复变函数复习
不考内容
《复变函数》
第一章：§2.2 复球面
§2.4 区域
§5 第二部分：映射的概念
§6 复变函数的极限与连续性
第四章§1 复数项级数
第五章§3 留数在定积分上的应用
《积分变换》
第一章：傅立叶变换
第二章：§4 卷积
注意：第二章一般不算积分，除了周期函数的公式以外。
复变函数复习
第一章 复数与复变函数
1.复数的表示
(1)复数的代数表示:复数z = x + i y ,其中x,y 为实数.
(2)复数的几何表示:复数z = x + i y 可以用xy 平面上的点P(x,y)来表示,因而也能用原点指向P 点的平面向量来表示.
(3)复数的三角表示:复数()θθsin cos i r z += 复数的模 22y x r z +== 复数的辐角Argz=θ, ()x
y
Argz tg =
, 复数的辐角的主值argz Argz=argz+2k π(k 为整数). 规定-π＜argz ≤π 当0=z 时,|z |=0,辐角没有意义.
当∞=z 时,|z |=+∞,没有实部,虚部和辐角.
argz (0≠z )与反正切x y Arctg 的主值x y arctg ??? ??<<-22
ππ
x y arctg 的关系：
第一、四象限 x
y
arctg z =arg x ﹥0
第二象限 π+=x
y arctg z arg x ﹤0,y ﹥0
第三象限 π-=x
y
arctg z arg x ﹤0,y ﹤0
正虚轴 2
arg π
=
z x=0,y ﹥0 负虚轴 2
arg π
-=z x=0,y ﹤0
负实轴 π=z arg x ﹤0,y=0
(4)复数的指数表示：θi re z z =≠,0时
2.复数的运算设z 1= x 1+iy 1=()111sin cos θθi r +, z 2 = x 2+iy 2()222sin cos θθi r +=
(1)相等 z 1= z 2 ? x 1=x 2 y 1=y 2 (2)加(减)法 z 1±z 2=(x 1±x 2)+i(y 1±y 2) (3)乘法 z 1z 2=(x 1x 2-y 1y 2)+i(x 2y 1+x 1y 2)
()()[]212121)(21sin cos 21θθθθθθ+++==+i r r e r r i
(4)除法 2
22
121z z z z z z ??=
=
22
22
2
121y x y y x x +
++i
22
222
112y x y x y x +-()
212
1θθ-=i e r r )]sin()[cos(21212
1
θθθθ-+-=
i r r (z 2≠0) (5)乘幂 )sin (cos θθθn i n r e r z n in n n +==
特别 |z |=1时, (cos θ+isin θ)n =cosn θ+isinn θ (棣莫弗公式) (6)方根
,2sin 2cos
1
??
?
?
?
+++=
n
k i n k r z n n
π
θπθ ()1,,2,1,0-=n k Λ (7)共轭 z = x -iy=re
-i θ
, 21z z ±=1z 2z ±, 121z z z =2z , 2
1
21z z z z =???? ?? ;
z z = ; 22y x z z += ; x z z 2=+, iy z z 2=- .
注意:(1)在复数的运算中,除加减法用代数表示较方便外,其它运算宜采用三角表示,特别是用指数表示最方便.
(2)关于复数的模与辐角有以下计算公式:
2
121z z z z ?= , (
)212
1Argz Argz z z Arg +=
2121
z z z z = , Arg ???
? ??21z z =21Argz Argz - (z 2≠0) 3.复变函数的概念
复变函数的定义,极限,连续以及导数等概念在形式上几乎与实变函数完全相同.但需注意的是,复变函数的定义域是复平面上的点集,因此在
讨论有关概念时,应注意复变量z 变化方式的任意性,即z →z 0可以以任意方式(直线,曲线…),而一元实变函数中实变量x →x 0只能沿x 轴.
4.简单曲线是研究复变量的变化范围时经常用到的重要概念之一,特别是简单闭曲线经常作为区域的边界出现.在复变函数的积分运算中,常常需要把曲线表示为复参量的形式,通常用得最多的是一元实参量t 的复值函数 z=z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t ≤β) 其中 x=x(t), y=y(t) (α≤t ≤β) 是该曲线在直角坐标系中的参数方程.
第二章 解析函数
1. 复变函数的导数
(1)定义 函数w = f (z)在其定义域D 内一点z 0处(可导)的导数
()()()()()00000000
lim
lim lim z z z f z f z z f z z f z w
dz
dw z f z z z z z z --=?-?+=??==
'→→?→?= 若函数w = f (z)在区域D 内处处可导,称 f (z)在D 内可导. (2) f(z)在z 0可导
连续
(3)求导法则 若f(z),g(z)在点z 可导,则()1
-='
b b
bz
z
(b 为复数);
()()[]()()z g z f z g z f '±'='±; ()()[]()()()()z g z f z g z f z g z f '+'='
;
()()()()()()()[]z g z f z g z f z g z g z f '-'='??
????21
,()0≠z g .
()[]{}()()z g w f z g f ''='
,其中 ()z g w = . ()()
w z f ?'=
'1
,其中()z f w =与()w z ?=是两个互为反函数的单值函数,且 ()0≠'w ?.
2.解析函数
(1)定义 如果函数f(z)在z 0及z 0的邻域内处处可导,那末称f(z)在z 0
解析.如果f(z)在z 0不解析,则称z 0为f(z)的奇点. 如果f(z)在区域D 内每
一点解析,那末称f(z)在D 内解析,或称f(z)是D 内的一个解析函数. (2)性质 两个解析函数的和,差,积,商(分母不为零)及复合函数仍然解析 有理分式函数)()(z Q z P 在复平面内除了使分母为零的点外处处解析 (3)柯西-黎曼方程 (C-R 方程)
函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在定义域D 内(解析)一点iy x z +=可导?
u(x,y)与v(x,y)在(D 内)点(x,y)可微,并且满足C-R 方程 y
v x u ??=??,x v y u ??-=??.
推论 若f (z)在z 处可导, 则 ()y
u
i y v x v i x u z f ??-??=??+??=
' . 3.初等函数 定义 定义区域 单值多值性 解析区域 (1) 对数函数Lnz=lnz+2 kπi 整个复平面 多值 整个复平面
iArgz z Lnz +=ln (z ≠0) (除原点和负实轴)
(k=0,±1,±2,…) 主值分支z i z z arg ln ln +=
(2)乘幂 a b = e bL n a =e blna+2bk πi 多值
(k=0,±1,±2,…) 主值分支e b l n a
b 为正整数n 单值 整个复平面
n
b 1
= n 个分支 (除原点和负实轴)
定义 定义区域 解析区域 单值多值性 基本周期 奇偶性
(3)指数函数 e z
(4)双曲函数2z
z e e chz -+= 2πi 偶
2z
z e e shz --=
整个复平面 单值 奇
(5)三角函数2
cos iz
iz e e z -+=
2π 偶
i
e e z iz
iz 2sin --= 奇
第三章 复变函数的积分
1.积分的计算 ()()[]()t d t z t z f z d z f C '=??βα
光滑曲线C 参数方程: ()()()βα≥≤+==t t iy t x t z z ,, 正向t 增加
()
?+-C
n z z dz
1
0??
?≠==00
02n n i π
C 是包围z 0的任何一条正向简单闭曲线
2.积分的性质 f(z),g(z)沿曲线Ｃ连续
(1) ()()dz z f dz z f C C ??-=- ;
(2) ()()dz z f k dz z kf C C ??=;(k 为常数) (3) ()[()]()()dz z g dz z f dz z g z f C C C ???±=±
(4)设曲线C 的长度为L,函数f(z)在C 上满足()M z f ≤,那末
()()ML ds z f dz z f C C ≤≤??.
3.柯西-古萨基本定理 如果函数f(z)在单连域B 内处处解析，
那末函数f(z)沿B 内任何一条封闭曲线C 的积分为零: ()0=?dz z f C
.
推广:(1)闭路变形原理 在区域内的—个解析函数f(z)沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值,只要在变形过程中曲线不经过f(z)的奇点.
(2)复合闭路定理 设C 为多连域D 内的一条简单闭曲线，C 1，C 2，…，
C n 是在C 内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以 C ，C 1，C 2，…，C n 为边界的区域全含于D.如果f(z)在
D 内解析,那末
1) ()()dz z f dz z f n
k C C
K
∑??==1 ,其中C 及C k 均取正向.
2) 0)(=?Γdz z f ,这里г为由C 及C k ―
（k=1，2，…，n ）所组成的复
合闭路,其方向是:C 逆时针，C k ―
顺时针.
推论:(1) ()()dz z f dz z f Z
Z C ??=10
,Ｃ是连结z 0与z 1的任一曲线.
(2)函数()()??d f z F Z
Z ?=0
必为B 内的—个解析函数,并且()()z f z F ='.
5.原函数 如果在区域B 内φ/(z)=f(z),那末φ(z)称为f(z)在区域B 内的原函数 不定积分 ()()c z dz z f +=?? ,其中ｃ为任意复常数.
()()()0110
z z dz z f Z Z ??-=?
,其中z 0 ,z 1是B 内任意两点
6.柯西积分公式 如果f(z)在区域D 内处处解析,C 为D 内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z 0为C 内的任一点,那末
()()dz z z z f i z f C ?-=0
021
π 解析函数f(z)的导数仍为解析函数,上式两边形式上对z 0求n 阶导数得到
高阶导数公式 ()
()()()dz z z z f i n z f
C n n ?+-=1
002!π . 7.调和函数 如果二元实变函数φ(x,y)在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程
02
22
2=??+??y
x
??,那末称φ(x,y)为区域D 内的调和函数
任何在区域D 内解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部和虚部都是D 内的调和函数,并且其虚部v(x,y)为实部u(x,y)的共轭调和函数. 8.已知实部或虚部求解析函数
(1)偏积分法 如已知u(x,y),可利用柯西一黎曼方程 x u
y v ??=??,将x 当
成常数,对y 积分得 ()()x g dy x
u
y x v +??=?,,再利用 x v y u ??-=?? 确定g(x).
也可以利用 y
u
x v ??-=?? ,将y 当成常数，对x 积分得
()()y h dx y
u y x v +??-=?, ,再利用 y v
x u ??=?? 确定h(y).
(2)不定积分法 由于 ()x
v
i x u z f ??+??=', 利用柯西一黎曼方程得到
()()z U y
u
i x u z f =??-??=
' ,则 ()()c dz z U z f +=? .
或 ()()z V x
v i y v z f =??+??=
' ,则 ()()c dz z V z f +=? . 第四章 级数
1.幂级数 形为()()()()ΛΛ+-++-+-+=-∑∞
=n n n n n a z c a z c a z c c a z c 22100
或 ΛΛ+++++=∑∞
=n n n n n z c z c z c c z c 22100
的级数称为幂级数.
(1)阿贝尔定理 如果级数∑∞
=0
n n n z c 在()00≠=z z 收敛,那末对满足
0z z <的z,级数必绝对收敛. 如果在0z z =级数发散,那末对满足0z z >的
z,级数必发散.
(2)对于幂级数()n
n n a z c -∑∞=0
或 ∑∞
=0
n n n z c ,存在以a 或0为中心,R 为半径的
圆周C R .在C R 的内部,级数绝对收敛;在C R 的外部，级数发散.圆周C R 称为幂级数的收敛圆,收敛圆的半径R 称为收敛半径. 特别1)R=0,级数在复平面内除原点外处处发散
2)R=∞,级数在复平面内处处收敛 (3)对于幂级数∑∞
=0n n n z c ,如果λ=+∞→n
n n c c 1
lim
或λ=∞
→n n n c lim 那末收敛半径
λ
1
=
R .(包括R=0或R=∞)
(4)在收敛圆内幂级数()n n n a z c -∑∞
=0
的和函数f(z)是解析函数.在收敛圆
R a z <-内,式()()n
n n a z c z f -=∑∞
=0
,可进行有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)
运算和微积分运算.
2.泰勒级数 函数f(z)可在以展开中心z 0为圆心,z 0到f(z)的最近的一个奇点α的距离为半径R=|α-z 0|的解析圆域|z-z 0| ()()() ()n n n z z n z f z f 00 0!-=∑∞ = 泰勒展开式具有唯一性,因此可以借助于一些已知函数的展开式,利用幂级数的有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算来得出一个函数的泰勒展开式. 常用的已知函数的展开式为 ΛΛ+++++=-n z z z z 2111 , 1 +=!!3!2132n z z z z e n z 3.洛朗级数 函数f(z)可在以展开中心z 0为圆心的解析的圆环域 R 1<|z-z 0| -∞=, 其中 ()() ()Λ,2,1,0.211 0±±=-=?+n d z f i c C n n ???π 这里C 为在圆环域内绕z 0的任何一条正向简单闭曲线. 洛朗展开式具有唯一性,因此也可以借助于已知函数的展开式,利用幂级数的有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算来得出一个函数的洛朗展开式. 第五章 留数 1.孤立奇点的概念和分类 (1)定义 如果函数f(z)虽在z 0不解析，但在z 0的某一个去心邻域 δ<-<00z z 内处处解析，则将z 0称为f(z)的孤立奇点. (2)孤立奇点的分类和判定 z 0为f(z)的 ()z f z z 0 lim → f(z)在z 0的去心邻域内的洛朗级数 可去奇点 存在且有限 没有负幂项 极点 ∞ 有限多个负幂项 本性奇点 不存在且不为∞ 无穷多个负幂项 z 0是f(z)的m 级极点()() ()z g z z z f m 01 -= ? , 其中g(z)是在δ<-0 z z 内解析的函数，且 ()00≠z g . (3)函数的零点及其与极点的关系 不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成 ()()()z z z z f m ?0-= 其中 ()z ?在z 0解析并且()00≠z ?,m 为某一正整数,那末z 0称为f(z)的m 级零点. 如果f(z)在z 0解析，那末 z 0为f(z)的m 级零点 ? ()()()()()0,1,,2,1,0,000≠-==z f m n z f m n Λ z 0是f(z)的m 级极点?z 0是() z f 1 的m 级零点. 如果()()()z h z g z f =,而z 0是g(z)的m 级零点,h(z)的n 级零点,那末z 0为 () z f 1 的(n-m)级零点,为f(z)的(n-m)级极点. (4)函数在无穷远点的性态 如果函数f(z)在无穷远点∞=z 的去心邻域+∞< f(z)在+∞< n n z c c z c z f ∑∑∞ =-∞ =-+ +=1 01 其中 () ()Λ,2,1,0,211±±== ?+n d f i c C n n ?? ?π, C 为+∞< 洛朗级数 z=∞是f(z)的 ()z f z ∞ →lim 没有正幂项 → 可去奇点 ← 存在且有限 有限正幂项(最高m 次) → 极点(m 级) ← ∞ 无限正幂项 → 本性奇点 ← 不存在且不为∞ 2.留数与留数的计算 (1)留数定义 如果z 0为f(z)的一个孤立奇点,C 是z 0的去心邻域 R z z <-<00 内包围z 0的任意一条正向简单闭曲线,函数f(z)在此邻域内 展开成洛朗级数 ()()n n n z z c z f 0-=∑∞ -∞ =, 则 f(z)在z 0处的留数 ()[]()dz z f i c z z f s C ?= =-π21 ,Re 10 (2)留数定理 设函数f(z)在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z ,,,21Λ外 处处解析.C 是D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末 ()()[]∑?==n k k C z z f s i dz z f 1 ,Re 2π (3)留数的计算 1)可用洛朗级数计算 ()[]10,Re -=c z z f s 当z 0为可去奇点时, ()[]0,Re 0=z z f s ;当z 0为本性奇点时,只能用此法, 2)当z 0为一级极点时, ()[])]()[(lim ,Re 000 z f z z z z f s z z -=→ 若()()() z Q z P z f = ，P(z)及Q(z)在z 0都解析，如果()(),0,000=≠z Q z P ()00≠'z Q ，那末z 0为f(z)的一级极点，而 ()[]() () 000,Re z Q z P z z f s '= . 3)如果z 0为f(z)的m 级极点,那末 ()[]()()(){} z f z z dz d m z z f s m m m z z 01100lim !11,Re --=--→ 4.无穷远点处的留数 函数f(z)在圆环域+∞< ∞π21 ,Re . 如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那末f(z)在所有各奇点（包括∞点）的留数的总和必等于零. ()[]?? ? ??????? ??-=∞0,11Re ,Re 2z z f s z f s 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点 复变函数与积分变换期末试题（A ）答案及评分标准 复变函数与积分变换期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 231i -的幅角是（Λ2,1,0,23 ±±=+-k k ππ ）；2.)1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π+ ）；3. 211)(z z f += ， =)0() 5(f （ 0 ）； 4．0=z 是 4 sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 ) 1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在（ C ） （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析， 则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ D ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算 ? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； （3）计算?=++33 42215 d )2()1(z z z z z （4）函数3 2 32) (sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数) 1(1 )(2 -= z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<- 《复变函数与积分变换》教学大纲 课程名称：复变函数与积分变换 FunctionsofVariables&Transformations 课程性质：专业基础课 学分：3 总学时：48学时，其中，理论学时：48学时，实验(上机)学时：0学时， 适用专业:通信工程、电子信息工程等专业 先修课程：高等数学 一、教学目的与要求： 复变函数与积分变换是工科院校中数学要求较高专业的一门基础理论课程。复变函数以及与它密切相关的积分变换，它的理论和方法不仅在数学的其他的许多分支中，而且在其他自然科学和工程技术如电力工程、自动控制、信号分析和图像处理、材料成型等领域内获得广泛的应用，已成为不可缺少的运算工具。 通过本课程的学习，使学生掌握复变函数的基本理论和基本方法，傅立叶变换和拉普拉斯变换的思想与运算技巧，并在此基础上培养学生应用这些知识解决实际问题的能力，为后继专业课程的学习提供必要的数学工具。 第一章复数与复变函数（8学时） 第一节复数的概念与运算 一、复数的概念、表示法和运算 二、区域 第二节复变函数 一、复变函数的概念 二、复变函数的极限和连续 本章重点：复数的表示法、方根运算公式 本章难点：复变函数的极限与连续性 本章教学要求：掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算；熟悉复平面、模与辐角的概念；熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式；了解区域的概念；理解复变数学的概念；理解复变函数的极限和连续的概念。 第二章解析函数（5学时） 第一节解析函数的概念 一、复变函数的导数和解析的概念 二、复变函数解析的充要条件 三、解析函数的基本性质 第二节初等函数的解析性 一、指数函数、三角函数、对数函数 本章重点：复变函数解析的充要条件 本章难点：复变函数解析的充要条件 本章教学要求：理解复变函数的导数及复变函数解析的概念；掌握复变函数解析的C-R条件，并能利用C-R条件判断复变函数的可导性和解析性；掌握解析函数的基本性质；了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。 第三章复变函数的积分（6学时） 第一节复变函数的积分 一、复变函数的积分的定义与性质 第二节柯西定理与柯西公式 一、柯西积分定理、柯西积分公式 二、解析函数的高阶导数公式 本章重点：会求复变函数的积分，理解柯西积分定理 本章难点：掌握柯西积分公式、解析函数的高阶导数公式 本章教学要求：了解复变函数积分的定义及性质，会求复变函数的积分；理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式；掌握解析函数的高阶导数公式；了解解析函数无限次可导的性质；会综合利用各定理计算闭路积分。 第四章级数（5学时） 第一节复级数的基本概念 一、复级数的一般概念 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数， 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 复变函数与积分变换论文 题目：阐述复变函数与积分变换对电气自动化专业的作用 阐述复变函数与积分变换对电气自动化专业的作用 复变函数论是数学中一个基本的分支学科，它的研究对象是复变数的函数。复变函数论历史悠久，内容丰富，理论十分完美。它在数学许多分支、力学以及工程技术科学中有着广泛的应用。复数起源于求代数方程的根。通过学习《复变函数与积分变换》这门课程，我了解到它既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的强有力的工具，它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，同时老师也给我们了解到了更多关于复变函数的历史知识，让我更加对这门产生浓厚的学习兴趣。 《复变函数和积分变换》课程本身应该是一种将数学知识如何应用于工程的学科，是培养创新思维的非常重要的课程。这门课程对于培养创新人才具有特殊作用，而创新能力的基础是创新思维。复变函数和积分变换作为我们学校的电气工程自动化专业大 学生专业必修课，除了要求我们掌握复变函数和积分变换课程的基础知识、基本方法外，更重要的是要培养创新型的思维能力。让学生强化应用、重视实践、淡化专业、消灭书呆子，重视创新能力和实践能力的培养。 我们在复变函数和积分变换课程的学习中面对的处处都是创新模式，没有创新就不能学好该课程。复数域打破了实数域的限制、解析函数突破了二元函数和一元实函数的禁锢、洛朗级数克服了幂级数的局限性、拉普拉斯积分变换是傅里叶积分变换应用方面的创新等等。 在复变函数和积分变换的学习中，我们得到的不仅有作为科学创新基础的数学原理，还有一些创新思想方法，如解析函数高阶导数和积分变换中导数公式的归纳法思想、复数几何意义的直观性在初等几何中的应用思想、保形变换和积分变换中对称思维、两类积分变换应用的同中求异和理论中的异中求同、复势应用中的猜想与证明，观察与实验等等都体现了创新思维的火花。我们在学习中掌握了这些方法，有利于在今后的工作和生活中发挥巨大的作用。因此，复变函数和积分变换课程的教学，有助于学生创新思维能力的训练和培养。培养我们运用基本理论和方法解决实际问题的意识、兴趣和能力，尤其是解析函数在平面向量场中的应用，留数理论的应用，积分变换在解微分方程中的应用和求广义积分，培养我们打破思维定式，打破常规惯例，用新的眼光看复变函数和积分变换，就是说变量从实数到复数，积分从直线到曲线，尤其是封闭曲线。 我们从这门课程上可以学到傅里叶变换是一种对连续时间函数的积分变换。通过我们专业课的实验学习，深刻了解到傅里叶变换在处理和分析工程实际中的一些问题的重要作用。通过变换技术，从另一个角度对问题进行处理和分析，使问题的性质更清楚、更便于分析，也使问题的求解更方便，更便于解决。我以前总认为学这些东西没有用处，只是一些很落后和过时的理论，通过实验学习，我看到了它的重大作用。在我以后的学习中，也要在掌握基本理论的同时，去挖掘生活中的问题，并努力用所学的知识去解决，那样才能更好的理解和运用。我还学到积分变换可以把微分方程变换为初等方程，求解方便。另外求线性系统的响应，用积分变换不用考虑初始状态，非常方便。可以实现时域和频域的变换，方便对谐波进行分析计算。使用复频域的状态变量解法可以方便的用计算机对系统进行求解。 通过课程的学习，我们可以了解到，复数可以应用到现实中的数学建模，其在很多运算中都有者不可思议的性质和规律。复数的引入为人们解决实数域和物理科学提供了许多新的途径，打开了很多原本无法畅通的道路，无论是神奇的留数，还是保角映射，都为人类在解决非复领域上的问题提供了全新的思路与方便。 复变函数给我们一个新的概念，让我们不局限于实数的学习范围，给我们一个创新思维的学习。 实验一、复变函数与特殊函数图形的绘制 一、复变函数图形的绘制 例题：编程绘制出复变函数31/31 ，的图形。 z z , z 解： %experiment1.m close all clear all m=30; r=(0:m)'/m; theta=pi*(-m:m)/m; z=r*exp(i*theta); w=z.^3; blue=0.2; x=real(z); y=imag(z); u=real(w); v=imag(w); v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化 M=max(max(u)); m=min(min(u)); axis([-1 1 -1 1 m M]) caxis([-1 1]) %%指定颜色值的范围 s=ones(size(z)); subplot(131) mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图 hold on surf(x,y,u,v) %%画表面图 xlabel('x') ylabel('y') zlabel('u') title('z^3') hold off colormap(hsv(64)) %%画色轴 w=z.^(1/3); x=real(z); y=imag(z); subplot(132) for k=0:2 rho=abs(w); phi=angle(w)+k*2*pi/3; u=rho.*cos(phi); v=rho.*sin(phi); v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化 M=max(max(max(M,u))); m=min(min(min(m,u))); surf(x,y,u,v) %%画表面图 axis([-1 1 -1 1 m M]) hold on end s=ones(size(z)); mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图 xlabel('x') ylabel('y') zlabel('u') title('z^{1/3}') colormap(hsv(64)) %%画色轴 w=1./z; w(z==0)=NaN; x=real(z); y=imag(z); u=real(w); v=imag(w); v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化 M=max(max(max(M,u))); m=min(min(min(m,u))); subplot(133) surf(x,y,u,v) %%画表面图 hold on axis([-1 1 -1 1 m M]) s=ones(size(z)); mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图 xlabel('x') ylabel('y') zlabel('u') title('1/z') colormap(hsv(64)) %%画色轴 ____________________________________________________________________________________________________ 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3、若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()? +--+i dz z 22 22= 6、积分?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α 1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 223i - C 223i +- D i 2 321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ?=-123z z dz B ?=-12 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） Matlab在复变函数中应用 数学实验（一） 华中科技大学数学系 二○○一年十月 MATLAB在复变函数中的应用 复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。 使用MATLAB来进行复变函数的各种运算；介绍留数的概念及MAT–LAB的实现；介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开（Laurent展开Laplace变换和Fourier变换）。 1 复数和复矩阵的生成 在MATLAB中，复数单位为)1 j i，其值在工作空间中都显示为 =sq rt = (- 0+。 .1 i 0000 1.1 复数的生成 复数可由i z+ =。 a =语句生成，也可简写成bi a z* + b 另一种生成复数的语句是) exp(i theta r =，也可简写成) =， z* exp(theta * i r z* 其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。 1.2 创建复矩阵 创建复矩阵的方法有两种。 （1）如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵 例如：)] i A* * i i = + 3[i * - + * , ), 23 5 33 6 exp( 2 3 , exp( 9 （2）可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式 例如： )2,3( re=； rand im=； )2,3( rand im i re com *+= ] 5466.07271.05681.02897.07027.05341.08385.03420.03704.03412.03093.06602.0[i i i i i i com ++++++= 注意 实、虚矩阵应大小相同。 2 复数的运算 1．复数的实部和虚部 复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。 调用形式 )(x real 返回复数x 的实部 )(x imag 返回复数x 的虚部 2．共轭复数 复数的共轭可由函数conj 实现。 调用形式 )(x conj 返回复数x 的共轭复数 3．复数的模和辐角 复数的模和辐角的求解由功能函数abs 和angle 实现。 调用形式 )(x abs 复数x 的模 )(x angle 复数x 的辐角 例：求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角 （1） i 231 + （2）i i i --131 （3）i i i 2)52)(43(-+ （4）i i i +-2184 由MATLAB 输入如下： 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 ) 2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 .,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 湖北民族学院理学院 2014年春季学期 数学与应用数学专业复变函数实验课 （一）计算部分 上课教师：汪海玲 Matlab中复变函数命令集 定义符号变量Syms 虚单位z=Sqrt(-1) 复数表示z=x+y*i 指数表示z=r*exp(i*a) 求实部Real(z) 求虚部Imag(z) 求共轭Conj(z) 求模Abs(z) 求幅角Angle(z) 三角函数z=sin(z) z=cos(z) 指数函数z=exp(z) 对数函数z=log(z) 幂函数z=z^a 解方程expr=‘方程式’; Solve(expr) 泰劳展开Taylor(e,z) 求留数[r,p,k]=residue(p,q) 傅立叶变换Fourier(e,z,w) 逆傅立叶变换Ifourier(e,w,z) 拉普拉斯变换Laplace(e,w,t) 逆拉普拉斯变换Ilaplace(e,t,x) 一复数的运算 1．复数的实部和虚部 复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。 调用形式 real返回复数x的实部 (x ) (x imag返回复数x的虚部 ) 2．共轭复数 复数的共轭可由函数conj实现。 调用形式 conj返回复数x的共轭复数 (x ) 3．复数的模和辐角 复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。 调用形式 abs复数x的模 ) (x angle复数x的辐角 ) (x 上机操作：课本例题1.2、例题1.4、课后习题（一）1. 4．复数的乘除法 复数的乘除法运算由“/”和“ ”实现。 5．复数的平方根 复灵敏的平方根运算由函数sprt实现。 调用形式 ) sprt返回复数x的平方根值 (x 6．复数的幂运算 x^，结果返回复数x的n次幂。 复数的幂运算的形式为n 上机操作：课本例题1.8 7．复数的指数和对数运算 复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 实验一计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式 【实验目的】 1、熟悉Matlab运行环境，会在窗口操作和运行一些命令 2、掌握求复变函数极限、微分、积分、留数以及泰勒级数命令 3、熟练在计算机上操作复变函数极限、微分、积分、留数以及泰勒级数命令【实验仪器】一台电脑，要求安装matlab 软件 【实验内容】 MATLAB实现内容 1、MATLAB求复变函数极限 2、MATLAB求复变函数微分 3、MATLAB求复变函数积分 4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数 5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式 【实验步骤】 1．打开matlab桌面和命令窗口，方式一，双击桌面快捷方式，方法二，程序里单击matlab图标，方式三，找到matlab文件夹，双击图标2．在matlab命令窗口输入命令 3．运行，可以直接回车键，F5键 【注意事项】 1．命令的输入要细心认真，不能出错 2．尤其是分号，逗号等符号的区别 3. 注意数学上的运算和matlab中的不同，尤其是括号 【实验操作内容】 以下的例题都是在命令窗口输入源程序，然后运行，或回车就可以得到结果。 1、MATLAB 求复变函数极限 用函数limit 求复变函数极限 【Matlab 源程序】 syms z f=; limit(f,z,z0) 返回极限结果 例 1 求 在 的极限 解 【Matlab 源程序】 syms z f=sin(z)/z; limit(f,z,0) ans= 1 limit(f,z,1+i) ans= 1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1) +1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(1 2、 MATLAB 求复变函数微分 用函数diff 求复变函数极限 【Matlab 源程序】 z z z f sin )(=i z +=1,0 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2007－08 学年第1学期 考试科目： 复变函数与积分变换 考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 4 .34arctan 3 A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=- 2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+ 2 .||D z z z ?= 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） .z A z e + 2 sin . 1 z B z + .tan z C z e + .sin z D z e + 6．在复平面上，下列命题中，正确．． 的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = .cos sin iz C e z i z =+ . ||D z = 7．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ）复变函数_期末试卷及答案
复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案
复变函数与积分变换》教学大纲
(完整版)复变函数试题库
《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)
复变函数试题与答案
复变函数与积分变换论文
实验一、复变函数与特殊函数图形的绘制
复变函数期末考试题大全(东北师大)
复变函数试题与答案
Matlab在复变函数中应用解读
复变函数与积分变换期末试题(附有答案)
复变函数考试试题一解读
复变函数实验课(一)
复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)
实验一计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式
复变函数与积分变换 期末试卷及答案