人教版初中数学八年级上册
人教版初中数学八年级上册第十二章轴对称
12．1 轴对称（一）
知识与技能
1、通过生活中的具体实例认识轴对称，让学生掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念。
2、能识别简单的轴对称图形及其对称轴。
3、了解轴对称图形与两个图形关于某直线对称的区别和联系。
过程与方法
1、通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴。
2、经历观察、分析的过程，训练学生观察、分析的能力。
情感态度与价值观
通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生主动参与数学活动的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高．
教学重点：轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念。
教学难点：比较观察轴对称图形与两个图形关于某直线对称的区别和联系。
教学过程
一、创设情境，引入新课
师：用白纸剪出蜻蜓、房子、飞机等图片让学生欣赏，问：你想学会这种手艺吗？想明白其中的道理吗？引入新课，板书课题。
生：把学生收集的材料以小组为单位在黑板上展示。
二、师生互动，探究新知
师：我们先来看黑板上几幅图片（房子、蜻蜓、飞机、风筝），有没有一种平衡美或对称美的感受？同学们知道是怎样剪出来的吗？
师：现在请同学们拿出准备的剪纸、枫叶、正方形、正三角形等图形，你能将它们沿某条直线对折，使直线两旁的部分完全重合吗?
教师与学生共同动手操作，很快完成。
师：很好！同学们把书翻到29页看书上的图案具有什么特点？
生：是的，也可以沿一条直线对折，使直线两旁的部分重合。
师：太好了!我们把这样的图形叫做轴对称图形．（由学生尝试说出轴对称图形的定义）
如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）?对称。
师：在我们的身边轴对称现象随处可见，请同学们再举一些日常生活中，有轴对称特征的例子。
生：我们的黑板、课桌、椅子,我们的身体，眼镜、碗，还有飞机、汽车、枫叶等都是轴对称图形。
师：同学们回答得真好，大家举了这么多对称的例子，现在我们来找一下0、1、2……9这10个数字和26个英语大写字母，几何图形中有没有轴对称图形呢？
生：分小组讨论，教师巡视指导。
师：接下来我们来探讨有关对称轴条数的问题。请同学们拿出一张画有等腰三角形、、正方形、圆的纸片。动手折叠一下，看它们各有几条对称轴？
生：动手操作，探究交流。
师：有些轴对称图形的对称轴（等腰三角形）只有一条，但有的轴对称图形（正方形）对称轴却有两条，有的轴对称图形的对称轴（圆）甚至有无数条。注意对称轴通常画成虚线，是直线，不能画成线段或射线。
师：要求学生看书的第30页练习
生：图（1）是轴对称图形，它的对称轴是过蝴蝶头和尾的直线。
图（2）也是轴对称图形。它的对称轴是过第一架飞机头和尾的直线。
图（3）是轴对称图形，它的对称轴是中间那条竖直的直线。
图（4）不是轴对称图形．图（5）是轴对称图形，它有四条对称轴。
师：现在我们再拿出一张白纸，折叠后用圆规在纸上扎出自己认为最美丽的图案，将纸打开后铺平，观察所得到的图案。位于折痕两侧的部分有什么关系?与同伴进行交流。
生：动手操作，有的扎三角形，有的扎飞机，有的扎人物等等，并相互交流。
讨论得出这些图形都是对称的．这些图形可以沿折痕对折，折痕两旁的部分完全重合。
师：第30页图12．1-3中的图形，你发现了什么？分组交流。
生：这些图片中每组都是两个图形而不是一个图形，可是轴对称图形指的是一个图形，但这两个图形沿着虚线折叠也能互相重合。
师：同学们的观察能力很强。像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，?这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．（说明：两个图形关于某条直线对称也叫两个图形成轴对称）。
师：（1）请标出上图3中点A、B、C的对称点。
（2）举一些生活中两个图形成轴对称的例子。（教师在黑板上画图）
生：提问学生到黑板上做出对称点。
师：要求学生做第31页练习。
答案：图（1）（3）（4）中的两个图案是轴对称的，图（2）不是。?
师：出示（小黑板）问题
成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？
师生互动，学生动手画图，小组讨论，教师纠正。
学生在教师的指导下得到结论：成轴对称的两个图形全等。如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的。
成轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形。
轴对称的两个图形和轴对称图形，沿某一条直线折叠后都能重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，?如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。
三．课时小结
师：本节课你学到了什么？你有那些收获？
生：1、这节课我们通过观察轴对称图案，主要学习了轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念。
2、能找出两个图形关于某直线对称的对称点。
四．课后作业
课本习题12．1─2、6。
讷河五中孙晓东
N P 11
P 21 P 31
O
12.1 轴对称（二）
知识与技能：
1、 了解两个图形成轴对称的性质，了解轴对称图形的性质。
2、 理解并掌握垂直平分线的定义和两个性质定理。
3、 掌握线段垂直平分线的尺规作图的画法。 过程与方法：
经历探索轴对称图形性质的过程，鼓励学生充分观察、操作、运用自己的语言概括出这些图形的特征，发展空间观察。 情感态度与价值观：
初步掌握对称的知识，不仅使我们感受到自然界的美与和谐，还可以帮助我们发现一些图形的性质，并能根据自己的设计创造出对称作品、美化生活。 教学重点：轴对称图形的性质，线段垂直平分线的性质。 教学难点：线段垂直平分线的性质。 教学过程：
一、 创设情境，引入新课：
师：请同学们举一些日常生活中的轴对称图形的例子。 生：黑板、课桌、椅子、飞机、汽车、枫叶。 师：出示小黑板：如果两个图形成轴对称，那么这 两个图形有什么关系。
生：△ABC 和△A′B′C′关于MN 对称。 师：复习上节的知识，得出新结论：如果两个图形成轴对称，那么这两个图形就全等。
师：提出线段垂直平分线的定义。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 师：在黑板上画出线段AB 的垂直平分线L 。 二、 师生互动，探索新知： （一） 探索轴对称的性质
师：⑴要求学生作两个成轴对称的三角形。
⑵将对称点分别用线段连结起来，观察它与对称轴的位置 关系及数量关系，你能得出什么结论？
生：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴 是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
师：轴对称图形是否也具有这样的性质呢？请举例说明。 生：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连 线段的垂直平分线。 轴对称的性质：
1、 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴 是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2、轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 （二）探索线段垂直平分线的性质
师：请同学们看书的P22探究，看你有什么发现。 生：（独立尝试，独立思考的基础上进行合作交流。）归纳出 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 （并写出证明过程）
师：反过来如果P 1A=P 1B ，那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上？
A
B
L
A
B
C
A ′“′’
C ′“′’
B ′“′’
C A
B
M
生：运用三角形全等的知识判定△P 1AO ≌△P 1BO ，从而有
∠P 1OA=∠P 1OB=90°，于是P 1O ⊥AB ，即P 1O 是线段AB 的垂直平分线。 从而得出：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 师：例1 △ABC 中，BC =10，边BC 的垂直平分线DE 分别交 AB 、AC 于点E ，BE=6，求△BCE 的周长。 解：∵DE 是BC 的垂直平分线，
∴EC=EB=6 ∵BC=10
∴△BCE 的周长为BE+BE+EC=22 学生做P34练习1、2。
（三）作出简单轴对称图形的对称轴（尺规作图）
例：点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 作法：⑴连接AB ；
⑵分别以点A 、B 为圆心，以大于1/2AB 的长为半径作弧， 两弧相交于C 、D 两点；
⑶作直线CD ，CD 即为所求的直线。 师：作教材P35练习。
生：合作与交流，教师组织完成练习。 三、课时小结：
师：本节课学会了些什么？有哪些收获？还有什么疑问？ 生：1、线段垂直平分线的定义。
2、 线段垂直平分线的性质。
3、 轴对称的性质。 四、 课后作业：
习题12.1第5题。
讷河五中 孙晓东
12.2.1 作轴对称图形（一）
B
A
C D E
A
B
C
D
教学目标：
（一）知识技能：
1.通过具体实例学做轴对称图形，认识轴对称变换，探索它的基本性质和定义。
2.能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形。
3.能利用轴对称进行图案设计。
（二）情感态度与价值观：
1.通过欣赏轴对称图案，形成学生了解数学、应用数学的态度。
2.通过轴对称画图、设计图案锻炼学生克服困难的意志，培养创新精神。
教学重点：
作一个图形经轴对称变换后的图形。
教学难点：
通过动手操作总结轴对称变换的特征。
教学流程：
一、复习旧知、导入新课
首先，教师利用小黑板出示下列问题：
1．给出以下四个结论，其中正确的为（）
①如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴。
②若两个三角形关于某条直线对称，那么这两个三角形一定全等。
③线段垂直平分线上的点到该线段两个端点的距离相等。
④若P为∠AOB的平分线上的点，C、D分别是边OA与OB上的点，则PC=PD。
A、①④
B、③④
C、②③
D、①②
2．如图1所示，线段AB和A′B′关于直线MN对称，
则AA′⊥，BB′⊥，OA= ，O′B= 。
可让学生抢答，答错的可让其他学生进行纠正。
接着教师展示几幅窗花作品，此时可向学生介绍我国的剪纸文化艺术。
并告诉学生：学习了本节课后相信同学们也会剪出如此美丽的窗花。
二、讲授新课
活动1：每名学生拿出一张半透明的纸，在纸的左边部分画出一个你所喜欢的图形，然后把这张纸对折后描图，打开对折的纸，并让学生上讲台展示自己的作品。
待学生展示完毕后，教师引导学生观察描出的图形与原来画的图形有什么关系。是否成轴对称？如果成轴对称，对称轴是谁？任意一对对应点构成的线段与对称轴又有什么关系，如果我们重复这个作图过程，你又会有什么发现？
活动2：每名学生拿出一些半透明的纸在这张纸上任意画一个图形，将这张纸折叠、描图，并改变折痕的方向和位置并重复几次。打开对折的纸，并让学生上讲台进行展示。
师生交流，并进行总结归纳：
（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状，大小完全相同；
（2）新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的对称点；
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
三、运用新知、例题讲解
例1：已知 ABC和直线，作出与 ABC关于直线对称的图形。
教师引导学生分析第一个图形，做出相应的图形，其它3个图形的对称图形则由学生自己做出，最后师生共同总结，得出作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤。
四、课堂练习
P41练习第1题。
五、小结反思，布置作业
作业：习题12.2第1题，P41练习第2题。
讷河五中赵春发
12.2.1作轴对称图形（二）
教学目标：
（一）知识技能
让学生进一步学习并应用图形轴对称的性质。
（二）情感态度与价值观
培养学生良好的情感、态度与主动参与，合作交流的意识，提高学生的审美情趣，发现体验数学与生活息息相关，从生活中来到生活中去，体验数学的作用与价值，使人人学到有用的数学。
重点、难点：
重点：利用轴对称变换解决日常的实际问题。
难点：使输气管道最短的泵站位置的确定及说理。
教学流程：
一、复习旧知，导入新课
教师提出问题：同学们，到现在为止，我们已经学过了很多几何知识，那么在这些知识里面，有没有关于线段之间大小关系的结论呢？可引导学生进行回顾思考。并总结，如两点之间线段最短；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等；接着教师利用小黑板出示问题；如图1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气。泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？待师生讨论完毕后，教师改变点B的位置如图2。并提出相同的问题；此时泵站修在管道的什么地方可使
二、师生合作、共探新知
教师可给学生适当的时间进行讨论交流，并提醒学生注意图1和图2的不同。
教师可提示学生，现在我们首先做出点B关于直线的对称点B′，然后在直线上任找一点C，连结BC、B′C，如图3那么BC和B′C有什么关系呢？BC＝ B′C，再连结AC，则AC＋BC＝AC＋B′C。要AC ＋BC最短，只要AC＋B′C最短即可，那么点C位于什么位置时，AC＋C B′最短？最终确定点C，做法如图4
此时有学生可能提出疑问，如果我们做点A的对称点，那么不又存
在一个点吗？让学生类似作图，发现仍然是C点，如图4。老师提出问
题：你们对刚才的做法还有什么疑问吗？此时有学生可能会提出：为什
么这样做出的点C就是符合条件的呢？引导学生进行分析证明。
启发学生：也就是说在其它点修建泵站，如P点，则总有
AP＋BP>AC+BC，如图5
三、课堂练习、巩固新知
课本47页练习9
四、总结归纳、布置作业
作业如图6，直线表示草原上的一条河，一个少年从A处出发，让他
的马去河边饮水，然后返回位于B处的家中，问这位少年按怎样的路线走使
总路程最短？请作出这条路线。
讷河五中赵春发
12.2.2用坐标表示轴对称
教学内容：人教版初中数学八年级上册第十二章轴对称教材第43—45页
教学目标：
1.能用坐标表示轴对称，探究点或图形的轴对称变换引起的点的坐标的变化规律，学会如何利用这种坐标变化规律在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形．
2. 经历探究用坐标表示轴对称的过程，感受其应用规律．培养学生的语言表达能力，观察能力、归纳能力．
3. 通过主动探究，合作交流，培养学生的合作意识，体验成功的喜悦，获得数形结合的审美享受．教学重难点：
重点：用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标。
难点：找对称点的坐标之间的关系、规律。
教学准备：小黑板、北京地图
教学时间：1课时
教学流程：
一、创设情境探究新知
引言：2008奥运会，北京吸引了许多游客，一天小红在天安门广场玩，一位外国友人向小红问西直门的位置，可小红只知道东直门的位置，不过，小红想了想，就准确的告诉了他。你知道为什么吗？
教师结合老北京的地图【教材图12.2-10】向学生介绍：老北京城关于中轴线成轴对称设计，东直门、西直门就关于中轴线对称。如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴，就可以在这个平面图上建立直角坐标系，各个景点的地理位置就可以用坐标表示出来。
提问：这些景点关于坐标轴的对称点你可以找出来吗？这些对称点的坐标与已知点的坐标有什么关系呢？
【今天咱们就一起来学习《用坐标表示轴对称》】（板书课题）
二、合作交流，共同学习
探究一：关于x轴、y轴轴对称的点的坐标之间具有怎样的关系？
问题：在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其对称点，并把坐标填入表格中．看看每对对称点的坐标有怎样的规律．再和同学讨论一下．
已知点A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），D（1
2，1），E（4，0）．
关于x轴的对称点A′（____，____）B′（_____，______）C?′（?_____，?_____）??D′（____，_____）E′（_____，_____）．
关于y轴的对称点A″（_____，____）B″（_____，______）C″（?_____，?_____）??D″（____，_____）E″（_____，_____）．
请你仔细观察点的坐标，能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？
（学生充分表述，相互补充，把规律用自己的语言表述出来，教师再引导学生转化成数学语言）学生总结规律：
（板书）在平面直角坐标系中：
关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
即：点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为(x, - y)；
点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为(- x, y)。
三、例题解析，探寻方法。
探究二、求作已知图形关于坐标轴的对称图形（从点到线段再到多边形）
例2：已知四边形ABCD的顶点坐标分别为：A（－5，1）、B（－2，1）、 C（－2，5）、D（－5，4），分别作出与四边形ABCD关于x轴与y轴对称的图形。
（以学生为主，师生共同解答例题）
（1）写出点A、B、C、D关于y轴的对称点A1、B1、C1、D1
（2）写出点A、B、C、D关于x轴的对称点A2、B2、C2、D2
（3）依次连接各对应点，即可得到四边形ABCD关于y轴
和x轴对称的图形。
（活动中，学生分组合作完成画图，并讨论、交流,发表见解，
然后教师引导学生总结归纳解题步骤）
学生归纳解题步骤：
（1）求出已知图中特殊点(多边形的顶点)的对应点坐标
（2）描出这些对应点
（3）顺次连接这些点
四、随堂练习，巩固深化。
分组抢答：（1.2.3题）
1．分别说出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标：
（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）．
２.根据下列点的坐标的变化情况，判断它们是关于x轴对称，还是关于y轴对称。
⑴（－１，0）→（１，0）；⑵（－５，－４）→（－５，４）；
⑶（３，４）→（－３，４）；⑷（2，5）→（-2，5）→（－2,－5）。
3．如图，△ABC关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），标出点B的坐标．
（抢答中让学生充分表现，教师给与鼓励与点拨，在完成3题时，学生表述，教师快速板书，帮助学生理解。）
4．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x?轴和y轴对称的图形．
（两名学生在课前准备好的小黑板上板演，其他学生独立完成，教师巡视指导）
五、课堂小结、回顾体会。
1.谈谈本节课你有哪些收获？
2.你学习了哪些方法和知识？
六、作业布置：习题12.2第2.4.6题
板书设计：
12.2.2 用坐标表示轴对称
关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
即：点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为(x, - y)；
点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为(- x, y)。
讷河市第五中学郑晓敏
12.3.1等腰三角形（第一课时）
教学目标：
1、掌握等腰三角形的性质。
2、运用等腰三角形的性质进行证明和计算。
3、通过实践、观察，证明等腰三角形的性质，培养学生观察、分析、归纳问题的能力。
4、激发学生的好奇心和求知欲，建立学习的自信心。
教学重点：
等腰三角形的性质及应用。
教学难点：
等腰三角形性质的证明。
教学过程：
讷河五中王海岩
12.3.1等腰三角形（第二课时）
教学目标：
1、探索等腰三角形的判定定理。
2、理解定理和应用定理。
3、培养学生应用知识解决实际问题的能力。
教学重点：
等腰三角形的判定定理及其应用。
教学难点：
探索等腰三角形的判定定理。
教学过程：
讷河五中王海岩
12．3．2等边三角形（一）
整体设计
一、教学目标：
知识目标：在等腰三角形的基础上使学生了解等边三角形是特殊的等腰三角形。
技能目标：根据等腰三角形的性质和判定，推理、验证等边三角形的性质和判定并灵活运用。 情感目标：激发学生学习数学的兴趣，为祖国的建设而学好数学。 二、重点、难点：
重点：等边三角形的性质和判定方法。 难点：运用性质解决问题。 三、教学过程：
（一）、创设情境、激情引入：
教师用硬纸板制作等腰三角形模型（腰和底相等，腰和底不相等两种）以小组为单位发放到学生手中，让学生通过对折，度量等方法更形象、具体地感知等腰三角形的知识。在学生兴趣高涨时，教师提出问题：“有没有哪个小组的同学有新的发现？请上前面把你的新发现告诉大家。”教师与同学们热烈讨论，得出结论。
1、 等边三角形是腰和底相等的等腰三角形。
2、 由等腰三角形的性质推理出等边三角形的三个角相等，都等于60°。
3、 通过对折可知等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 教师充分肯定学生的自主探究的精神，同时教师进一步补充。
三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。 等边三角形的判定：
1、 三个角都相等的三角形是等边三角形。
2、 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
问题：请同学们在练习本上画一个等边三角形，并画出它的三条中线， 三条高线，三条角平分线，并观察特点。
学生通过动手实践，合作交流，得出等边三角形三线合一的结论： 等边三角形的三条中线、三条角平分线、三条高线互相重合。 （二）、合作探究、知识巩固：
例4：如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于D 、E 两点，求证：△ADE 是等边三角形。 学生讨论后独立完成。
找同学板演不同的解题方法，师生共同评价。 证明：∵△ABC 是等边三角形 ∴∠B=∠C=60° 又∵DE ∥BC
∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°
∴△ADE 是等边三角形
（三）、综合应用，知识升华：
如图：△ABD ，△AEC 都是等边三角形，求证：BE=DC
学生动脑思考，教师给予指导，学生板演解题过程。 证明：∵△ABD ，△AEC 都是等边三角形 ∴AD=AB ，AE=AC ∠DAB=∠EAC=60°
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC 即∠DAC=∠BAE 在△ADC 和△ABE 中
A
D
E
B
C
AD=AB
∠DAC=∠BAE
AC=AE
∴△ADC≌△ABE （SAS）
∴BE=DC
四、反馈小结，布置作业：
请同学们回顾所学知识，并总结解题方法，再次对所学知识进行梳理。
教师总结：数学源于生活，用于生活，学好数学，用好数学，为祖国做贡献。
作业：1、P54，1、2
2、每人准备一副三角板
讷河五中巩海霞
12.3.2等边三角形（二）
整体设计
教学目标：
B
知识目标：探索直角三角形中有一个角为30°的性质。 技能目标：培养学生分析问题、解决问题以及语言表达能力。
情感目标：让学生在实际操作活动中体验学习数学的乐趣，感悟数学知识的魅力，激发学 生学好数学的欲望。 重点、难点：
重点：探索并证明含30°角的直角三角形的性质。 难点：如何培养学生严密的逻辑思维能力。 教学过程：
一、 创设情境、激情引入：
请同学们拿出准备好的一副三角板，其中有一个三角板的两锐角分别是30°、60°，如果把这样 的两个三角板拼在一起，又会有什么特别之处呢？为什么把它放在等边三角形一节中讨论呢？它与等边三角形又有怎样的联系呢？激发学生的好奇心和求知欲望。
提出解决问题的途径：请同桌之间互相配合，用两个含30°角 的直角三角尺拼图，并把你的拼图画下来观察角与角之间的关系， 边与边之间的关系。边与角之间的关系。 生：同桌配合，动手拼图，并画出所拼图形。
通过动手操作聪明的同学会得出结论：在直角三角形中，如果有一 个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
没有得结论的同学会得到相应的启发，感悟知识。
问题：对于含30°角的直角三角形的性质，你怎样证明呢？ 先引导学生证明
己知：RT △ABC ≌RT △ADC ，∠BAC=30°，∠B=60°。把两个三角形如图⑴拼放在一起，求证：BC=2
1
AB 。 证明：∵△ABC ≌△ADC
∠BAC=∠DAC=30° AB=AD ∴∠BAD=60°
∴△ABD 是等边三角形 ∴AB=BD 又∵BC=CD=2
1
BD ∴BC=
2
1
AB 由此证明引导学生总结含30°角的直角三角形的性质的证明，放手让学生 自主探究，合作交流，然后找同学板演。
证明：延长BC 至D ，使BC=CD,连结AD. 证法同上。
这样，学生理解深刻，同时灵活运用了倍长中线的辅助线的做法。 二、 合作探究，知识巩固
运用所学知识解决实际问题。
例5：如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点， 立柱BC ，DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BC ， DE 要多长？
学生独立完成并板演。
解：∵DE ⊥AC ，BC ⊥AC ，∠A=30°，可得
C
E
A
B
C
A
B
C
A
B
C A
D
A
B C
D
D （1）
BC=
21 AB ，DE= 21AD ∴BC= 21
×7.4=3.7（m ）
又∵AD= 21
AB
∴DE= 21AD= 2
1
×3.7=1.85（m ）
三、 综合应用，知识升华
己知：如图，在△ABC 中，AB=AC=4㎝，∠ABC=∠ACB=15°， CD 是腰AB 上的高，求CD 的长。
引导学生学会分析：15°×2=30°而30°角在RT △中， 可根据所学性质求解，学生讨论，合作完成。 解：∵∠ABC=∠ACB=15°
∴∠DAC=2×15°=30° 又∵∠D=90° ∴DC=
21AC ∴DC= 2
1
×4=2㎝
四、 反馈小结，布置作业
学生总结：回忆动手操作的过程，把如何动手实践，如何把实践知识转化为理论知识，又如何利 用所学知识解决问题，用语言阐述出来。
师总结：同学们的实践能力、理解、分析、解决问题的能力都在进一步提高，充分肯定学生的突出表现。
作业：课后练习。
讷河五中 巩海霞
A
B
C
D
初中数学八年级上册教案
初中数学八年级上册教案 一、说教材：这节课主要是通过测量操作活动认识平行四边形，了解平行四边形 对边平行且相等，对角相等，并掌握平行四边形底和高的概念，初步会画出平行 四边形底上的高。 说教法：新教材的引入方法与以往的不同，是采用两条等宽色带进行交叠后产生 的四边形来引入平行四边形的。首先突出的是平行四边形“面”的形象，然后再 到“边”(面的边缘)。教学分两两个环节。第一步是认识平行四边形。让学生观 察两条互相平行的透明色带交叠出的四边形，进而观察这些四边形的特点。学生 通过操作、比较、思考后发现：这些四边形的两组对边分别平行，然后引导学生 小结平行四边形的定义，并给出数学记号。让学生找生活中的平行四边形的例子，一方面可以丰富对平行四边形的表象，另一方面加深学生“对两组对边分别平行”的认识。 第二步是认识平行四边形的底和高。平行四边形的底和高是相对的，而非绝对的。平行四边形的任何一条边都可以为底边，那么从底边的对边上的一点出发做底边 的垂线，该点与垂足之间的线段就是该底边上的高。然而“高”的概念对学生来 说不容易建立，以为学生在生活经验中的高，往往是身高、树高、塔高等，指的 是直立于地面上的对象的高度，隐含着垂直的定义。因此教材中，我从垂线这一 概念引入，再通过垂线段建立起高的概念，同时进行操作观察，这些高的位置与 关系。从中得出：同一底边上可以画出无数条高，这些高的长度都相等，但在一 般情况下，我们只要作一条高就可以了。并在此基础上进行拓展，如形外高的操作，或者底不是水平方向的怎样操作高等，从而拓宽了学生对平面图形中“高” 的认识。 19.1平行四边形 [知识与能力目标]：1、通过操作活动认识平行四边形。2、掌握平行四边形底和 高的概念，并初步会画出平行四边形底上对应的高。 [过程与方法] [情感目标]：让学生享受学习的快乐，分享成功的喜悦。【教学重点】：会画出 平行四边形底上对应的高。【教学难点】：会画出平行四边形底上对应的【教学 过程】 一、创设情景、激发兴趣
人教版初中数学八年级下册教材分析
人教版初中数学八年级下册教材分析 义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级下册包括5章，约需62课时，供八年级下学期使用。具体内容如下： 第16章分式（约14课时） 第17章反比例函数（约8课时） 第18章勾股定理（约8课时） 第19章四边形（约18课时） 第20章数据的分析（约14课时） 本册书的5章内容涉及《数学课程标准》中“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容。 一、内容分析 “第16章分式” 本章主要研究分式及其基本性质，分式的加、减、乘、除运算，分式方程等内容。这些内容分为三节安排。 第16.1节类比着分数的概念、基本性质、约分、通分给出了分式的相对应的概念，这些内容为后面两节的学习打下理论基础。第16．2节讨论分式的四则运算法则，并学习分式的四则混合运算；最后，教科书结合分式的运算，研究了整数指数幂的问题，将正整数指数幂的运算性质推广到整数范围，并完善了科学记数法。本节内容是全章的重点，其中分式的混合运算也是全章的一个难点。第16．3节讨论分式方程的概念和解法，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。根据实际问题列出分式方程，即是本章重点又是难点。 “第17章反比例函数” 本章的主要内容包括反比例函数的概念、图象和性质，以及用反比例函数分析和解决实际问题等。本章是继“一次函数”后的又一章函数的内容。全章分为两节：第17.1节反比例函数，第17.2节实际问题与反比例函数，全章内容紧紧围绕着实际问题展开，实际问题是贯穿全章的一条主线。 第17.1节主要研究反比例函数的概念、图象和性质，是本节的重点。通过分析画出的函数的图象，得到反比例函数的性质。第17.2节的内容是利用反比例函数分析、解决实际问题，是本章的难点。 “第18章勾股定理” 本章主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理，包括它们的发现、证明和应用。全章分为两节，第18.1节是勾股定理，第18.2节是勾股定理的逆定理。 在18.1节中，教科书从毕达哥拉斯观察地面发现勾股定理的传说谈起，让学生通过观察计算从而发现勾股定理，之后研究了勾股定理在解决实际问题和解决数学问题的应用，使学生对勾股定理的作用有一定的认识，是本章的重点。第18.2节是研究勾股定理的逆定理，它是判定一个三角形是直角三角形的方法，这在数学和实际中有广泛应用，让学生学会运用这种方法解决问题。本章的难点是这两个定理的综合应用。 “第19章四边形” 本章主要研究一些特殊四边形的概念、性质和判定方法。对于特殊的四边形，把它们分成两类：平行四边形，梯形。对于平行四边形，除了研究一般的平行四边形外，还研究了矩形、菱形和正方形等几种特殊的平行四边形。
初中数学八年级上册教案有哪些
初中数学八年级上册教案有哪些 13.2.3三角形全等的条件(三) 教学目标 1.三角形全等的条件：角边角、角角边. 2.三角形全等条件小结. 3.掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件. 4.能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题. 教学重点 已知两角一边的三角形全等探究. 教学难点 灵活运用三角形全等条件证明. 教学过程 Ⅰ.提出问题，创设情境 1.复习：(1)三角形中已知三个元素，包括哪几种情况? 三个角、三个边、两边一角、两角一边. (2)到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种?各是什么? 三种：①定义;②SSS;③SAS. 2.在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢? Ⅱ.导入新课
问题1：三角形中已知两角一边有几种可能? 1.两角和它们的夹边. 2.两角和其中一角的对边. 问题2：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为 4cm，?你能画一个三角形同时满足这些条件吗?将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律? 将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等. 提炼规律： 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角 边角”或“ASA”). 问题3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三 角形ABC，?能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢? ①先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长. ②画线段A′B′，使A′B′=AB. ③分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、 ∠EB′A，使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA. ④射线A′D与B′E交于一点，记为C′ 即可得到△A′B′C′. 将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等. 两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定.我们是不 是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的 两三角形全等”呢?
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初中数学 2010—2011学年度第二学期期中试卷八年级数学（满分：150分 测试时间：120分钟）一二三总分合分人题号1-89-1819202122232425262728得分一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案前的字母填入下表相应的空格 ） ．如图，数轴上所表示的不等式组的解集是 （ ）A 、x≤2 B 、－1≤x≤2 C 、－1＜x≤2 D 、x ＞－1．在代数式① ；② ； ③ ；④中，属于分式的有 （ x 25y x +a -211-πx ） A 、①② B 、①③ C 、①③④ D 、①②③④．若反比例函数的图象经过点（-1,3)，则这个函数的图象一定经过点（ k y x =A 、(,3) B 、(,3) C 、(-3,-1) D 、(3,-1)1313-．若=，则的值为 （ a b b -13a b A 、 B 、 C 、 D 、 32233443 题号12345678答案2011.04设过程中，要加强看护关件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时正常工况下与过度工作下中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。资料试卷安全，并且尽可此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷
初中数学5．如图所示,点P 是反比例函数y=图象上一点,过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线, k x 如果构成的矩形面积是4,那么反比例函数的解析式是 ( )A 、y=- B 、 y= C 、y=- D 、y=2x 2x 4x 4x 6．不等式21x ＜2的非负整数解有 （ ）A 、 4个 B 、 5个 C 、3个 D 、2个7．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是 （ ） （第7题）A 、B 、C 、D 、8．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线, 称得它的质量为克，再称a 得剩余电线的质量为克, 那么原来这卷电线的总长度是 ( ) b 、（+1）米 C 、（+1）米 D 、（+1）米b +1b a a +b a a b 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题目中的横线上）9．不等式的解集为 。13x -≥-10．若当x 满足条件___________，分式有意义。121+x 11．点A 在函数的图像上，则点A 的坐标可为 。（写出一个即可）6y x =-12．在比例尺为1︰20000的地图上测得AB 两地间的图上距离为8cm ，则AB 两地间的实际距离为 km 。13．已知反比例函数（x<0），当m 时，y 随x 的增大而增大。 32m y x -=14. 使不等式成立的最小整数解是 。2010x x +>??->?问题，而且可保障中，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。荷下高中资料试卷调控试况下与料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系试卷总体配置时，需要卷安障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。
人教版八年级上册数学知识点汇总
人教版八年级上册数学知识点汇总第十一章全等三角形 1．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。 2．全等三角形的判定：三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等（SAS）、两角和它们的夹边（ASA）、两角和其中一角的对边对应相等（AAS）、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。 3．角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等 4．角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。 5．证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 6．第十二章轴对称 1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。 2．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3．角平分线上的点到角两边距离相等。 4．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
5．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 6．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 7．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 8．点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y） 点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y） 点（x,y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x,-y） 9．等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。 10．等腰三角形的判定：等角对等边。 11．等边三角形的三个内角相等，等于60°， 12．等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 有两个角是60°的三角形是等边三角形。 13．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 14．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 第十三章实数 ※算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。0的算术平方根为0；从定
初中数学八年级下册 测试卷
八年级第一学期期末调研 学校 班级 姓名 成绩 一、 选择题（本大题共30分，每小题3分） 第1~10题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中． 1.斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案.下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是 A . B . C . D . 2.2019年被称为“5G 元年”．据媒体报道，5G 网络的理论下载速度为1.25GB/s ，这就意味着我们下载一张2.5M 的照片只需要0.002s ，将0.002用科学记数法表示为 A ．2210-? B ．3210-? C ．20.210-? D ．30.210-? 3.下列运算结果为6a 的是 A ．32a a ? B ．93a a - C ．()3 2a D ．183a a ÷ 4.在下列因式分解的过程中，分解因式正确的是 A ．()2 2 242x x x ++=+ B ．2 4(4)(4)x x x -=+- C ．() 2 2 442x x x -+=- D ．()2 2 42x x +=+ 5.如图，经过直线AB 外一点C 作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K ，使点K 和点C 在AB 的两旁． （2）以点C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和E ．
（3）分别以点D 和点E 为圆心，大于1 2 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F ． （4）作直线CF ． 则直线CF 就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定．．．是等腰三角形的为 A ．△CDF B ．△CDK C ．△CDE D ．△DEF 6.有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为()2 a b +，则宽为 A ． 1 2 B ．1 C ． () 1 2a b + D ．a b + 7.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的动点（点D 与B ，C 不重合），△ABD 和△ACD 的面积分别表示为S 1和S 2，下列条件不能．． 说明AD 是△ABC 角平分线的是 A .BD =CD B .∠ADB =∠AD C C .S 1=S 2 D .AD = 12 BC 8.如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC 全等的三角形是 A ．△AEG B ．△ADF C ．△DFG D ．△CEG D C B A 2(a+b ) ab a 2a b b 2 B C F G D E
(完整)北师大版初中数学八年级上册教材分析
北师大版初中数学八年级上册教材分析 摘自：《慈利县教师进修学校》 一、教材总体思路分析 1.本册书的主要内容有：实数、一次函数、二元一次方程组；勾股定理、图形的平移与旋转、四边形、位置的确定；数据的代表。 其中无理数的发现、实数系统的建立和函数概念是本学段知识的重点也是和难点，实数是进一步学习的基础；而函数以及函数思想与其他知识的广泛联系也是重心之一。 勾股定理及其逆定理是初等几何中最基本、最重要的定理之一。通过拼、摆或图形的割、补，使得这一重要几何事实得以确认。由于发现及证实它成立的方式非常多且富于变化，因此对学生有很大的吸引力。《图形的平移与旋转》是新增加的内容，通过学习，可以把静止的图形看成是基本图形经过位移而得到，提供了对复杂图形进行分析的新视角，还可以对“几何变换”有直观的感受。《位置的确定》从源头上突出了坐标法产生的思想，直角坐标系是实现坐标法的一种选择，建立坐标系把数轴拓展到平面，是数形结合与转化的桥梁。“变化的鱼”以直观生动的形式加强了几何变换与坐标表示及坐标变化联系起来，从数与形两个方面感受图形变化的数学内涵。 在统计与概率领域，本册提供了刻画数据平均水平的三种量度，力图让学生掌握一定的数据分析的方法，更好地处理数据。 2.教材设计与内容的组织有如下考虑。 （1）无理数的发现可以从理论的角度引发，出现在勾股定理之前。教科书遵循了人类认识数学的历史顺序，把勾股定理放在实数学习的前面，成为发现无理数的直观背景，自然地表明无理数存在的客观性，同时对无理数研究的必要性作出合理的解释。实数集中的实数与数轴上的点一一对应并不像想像的那样容易被学生接受，说服的办法也是借助几何解释和理性思考。这样处理须注意在学习勾股定理时，边长的数据应暂时在有理数范围内选取，在此两章学完之后，可以回过头来在实数范围内重新讨论勾股定理及其应用。在我们讨论一个平方等于2的数时，发现它是一个无限不循环小数，进一步引出无理数的定义。无理数概念的产生，同时也是对有理数概念的强调，应重视在现实背景中对实数运算意义的理解和应用，加强对估算的要求。 （2）先研究图形的平移和旋转，再进行四边形性质的探索，这样几何变换就不仅仅是一个具体的知识点，而且作为一个工具去研究几何图形（如平行四边形）的性质，增加了一个考察问题的视角。在《图形的平移与旋转》一章中，通过观察和归纳，概括出变换的概念；通过操作和思考，探索出变换的相关性质；通过作图和图案设计体察复杂图形中部分与整体之间的关系；在下一章中通过探索四边形的性质加深对变换自身的理解，逐步形成结构性认识。教学中突出其方法特性，充分发挥其数学教育价值。 （3）一次函数的学习放在二元一次方程组的前面，有两个好处：首先，可以使得学生有机会尝试借助图象研究函数特征的过程，以加深对函数意义的理解；其次，用函数的观点来认识和考察二元一次方程（方程组），给出方程的一种直观解释，而且从方法的角度更具有一般性和启发性，也体现了函数的运用。教材中介绍了二元一次方
最新初中数学八年级上下册精品学案
初中数学八年级上下册精品学案
新人教版初中数学八年级（上下册）精品学案 12．3．1．1 等腰三角形（一） 教学目标 1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质． 3．等腰三角形的概念及性质的应用． 教学重点： 1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用． 教学难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，?并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，?还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ 有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． 问题：那什么样的三角形是轴对称图形？ 满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，?也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形． 我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．导入新课： 要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形． A C A B I
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L 的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形． 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角． 思考： 1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？ 3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？ 4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？?底边上的高所在的直线呢？ 结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线． 要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系． 沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，?而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高． 由此可以得到等腰三角形的性质： 1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
苏教版初中数学八年级下册教案 全册
苏教版小学数学八年级下册教案（全册） 第七章 教学目标与要求： （1）了解不等式的意义，掌握不等式的基本性质。 （2）会解一元一次不等式（组），能正确用轴表示解集。 （3）能够根据具体问题中的数量关系，用一元一次不等式（组），解决简单的问题。 知识梳理： （1）不等式及基本性质； （2）一元一次不等式（组）及解法与应用； （3）一元一次不等式与一元一次方程与一次函数。 1不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式 2不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。 3不等式的性质：○1不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 ○2不等式的两边都乘（或除以）一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边都乘（或除以）一个负数，不等号的方向改变。 4解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似。 但是，在不等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数时，必须根据这个数是正数，还是负数，正确地运用不等式的性质2，特别要注意在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向。 5用一元一次不等式解决问题步骤：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量的及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键字“眼”，如“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”等的含义。 （2）设：设出适当的未知数。 （3）列：根据题中的不等关系，列出不等式。 （4）解：解出所列不等式的解集。 （5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 6一元一次不等式组： 由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集，求不等式组解集的过程叫解不等式组。 一元一次不等式组解决实际问题的步骤：与一元一次不等式解决实际问题类似，不同之处在与列出不等式组，并解出不等式组。 7一元一次不等式与一元一次方程、一次函数 当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量范围时，可以用一元一次不等式（组）确定另一个变量取值的范围。
初中数学八年级上册教案
1 1 1 1 1 1 1 1 11/2 1/2 1/2 1/2 2 1 §2-1数怎么又不够用了(1) 教学目标：1、通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性； 2、会用自己的语言说明一个数不是有理数。 教学重点：借助图形判断一条线段是否是有理数线段。 教学难点：寻找有理数线段的方法。 教学过程： 一、问题引入 有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形。 （1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ （2）A可能是整数吗？说说你的理由。 （3）A可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。 通过一个简单的动手活动引入新课，把学生的思维和学习的积极性调动起来，然后紧接着提出本节课的主要问题，引起学生的思考和讨论，让学生体会到现实生活中确实存在着不是有理数的数。 教师应鼓励学生充分进行思考、交流，并适时给予引导：“12=1，22=4，32=9，...越 来越大，所以a不可能是整数”“ 2 1 ? 2 1 = 4 1 ， 9 4 3 2 3 2 = ?，…结果都为分数，所以a不可能是分数”“两个相同的最简分数的乘积仍然是分数“等。 结论：在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数。 二、做一做 （1）如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是 多少？ （2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ （3）b是有理数吗？ 数a、b确实存在，但都不是有理数。 进一步丰富无理数的实际背景，使学生体会到无理数在现实生活中是大量存在的。教师可以引导学生自己举一些类似的无理数的例子。 三、随堂练习 1、如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h 分数吗？
新人教版八年级数学上册知识点总结归纳
新人教版八年级上册数学 知识点总结归纳 1 第十一章三角形 第十二章全等三角形 第十三章轴对称 第十四章整式乘法和因式分解 第十五章分式 第十一章三角形
1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“?”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”，读作“三角形ABC”。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）
把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。8、三角形的面积=2 1 ×底×高 多边形知识要点梳理 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。 凸多边形 分类1： 凹多边形 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 分类2： 多边形 非正多边形： 1、n 边形的内角和等于180°（n-2）。 多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。
浙教版初中数学教案八年级下全集
1.1二次根式 目标： 1.理解二次根式的含义，掌握二次根式中根号内字母取值氛围的求法。2.能运用二次根式的概念解决有关问题。3.体会数学知识的不断拓广是为了工作、生活的需要，提高学好数学的自觉性。 教学重点： 二次根式的概念。 教学难点：例1的第（2）（3）题学生不容易理解。 教学过程： （1）4的平方根是 ； （2）0的平方根是 ； （3）-16的平方根是 ； （4）9的算术平方根是 ； （5）面积为5的正方形的边长是 . 答案：（1）2±；（2）0；（3）没有；（4）3； （5）5. 师：（5）面积为5的正方形的边长是多少呢？ 生1：2.5。 生2：2.5的平方等于6.25，生1把2 5.2算成5.25.2?了。 师：生2分析得非常不错，那么哪个正数的平方等于5呢？ 生（部分）：找不到。 师：这就是我们今天要学的§1.1二次根式，象“5”一样找不到一个数的平方为5时，我们就用符号“”来表示。“5”的算术平方根用“5”表示。 设计目的：让学生通过填空，回忆起平方根和算术平方根的概念，（5）的主要设计意图是为符号“ ”的引入埋下伏笔（当一个数的算术平方根无法用学过的数表示时，必须引 进新的知识）。 平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 算术平方根的概念：正数的正平方根和零的平方根，统称算术平根。用)0(≥a a 表示。 合作学习： 根据下图所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的条件，完成以下填空： 直角三角形的边长是： ； 正方形的边长是： ； 即课本P 4 的填空：s 2。 师：你认为所得的各代数式的共同特点是什么? 各代数式的共同特点： （b – 3）cm2 ) (2cm s
初中数学八年级数学实验版(上)
年级数学实验版（上） 第13章测评卷 一、选择题（每小题4，分共48分） 1.下列图形中是轴对称图形的是（） 2.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点 C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点 3. 下列图案中有且只有在条对称轴的是（） 4.已知点P（2，1），那么点P关于x轴对称的P＇的坐标是（） A. P＇（－2，－1） B . P＇（－2，－1） C. P＇（－，2） D. P＇（2，1） 5.下列两个三角形中，一定是全等的是（） A. 有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形 B. 两个等边三角形 C. 有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形 D.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形 6.如图△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（） A. ．20 B. 12 C. 14 D. 13 A B C D A B C D E C B D A
7. 如图△ABC中，AB＝AC，以AB、AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC＝40°，则∠ABC的度数为（） A. 75° B. 80° C. 70° D. 85° 8.在直角坐标系中，已知A（2，－2），在y轴上确定一点定P，使△AOP为等边三角形，则 符合条件的点P共有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.5个 9.等腰三角形的一个角是50°，它的一腰上的高与底边的夹角是（） A. 25° B. 40° C. 25°或40° D.不能确定 10.如图，在等边三角形ABC中，中线AD、BE交于F， 则图中共有等腰三角形共有（）xK b1.C om A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 11.如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中 点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点 P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重 合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折 痕与AD交于点P3；…；设P n-1D n-2的中点为D n-1，第n次将纸片折叠，使点A与点D n-1重合， 折痕与AD交于点P n（n＞2），则AP6的长为（） A. 5 ×35 212 B. 36 5×212 C. 5 ×36 214 D. 37 5×211 12.如图，等边△ABC中，AB＝2，D为△ABC内一点，且DA＝DB， E为△ABC外一点，且∠EBD＝∠CBD，连接DE、CE则下列结论： ①∠DAC＝∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB＝30°；④若EC∥AD，则 S△EBC＝1，其中正确的有（） 二、填空题（每小题4，分共24分） 13.如图，若△ACD的周长为7cm，DE为AB的垂直平分线，则AC ＋BC＝. 14. 已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角 是°. 15. 如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC 于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是． A B D C E A B E C D
最新人教版数学八年级上册教案全册
新人教版八年级上册数学教案 第11章三角形 教材内容 本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等。 三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 教学目标 〔知识与技能〕www. 12999. com 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和等于1800，了解三角形外角的性质。 4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。 5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点。 课时分配 11.1与三角形有关的线段……………………………………… 2课时 11.2 与三角形有关的角………………………………………… 2课时 11.3多边形及其内角和………………………………………… 2课时 本章小结………………………………………………………… 2课时 11.1.1三角形的边 [教学目标] 〔知识与技能〕 1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形； 2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. 〔过程与方法〕 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 〔情感、态度与价值观〕
初中数学八年级数学试卷
0 1 2 －1 XXXXXX 学年度第二学期期中试卷 八年级数学 （满分：150分 测试时间：120分钟） 题号 一 二 三 总分 合分人 1-8 9-18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 得分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案前的字母填 入下表相应的空格 ） 1．如图，数轴上所表示的不等式组的解集是 （ ） A 、x ≤2 B 、－1≤x ≤2 C 、－1＜x ≤2 D 、x ＞－1 2．在代数式①x 2 ；②5y x + ； ③a -21 ；④1-πx 中，属于分式的有 （ ） A 、①② B、①③ C 、①③④ D、①②③④ 3．若反比例函数k y x =的图象经过点（-1,3)，则这个函数的图象一定经过点（ ） A 、(13,3) B 、(13-,3) C 、(-3,-1) D 、(3,-1) 4．若a b b -=13，则a b 的值为 （ ） A 、 32 B 、 23 C 、 34 D 、 43 5．如图所示,点P 是反比例函数y=k x 图象上一点,过点P 分别作x 轴、y?轴的垂线, 如果构成的矩形面积是4,那么反比例函数的解析式是 ( ) A 、y=-2x B 、 y=2x C 、y=-4x D 、y=4x 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 得分 评卷人 学校 姓名 考试号 班级 密 封
6．不等式2 1x ＜2的非负整数解有 （ ） A 、 4个 B 、 5个 C 、3个 D 、2个 7．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是 （ ） 8．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线, 称得它的质量为a 克，再称得剩余电线的质量为b 克, 那么原来这卷电线的总长度是 ( ) A 、 b+1 米 B 、（b a +1）米 C 、（a+b a +1）米 D 、（a b +1）米 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题目中的横线上） 9．不等式13x -≥-的解集为 。 10．若当x 满足条件___________，分式1 21+x 有意义。 11．点A 在函数6y x =-的图像上，则点A 的坐标可为 。（写出一个即可） 12．在比例尺为1︰20000的地图上测得AB 两地间的图上距离为8cm ，则AB 两地 间的实际距离为 km 。 13．已知反比例函数32m y x -=（x<0），当m 时，y 随x 的增大而增大。 14. 使不等式2010 x x +>??->?成立的最小整数解是 。 15．如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且AB=9， AC=6，AD=3，若使△ADE 与△ABC 相似，则AE 的长为_______。 16．甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植树6棵，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等。若设甲班每天植树x 棵，则根据题意可列出方程 。 （第7题） A 、 B 、 C 、 D 、 得分 评卷人
初中数学八年级下册知识点
第十六章二次根式 1.二次根式的定义： （0 a≥）的式子叫做根式； a 叫做二次根号； 根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方 数为0； 2.二次根式的性质： ①0 a≥ 0（双重非负性） ② 2= a（0 a≥） 运算顺序：先做开方运算，再做乘方运算； ③ a（0 a≥） a =（0 a≥） 运算顺序：先做乘方运算，再做开方运算； 3.二次根式的乘法法则： = b ab ?a b =（0,0 a b ≥≥） （主要用于化简） a b a b ==（0,0 a b ≥≥） 2002年八年级下册数学知识点学习
4.二次根式的除法法则： a a b b = ?a a b b = （0,0a b ≥＞） （主要用于化简） 5.二次根式的乘方法则：2= a a a a a a == （0a ≥） 2= ()a a a a = （0a ≥） 6.最简二次根式： ① 被开方数不含有分母（小数）； ② 被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式； 7.同类二次根式：化简后的最简二次根式的被开方数相同； 8.二次根式的加减运算方法：① 不是最简二次根式的要先化成最简二次根式； ② 是最简二次根式，只把二次根式系数想加 减，二次根式不变照写； 9.二次根式乘除混合运算：把系数相乘除，被开方数相乘除，再把它们的结 果相乘。 10.运用：① 二次根式概念运用； 字母有意义的取值范围。 两个字母组成的等式；（抓住被开方数≥0） ② 几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0； ③ 分母有理化 ④ 二次根式的化简求值； 第十七章 勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么
初中数学八年级数学试题
八 年 级 数 学 试 题 2010.6 （满分：150分，时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分）每题有且只有一个答案正确， 1．不等式24x <的解集是 A 2x < B 2x > C D 2．若分式 的值为0，则x 的值为 A 0 B 1 C 1-3．如图，直线1l ∥2l ，若155,265∠=?∠=?，则3∠为A 50? B 55? C 60? D 65? 4．反比例函数 的图象位于 A 第一、二象限 B 第三、四象限 C 第一、三象限 D 第二、四象限 5．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm 和4cm ，如果小多边形周长为15cm ，那么较大的多边形的周长为 A 15cm B 18cm C 20cm D 25cm 6．甲、乙两名工人加工某种零件，已知甲每天比乙多加工5个零件，甲加工80个零件和乙加工70个零件所用的天数相同．设甲每天加工x 个零件，则根据题意列出的方程是 12x >12 x <1 2 x x +-6 y x =-
A 5 70 80+=x x B x x 70580=- C x x 70580=+ D 5 70 80-=x x 7．给出下面四个命题： (1) 全等三角形是相似三角形 (2) 顶角相等的两个等腰三角形是相似三角形 (3) 所有的等边三角形都相似 (4) 所有定理的逆命题都是真命题 其中真命题的个数有 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 8．如图，,A B 是函数 的图象上关于原点对称的两点， BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则 A 2S = B 4S = C 24S << D 4S > 二、填空题(每小题3分,共30分)将答案填写在题中横线上. 9．如果11-=-a a ，那么a 的取值范围是 ． 10．在比例尺1∶8000000的地图上，量得甲地到乙地的距离为6厘米，则甲地到乙地的实际距离为 千米． 11．已知 54y x =，则=-x x y ． 12．命题“面积相等的三角形是全等三角形”的逆命题是： ． 13．已知线段10AB =, 点C 是线段AB 上的黄金分割点(AC ＞BC)，则AC 长 是 (精确到0.01) ． 第8题图 2 y x =
人教版初中数学八年级上册
人教版初中数学八年级上册第十二章轴对称 12．1 轴对称（一） 知识与技能 1、通过生活中的具体实例认识轴对称，让学生掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念。 2、能识别简单的轴对称图形及其对称轴。 3、了解轴对称图形与两个图形关于某直线对称的区别和联系。 过程与方法 1、通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴。 2、经历观察、分析的过程，训练学生观察、分析的能力。 情感态度与价值观 通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生主动参与数学活动的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高． 教学重点：轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念。 教学难点：比较观察轴对称图形与两个图形关于某直线对称的区别和联系。 教学过程 一、创设情境，引入新课 师：用白纸剪出蜻蜓、房子、飞机等图片让学生欣赏，问：你想学会这种手艺吗？想明白其中的道理吗？引入新课，板书课题。 生：把学生收集的材料以小组为单位在黑板上展示。 二、师生互动，探究新知 师：我们先来看黑板上几幅图片（房子、蜻蜓、飞机、风筝），有没有一种平衡美或对称美的感受？同学们知道是怎样剪出来的吗？ 师：现在请同学们拿出准备的剪纸、枫叶、正方形、正三角形等图形，你能将它们沿某条直线对折，使直线两旁的部分完全重合吗? 教师与学生共同动手操作，很快完成。 师：很好！同学们把书翻到29页看书上的图案具有什么特点？ 生：是的，也可以沿一条直线对折，使直线两旁的部分重合。 师：太好了!我们把这样的图形叫做轴对称图形．（由学生尝试说出轴对称图形的定义） 如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）?对称。
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