二次根式的乘法和除法

5.2 二次根式的乘法和除法

5.2.1 二次根式的乘法

（第5课时）

教学目标

1、 使学生会逆用算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算。

2、 通过逆用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算培养学生逆向思维

能力.

重点、难点

重点：逆用积的算式平方根的性质进行二次根式的乘法运算。

难点：二次根式乘法结果的化简

教学过程

一 、创设情景，导入新课

1 复习：

1

米的长方形空地上种草皮，如果草皮每平方米a 元，那么这块空地铺满草皮需要多少元？（学生独立作）

估计学生会用下面方法：

（1

元，（2

≈7.3×2.4=17.52a,（元）

(元

)

18a ===

分析：方法1的结果还不明朗，方法2的结果是近似值，方法3的结果是准确

是什么运算？（二次根式的乘法），这节课我们来学习---4.2.1

二次根式的乘法。

二 合作交流，探究新知

1 二次根式乘法的法则

（1）

，这样计算对吗？你是根据什么法

则想到这样计算的呢？

吗？

二次根式相乘，等于把它们的被开方数相乘。

2 二次根式乘法的初步应用

例 1 计算：（1

（2）

解：

(2)

点评：二次根式相乘，把被开方数相乘后，一定要将被开方数化简，化简的方法是把每个因数分解质因数，写成的形式，再用积的算式平方根的性质和进行化简。

例2 计算下列各式，其中a ≥0,b ≥

解：（1

00)00)ab a b a b =≥≥=≥≥，，00)a b =≥≥，==210=?==?=2a b (0)a a =≥3==

（2）

三 应用迁移，巩固提高

1 二次根式乘法在实际问题中的应用

例3 如图矩形ABCD 的两条对称轴为EF ，MN ，其中E,F ，

M ，N 分别在边AB,DC ，AD ，BC 上，连接ME ，EN ，NF ，FM ，

则四边形ENFM 是菱形，设

，试问：

菱形

ABCD 的周长和面积是多少？

(1)交流解题方法，求周长先要求出边长，可用勾股定理

求面积可用菱形的面积等于对角线的积的一半。

（2） 学生独立完成，教师点评

解：∵四边形MENF 是菱形，

∴MO=MN=

AB=,OF=EF=BC=,MN ⊥EF,

Rt △MOF 中， ∴菱形ABCD

的周长为：，

面积为： 2 二次根式乘法在比较大小中的应用

例4 不求值比较的大小 （1）

（2

214570=?==?=,BC =12121212121232MF ====3462?=12MN EF ?===

， 变式：比较

（2）∵

四 课堂练习，巩固提高1 P162 练习 1, 2

补充：2计算：（

1）, (2)

3 等腰梯形

ABCD

底角为60

cm,求等腰梯形的面积。

五 反思小结，拓展提高 这节课你有什么收获？（二次根式相乘，就是逆用积的二次根式的性质，注意结果要化简）

六、作业P 165 习题5.2 A 组 1,

(22224520==?=((2222399218===?=--222=(222=<<(（(D C B A

(完整版)二次根式乘除法练习题

12．6二次根式的乘除法 知识回顾:： 1、（1） 94?= = ； 9 4?= = ； （2）169?= = ； 16 9?= = ； （3）b a ? ab （a ≥0，b ≥0）． 2、（1） = 949=_________；（2） = 81 4=_________;（3） = b a （a ≥0， b ＞0）． 目标解读:： 1.理解并掌握二次根式乘法和除法法则，并会进行简单的二次根式的乘除法运算. 2.理解最简二次根式的意义及条件，把所给的二次根式化为最简二次根式. 3.理解分母有理化的意义，并会进行分母有理化. 基础训练: 一、选择题 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） 2. == ==，以下判断正确的是（ ） Ａ．甲的解法正确，乙的解法不正确 Ｂ．甲的解法不正确，乙的解法正确 Ｃ．甲、乙的解法都正确 Ｄ．甲、乙的解法都不正确 3. 已知 a b ==的值为（ ） Ａ．5 Ｂ．6 Ｃ．3 Ｄ．4 4. = ） Ａ．1x <且0x ≠ Ｂ．0x >且1x ≠ Ｃ．01x <≤ Ｄ．01x << 5. =x y ，满足的条件为（ ）

Ａ． x y ? ? < ? ≥ Ｂ． x y ? ? > ? ≤ Ｃ． x y ? ? < ? ≤ Ｄ． x y ? ? > ? ≥ 6. ；结果为（） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7. 给出下列四道算式： （1 ）4 =-（2 ） 1 1 4 =（3 ）=（4 ） ) a b => 其中正确的算式是（） Ａ．（1）（3）Ｂ．（2）（4）Ｃ．（1）（4）Ｄ．（2）（3） 8. ） Ａ．- Ｂ． Ｃ．±Ｄ．30 9. 下列各组二次根式中，同类二次根式是（） ， Ｂ． Ｄ ． ，10. 下列各式中不成立的是（） 2x = 32 == 54 1 99 =-=- Ｄ．4 = 11. 下列各式中化简正确的是（） ab = = 1 3 2 = b = 12. 给出四个算式： （1 ）=2 ）=3 ）6 =（4）

【八年级】2020苏科版数学八年级下册122二次根式的乘除word导学案1

【关键字】八年级 12.2二次根式的乘除（1） 学习目标： 1. 经历二次根式乘法法则的探究过程，能运用二次根式的乘法法则：·＝（≥0，b≥0）进行乘法运算. 2. 理解积的算术平方根的意义，会用公式＝·（≥0，b≥0）化简二次根式. 重点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质 难点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的理解与运用 学习过程 一.【预习练习】初步运用、生成问题 1. 计算：（1）（2）（3） 2．化简:（1）（2）（3）（a≥0，b≥0） （4）（5） 二.【新知探究】师生互动、揭示通法 问题1. 计算：⑴·⑵·（3）3×2 (4) · (a≥0) 问题2：化简：（1）（2）（3）(x≥0)（4）(x≥0,y≥0) 问题3：已知等腰三角形的腰为，底边为，求这个等腰三角形的面积 问题4：判断下列式子是否正确，不正确的请予以改正： 三.【变式拓展】能力提升、突破难点 问题5：已知，求x的取值范围. 四.【回扣目标】学有所成、悟出方法 1. 二次根式的乘法法则：，即：二次根式相乘，实际上就是把相乘，而根号不变. 2. 由以上公式逆向运用可得积的算数平方根的意义：公式__________ ，即：积的算数平方根，等于积中各因式的的积. 五．当堂反应 1．若直角三角形两条直角边分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（）A．3cm B．3cm C．D． 2．化简得（） A．22 B．． D. 3．等式成立的条件是（） A. B. C. D. 4．二次根式的计算结果是( ) A．2 B．-2 C．6 D．12

5. 计算：= 6. 化简:(1) 当时,= ;(2) 当时,= ; (3) 当时,= . 7. 计算:（1）（2）×（3）（4）（） 8. 化简: （1）（2）（3）（4）（） 9. 先化简，再求值： 此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！

二次根式导学案(人教版全章)

二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 。 三、学习过程 （一）复习回顾： （1）已知a x =2 ，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）自主学习 (1)16的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。 思考：16， 5 h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________ 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34)0(3 ≥a a ，12 +x 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2 )4( (2) （3）2)5.0( （4）2 )3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2 )(a ,利用此公式可以把任意一个非负 数写成一个数的平方的形式。 如(5)2 =5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2 . 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 （三）合作探究 例：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？ 解：由02≥-x ，得 2≥x 当2≥x 时，2-x 在实数范围内有意义。 练习：1、x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ③ 2、（1有意义，则a 的值为___________． （2）若 x 为（ ）。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子 x x +-121中，x 的取值范围是____________. (2)已知42 -x +y x +2＝0，则=-y x _____________. (3)已知233--+-= x x y ,则x y = _____________。 （四）达标测试 (一)填空题： 1、=??? ? ??2 53 2、若0112=-+-y x ，那么x = ，y = 。 3、当x = 时，代数式有最小值，其最小值是 。 ________ )(2=a x --2142 )3(

二次根式的除法说课稿

二次根式的除法说课稿 一、教材分析 本节内容是在积的二次根式性质的基础上学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质. 二、重点难点分析： 本节课是商的二次根式的性质及利用性质进行二次根式的化简与运算,利用分母有理化化简.商的算术平方根的性质是本节的主线，学生掌握性质在二次根使得化简和运算的运用是关键，从化简与运算由引出初中重要的内容之一分母有理化，分母有理化的理解决定了最简二次根式化简的掌握. 教学难点是二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.二次根式的除法与乘法既有联系又有区别，强调根式除法结果的一般形式，避免分母上含有根号.由于分母有理化难度和复杂性大，要让学生首先理解分母有理化的意义及计算结果形式. 三、教法运用： 1. 本节内容是在有积的二次根式性质的基础后学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质.教师在此过程中给与适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向. 2. 本节内容可以分为两阶段，第一阶段讨论商的算术平方根的性质，并运用这一性质化简较简单的二次根式（被开方数的分母可以开得尽方的二次根式）；第二阶段讨论二次根式的除法法则，并运用这一法则进行简单的二次根式的除法运算以及二次根式的乘除混合运算，这一课时运算结果不包括根号出现内出现分式或分数的情况。 3. 引导学生思考“想一想”中的内容，培养学生思维的深刻性，教师组织学生思考、讨论过程中，鼓励学生大胆猜想，积极探索，运用类比、归纳和从特殊到一般的思考方法激发学生创造性的思维. 四、教学目标

3.2 二次根式的乘除导学案第4课时

3.2 二次根式的乘除（4） 学习目标： 1、探究化去根号中的分母和分母中的根号的方法。 2、了解化简二次根式的结果中二次根式满足的条件。 教学过程： 一、复习 1、化简二次根式的结果中二次根式满足的条件：______________________ 2、计算与化简： ⑴2 8 ⑵9 16 ⑶ 22 224 6 52 a b a b x bx -- -÷ 二、探索与思考 ⑴9 7=_________ 方法是： a b =________________________________ ⑵2 3 =_________ 方法是： a b =________________________________ 例1、化去根号内的分母： ⑴2 3 ⑵12 3 ⑶2 3 y x （x＞0，y≥0） 例2、化去分母中的根号： ⑴2 3 ⑵1 5 ⑶ 2 3 y x （x＞0，y≥0）

从上述讨论中，我们可以看到，化简二次根式实际上就是使二次根式满足： ⑴________________________________________________________________ ⑵________________________________________________________________ ⑶________________________________________________________________ 练习：化简： ⑴25=________ ⑵135=________ ⑶35b a （a ＞0，b ≥0）=________ ⑷3 5=________ ⑸1 8=________ ⑹3512b a （a ＞0， b ≥0）=________ 探索与思考： 计算：⑴233?=________ ⑵()()5252+-=________ 化简： ⑴ 123 ⑵132 ⑶2121+- ⑷112321++- 课堂小结：__________________________________________________________ __________________________________________________________ 3.2 二次根式的乘除（4）巩固练习 1、计算： ⑴ 51 ⑵618 ⑶x 1（x ＞0） ⑷ a b 23（a ＞0, b ≥0） ⑸129 ⑹727

2019版九年级数学上册 21.2 二次根式的乘除法(2)导学案(新版)华东师大版

2019版九年级数学上册 21.2 二次根式的乘除法（2）导学 案（新版）华东师大版 年级 九 学科 数学 课型 新授 授课人 学习内容 二次根式的乘除法（2） 学习目标 1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。 2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。 学习重点 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。 学习难点 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 导 学 过 程 复备栏 【温故互查】 1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。 2、计算： （1）38×（-46） （2）3612ab ab 【设问导读】 自学课本第7页—第8页内容，完成下面的题目： 1、由“知识回顾3题”可得规律： 916______916 1636 ______1636 416_______416 2、利用计算器计算填空: （1）34=_______（2）23=_________（3）25 =______ 规律：34______34 23_______23 25 _____25 3、根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则： 。 把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质： 。 【自学检测】 1、 计算：

（1）123 （2）3128÷ 2、化简： （1）364 （2）22649b a 【巩固训练】 1、计算： （1） 482 （2） x x 823 （3）16 141÷ （4）2964x y 2、用两种方法计算： （1）648 （2）3 46 【拓展延伸】 阅读下列运算过程： 1333333==?，225255555 ==? 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。 利用上述方法化简： (1) 26=_________ （２）132 =_________

人教版数学八年级下册导学案：16.2-3二次根式的除法运算(综合)

__________ (0,0) ab a b =≥≥24 3 3 ___________________ ===（） -35210 =___________=__________=_______ ?（2）4 5 _________________ ===（）4 8 （）3 2.5 （）1 32 （）2 40（）1500（）( ) (0,0)( ) a a b b =≥>______ (___0,___0)a a b b =( )( ) (___0,___0)( ) ( )a a a b b b = =1 147 =__________=__________=____ ?（）5 5 590 ______________________ ===（）6 6 3______________________ a ===（）212x （）2343（）2243a （）第五课时：二次根式的除法运算（综合） 姓名_________ 一、学习目标 1、了解最简二次根式的概念,会化简二次根式。 2、能熟练进行二次根式的乘除混合运算。 二、学习重点、难点 重点： 化简二次根式,二次根式的乘除混合运算。 难点： 最简二次根式的概念及二次根式的化简。 三、学习过程 （一）知识准备 1、二次根式的乘法法则： ______ (0,0)a b a b =≥≥ 即: 二次根式相乘:根号_______,被开方数___________. 2、积的算术平方根的性质： 3、二次根式的除法法则1： 即: 二次根式相除:根号_______,被开方数___________. 二次根式的除法法则2： 4、商的算术平方根的性质： 5、计算： （二） 自主学习 知识点一:最简二次根式的概念： 1、观察上面第5题各题计算结果:你发现它们有什么特点? (1)______________________________________； (2)_____________________________________________； 我们把满足上面两个条件的二次根式，叫做___________________. 2、注意：二次根式运算的最后结果要化为最简二次根式．．．．．．，且分母不含二次根式．．．．．．．．。 3、例7 计算：（尝试完成，有问题听老师的讲解） 4、巩固提高 化简： 知识点二: 二次根式的混合运算

5、2 二次根式的乘法和除法

5、2 二次根式的乘法和除法 专题一 二次根式的乘除运算 1．计算2013201421)(21)-的结果是 （ ） A ．1 B ．－1 C 、21 D 、 21 2、 设a >,化简 a a ab b b 等于 _____________________、 4、 9966 x x x x --=--且x 为偶数,2221 1 x x x -+-的值． 52 21 2x x x --2x >）,然后选择一个合适的x 的值代 入求值．

专题二 二次根式的化简 6．把(1a b a b -- -化成最简二次根式正确的结果是 （ ） A ． a b - B ．b a - C ．b a -- D ．a b -- 7．若22120102011n +=+,则21n += （ ） A ．2011 B ．2010 C ．4022 D ．4021 8、 计算232217122-- （ ） A 、 54 2- B 、 421 C 、 5 D 、 1 9．已知m 20121 -,求54322011m m m --的值、

10．阅读下面的材料,解答后面给出的问题: 两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式 互为有理化因式,a 与 a 2121、 （1）请你再写出两个二次根式,使它们互为有理化因式： 、 这样,化简一个分母含有二次根式的式子时,采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的 方法就可以了,例如： .66 2339623) 33)(33()33(233236333232+=-+=+-+=-?=??= （2）请仿照上面给出的方法化简下列各式： );1(11;223223≠--+-b b b ②①

二次根式除法.doc

课题： 12.2二次根式乘除(3) 设计人：张超审核人：八年级数学备课组班级：姓名【学习目标】 1、经历二次根式除法法则的探究过程，进一步理解除法法则 2、能运用法则a = a （a≥0，b＞0）进行二次根式的除法运算b b 3、理解商的算术平方根的性质a = a （a≥0，b＞0）并能运用于二次根式的化简和b b 计算 【学习重点】二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质【问题导学】 1.填空： （1）9 =________， 9 =_________（2） 16 =________， 16 =________ 16 16 36 36 （3）4 =________， 4 =________ 1616 1.通过观察，二次根式的除法法则是什么？ 2.把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质【展示交流】 例 1、计算： ⑴ 12 ⑵ 56 ⑶ 27 ÷ 3 ⑷ 1 2 ÷ 1 3 7 3 3 跟踪练习： （1）60 ；（ 2）72 ；（ 3）18÷6；（ 4） 2 2 ÷ 1 1 ； 15 8 3 3

例 2：化简： ⑴ 16 ⑵ 1 7 3 ⑷ 4b 2 ⑶ 2 （ a＞ 0， b≥ 0） 25 9 16 9a 跟踪练习： （1） 4 ；（ 2）35 ；（ 3） 3 ；（4） 9a2 b2 （a≥ 0，b≥ 0，c＞0）； 9 9 49 16c2 例 3、计算过程：20 = 5 4 = 5 4 = 4 =2 正确吗？为什么？ 5 5 5 【课堂检测】 补充习题44 页、 45 页 【思考】计算： 3 1 ÷（ 2 2 1 ）×（ 4 1 2 ） 353 5 点拨：当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。 【课后作业】练习册54页、55页 【学习反思】

(完整版)二次根式乘除法(含答案)

一、知识聚焦： 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 5．最简二次根式： 符合以下两个条件：（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。6．分母有理化：把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化” 二、经典例题： 例1．化简 (0 x ≥y ,0≥ 例2．计算 2 5?3 15 ? 2 例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： = 例4．化简： ,0 x)0 ≥y x ≥y (> >b )0 (> (≥ ,0 ,0 a)0 （4 例5．计算： 例6．下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？

(1)b a 23 (2) 2 3ab (3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6)xy 8 例7. 把下列各式化为最简二次根式： (1)12 (2)b a 245 (3)x y x 2 例8. 把下列各式分母有理化 例9. 比较3223和两个实数的大小 答案： 例 例2. （1（2）303 （3） （4）6 例3. (1)不正确． ×3=6 (2) 例4.（1） 83 （2）a b 38 （3）y x 83 （4）y x 135 例5.（1）2 （2）23 （3）2 （4）22 例6．(3)，(4)，(5)是，其它不是 例7．(1)23, (2) b a 53, (3) xy x 例8. (1)21 14 4- (2) b a b a a ++2 例9. 3223> 三、基础演练： 1. ②× 2.化简

二次根式的乘除(第一课时)学案

二次根式的乘除（第一课时）学案 第一课时 教学内容 a≥0，b≥0〕〔a≥0，b≥0〕及其运用． 教学目标 〔a≥0，b≥0〕〔a≥0，b≥0〕，并利用它 们进行运算和化简 教学过程 一、复习引入 1．填空 〔1=______； 〔2=_______． 〔3． 参考上面的结果，用〝>、<或＝〞填空． ×_____，×_____，× 2．利用运算器运算填空 〔1，〔2 〔3〔4， 〔5． 二、探究新知 〔学生活动〕让3、4个同学上台总结规律． 老师点评：〔1〕被开方数差不多上正数； 〔2〕两个二次根式的乘除等于一个二次根式，?同时把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一样地，对二次根式的乘法规定为 反过来: 例1．运算 〔1〔2〔3〔4

分析：a≥0，b≥0〕运算即可． 解：〔1 〔2 〔3 〔4 例2 化简 〔1〔2〔3 〔4〔5 〔a≥0，b≥0〕直截了当化简即可． 解：〔1×4=12 〔2×9=36 〔3×10=90 〔4 〔5 三、巩固练习 〔1〕运算〔学生练习，老师点评〕 ①②×2 (2) 化简:; 教材P11练习全部 四、应用拓展 例3．判定以下各式是否正确，不正确的请予以改正： 〔1 〔2=4

解：〔1〕不正确． ×3=6 〔2〕不正确． 五、归纳小结 本节课应把握：〔1＝〔a≥0，b≥0〕〔a≥0，b ≥0〕及其运用． 六、布置作业 1．课本P151，4，5，6．〔1〕〔2〕． 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题 1，?那么此直角三角形斜边长是〔〕． A．cm B．C．9cm D．27cm 2．化简〕． A B． D． 311 x-=〕 A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 4．以下各等式成立的是〔〕． A．． C．× D．× 二、填空题 1． 2．自由落体的公式为S=1 2 gt2〔g为重力加速度，它的值为10m/s2〕，假设物体下落的 高度为720m，那么下落的时刻是_________． 三、综合提高题 1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，?现将一部分水例入一个底面为

最新人教版八年级数学下册第十六章 二次根式导学案(全章)

第十六章 二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 （一）复习回顾： （1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）自主学习 (1)16的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满 足关系式25t h =。如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。 思考：16， 5 h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________ 4

1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34)0(3 ≥a a ，12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成 一个数的平方的形式。 如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2. 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 （三）合作探究 例：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？ 解：由02≥-x ，得 2≥x 当2≥x 时，2-x 在实数范围内有意义。 练习：1、x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ________ )(2=a 2)3(

曹顾张初中沪科版八下《二次根式的乘除》导学案

曹顾张初中沪科版八下《二次根式的乘除》 导学案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

课题 二次根式的乘除（3） 主备人：曹顾张初中 姚治进 审核：张登友 学习目标: (1)能运用法则 b a =b a （a ≥0，b ＞0）化去被开方数的分母或分母中的根号；. (2)能进一步明确二次根式化简结果中的被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式,也不含有分母.根式运算的结果中分母不含有根号。 学习重点：商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则的应用 学习难点：商的算术平方根的性质的理解与运用 学习过程： 一、情境创设 想一想: b a = （a__，b__）,b a = （a__，b__） 二、自学探究。 1．想一想：如何化去 3 1的被开方数中的分母呢? 2.请再举例试一试. 3. 议一议：如果上面 31首先化成31,那么该怎样化去分母中的根号呢? 三、合作研讨 1： 化去根号内的分母:

（1） 32 （2）312 （3）)0,0(32≥>y x x y 2. ：化去分母中根号: （1） 32 （2）51 （3）)0,0(32≥>y x x y 四、思维拓展 1. 当（a ≥0，b ＞0）时, b a = b b b a ??=2b ab =2b ab =b ab . 2. 当（a ≥0，b ＞0）时, b a =b b b a ??=b ab 五、小结 1.一般地,二次根式运算的结果中,被开方数中应不含有分母,分母中应不含有根号.那么应该怎样进行这两类二次根式的化简呢? 2.化简二次根式实际上就是使二次根式满足: (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; (2)被开方数中不含有分母; (3)分母中不含有根号. 六、当堂检测

4、八年级下册16.2.2二次根式的除法导学案

第2课时二次根式的除法学案学习目标 1.a b a b ≥0，b>0) a b a b (a≥0，b>0)及利用它们进行计算和化简. 2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行简单的计算和化简. (一):知识探究一 1．填空 （1 9 16 =________；（2 16 36 16 36 ； （3 4 16 =________ 4 16 ；（4 36 81 =________ 36 81 ． ． (4) 你能用语言表述吗? 2:自学反馈 计算：(1) 32 2 (2) 24 3 3 2 1 18 (4) 3:小组讨论 类比二次根式乘法法则的研究思路和方法,你还能得到什么?它的作用是什么？4:自学反馈 化简： 3 100 (3) 2 25 9 y x (x,y＞0) 9 16 11 115 26 . 27 75 )2(

(二):知识综合运用 1. 计算： 2.〖小组讨论并思考〗：还有其它方法吗？你来试一试. (三): 知识探究二 1.观察上面各小题的最后结果，比如 等，这些二次根式有哪些特点： (1)被开方数: (2)被开方数: 2.化简： (2)85； (四): 跟踪训练 2.下列根式是最简二次根式的是(C ) A .13 B .0.3 C . 3 D .20 3.化简 (1) 7100；(2)11549；(3) 2.5； (x,y ＞0) 4．计算并化简： (4)12x÷25y (五):课堂小结 (六):作业 p10 练习1，2，3习题：16.2 2，4. 【知识拓展】 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，S △ABC ＝18 cm 2，BC ＝ 3 cm ，AB ＝3 3 cm ， 1.。____________x 327)3(832)2(32)1(

数学人教版八年级下册二次根式的乘除法

二次根式的乘除 教学内容 a · b ＝ab （a ≥0，b ≥0），反之ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）及其运用． 教学目标 理解a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简 由具体数据，发现规律，导出a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）并运用它进行计算；?利用逆向思维，得出ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）并运用它进行解题和化简． 教学重难点关键 重点：a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）及它们的运用． 难点：发现规律，导出a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）． 关键：要讲清ab （a<0,b<0）=a b ，如(2)(3)-?-=(2)(3)--?--或(2)(3)-?-=23?=2×3． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空 （1）4×9=_______，49?=______； （2）16×25=_______，1625?=________． （3）100×36=________，10036?=_______． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． 4×9_____49?，16×25_____1625?，100×36________10036? 2．利用计算器计算填空 （1）2×3______6，（2）2×5______10， （3）5×6______30，（4）4×5______20， （5）7×10______70．

老师点评（纠正学生练习中的错误） 二、探索新知 （学生活动）让3、4个同学上台总结规律． 老师点评：（1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，?并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为 a · b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0） 反过来: ab =a ·b （a ≥0，b ≥0） 例1．计算 （1）5×7 （2）13×9 （3）9×27 （4）12×6 分析：直接利用a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）计算即可． 解：（1）5×7=35 （2）13×9=1 93?=3 （3）9×27=292793?=?=93 （4）12×6=1 62?=3 例2 化简 （1）916? （2）1681? （3）81100? （4）229x y （5）54 分析：利用ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）直接化简即可． 解：（1）916?=9×16=3×4=12 （2）1681?=16×81=4×9=36 （3）81100?=81×100=9×10=90 （4）229x y =23×22x y =23×2x ×2y =3xy （5）54=96?=23×6=36

二次根式的乘法与除法练习

二次根式的乘法与除法 (作业） 一、选择题 1．下列计算正确的是( )． A ．b a b a +=+2)( B ．ab b a =+ C ．b a b a +=+22 D ．a a a =?1 2．下列计算正确的是( )． A ．b a b a b a -=-+2))(2( B ．1239)33(2=+=+ C ．32)23(6+=+÷ D ．641426412)232(2-=+-=- 3．)32)(23(+-等于( )． A ．7 B ．223366-+- C ．1 D ．22336-+ 二、计算题(能简算的要简算) 1．).4818)(122(+- 2 . ).32 18)(8321(-+ 3．.6)1242764810(÷+- 4．.)18212(2- 5．?+?-221221 6.?--+?2 818)212(2 7．.)21()21(20092008-+ 8．.)()(22b a b a --+ 三、解答题 1．已知,23,23-=+=y x 求(1)x 2－xy ＋y 2；(2)x 3y ＋xy 3的值． 2．已知25-=x ，求4)25()549(2++-+x x 的值．

3．如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠B 的平分线BD 的长为4cm ，求这个三角形的三边长及面积． 图1 问题探究： 在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm ，宽为16cm 的长方形纸板上，剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上)．请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积． 参考答案 3．2cm 36,cm 34,cm 6,cm 32====?ABC S AB AC BC 问题探究：分三种情况计算： 图1 图2 图3 (1)当AE ＝AF ＝10cm 时(如图1)，S △AEF ＝50(cm 2) (2)当AE ＝EF ＝10cm 时(如图2)，BF ＝8(cm)，)cm (40212==??BF AE S AEF (3)当AE ＝EF ＝10cm 时(如图3)，?==?)cm (515),cm (512AEF S DF

二次根式的乘除2导学案03版

★★★ 九年级上期 数学导学案★★★ 课型： 新授课 21.1二次根式的乘除(二) 学习目标 1． 理解错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。及利用它们进行计算，能将二次根式化为最简二次根式。 2． 利用具体数据，通过练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简。 3． 在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，勇于发表自己的观点，在交流中获益。 学习重点难点： 1. 重点：理解错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。以及利用它们进行计算和化简。 2. 难点：发现规律，归纳出二次根式的除法规定。 情感态度与价值观： 培养学生的合作意识，学习由特殊推及一般的数学思想，让学生感受学习的乐趣。 学习方法 情境探索——尝试推理——归纳总结 知识链接 二次根式乘法的法则是什么？用公式表示 学习过程 一 创设情境 提出问题 问题1：计算下列各式： (1)错误！未找到引用源。________；错误！未找到引用源。______； (2)错误！未找到引用源。______；错误！未找到引用源。______. 二 探究新知 由上面的式子，你发现了什么规律？试根据你的发现推测下面的式子： (1)错误！未找到引用源。______错误！未找到引用源。；(2) 错误！未找到引用源。 ________错误！未找到引用源。并利用计算器验证你的推测。 及时总结： 一般的，我们对二次根式的除法作如下规定： 错误！未找到引用源。 编写人姓名 李玉芹 审核人姓名 贾明修 班级 姓名 编号 4

反过来：错误！未找到引用源。 三应用举例 问题1：计算：(1)错误！未找到引用源。；(2)错误！未找到引用源。；（3）错误！未找到引用源。；(4)错误！未找到引用源。. 分析：直接利用错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。 解： 问题2：化简：(1)错误！未找到引用源。；(2)错误！未找到引用源。；(3)错误！未找到引用源。；(4)错误！未找到引用源。. 分析：可以直接利用错误！未找到引用源。。 解： 四最简二次根式 一般的，错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。等这些二次根式都有如下两个特点： 1.被开方数不含分母； 2.被开方数中不能含有能开得尽的因数或因式。 我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式。 问题3：下列各式中，哪些是最简二次根式，哪些不是？请说明理由 (1)错误！未找到引用源。；(2)错误！未找到引用源。；(3)错误！未找到引用源。；(4)错误！未找到引用源。；(5)错误！未找到引用源。；(6)错误！未找到引用源。；(7)错误！未找到引用源。. 当堂检测： A 1.如果错误！未找到引用源。是二次根式，那么化为最简二次根式是____________。 A 2．化简错误！未找到引用源。的结果是_____________。

二次根式的乘法和除法

5.2 二次根式的乘法和除法 5.2.1 二次根式的乘法 （第5课时） 教学目标 1、 使学生会逆用算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算。 2、 通过逆用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算培养学生逆向思维 能力. 重点、难点 重点：逆用积的算式平方根的性质进行二次根式的乘法运算。 难点：二次根式乘法结果的化简 教学过程 一 、创设情景，导入新课 1 复习： 1 米的长方形空地上种草皮，如果草皮每平方米a 元，那么这块空地铺满草皮需要多少元？（学生独立作） 估计学生会用下面方法： （1 元，（2 ≈7.3×2.4=17.52a,（元） (元 ) 18a ===

分析：方法1的结果还不明朗，方法2的结果是近似值，方法3的结果是准确 是什么运算？（二次根式的乘法），这节课我们来学习---4.2.1 二次根式的乘法。 二 合作交流，探究新知 1 二次根式乘法的法则 （1） ，这样计算对吗？你是根据什么法 则想到这样计算的呢？ 吗？ 二次根式相乘，等于把它们的被开方数相乘。 2 二次根式乘法的初步应用 例 1 计算：（1 （2） 解： (2) 点评：二次根式相乘，把被开方数相乘后，一定要将被开方数化简，化简的方法是把每个因数分解质因数，写成的形式，再用积的算式平方根的性质和进行化简。 例2 计算下列各式，其中a ≥0,b ≥ 解：（1 00)00)ab a b a b =≥≥=≥≥，，00)a b =≥≥，==210=?==?=2a b (0)a a =≥3==

（2） 三 应用迁移，巩固提高 1 二次根式乘法在实际问题中的应用 例3 如图矩形ABCD 的两条对称轴为EF ，MN ，其中E,F ， M ，N 分别在边AB,DC ，AD ，BC 上，连接ME ，EN ，NF ，FM ， 则四边形ENFM 是菱形，设 ，试问： 菱形 ABCD 的周长和面积是多少？ (1)交流解题方法，求周长先要求出边长，可用勾股定理 求面积可用菱形的面积等于对角线的积的一半。 （2） 学生独立完成，教师点评 解：∵四边形MENF 是菱形， ∴MO=MN= AB=,OF=EF=BC=,MN ⊥EF, Rt △MOF 中， ∴菱形ABCD 的周长为：， 面积为： 2 二次根式乘法在比较大小中的应用 例4 不求值比较的大小 （1） （2 214570=?==?=,BC =12121212121232MF ====3462?=12MN EF ?===

【教案】二次根式的除法

【教案】二次根式的除 法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

二次根式的除法 【知识与技能】 1.理解 b a b a =（a ≥0,b ＞0）和b a b a =（a ≥0,b ＞0），并运用它们进行计算. 2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简. 3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式. 【过程与方法】 1.先由具体数据，发现规律，导出 b a b a = (a ≥0,b ＞0），并用它进行计算. 2.再利用逆向思维，得出 b a b a =（a ≥0,b ＞0），并运用它进行解题和化简. 3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式. 【情感态度】 通过探究b a b a =（a ≥0, b ＞0）培养学生由特殊到一般的探究精神；让学生推导b a b a =（a ≥0,b ＞0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力. 【教学重点】

1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0），b a b a =（a ≥0,b ＞0）及利用它们进行计算和化简. 2.最简二次根式的运用. 【教学难点】 发现规律，归纳出二次根式的除法规定.最简二次根式的运用. 一、情境导入，初步认识 （学生活动）请同学们完成下列各题. 1.写出二次根式的乘法规定及逆向公式. 2.填空： 3.利用计算器计算填空：

【教学说明】每组推荐一名学生上台阐述运算结果，最后教师点评. 二、思考探究，获取新知 刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定： b a b a =（a ≥0, b ＞0） 反过来, b a b a =（a ≥0,b ＞0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目. 例1 计算：