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人教版七年级数学上册知识大图

第一章：有理数

一、有理数的基础知识

1、三个重要的定义

（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；

（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；

（3）0即不是正数也不是负数，0是一个具有特殊意义的数字，0是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。

概念剖析：①判断一个数是否是正数或负数，不能用数的前面加不加

“+”“－”去判断，要严格按照“大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数”去识别。

②正数和负数的应用：正数和负数通常表示具有相反意义的量。

③所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；正整数、0、负整数统称为整数，正整数、0、负整数组成整数集合；

④常常有温差、时差、高度差(海拔差)等等差之说，其算法为高温减低温等等；

例1 下列说法正确的是( )

A、一个数前面有“－”号，这个数就是负数；

B、非负数就是正数；

C、一个数前面没有“－”号，这个数就是正数；

D、0既不是正数也不是负数；

例2 把下列各数填在相应的大括号中 8，

，0.125，0，

，

，

，

正整数集合

整数集合

负整数集合

正分数集合

例3 如果向南走

米记为是

米，那么向北走

米记为是 ____________, 0米的意义是______________。

例4 对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量2克，记作+2克，那么

克表示_________________________

知识窗口：正数和负数通常表示具有相反意义的量，一个记为正数，另一个就记为负数，我们习惯上把向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、高于海平面等等规定为正，把相反意义的量规定为负。

例5 若

，则

是；若

，则

是；若

，则

是；若

，则

是；（填正数、负数或0）

2、有理数的概念及分类

整数和分数统称为有理数。

有理数的分类如下：

（1）按定义分类：（2）按性质符号分类：

概念剖析：①整数和分数统称为有理数，也就是说如果一个数是有理数，则它就一定可以化成整数或分数；

②正有理数和0又称为非负有理数，负有理数和0又称为非正有理数；

③整数和分数都可以化成小数部分为0或小数部分不为0的小数，但并不是所有小数都是有理数，只有有限小数和无限循环小数是有理数；

例6 若

为无限不循环小数且

，

是

的小数部分，则

是（）

A、无理数

B、整数

C、有理数

D、不能确定

例7 若

为有理数，则

不可能是（）

A、整数

B、整数和分数

C、

D、

3、数轴

标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。

数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。

画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。

在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。

概念剖析：①画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可；

②数轴的方向不一定都是水平向右的，数轴的方向可以是任意的方向；

③数轴上的单位长度没有明确的长度，但单位长度与单位长度要保持相等；

④有理数在数轴上都能找到点与之对应，一般地，设

是一个正数，则数轴上表示数

的点在原点的右边，与原点的距离是

个单位长度；表示数

的点在原点的左边，与原点的距离是

个单位长度。

⑤在数轴上求任意两点a、b的距离L,则有公式

，这两个公式选择那个都一样。

例8 在数轴上表示数3的点到表示数

的点之间的距离是10，则数

；若在数轴上表示数3的点到表示数

的点之间的距离是

，则数

。

例9 a,b两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（）

A、 a+b＜0

B、 ab＜0

C、

＜0 D、

例10 下列数轴画正确的是（）

4、相反数

如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。

0的相反数是0，互为相反的两个数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。

概念剖析：①“如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”，不要茫然的认为“如果两个数符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”。

②很显然，数

的相反数是

，即

与

互为相反数。要把它与倒数区分开。

③互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边，一个在原点的右边，且离原点的距离相等，也就是说它们关于原点对称。

④在数轴上离某点的距离等于

的点有两个。

⑤如果数

和数

互为相反数，则

+

=0；

或

；

⑥求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“—”即可；

例如

的相反数是

；

例11 下列说法正确的是（）

A、若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数，一个负数；

B、如果两个数互为相反数，则它们的商为-1；

C、如果

+

=0，则数

和数

互为相反数；

D、互为相反数的两个数一定不相等；

例12 求出下列各数的相反数

①

②

③

④

例13 化简下列各数的符号

①

②

③

④

知识窗口：①一个数前面加上“—”号，该数就成了它的相反数；

②一个数前面的符号确定方法：奇数个负号相当于一个负号，偶数个负号相当于一个正号，而与正号的个数无关。

5、绝对值

数轴上表示数

的点与原点的距离叫做数

的绝对值。

（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。

（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a表示如下：

（3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

概念剖析：①“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离”，而距离是非负，也就是说任何一个数的绝对值都是非负数，即

。

②互为相反数的两个数离原点的距离相等，也就是说互为相反数的两个数绝对值相等。

例14 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数是( )

A、互为相反数

B、相等

C、积为0

D、互为相反数或相等

例15 已知ab>0,试求

的值。

例16 若|x|=-x，则x是_________数；

例17 若│x+3∣+∣y—2∣=0，则

= ；

例18 将下列各数从大到小排列起来

0、

、

、

例19 如果两个数

和

的绝对值相等，则下列说法正确的是（）A、

B、

C、

D、不能确定

二、有理数的运算

1、有理数的加法

（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。

例20 计算下列各式

①（– 3）–（– 4）+7 ②

③

+

（2）有理数加法的运算律：

加法的交换律：a+b=b+a；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)

知识窗口：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。

例21 计算下列各式

①

②

2、有理数的减法

（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。

（3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；

概念剖析：减法是加法的逆运算，用法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可转化。

转化后它满足加法法则和运算律。

例22 计算：

例23 月球表面的温度中午是

，半夜是

，中午比半夜高多少度？

例24 已知

是6的相反数，

比

的相反数小5，求

比

大多少？

3、有理数的乘法

（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。

（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)；交换律：a(b+c)=ab+ac。

（3）倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1，那么a和b 互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。

概念剖析：①“两个有理数相乘，同号得正，异号得负”不要误认为成“同号得正，异号得负”

②多个有理数相乘时，积的符号确定规律：多个有理数相乘，若有一个因数为0，则积为0；几个都不为0的因数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。

③有理数乘法的计算步骤：先确定积的符号，再求各因数绝对值的积。

例25 计算下列各式：

①

②

③

④

4、有理数的除法

有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数。这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。