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高考数学总复习之三角函数(完整版)

三角函数总结及统练

一. 教学内容：

三角函数总结及统练

（一）基础知识

1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ

2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值

3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。

4. 三角函数线正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线A T=αtan

5. 同角三角函数的关系

平方关系：商数关系：

倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c

s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6.

7. 两角和与差的三角函数

??????

?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβα

βαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n (

8. 二倍角公式——代换：令αβ=

???????

-=-=-=-=?=ααααααααααα2

2222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin

降幂公式??????

?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα

半角公式：

cos 12

sin

α-±

=；2

cos 12

cos

α+±

=；

αααcos 1cos 12

tan

+-±

αα

cos 1sin sin cos 12

tan

9. 三角函数的图象和性质

10. 函数)sin(?ω+=x A y 的图象变换 0,0>>ωA

函数)sin(?ω+=x A y 的图象可以通过下列两种方式得到：

（1）?????????→?+=????→?=倍

横坐标缩短到原来的

图象左移ω

?1)sin(sin x y x y

)sin(?ω+=x y )sin(?ω+=?????????→?x A y A 倍

纵坐标伸长为原来的

（2）????→?=?????????→?=ω

ωω图象左移

倍

横坐标缩短到原来的

)sin(sin 1x y x y

)sin(?ω+=x y )sin(?ω+=?????????→?x A y A 倍

纵坐标伸长为原来的

（二）数学思想与基本解题方法

1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。

2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。

3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。

4. 角的和与差的相对性如：)(βαβ+=－α 角的倍角与半角的相对性

如：

2,22

αα==

6. 数形结合：心中有图，观图解题。

7. 等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。 8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。

【典型例题】

1. 如：

a b

x b a x b x a y =

++=

+=??tan ),sin(cos sin 2

（化成一个角的一个三角函数）

???

±=±=±

=±=±=±=)6sin(2cos sin 3)

sin(2cos 3sin )4sin(2cos sin πππx x x y x x x y x x x y ；

[例1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？

（1）x x x x x f 2

cos 3cos sin 2sin )(+?+=

（2）1cos sin sin )(2

+?+=x x x x f

解：

（1）

)

42sin(22π

=x y ，22max +=y ，

)

Z k k x ∈+

=π

)

3,22min Z k k x y ∈-

=ππ

（2）

)

42sin(2

3π

x y ，

3max +=

y ，)

3Z k k x ∈+

=ππ

3min -=

y ，

)

Z k k x ∈-

=π

2.“1”的妙用——凑一拆一熟悉下列三角式子的化简

)

sin(2cos sin cos sin 21π

ααααα+

+=?+

)

sin(

cos

sin

cos

sin

21sin 1π

α-

-=?-=-

2sin

2cos 1α

α=-；

2cos

2cos 1α

α=+

[例2] 化简=++

-8cos 228sin 12 。

答案：4sin 2-

[例3] 已知2tan =α，求：

（1）ααα

αcos sin cos sin -+ （2）ααα2

sin cos 32

sin -+

答案：（1）3；（2）14-

[例4] 已知

θπ

θ<<-=2

222tan ，求：θ

θθθcos sin 1

sin 2

cos

+--

答案：223+

4. ααcos sin ±与ααcos sin ?间的相互转化

（1）若t =+ααcos sin ，则2

1cos sin 2

t αα；1sin 2

-=t α；ααcos sin -=

2t -±

（2）若t =ααcos sin ，则t 21cos sin +±=+αα；t 21cos sin -±=-αα

（3）

αα

ααα2sin 2cos sin 1cot tan =

[例5] 化简：

cot

tan

。

答案：22

[例6] 若α在第二象限，

252

cos

sin

=+α

，求

2cos

sin

-。

答案：

23-

5. 互为余角的三角函数相互转化

若

2π

βα=

+，则βαcos sin =；βαsin cos =

[例7] 已知

41)3

sin(

+απ

，则

-)6

cos(

απ

。

答案：4

[例8] 求值：

?10cos 50sin 40sin 。

答案：21

[例9] 求值：=??54sin 18sin 。

答案：41

6. 公式的变形及活用

（1）]tan tan 1)[tan(tan tan βαβαβα +=±

（2）若

)tan 1)(tan 1(4

=++?=

+B A B A π

[例10] 计算=?+?+?+?+)45tan 1()3tan 1)(2tan 1)(1tan 1( 。

答案：23

[例11] =??-

?-?10tan 70tan 310tan 70tan 。

答案：3

7. 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性

[例12] 若2

)tan(,3

1tan =-=

αβα，则=βtan 。

答案：7

[例13] 若

cos

7)2

cos(5=+-

α，则

-2

tan

α 。

答案：6-

[例14] 在ABC ?中，A 为最小角，C 为最大角，且8.0)2cos(-=+C A ，8.0sin =B ，求)22cos(C B +的值。

答案：625 8. 角的范围的限定

由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。

[例15] 已知

)

,0(,3

1cos sin πααα∈=

+，求α2cos 。

答案：9

17-

[例16] 若α是第二象限角且

252

cos

sin

=+α

，求

2cos

sin

-的值。

解法一：利用公式

sin 1)

cos

(sin

-=-然后限定角的范围。

解法二：设

=-2

cos

sin

利用平方和求t 的值，然后限定角的范围。

解法三：利用

)

cos

)(sin

cos

(sin

-+αcos -=，可回避限定角的范围。

答案：

23-

9. 在三角形中的有关问题

?=++180C B A ；C B A -?=+180；22

C B

A -

+π

结论：C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+

2cos

sin

C B A =+；

2sin

cos

C B A =+

[例17] 已知A 、B 、C 是ABC ?的内角且2lg cos lg sin lg sin lg =--C B A ，试判断此三角形的形状。

答案：等腰三角形，B=C

[例18] 在锐角三角形ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++

证明：由

2π

+B A 则

0π

<-<

A B

故B A cos sin > 同理C B cos sin > A C c o s s i n > 三式相加，得证。

10. 形如ααααn

2cos 8cos 4cos 2cos ??的化简

[例19] 求值：（1）??72cos 36cos （2）

74cos

2cos

cos

πππ

答案：（1）41

（2）

81-

11. 三角函数图像和性质的应用

会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套”）；会解——简单的三角不等式、三角方程、比较大小。

[例20] 求下列函数的定义域。

（1）)sin(cos lg x y = （2）x

x y tan log

.0++=

答案：

（1）

)

)(2

2,2

2(Z k k k ∈+

ππ

（2）

]

4,[)2

0(ππ

[例21] 求下列函数的值域。

（1）]

,0[sin 2sin π∈+=

x x

x y

（2）若x 是锐角，则x x y cos sin +=的值域。

答案：（1）]

31,0[ （2）]2,

12. 可化为形如：B x A y ++=)sin(?ω的形式（一个角的一个三角函数） [例22] 已知函数x x x x y 2

sin

cos sin 32cos

3++=，求“一套”。

答案：

2sin(2++

=π

x y ，定义域：R ；值域：]4,0[，4max =y ，0min =y ；π=T

对称轴

)

Z k k x ∈+

π 增区间：

]

6,3

[π

ππ

π+

k k

减区间：

)

](3

2,6

[Z k k k ∈+

πππ

13. 函数B x A y ++=)sin(?ω的图像的变换——两个题型，两种途径

题型一：已知解析式B x A y ++=)sin(?ω确定其变换方法

变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与ω的关系题型二：由函数图像求其解析式B x A y ++=)sin(?ω

[例23] 已知函数)sin(?ω+=x A y ，（0,0>>ωA ，2π?<）在一个周期内，当6π=x 时，y 有最大值为2，当

32π=

x 时，y 有最小值为2-，求函数表达式，并画出函数)sin(?ω+=x A y 在一个周期内的简图。（用五点法列表描点）

答案：)

62sin(2π

=x y

14. 可化为形如：c bt at

y ++=2

，D t ∈（定义域有限制的一元二次函数）

[例24] 求函数

)cos 5)(cos 2(3

x x y -+=

的值域

解：]

,41[

[例25] 已知x a x y sin 2cos +=，若记其最大值为)(a g ，求)(a g 的解析式。

解：

41)2

(sin 2

a x y +

+--=，当2≥a 时，=)(a g a

当22<<-a 时，

41)(2

a g +

当2-≤a 时，a a g -=)( 15. 周期函数与周期

[例26] 已知函数)(x f y =对定义域中每一个x 都有)2()2(x f T x f =+，其中0≠T ，则)(x f 的周期。

解：T

[例27] 已知奇函数)(x f y =对定义域中每一个x 都有)()2(x f x f -=+成立，求其周期。

解：4

[例28] 已知奇函数)(x f y =对定义域中每一个x 都有)2()2(x f x f -=+成立，求其周期。

解：8

[例29] 已知奇函数)(x f y =对定义域中每一个x 都有

)(1

)3(x f x f =

+成立，求其周期。

解：6

[例30] 已知奇函数)(x f y =对定义域中每一个x 都有)(1)

(1)3(x f x f x f +-=

+成立，求其周期。

解：6

16. 函数与方程的思想

[例31] 方程x x =sin 100的解的个数。

解：63

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

1. 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？ x x x f 6

c o s s i n )(+=

2. 已知2tan =α，求：αααα2

2cos 3cos sin 2sin ++

3. 设

cos sin =

θθ，则=+θθcos sin 。

4. 求x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值和最小值。

5. 求值：

+??+

?+?40cos 170sin )

10tan 31(50sin 40cos 。

6. 若

cos sin -

=+θθ；),0(πθ∈，求θcot

7. 已知α、),0(πβ∈且

21)tan(=-βα，

tan -

=β，求βα-2的值。

8. a 为何值时方程0cos 2cos =++a x x 有解？

9. 方程0sin 2cos =+x a x ，],0[π∈x 有两解时求a 的值。 10. 求值：

（1）????80cos 60cos 40cos 20cos （2）??54sin 18sin 11. 求下列函数的定义域。 3t a n s i n lg +

=x x y

12. 已知函数x x x x y 2

sin

cos sin 32cos 3++=，当

]

4[π

π-

∈x 时，求函数的最大值和最小值及何时取到？

y 2sin

4312

=，1max =y ，

)

Z k k x ∈=

41m i n

=y ，

)

Z k k x ∈+=

2. 511

26±

4. 令x x t cos sin +=，

)1(2

t y ，]2,

2[-∈t ，

43min -

=y ，

3max +=

2 6.

34-

提示：关键是角的范围的限定，逐层限定角的范围，逐步求细。

解：

])tan[(tan =

+-=ββαα 1])t a n [()2

t a n (=+-=-αβαβα 又由π

βπ

<<2

得

2π

βπ-

<-<-，40π

α<

<得

220π

α<

则02<-<-βαπ故

432π

βα-

]

,2[-∈a 9. )1,(-∞∈a

10.（1）161

（2）41

11.

)

2,3

22()2

2,2(πππππ

ππ++

k k k k （Z k ∈）

12. 当4π

=x 时，32min -

=y ；

6π

x 时，4max =y

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2020年高考数学三角函数专题解题技巧

三角函数专题复习在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。二、典例剖析例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=．（Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值；（Ⅱ）求cos2θ的值．【解析】（Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-

高三数学三角函数经典练习题及复习资料精析

1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度，所得的部分图象如右图所示，则?的值为（） A ．6 π B ．3 π C ．12 π D ．23 π 2．已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6 π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3 π 个长度单位 3．若113sin cos αα +=sin cos αα=（） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-1 4．2014cos()3 π的值为（） A ．12 B ． 3 2 C ．12- D ．32 - 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -．2 1k - C 2 1k -．2 1k k -- 6．若sin a = -45 ，a 是第三象限的角，则sin()4 a π +=（）（A ）-7210 （B ） 7210 （C ）2 - 10 （D ） 210

7 ．若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα，且)2 ,4(ππα∈，则α2tan 的值为（） A ．3 4- B ．4 3- C ．4 3 D ．3 4 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C ．)(x f 的最大值为2 D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数2（ωφ），φ＜2 π的图象，那么 A.ω=11 10，φ=6 π B.ω=10 11，φ6π C.ω=2，φ=6 π D.ω =2，φ6 π 10．要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（） A ．向左平移3 π个单位 B ．向右平移3 π 个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12 π个单位 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象

高考数学三角函数知识点总结及练习

三角函数总结及统练一. 教学内容：三角函数总结及统练（一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系平方关系：商数关系：倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2

正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质函数 x y sin = x y cos = x y tan =

高考数学复习三角函数常用公式

2019年高考数学复习三角函数常用公式常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。以下是三角函数常用公式，请打击学习记忆。两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)++sin[+2*(n-1)/n]=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)++cos[+2*(n-1)/n]=0 以及 sin^2()+sin^2(-2/3)+sin^2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式： sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

2020高考数学二轮专题复习三角函数

三角函数【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式; 理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2π,2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解 ,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ω?=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等. 预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式. 2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二;

高考数学三角函数公式

高考数学三角函数公式同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα

高考数学三角函数复习专题

三角函数复习专题一、核心知识点归纳： ★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x = 图象定义域 R R ,2x x k k ππ?? ≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值当22 x k π π=+ () k ∈Z 时，max 1y =；当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,22 2k k π πππ? ? - + ??? ? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ??++??? ? ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ? ?+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 ★★2.正、余弦定理：在ABC ?中有: 函数性质

①正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ?外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ? =?? ? =?? ? =?? 注意变形应用 ②面积公式：111 sin sin sin 222 ABC S abs C ac B bc A ?= == ③余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? ? 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 二、练习题 1、角α的终边过点 b b 则且（,5 3 cos ),4,--=α的值（） A 、3 B 、-3 C 、3± D 、5 2、已知2π θπ<<,3 sin()25 πθ+=-，则tan(π-θ)的值为（） A ．34 B ．43 C ．34- D ．4 3 - 3、2(sin cos )1y x x =--是（） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 4、为得到函数πcos 3y x ? ?=+ ?? ?的图象，只需将函数sin y x =的图像（） A ．向左平移π 6个长度单位 B ．向右平移 π 6 个长度单位 C ．向左平移5π 6 个长度单位 D ．向右平移 5π 6 个长度单位 5、()sin()(0,0,||)2 f x A x A ωφωφπ =+>>< 是( ) A. y = 2sin(x -4π) B. y = 2sin(x +4π) C. y = 2sin (2x -8π) D. y = 2sin (2x +8 π )

(完整版)高中数学三角函数历年高考题汇编(附答案)

三角函数历年高考题汇编一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（）

高考数学总复习三角函数

高三数学二轮专题复习教案――三角函数一、本章知识结构：二、重点知识回顾 1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边α相同的角，都可以表示成k ·3600+α的形式，特例，终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上的角集合{α|α=k ·1800+900，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900，k ∈Z}。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算； ⑴角度制与弧度制的互化：π弧度ο 180=， 1801π = ο弧度，1弧度 ο )180 ( π ='1857ο≈ ⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式： Rl R S 21212==θ。 2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：（1）三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则： ,cos ,sin r x r y == ααx y =αtan （2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（3）特殊角的三角函数值 α 6π 4π 3π 2π π 23π 2π sin α 0 21 22 23 1 -1 cos α 1 23 22 21 0 -1 0 1

tan α 0 33 1 3 不存在 0 不存在 0 （3）同角三角函数的基本关系： x x x x x tan cos sin ; 1cos sin 22==+ （4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）: sin(πα-)＝sin α,cos(πα-)＝－cos α,tan(πα-)＝－tan α sin(πα+)＝－sin α,cos(πα+)＝－cos α,tan(πα+)＝tan α sin(α-)＝－sin α,cos(α-)＝cos α,tan(α-)＝－tan α sin(2πα-)＝－sin α,cos(2πα-)＝cos α,tan(2πα-)＝－tan α sin(2k πα+)＝sin α,cos(2k πα+)＝cos α,tan(2k πα+)＝tan α，()k Z ∈ sin(2 π α -)＝cos α,cos(2 π α -)＝sin α sin(2 π α +)＝cos α,cos(2 π α +)＝-sin α 3、两角和与差的三角函数（1）和（差）角公式 ①;sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=± ②;sin sin cos cos )cos( βαβαβαμ=±③βαβ αβαtan tan 1tan tan )tan(μ±= ± （2）二倍角公式二倍角公式：①αααcos sin 22sin =； ②ααααα2 222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；③ ααα2tan 1tan 22tan -= （3）经常使用的公式 ①升（降）幂公式： 21cos 2sin 2αα-= 、21cos 2cos 2αα+=、1 sin cos sin 22ααα =； ②辅助角公式：sin cos )a b ααα?+=+（?由,a b 具体的值确定）； ③正切公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-?. 4、三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘： ⑴最值的情况； ⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ω?=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上

高三数学三角函数经典练习题及答案精析

1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（） A C 3 ，则sin cos αα=（） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （）（A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（）

A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x =

于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π；增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．．

高考数学-三角函数大题综合训练

三角函数大题综合训练 1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．（1）求角C的值；（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．（Ⅰ）求△ACD的面积；（Ⅱ）若BC=2，求AB的长． 6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin （A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．

高考数学三角函数试题及解析

三角函数与解三角形一．选择题 1．（2014?广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（） A．B．C．﹣D．﹣ 2．（2014?广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D． 3．（2014?河南）若tanα＞0，则（） A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0 4．（2014?河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（） A．①②③B．①③④C．②④ D．①③ 5．（2014?四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度 C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度 6．（2014?陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（） A．B．πC．2πD．4π 7．（2014?辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增 C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增 8．（2014?江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（） A．﹣B．C．1 D． 9．（2014?福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（） A．y=f（x）是奇函数 B．y=f（x）的周期为π C．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称 10．（2014?安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（） A．B．C．D．二．填空题 11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为_________ ．

高考数学三角函数复习口诀

2019年高考数学三角函数复习口诀 2019年高考如何复习一直都是考生们关注的话题，下面是查字典数学网的编辑为大家准备的三角函数复习口诀。三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用； 1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂

降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；单靠“死”记还不行，还得“活”用，姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来，摒弃那些假话套话空话，写出自己的真情实感，篇幅可长可短，并要求运用积累的成语、名言警句等，定期检查点评，选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样，即巩固了所学的材料，又锻炼了学生的写作能力，同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等，达到“一石多鸟”的效果。利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题，方法很简单，每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换，可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解，也可让学生个人搜集，每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。这样，一年就可记300多条成语、300多则名言警句，日积月累，终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中，自然会出口成章，写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增色添辉。

高中数学三角函数各地历年高考真题汇编(附答案)

三角函数历年高考题汇编一.选择题 1、（2009）函数22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π 的偶函数 2、（2008）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为 2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（） 4.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)4 2sin(1π + +=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ．2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为

A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（）二.填空题 1.（2009宁夏海南卷文）已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则 712 f π ?? = ??? 。 2.（2009年上海卷）函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ . 3.（2009辽宁卷文）已知函数()sin()(0)f x x ω?ω=+>的图象如图所示,则ω ＝

2020高考数学专项复习《三角函数总结大全》

| x |2 + | y |2 x 2 + y 2 三角函数（一）任意角的三角函数及诱导公式 1. 任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角。旋转开始时的射线OA 叫做角的始边， OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫的顶点。为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 2. 象限角、终边相同的角、区间角角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差 2k π(k ∈Z)，即β∈{β|β=2k π+α，k ∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 5 5 区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α| ≤α≤ }=[ ， ]。 3. 弧度制 6 6 6 6 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角，记作 1 rad ，或 1 弧度，或 1(单位可以省略不写)。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 l 角的弧度数的绝对值是： = ，其中，l 是圆心角所对的弧长， r 是半径。 r 角度制与弧度制的换算主要抓住180? = rad 。弧度与角度互换公式：1rad ＝ 180 °≈57.30°=57°18ˊ； 1 ° ＝ ≈ 0.01745 （ rad ）。弧长公式： l =| | r （是圆心角的弧度数）；扇形面积公式： 180 S = 1 l r = 1 | | r 2 。 2 2 4 三角函数的定义:以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点 P (x , y ) ，点 P 到原点的距离记为 r (r = = > 0) ，那么 sin = y ； cos = x ； tan = y ；（ cot = x ； sec = r ； csc = r ） r r x y x y 利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P (x , y ) ,那么: (1) y 叫做的正弦,记做sin ,即sin = y ；（2） x 叫做的余弦,记做cos ,即cos = x ；（3） y 叫做的正切,记做tan ,即tan = x 5 三角函数的符号： y (x ≠ 0) 。 x 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们 y 可以得知： ① 正弦值对于第一、二象限为正 r （ y > 0, r > 0 ），对于第三、四象限为负（ y < 0, r > 0 ）； Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ sin + + －－ cos + －－ + tan + － + － cot + － + －

高考数学三角函数典型例题

| 三角函数典型例题 1 ．设锐角ABC ?的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小; (Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围. 【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1 sin 2 B = , 由ABC ?为锐角三角形得π6B = . (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π??+=+π- - ?6? ? cos sin 6A A π?? =++ ??? & 1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ?? ?. 2 ．在ABC ?中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ． (Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ?的最大值是5,求k 的值. 【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ． - 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) ∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵0