中考数学大题专项训练第30练
19、某中学为了了解学生的体育锻炼情况，随机抽查了部分学生一周参加体育锻炼的时间，得到如图的条形统计图，根据图形解答下列问题： （1）这次抽查了 名学生； （2）所抽查的学生一周平均参加体育锻炼多少小时？ （3）已知该校有1200名学生，估计该校有多少名学生一周参加体育锻炼的时间超过6小时？
20、（2011?湛江）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 是AC 的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A ，D 作⊙O ，使圆心O 在AB 上，⊙O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与⊙O 相切；
（2）若AD ：AE=4：5，BC=6，求⊙O 的直径．
A 种产品
B 种产品 成本（万元∕件） 3 5 利润（万元∕件）
1
2
（1）若工厂计划获利14万元，问A ，B 两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）条件下，哪种方案获利最大？并求最大利润．
22．已知矩形纸片OABC 的长为4，宽为3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系； 点P 是OA 边上的动点（与点O A 、不重合），现将POC △沿PC 翻折得到PEC △，再在AB 边上选取适当的点 D,将PAD △沿PD 翻折，得到PFD △，使得直线PE PF 、重合． （1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P C D 、、的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式； （2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP x AD y ==，，当x 为何值时，y 取得最大值？
（3）在（1）的情况下，过点P C D 、、三点的抛物线上是否存在点Q ，使PDQ △是以PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标
23、如图，抛物线y=x 2+bx+c 的顶点为D （﹣1，﹣4），与y 轴交于点C （0，﹣3），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC ，CD ，AD ，试证明△ACD 为直角三角形；
（3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ，E ，F 为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
C y E
B
F
D
A P
x
O 图①
A B
D F E
C
O P x
y
图②
第22题图
参考答案：
19.解答：解：（1）15+10+15+20=60．故答案是：60；
（2）=6.25小时．答：所抽查的学生一周平均参加体育锻炼6.25小时．（3）1200×=700人．答：估计该校有700名学生一周参加体育锻炼的时间超过6小时．
20.解答：解：（1）证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，
又∵∠A+∠CDB=90°，∴∠ADO+∠CDB=90°，∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°，
∴BD⊥OD，∴BD是⊙O切线；
（2）连接DE，∵AE是直径，∴∠ADE=90°，又∵∠C=90°，∴∠ADE=∠C，∴DE∥BC，
又∵D是AC中点，∴AD=CD，∴AD：CD=AE：BE，∴AE=BE，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴AD：AE=AC：AB，∴AC：AB=4：5，
设AC=4x，AB=5x，那么BC=3x，∴BC：AB=3：5，∵BC=6，∴AB=10，
∴AE=AB=10．
21.解答：解：（1）设A种产品x件，B种为（10﹣x）件，
x+2（10﹣x）=14，
x=6，
A生产6件，B生产4件；
（2）设A种产品x件，B种为（10﹣x）件，
，
3≤x＜6．
方案一：A 3件B生产7件．
方案二：A生产4件，B生产6件．
方案三：A生产5件，B生产5件；（3）第一种方案获利最大，
3×1+7×2=17．
最大利润是17万元．
22.解：（1）由题意知，POC PAD
△、△均为等腰直角三角形，
可得(30)(03)(41)
P C D
，、，、，···········································································2分设过此三点的抛物线为2(0)
y ax bx c a
=++≠，则
3
930
1641
c
a b c
a b c
=
?
?
++=
?
?++=
?
1
2
5
2
3
a
b
c
?
=
?
?
?=-
∴?
?
?
?=
?
∴过P C D
、、三点的抛物线的函数关系式为2
15
3
22
y x x
=-+ ······························4分（2）由已知PC平分OPE PD
∠，平分APF
∠，且PE PF
、重合，则90
CPD
∠=°
90
OPC APD
∴∠+∠=°，又90
APD ADP
∠+∠=°
OPC ADP
∴∠=∠．
Rt Rt
POC DAP
∴△∽△．
OP OC
AD AP
∴=，即
3
4
x
y x
=
-
·········································································· 6分C
y
E B
F D
A
P x
O
图①
A
B
D
F
E
C
O P x
y
图②
第28题图
2211414
(4)(2)(04)33333
y x x x x x x =-=-+=--+< ∴当2x =时，y 有最大值4 3 ． ······································································· 8分 （3）假设存在，分两种情况讨论： ①当90DPQ ∠=°时，由题意可知90DPC ∠=°，且点C 在抛物线上，故点C 与点Q 重合，所求的点Q 为（0，3） ················································································································ 9分 ②当90DPQ ∠=°时，过点D 作平行于PC 的直线DQ ，假设直线DQ 交抛物线于另一点Q ， Q 点(30)03P C ，、(，)，∴直线PC 的方程为3y x =-+，将直线PC 向上平移2个单位与直线DQ 重合，∴直线DQ 的方程为5y x =-+ ··························································································10分 由25 15322 y x y x x =-+?? ?=-+??得16x y =-?? =?或41x y =??=? 又点(41)(16)D Q ∴-，，，． 故该抛物线上存在两点(03)(16)Q -，、，满足条件． ················································ 12分 说明：以上各题如有其他解（证）法，请酌情给分． ． 23.解答：解：（1）由题意得， 解得：b=2，c=﹣3， 则解析式为：y=x 2+2x ﹣3； （2）由题意结合图形 则解析式为：y=x 2+2x ﹣3， 解得x=1或x=﹣3， 由题意点A （﹣3，0）， ∴AC= ，CD= ，AD= ， 由AC 2+CD 2=AD 2， 所以△ACD 为直角三角形； （3）由（2）知ME 取最大值时ME=，E （，﹣ ），M （，﹣）， ∴MF=，BF=OB ﹣OF=． 设在抛物线x 轴下方存在点P ，使以P 、M 、F 、B 为顶点的四边形是平行四边形， 则BP ∥MF ，BF ∥PM ． ∴P 1（0，﹣）或P 2（3，﹣）， 当P 1（0，﹣）时，由（1）知y=x 2﹣2x ﹣3=﹣3≠﹣， ∴P 1不在抛物线上． 当P 2（3，﹣）时，由（1）知y=x 2﹣2x ﹣3=0≠﹣， ∴P 2不在抛物线上． 综上所述：抛物线x 轴下方不存在点P ，使以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形． y x A B E C Q O P D F （Q ） 第22题图