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数列的求和

数列的求和
数列的求和

专题一:数列的求和

【例1】 求下列数列的前n 项和S n :

(1)(2)13(3)11111122143181223132313231323121214121412234562121,,,…,,…;,,,…,,…;,+,+,…,+++…+,….()n n n n n ++++++--

【变式】 {a n }通项公式是a n =2n -12n ,前n 项和S n =32164,则项数n 等于(

)

A .13

B .10

C .9

D .6

【例2】 求和:

(1)

11+123+134+(2)11(3)12···…···…···…2115137159121235158181113132++++++-+++++-+n n n n n n ()

()()

()() n 1n 12311214+++++++ )(

【变式】已知a n=log 2

1+n n .求S n 。

【例3】求和:S n=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1).

[变式]数列-1,4,-7,10,…,(-1)n(3n-2),…,求前n项和S n.

【例4】求下列数列的前n项和S n:

(1) a n = n×2n,…,

(2) a n =(2n-1)x n-1,…,x∈R

数列求和—裂项相消专题

数列求和—裂项相消专题 裂项相消的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有: 1. 111 (1)1n a n n n n ==- ++ 1111 ()(2)22n a n n n n = =-++ ┈┈ 1111 () ()n a n n k k n n k = =-++ 2 n p a An Bn C ?= ++(分母可分解为n 的系数相同的两个因式) 2. 1111 ()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+ 1111 ()(21)(23)22123n a n n n n ==-++++ 1111 ()(65)(61)66561 n a n n n n = =--+-+ 3. 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ??==-??+++++?? 4. 111211 (21)(21)2121 n n n n n n a ---==- ++++ +1+1211(21)(21)2121 n n n n n n a ==-++++ 122(1)111 (1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-= =?=- ++?+ ┈┈ 1 2 = 1 k =

1.在数列{}n a 中,11211++ ???++++=n n n n a n ,且1 2+?=n n n a a b ,求数列{}n b 的前n 项的和. 2.已知数列{}n a 是首相为1,公差为1的等差数列,2 1 n n n b a a += ?,n S 为{}n b 的前n 项 和,证明:1334 n S ≤<.

数列求和专题

1.错位相减法 例1:已知{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,{}n b 是等比数列,且112a b ==,4427a b +=, 4410S b -=. (1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (2)记1121n n n n T a b a b a b -=+++L ,n *∈N ,求证:12210n n n T a b +=-+. 【答案】(1)31n a n =-,2n n b =;(2)见解析. 【解析】(1)设{}n a 的公差为d ,{}n b 的公比为q , 则3441127327a b a d b q +=?++=,34411104610S b a d b q -=?+-=, 即33 2322786210d q d q ?++=? ?+-=??,解得:32d q =??=?, 31n a n ∴=-,2n n b =. (2)()()231234222n n T n n =-?+-?++?L ,① ()()23+1231234222n n T n n =-?+-?++?L ,② -②①得 ()()()()123124213123222222312321 n n n n n T n n -++-∴=--?+++++?=--?+? -L ()10223112n n =?---, ∴所证恒等式左边()102231n n =?--,右边()210231102n n n a b n =-+=--+?, 即左边=右边,所以不等式得证. 2.裂项相消法 数列求和专题

例2:设数列{}n a ,其前n 项和23n S n =-,{}n b 为单调递增的等比数列,123512b b b =,1133a b a b +=+ . (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)若()() 21n n n n b c b b = --,求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】(1)63n a n =-+,12n n b +=;(2)11121 n n T +=- -. 【解析】(1)2n ≥时,()22 133163n n n a S S n n n -??=-=----=-+?? , 当1n =时,113a S ==-符合上式,63n a n ∴=-+, ∵{}n b 为等比数列3 1232 512b b b b ∴==,28b ∴=, 设{}n b 的公比为q ,则21328 ,8b b b b q q q q ====,而315a =-, 113383158a b a b q q ∴+=+?-+ =-+,解得2q =或12 q =-, ∵{}n b 单调递增,2q ∴=,21222n n n b b -+∴=?=. (2)()()()()()()111112211 222121212121n n n n n n n n n c +++++===-------, 11223111111 1212121212121n n n n T c c +??????∴=++=-+-++- ? ? ?------?????? L L 1 111111212121 n n ++=-=----. 一、单选题 1.已知等差数列{}n a 中918S =,240n S =,()4309n a n -=>,则项数为( ) A .10 B .14 C .15 D .17 【答案】C 对点增分集训

数列求和方法和经典例题

数列求和方法和经典例题 求数列的前n 项和,一般有下列几种方法: 一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式 二、拆项分组求和法 某些数列,通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列求和公式求和,从而得出原数列的和。 三、裂项相消求和法 将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式,使一些项相互拆消,只剩下有限的几项,裂项时可直接从通项入手,且要判断清楚消项后余下哪些项。 四、重新组合数列求和法 将原数列的各项重新组合,使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和 五、错位相减求和法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 典型例题 一、拆项分组求和法 例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???,,,,的前n 项和 例2、求和:222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?

例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和 例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和 二、裂项相消求和法 例5、求和:()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和 例7、求和:()11113242n S n n =+++??+

例8、数列{} n a 的通项公式n a =,求数列的前n 项和 三、重新组合数列求和法 例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法 例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和 例11、求和:()23230n n S x x x nx x =++++≠

数列求和(基础+复习+习题+练习)

数列求和(基础+复习+习题+练习)

夫学须静也,才须学也,非学无以广才, 非志无以成学.——诸葛亮 301 课题:数列求和 考纲要求: 掌握等差、等比数列的求和公式及其应用;掌握常见的数列求和方法(公式法、倒序相加、错位相减,分组求和、拆项、裂项求和等求和方法). 教材复习 1. 基本公式法:()1等差数列求和公式:()()1 1 122 n n n a a n n S na d +-==+ ()2等比数列求和公式:()111, 11,111n n n na q S a q a a q q q q =?? =-?-=≠? --? () 3()() 2221 121216 n n n n +++=++L ; () 4()233331 12314n n n ++++= +??? ?L ; ()50122n n n n n n C C C C ++++=L . 2. 错位相消法:给12n n S a a a =+++L 各边同乘以一个适 当的数或式,然后把所得的等式和原等式相减,对应项相互抵消,最后得出前n 项和n S .

夫学须静也,才须学也,非学无以广才, 非志无以成学.——诸葛亮 302 一般适应于数列{}n n a b 的前n 向求和,其中{}n a 成 等差数列,{}n b 成等比数列。 3. 分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和 的数列,然后利用公式法求和。 4. 拆项(裂项)求和:把一个数列的通项公式分 成两项差的形式,相加过程中消去中间项,只剩下有限项再求和. 常见的拆项公式有: ()1若{}n a 是公差为d 的等差数列, 则111111n n n n a a d a a ++?? =- ??? ; () 2()()1 111212122121n n n n ?? =- ?-+-+?? ; ()3()()()()()1111 122112n n n n n n n ??=-?? +++++?? ; () 41 a b a b a b = -+;() 51 1n n k n k n = +++; ()611m m m n n n C C C -+=-;()7()!1!!n n n n ?=+-;()811, 1 ,2 n n n S n a S S n -=?=?-? ≥

数列求和专题(学生版)

数列求和专题 讲点1.公式法:用于等差与等比数列,必须记住数列前n项和公式 ; 例1.(2014福建卷)在等比数列中,a2=3,a5=81. (1)求a n; (2)设,求数列的前n项和S n. 讲点2.分组求和 (等差+等比) 把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和 例2.(2014·北京卷)已知是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列. (1)求数列和的通项公式; (2)求数列的前n项和. 变式1.求和 变式2.求数列的前n项和:,… 变式3.在数列中,,其前项的和=__________ 变式4.等差数列中, (1)求数列的通项公式;

(2)设数列是首项为,公比为的等比数列,求数列的前项和. 讲点3.错位相减 (等差×等比) 例3.(2014·全国新课标卷Ⅰ)已知是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根. (1)求的通项公式; (2)求数列的前n项和. 变式1.设数列满足 (1) 求的通项公式; (2) 设,求数列的前n项和. 变式2.已知正项数列满足:(),且 (1)求得通项公式; (2)设,求数列的前项和

讲点4.裂项相消 (分式型) 常用的裂项公式有 例4.(2014-2015武汉中学期中)等比数列的各项均为正数,且,(Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)若,求的前项和. 变式1. 在数列中,,又,求数列的前项和. 变式2.求和 变式3. .求数列的前n项和. 变式4.求数列的前n项和. 例5.(襄阳四中2011-2012高一下期中)数列的通项公式是 ,前项和为9,则等于. 变式5.求数列的前项和. 讲点5.倒序相加 前后对应项的和为定值 例6. 已知函数当时,,则 =_________. 变式1.设求的值.

数列中裂项求和的几种常见模型

数列中裂项求和的几种常见模型

数列中裂项求和的几种常见模型 数列问题是高考的一大热点,而且综合性较强,既注重基础知识的掌握,又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和,所以数列求和方法是学生必须掌握的,主要的求和方法有:公式法、拆项重组法、并项求和法,裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等,而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种,也是出现频率最高,形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型,以供参考。 模型一:数列{}n a 是以d 为公差的等差数列,且),3,2,1(0,0 =≠≠n a d n ,则 )1 1(111 1++-=n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x = 的图像经过坐标原点,其导函数为 '()62f x x =-,数列{}n a 的前 n 项和为n S ,点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x = 的 图像上。 (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设1 1 n n n b a a += ,n T 是数列{}n b 的前n 项和,求使得20 n m T <对所有n N * ∈都成立的最小 正 整 数 m ; (2006年湖北省数学高考理科试题) 解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax 2 +bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x -2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x 2 -2x. 又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x = 的图像上,所以n S =3n 2 -2n. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(3n 2-2n )-[])1(2)132---n n ( =6n -5. 当n =1时,a 1=S 1=3×12 -2=6×1-5,所以,a n =6n -5 (n N *∈) (Ⅱ)由(Ⅰ)得知13+= n n n a a b =[]5)1(6)56(3---n n =)1 61 561( 21+--n n ,

数列求和常见的7种方法

数列求与得基本方法与技巧 一、总论:数列求与7种方法: 利用等差、等比数列求与公式 错位相减法求与 反序相加法求与 分组相加法求与 裂项消去法求与 分段求与法(合并法求与) 利用数列通项法求与 二、等差数列求与得方法就是逆序相加法,等比数列得求与方法就是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法就是数列求与得二个基本方法。 数列就是高中代数得重要内容,又就是学习高等数学得基础。在高考与各种数学竞赛中都占有重要得地位、数列求与就是数列得重要内容之一,除了等差数列与等比数列有求与公式外,大部分数列得求与都需 要一定得技巧、下面,就几个历届高考数学与数学竞赛试题来谈谈数列求与得基本方法与技巧、 一、利用常用求与公式求与 利用下列常用求与公式求与就是数列求与得最基本最重要得方法。 1、等差数列求与公式: 2、等比数列求与公式: 3、4、 5、 [例1]已知,求得前n项与。 解:由 由等比数列求与公式得(利用常用公式) ===1- [例2]设S n=1+2+3+…+n,n∈N*,求得最大值、 解:由等差数列求与公式得, (利用常用公式) ∴= == ∴当,即n=8时, 二、错位相减法求与 这种方法就是在推导等比数列得前n项与公式时所用得方法,这种方法主要用于求数列{an·bn} 得前n项与,其中{a n}、{bn}分别就是等差数列与等比数列。 [例3]求与:………………………① 解:由题可知,{}得通项就是等差数列{2n—1}得通项与等比数列{}得通项之积 设………………………。②(设制错位)

①-②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列得求与公式得: ∴ [例4] 求数列前n 项得与、 解:由题可知,{}得通项就是等差数列{2n}得通项与等比数列{}得通项之积 设…………………………………① ………………………………② (设制错位) ①—②得 (错位相减) ∴ 三、反序相加法求与 这就是推导等差数列得前n项与公式时所用得方法,就就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个。 [例5] 求证: 证明: 设…………………………、。 ① 把①式右边倒转过来得 (反序) 又由可得 ………….。……、. ② ①+②得 (反序相加) ∴ [例6] 求得值 解:设…………、 ① 将①式右边反序得 ………….。② (反序) 又因为 ① +②得 (反序相加) )89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S =89 ∴ S=44、5 题1 已知函数 (1)证明:; (2)求得值。 解:(1)先利用指数得相关性质对函数化简,后证明左边=右边 (2)利用第(1)小题已经证明得结论可知, 两式相加得: 所以、 练习、求值:

数列求和专题(完美归纳难度二级)

专题一 数列求和 一、公式法 将数列转化为等差或等比数列,直接运用等差或等比数列的前n 项和公式求得. ①等差数列求和公式:()() 11122 n n n a a n n S na d +-= =+ ②等比数列求和公式:()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q ?=? =-?-=≠? --?(切记:公比含字母时一定 要讨论) 常见数列求和 1 1+2+3+=(1)2 n n +…n 21+3+5+=n …+(2n-1) 2+4+6+=(1)n n +…2n 2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L 2 3333(1)1232n n n +??++++=????L 例1、 设数列2 2 1 1,(12),(122)122++n -+++++…( …2)…的前n 项和n S . 变式训练: (2017高考山东18)设{}n a 是公比大于1的等比数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知37S =,且123334a a a ++, ,构成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式. (2)令31ln 12n n b a n +==L ,,,,求数列{}n b 的前n 项和T .

二、错位相减法 设数列{}n a 的等比数列,数列{}n b 是等差数列,则数列{}n n a b g 的前n 项和n S 求解,可用乘公比错位相减法求和。 若n n n a b c =?,其中{}n b 是等差数列,{}n c 是公比为q 等比数列,令 112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++L 则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++L 两式相减并整理即得 例1、 求和:(1){n 2}n n g 求数列的前项和. 23123(2)n n n S a a a a =++++… 变式训练1:(07高考全国Ⅱ21)设{}n a 是等差数列,{}n b 是各项都为正数的等比数列,且 111a b ==,3521a b +=,5313a b += (Ⅰ)求{}n a ,{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求数列n n a b ?? ???? 的前n 项和n S .

(完整版)数列求和经典题型总结

三、数列求和 数列求和的方法. (1)公式法:①等差数列的前n 项求和公式 n S =__________________=_______________________. ② 等 比 数 列 的 前 n 项 和 求 和 公 式 ? ? ?≠===)1(___________________)1(__________q q S n (2)....++=n n n b a C ,数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分,一般用“分组求和法”. (3)n n n C a b =?,数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积,一般用“错 位相减法”. (4)1 n n n C a b = ?,数列{}n C 的通项公式是一个分式结构,一般采用“裂项相消法”. (5)并项求和法:一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和。适用于形如()()n f a n n 1-=的类型。举例如下: ()()() 5050 12979899100129798991002 22222=++???++++=-+???+-+-= n S 常见的裂项公式: (1) 111)1(1+-=+n n n n ;(2) =+-) 12)(12(1 n n ____________________;(3)1 1++n n =__________________ 题型一 数列求解通项公式 1. 若数列{a n }的前n 项的和1232 +-=n n S n ,则{a n }的通项公式是n a =_________________。 2. 数列}{n a 中,已知对任意的正整数n ,1321-=+???++n n a a a ,则22221n a a a +???++等 于_____________。 3. 数列中,如果数列是等差数列,则________________。 4. 已知数列{a n }中,a 1=1且 3 1 111+=+n n a a ,则=10a ____________。 5. 已知数列{a n }满足)2(1 1≥-= -n a n n a n n ,则n a =_____________.。 6. 已知数列{a n }满足)2(11≥++=-n n a a n n ,则n a =_____________.。 {}n a 352,1,a a ==1 { }1 n a +11a =

数列求和基本解法

专题讲座一 《数列求和题的基本思路和常用方法》 数列求和是?数列?一章中的一个重要内容,是高考考试中的常见题型这类试题形式变化多样,但于思路不清、找不准方法常常又具有一定的规律可循.而多数考生在解题时由出现种种错误,导致解题失败.现给出几种数列求和的不同方法,并就题例分述如下. 1. 公式法:很多求和问题可以利用(等差、等比)数列的前n 项和公式解决,在具体问题 中记住并熟练应用下列几个常用公式: ①()211+=∑=n n k n k ; ②()2 112n k n n =-∑=;③()121 +=∑=n n k n k ④()()∑=++=n k n n n k 12 12161 ; ⑤()2 1 3 21? ? ? ???+=∑=n n k n k 例如: 已知数列{}n a 的通项公式为2102+-=n n a n ,求其前n 项和n S 解: n S ()()()[] 2102210221101222+-+++?-++?-=n n ( )()[]n n n 2321103212 222++++-++++= ()()()()()123 1 21512161+-=++-++= n n n n n n n n n 2. 折项分组法:把一不能直接求和的数列的每一项分解成几个可以求和的 新数列,分别求和. 例如:已知数列{}n a 的通项公式为?? ? ??-=n n n a 212,求其前n 项和n S 解 : ()n n n S 2 1 12815413211-+???+++=()[] 12531-+???+++=n + (n 214121+???++)=12 12 +-n n 此方法常用于解形如数列{}n n b a +的前n 项和(其中{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列). 3. 裂项相消法:把数列的每一项拆为两项之差,求和时使大部分项能“正”、 “负”相消, 变为求有限几项的和.常用裂项公式为: ① ()() )11(11 b x a x b a b x a x ----= --;②1 11)1(1+-=+n n n n ; ③ ( ) b a b a b a --= +11;④ ()()()()()()?? ????++- ++=++321 21121211n n n n n n n ;

数列求和的常用方法

数列求和的常用方法 永德二中 王冬梅 数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面,简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。 第一类:公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ???≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式 (1)、)1(213211 += +?+++==∑=n n n k S n k n (2)、)12)(1(6132122221 2++= +?+++==∑=n n n n k S n k n (3)、233331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类:乘公比错项相减(等差?等比) 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列}{n n b a ?的前n 项和,其中}{n a ,}{n b 分别是等差数列和等比数列。 例1:求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。 解:Ⅰ、若q =0, 则n S =0 Ⅱ、若q =1,则)1(2 1321+= +?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1, 则12321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ② ①式—②式:n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1(

求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)

数列的通项公式与求和 1 练习1数列佝}的前n项为S n,且a =1, a ni=-S n(n =1,2,3,) 3 (1) 求a2,a3, a4B值及数列{a n}的通项公式. (2) 求a2a4一-玄 n ■ 2 练习2 数列{a n}的前n项和记为S n,已知a^1, 3n1 6(n = 1,2,…)?证明: n (1) 数列{§L}是等比数列; n (2) S n 1 = 4a n 1 * 练习3 已知数列{a n}的前n项为S n,S n = —@n -1)(门,N ) 3 (1)求耳忌 ⑵求证:数列{a n}是等比数列.

1 1 已知数列{a n }满足 @ = — ,a n1 =a n ? - ,求a n . 2 n +n 练习5 已知数列 {an } 满足?岭…&an,求歸 5 1 1 n * 练习6已知数列?}中,印 ,a n 1 a n - H),求a n . 6 3 2 练习7已知数列{a n }满足:a n 色^ , a , =1,求数列{a n }的通项公式 3色」+1 { } 2 十2十2+…十2 等比数列 {a n } 的前n 项和S n = 2n - 1,则a1 a 2 a 3 a n 5 (10n -1) 练习 9 求和:5, 55, 555, 5555,…,9 练习4 练习

练习10 求和: + +… + 1 4 4 7 (3n - 2) (3n 1) ’ 1 1 1 1 练习11 求和: 1 2 12 3 12 3 n 练习12 设 {a n } 是等差数列, {b n } 是各项都为正数的等比数列,且 = b^=1 , fa 1 a 5 b 3 =13 (I)求 {a n } , { b n } 的通项公式;(H)求数列? 的前门项和S n . Sb = 21

数列求和精选难题、易错题(含答案)

1、数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,点在直线y=2x+1上,。(1)若数列{an}是等比数列,求实数t的值; (2)设bn=nan,在(1)的条件下,求数列{bn}的前n项和Tn; (3)设各项均不为0的数列{cn}中,所有满足的整数的个数称为这个数列的”,令(),在(2)的条件下,求数列的“积异号数”。 解:(1)由题意,当时,有 两式相减,得即:() 当时,是等比数列,要使时是等比数列, 则只需,从而得出 (2)由(1)得,等比数列的首项为,公比, ① 可得② 得 (3)由(2)知, ,, ,数列递增

由,得当时,数列的“积异号数”为1。 2、已知数列{an}的前n项和为Sn,满足. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式an; (Ⅱ)令,且数列{bn}的前n项和为Tn满足,求n的最小值;(Ⅲ)若正整数m,r,k成等差数列,且,试探究:am,ar,ak能否成等比数列证明你的结论. 解:(Ⅰ)∵, 由,∴, 又,∴数列是以为首项,为公比的等比数列, ∴,即; (Ⅱ), ∴ , ∴,即n的最小值为5; (Ⅲ)∵, 若,,成等比数列, 即 由已知条件得,∴, ∴, ∴上式可化为,

∵,∴, ∴, ∴为奇数,为偶数, 因此不可能成立, ∴,,不可能成等比数列. 3、设等差数列{an}的前n项和为Sn,公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn,已知a1=1,b1=3,a2+b2=8,T3-S3=15 (1)求{an},{bn}的通项公式。 (2)若数列{cn}满足求数列{cn}的前n项和Wn。 设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q ∵a1=1,b1=3由a2+b2=8,得1+d+3q=8 ① 由T3-S3=15得3(q2+q+1)-(3+3d)=15 ② 化简①②∴消去d得q2+4q-12=0 ∴q=2或q=-6 ∵q>0∴q=2则d=1∴an=n bn=3·2n-1 ⑵∵an=n∴① 当时,…② 由①-②得∴cn=3n+3 又由⑴得c1=7 ∴ ∴{an}的前n项和…

(完整版)数列求和练习题(含答案)

2.(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ,若a n =1 n (n +1) ,则S 5等于( ) A .1 B.5 6 C.16 D.130 B [∵a n =1n (n +1)=1n -1 n +1 , ∴S 5=a 1+a 2+…+a 5=1-12+12-13+…-16=5 6.] 3.(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{a n }中,a 2·a 8=4a 5,等差数列{b n }中,b 4+b 6=a 5,则数列{b n }的前9项和S 9等于( ) A .9 B .18 C .36 D .72 B [∵a 2·a 8=4a 5,即a 25=4a 5,∴a 5=4, ∴a 5=b 4+b 6=2b 5=4,∴b 5=2, ∴S 9=9b 5=18,故选B.] 已知等差数列{a n }中,2a 2+a 3+a 5=20,且前10项和S 10=100. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n = 1 a n a n +1 ,求数列{b n }的前n 项和. [解] (1)由已知得???? ? 2a 2+a 3+a 5=4a 1+8d =20,10a 1+10×9 2d =10a 1+45d =100, 解得??? a 1=1, d =2, 3分 所以数列{a n }的通项公式为a n =1+2(n -1)=2n -1.5分 (2)b n = 1(2n -1)(2n +1)=12? ?? ??1 2n -1-12n +1,8分 所以T n =12? ? ???1-13+13-15+…+12n -1-12n +1 =12? ????1-12n +1=n 2n +1 .12分

数列求和方法及典型例题

数列求和方法及典型例题 1.基本数列的前n 项和 ⑴ 等差数列{}n a 的前n 项和:n S ???? ??????+?-++=n b n a d n n na a a n n 211)1(212)( ⑵ 等比数列{}n a 的前n 项和n S : ①当1=q 时,1na S n =;②当1≠q 时,q q a a q q a S n n n --=--=11)1(11; 2. 数列求和的常用方法:公式法;性质法;拆项分组法;裂项相消法;错位相减法;倒序相加法. 题型一 公式法、性质法求和 1.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,公比7,299==S q ,则=++++99963a a a a 2.等差数列{}n a 中,公差2 1= d ,且6099531=++++a a a a ,则=++++100321a a a a . [例1]求数列 ,,,,,)21(813412211n n +的前n 项和n S . 题型二 拆项分组法求和 [练2]在数列{} n a 中,已知a 1=2,a n+1=4a n -3n +1,n ∈*N . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列{}n a 的前n 项和为S n ,求S n 。 [练].求数列{}2)12(-n 的前n 项和n S . [例].求和:) 1(1431321211+++?+?+?n n . 题型三 裂项相消法求和 [例].求和: n n +++++++++11341231121 . [例]求和:n +++++++++++ 321132112111 [练4]已知数列{}n a 满足()*1112,1N n a a a n n ∈+==+

数列求和的七种基本方法

数列求和的七种基本方法 甘志国部分内容(已发表于 数理天地(高中),2014(11):14-15) 数列求和是数列问题中的基本题型,但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点,本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法. 1 运用公式法 很多数列的前n 项和n S 的求法,就是套等差、等比数列n S 的公式,因此以下常用公式应当熟记: 22 1 231 123(1)2 135(21)12222111111122222 n n n n n n n n n -++++= ++++ +-=++++=-++++=- 还要记住一些正整数的幂和公式: 2 233332222)1(41 321)12)(1(6 1 321+=++++++= ++++n n n n n n n 例1 已知数列}{n a 的前n 项和232n n S n -=,求数列}{n a 的前n 项和n T . 解 由232n n S n -=,可得n a n 233-=,160≤?>n a n ,所以: (1)当16≤n 时,n T =232n n S n -=. (2)当17≥n 时, 512 322)()()(21616161817162121+-=-=--=+++++++=+++=n n S S S S S a a a a a a a a a T n n n n n 所以 2 2 32(1,2,,16) 32512 (17,) n n n n T n n n n * ?-=?=?-+≥∈??N 且 例2 求1)2(3)1(21?++-?+-?+?=n n n n S n . 解 设2 )1()1(k n k k n k a k -+=-+=,本题即求数列}{k a 的前n 项和.

数列求和的典型方法 (学生版)

数列求和的典型方法(学生版) ※ 典型例题 考点1.分组求和法求数列的前n 项和 一、分组求和 ◎题型1:求数列{}n n a b ±的前n 项和n S 思路1:1122()()()n n n S a b a b a b =±+±++±…1212()()n n a a a b b b =++???+±++???+ ◎题型2:求通项为()()n f n n a g n n ?=??,是奇,是偶数数 或(1)()n n a f n =-的数列的前n 项和n S 思路2:相邻项组合 (1)当n 为偶数时,12341()()()n n n S a a a a a a -=+++++…; (2)当n 为奇数时,123421()()()n n n n S a a a a a a a --=++++++…. 思路3:奇偶项组合 (1)当n 为偶数时,n S =13124()()n n a a a a a a -++++++……; (2)当n 为奇数时,n S 13241()()n n a a a a a a -=++++++……. 思路4 :公式优化 (1)当n 为偶数时,利用套路2、3其中之一; (2)当n 为奇数时,S S a =-. 例3、数列{}n a 的通项公式为2cos 3 n a n =?,其前n 项和为n S . (Ⅰ)求32313n n n a a a --++及n S 3; (Ⅱ)若312 n n n S b n -= ?,求数列{}n b 的前n 项和n T .

考点2.倒序相加法 【例2】设()442x x f x =+,求122012201320132013f f f ??????+++ ? ? ??????? 的值. 变式1.求222289sin 1sin 2sin 3....sin 89S =?+?+?++? 变式2.已知函数()f x 对任意的x R ∈,都有()+(1)=1f x f x -, 求1231(0)()()()....()(1)n n S f f f f f f n n n n -=++++++. 考点4.裂项相消法求数列的前n 项和

高中数列专题常见求和方法总结

专题:数列及其数列求和 ?重点、考点精读与点拨 一、基本知识 1.定义: (1) .数列:按一定次序排序的一列数 (2) 等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列叫做等差数列 (3) 等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一 个常数,则这个数列叫做等比数列 2. 通项公式与前n 项和公式 }{n a 为等差数列: d n a a n )1(1-+= 2 ) (2 )1(11n n a a n d n n na S += -+ = }{n b 为等比数列: )1(1 1≠=-q q b b n n q q a a q q a S n n n --= --= 11)1(11(q )1≠ 3. 常用性质 }{n a 为等差数列,则有 (1) 从第二项起,每项是前一项与后一项的等差中项,2 1 1-++=n n n a a a (n>1) (2) ),()(* N n m d m n a a m n ∈-+= (3) 若m+n = p+q , 则:q p n m a a a a +=+,特殊的:若m+n=2r ,则有:r n m a a a 2=+ (4) 若,,m a n a n m ==则有:0=+n m a (5) 若)(,,n m S m S n S n m n m +-===+则有: (6) }{n a 为等差数列q p q pn a n ,(+=?为常数)?),(2 R q p qn pn S n ∈+=

(7) m m m m m S S S S S 232,,--┅┅仍成等差数列 (8)}{},{n n b a 为等差数列,则}{n n qb pa +为等差数列(p ,q 为常数) (9)若项数为偶数2n ,nd =-奇偶S S , 1 +n n a a S S = 偶 奇 若项数奇数2n -1,n a S S =偶奇-,1 -n n S S = 偶 奇 (10)???=≥-=-1 11)2 (S a n S S a n n n }{n a 为等比数列,则有 (1) 只有同号的两数才存在等比中项 (2) ),(* N n m q a a m n m n ∈=- (3) 若m+n = p+q , 则:q p n m a a a a ?=?,特殊的:若m+n=2r ,则有:2 r n m a a a =? (4) }{},{n n b a 为等比数列,则}{n n b a ?,}{ n n b a ,{n ca }为等比数列(0≠c ) (5) 等比数列中连续n 项之积构成的新数列仍是等比数列,当1≠q 时,连续项之和仍为 等比数列 (6) )1,0() 0,0(≠≠-=≠≠=q q k kq S q c cq a n n n n 二、在数列中常见问题: 1、等差数列的通项公式是关于n 的一次函数,)(1d a dn a n -+=(定义域为正整数集),一次项的系数为公差;等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数, n d a n d s n )2 (2 12 - += 二次项系数为公差的一半,常数项为0. 证明某数列是等差(比) 数列,通常利用等差(比)数列的定义加以证明,即证: 常数)常数,(==-++n n n n a a a a 11 2、等差数列当首项a 1>0且公差d<0时(递减数列),前n 项和存在最大值。利用???<≥+001 n n a a 确 定n 值,即可求得s n 的最大值(也可以用二次函数的性质或图象解)。

数列求和常用方法(经典讲解)

求数列前n 项和常用方法(经典讲解) 一.公式法(定义法): 1.等差数列求和公式: 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地,当前n 项的个数为奇数时,211(21)k k S k a ++=+?,即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算; 2.等比数列求和公式: (1)1q =,1n S na =; (2)1q ≠,( )111n n a q S q -= -,特别要注意对公比的讨论; 3.可转化为等差、等比数列的数列; 4.常用公式: (1)1n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ; (2)21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ; (3)31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ; (4)1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ,求23n x x x x ++++的前n 项和. 解:由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L =x x x n --1)1(=2 11) 21 1(2 1--n =1-n 2 1 例2 设123n S n =++++,*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解:易知 )1(21+=n n S n , )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f =64 342++n n n =n n 64341++=50)8(12+-n n 50 1 ≤ ∴ 当 8 8-n ,即8n =时,501 )(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那 么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如:等差数列的前n 项和即是用此法推导的,就是

数列求和练习题

数列求和 1.在等差数列}{n a 中,5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =( ) A.7 B.15 C.20 D.25 2.若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n (3n -2),则a 1+a 2+…+a 10=( ). A .15 B .12 C .-12 D .-15 3.数列112,314,518,71 16,…的前n 项和S n 为( ). A .n 2+1- 12 n -1 B .n 2+2-12n C .n 2+1-12n D .n 2+2-1 2 n -1 4.已知数列{a n }的通项公式是a n =1 n +n +1 ,若前n 项和为10,则项数n 为 ( ). A .11 B .99 C .120 D .121 5. 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n +1,令b n =1 n (a 1+a 2+…+a n ),则数列{b n } 的前10项和T 10=( ) A .70 B .75 C .80 D .85 6.已知数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn (a 、b ∈R),且S 25=100,则a 12+a 14等于( ) A .16 B .8 C .4 D .不确定 7.若数列{a n }为等比数列,且a 1=1,q =2,则T n =1 a 1a 2+ 1 a 2a 3 +…+ 1 a n a n +1 的结果 可化为( ). A .1-14n B .1-12n C.23? ????1-14n D.23? ? ???1-12n 二、填空题 8.数列{a n }的通项公式为a n = 1 n +n +1 ,其前n 项之和为10,则在平面直角 坐标系中,直线(n +1)x +y +n =0在y 轴上的截距为________. 9.等比数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则a 21+a 22+…+a 2 n =________. 10.已知等比数列{a n }中,a 1=3,a 4=81,若数列{b n }满足b n =log 3a n ,则数列? ?? ?????? ?1b n b n +1的前n 项和S n =________.

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