10

D .12

【答案】C 【解析】

试题分析:画出可行域如图所示,点A (3,-1)到原点距离最大,所以

22max ()10x y +=,选C.

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【考点】简单线性规划

【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用,是一道基础题目.从历年高考题目看,简单线性规划问题是不等式中的基本问题,往往围绕目标函数最值的确定,涉及直线的斜率、两点间的距离等,考查考生的绘图、用图能力,以及应用数学知识解决实际问题的能力.

11.函数log (3)1a y x =-+(0a >且1a ≠)的图像恒过定点A ,若点A 在直线

10mx ny +-=上,其中·0m n >,则

41

m n

+的最小值为() A .16

B .24

C .50

D .25

【解析】

【分析】

由题A(4,1),点A在直线上得4m+n=1,用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值.

【详解】

令x﹣3=1,解得x=4,y=1,

则函数y=log a(x﹣3)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A(4,1),

∴4m+n=1,

∴41

m n

+=(

41

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m n

+)(4m+n)=16+1

4n4m

m n

++

≥17+2

4n4m

m n

?=17+8=25,当且仅当m=n

1

5

=时取等号,

故则

41

m n

+的最小值为25,

故选D.

【点睛】

本题考查均值不等式,在应用过程中,学生常忽视“等号成立条件”,特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握.

12.已知x,y满足约束条件

234

x y

x y

y

-≥

?

?

+≤

?

?≥

?

,若z ax y

=+的最大值为4,则a=()A.2 B.

1

2

C.-2 D.

1

2

-

【答案】A

【解析】

【分析】

由约束条件可得到可行域,根据图象可知最优解为()

2,0

A,代入可构造方程求得结果.【详解】

由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示:

当直线:l y ax z

=-+经AOB

V区域时,当l过点()

2,0

A时,在y轴上的截距最大,即()

2,0

A为最优解,42a

∴=,解得:2

a=.

【点睛】

本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题,关键是能够通过约束条件准确得到可行域,根据数形结合的方式确定最优解.

13.若、a b 均为实数,则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】 【分析】

通过列举,和推理证明可以推出充要性. 【详解】

若()0ab a b ->中,取12a b --=,=,则推不出0a b >>; 若0a b >>,则0a b ->,则可得出()0ab a b ->; 故“()0ab a b ->”是“0a b >>”的必要不充分条件, 故选:B. 【点睛】

本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质,可通过代入特殊值解决.

14.已知M 、N 是不等式组1,

1,10,6

x y x y x y ≥??≥?

?-+≥??+≤?所表示的平面区域内的两个不同的点,则

||MN 的最大值是( )

A

B

C

.D .

172

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【答案】A 【解析】 【分析】

先作可行域,再根据图象确定MN 的最大值取法,并求结果. 【详解】

作可行域,为图中四边形ABCD 及其内部,由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆,BD 为直径,所以MN 的最大值为

选A.

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【点睛】

线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

15.数学中的数形结合,也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,曲线2

23

2

2

():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.

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给出下列结论:①曲线C 经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2;③曲线C 围成区域的面积大于4π;④方程

()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是

( ) A .①③ B .②④ C .①②③ D .②③④

【答案】B 【解析】 【分析】

利用基本不等式得2

2

4x y +≤,可判断②;22

4x y +=和()

3

22

2216x y x y +=联立解得

222x y ==可判断①③;由图可判断④.

【详解】

()

2

223

2

222

16162x y x

y

x y ??++=≤ ???

解得2

2

4x y +≤(当且仅当22

2x y ==时取等号),则②正确; 将2

2

4x y +=和()

3

22

2216x y x y +=联立,解得222x y ==,

即圆2

2

4x y +=与曲线C 相切于点

,(,(,

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则①和③都错误;由0xy <,得④正确. 故选:B. 【点睛】

本题考查曲线与方程的应用,根据方程,判断曲线的性质及结论,考查学生逻辑推理能力,是一道有一定难度的题.

16.若函数()sin 2x x f x e e x -=-+,则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为( ) A .1(1,)2

-

B .1(,1)(,)2

-∞-+∞U C .1(,1)2-

D .1(,)(1,)2

-∞-?+∞

【答案】B 【解析】 【分析】

判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数,且为增函数,再把()

()2

210f x f x -+>化为

221x x ->-,求出解集即可.

【详解】

解:函数()sin2x

x

f x e e

x -=-+,定义域为R ,

且满足()()sin 2x

x f x e

e x --=-+- ()()sin2x x e e x

f x -=--+=-,

∴()f x 为R 上的奇函数; 又()'2cos222cos20x

x

f x e e

x x x -=++≥+≥恒成立,

∴()f x 为R 上的单调增函数;

又()

()2210f x f x -+>,

得()()()2

21f x

f x f x ->-=-,

∴221x x ->-, 即2210x x +->,

解得1x <-或12

x >

, 所以x 的取值范围是()1,1,2??-∞-?+∞ ???

. 故选B . 【点睛】

本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题,考查了基本不等式,是中档题.

17.设x ∈R ,则“|1|1x -<”是“220x x --<”的( )

A .充分而不必要条件

B .必要而不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】

1111102x x x -

条件.

18.设m ,n 为正数,且2m n +=,则13

12

n m n ++++的最小值为( ) A .

32

B .

53 C .

74

D .

95

【答案】D 【解析】 【分析】

根据2m n +=,化简135112(1)(2)

n m n m n ++=++++?+,根据均值不等式,即可求得答案; 【详解】 当2m n +=时,

Q

131111212

n m n m n ++=++++++ 35

11(1)(2)(1)(2)

m n m n m n ++=

+=++?++?+

Q 2

1225(1)(2)24m n m n +++??+?+≤= ???

当且仅当12m n +=+时,即31

22

m n =

=,取等号,

139125n m n ++≥++. 故选:D 【点睛】

本题主要考查了根据均值不等式求最值,解题关键是灵活使用均值不等式,注意要验证等号的是否成立,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

19.已知,a b 都是正实数,则222a b

a b a b

+++的最大值是( )

A .2

B .3-

C .1

D .

43

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【答案】A 【解析】 【分析】

设2,2m a b n a b =+=+,将222a b a b a b

+++,转化为2222233a b n m

a b a b m n +=--++,

利用基本不等式求解. 【详解】

设2,2m a b n a b =+=+, 所以22,33

m n n m

a b --==,

所以

222222233a b n m a b a b m n +=--≤-=-

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++, 当且仅当233n m

m n

=时取等号.

所以

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222a b a b a b +++的最大值是2-. 故选:A 【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.

20.已知函数()2

f x ax bx =+,满足()()241f f -≥≥,()12f -≤,则()2f 的最大

值为( ) A .12 B .13

C .14

D .15

【答案】C 【解析】 【分析】

根据已知条件可得,a b 满足的不等式2242a b a b a b -≥??

+≤??-≤?

,作出不等式组所表示的平面区域,又

()242f a b =+,利用线性规划即可求出()2f 的最大值.

【详解】

由已知得2242a b a b a b -≥??

+≤??-≤?

,可得(),P a b 的表示的平面区域如图:

高考数学压轴专题最新备战高考《不等式》难题汇编及答案

可求出()3,1A ,()2,2B ,()0,2C -, 目标函数()242z f a b ==+,可化为1

22

b a z =-+,当直线过点A 时,max 14z =. 故选:C. 【点睛】

本题主要考查求线性约束条件下的最值计算,关键是根据,a b 满足的不等式作出可行域,并将目标函数()242z f a b ==+变形为1

22

b a z =-+

进行平移,找到截距的最大值.