历年高考数学真题精选31 立体几何中的垂直关系
历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题31 垂直关系（学生版）
1．（2019?北京）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．
（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）若60ABC ∠=?，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；
（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得//CF 平面PAE ？说明理由．
2．（2015?重庆）如图，三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，2
ABC π
∠=
，点D 、E
在线段AC 上，且2AD DE EC ===，4PD PC ==，点F 在线段AB 上，且//EF BC ． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面PFE ．
（Ⅱ）若四棱锥P DFBC -的体积为7，求线段BC 的长．
3．（2015?福建）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO OB ==，
（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证；AC ⊥平面PDO ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；
（Ⅲ）若2BC =，点E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．
4．（2014?四川）在如图所示的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形 （Ⅰ）若AC BC ⊥，证明：直线BC ⊥平面11ACC A ；
（Ⅱ）设D 、E 分别是线段BC 、1CC 的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线//DE 平面1A MC ？请证明你的结论．
5．（2014?福建）如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，CD BD ⊥． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；
（Ⅱ）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积．
6．（2014?广东）如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1AB =，2BC PC ==作如图2折叠；折痕//EF DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点
P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF CF ⊥．
（1）证明：CF ⊥平面MDF ； （2）求三棱锥M CDE -的体积．
7．（2014?新课标Ⅰ）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ． （1）证明：1B C AB ⊥；
（2）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=?，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．
8．（2014?山东）如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，1
2
AB BC AD ==
，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．
（Ⅰ）求证：//AP 平面BEF ； （Ⅱ）求证：BE ⊥平面PAC ．
9．（2013?安徽）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=?．已知2PB PD ==，6PA = （Ⅰ）证明：BD ⊥面PAC
（Ⅱ）若E 为PA 的中点，求三菱锥P BCE -的体积．
10．（2013?重庆）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，23PA =，2BC CD ==，3
ACB ACD π
∠=∠=
．
（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =，求三棱锥P BDF -的体积．
11．（2013?新课标Ⅰ）如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=? （Ⅰ）证明：1
AB AC ⊥； （Ⅱ）若2AB CB ==，16A C =，求三棱柱111ABC A B C -的体积．
12．（2019?新课标Ⅲ）图1是由矩形ADEB ，Rt ABC ?和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB =，2BE BF ==，60FBC ∠=?．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．
（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积．
13．（2018?江苏）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥． 求证：（1）//AB 平面11A B C ； （2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ．
14．（2018?新课标Ⅲ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．
（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？说明理由．
15．（2018?新课标Ⅰ）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=?，以AC 为折痕将ACM ?折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2
3
BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．
16．（2017?新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=?． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=?，且四棱锥P ABCD -的体积为8
3
，求该四棱锥
的侧面积．
历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题31 垂直关系（教师版）
1．（2019?北京）如图，在四棱锥P ABCD
-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E 为CD的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若60
∠=?，求证：平面PAB⊥平面PAE；
ABC
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得//
CF平面PAE？说明理由．
证明：（Ⅰ）四棱锥P ABCD
-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，
∴⊥，BD AC
BD PA
⊥，
∴⊥平面PAC．
=，BD
PA AC A
（Ⅱ）在四棱锥P ABCD
-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，
E为CD的中点，60
ABC
∠=?，
∴⊥，PA AE
AB AE
⊥，
∴⊥平面PAB，
PA AB A
=，AE
AE?平面PAE，∴平面PAB⊥平面PAE．
解：（Ⅲ）棱PB上是存在中点F，使得//
CF平面PAE．
理由如下：取AB中点G，连结GF，CG，
在四棱锥P ABCD
-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，
∴，//
FG PA，
//
CG AE
=，AE PA A
CG FG G
=，
CFG平面PAE，
∴平面//
CF ?平面CFG ，//CF ∴平面PAE ．
2．（2015?重庆）如图，三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，2
ABC π
∠=
，点D 、E
在线段AC 上，且2AD DE EC ===，4PD PC ==，点F 在线段AB 上，且//EF BC ． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面PFE ．
（Ⅱ）若四棱锥P DFBC -的体积为7，求线段BC 的长．
解：（Ⅰ）如图，由DE EC =，PD PC =知，E 为等腰PDC ?中DC 边的中点，故PE AC ⊥， 又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ?平面ABC AC =，PE ?平面PAC ，PE AC ⊥， 所以PE ⊥平面ABC ，从而PE AB ⊥． 因为2
ABC π
∠=
，//EF BC ，
故AB EF ⊥，
从而AB 与平面PEF 内两条相交直线PE ，EF 都垂直， 所以AB ⊥平面PEF ．
（Ⅱ）设BC x =，则在直角ABC ?中，22236AB AC BC x -=-， 从而211
3622
ABC S AB BC x x ?=
=- 由//EF BC 知2
3AF AE AB AC ==，得AFE ABC ??∽， 故224()39AFE
ABC
S S ??==，即4
9
AFE ABC S S ??=，
由12AD AE =
，2114213622999
AFD AFE ABC ABC S S S S x x ????====-， 从而四边形DFBC 的面积为：222117
3636362918
DFBC ABC AFD S S S x x x x x x ?=-=
---=-．
由（Ⅰ）知，PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P DFBC -的高． 在直角PEC ?中，22224223PE PC EC =-=-=， 故体积2117
362373318
P DFBC DFBC V S PE x x -=
=-=， 故得42362430x x -+=，解得29x =或227x =，由于0x >，可得3x =或33x =． 所以：3BC =或33BC =．
3．（2015?福建）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO OB ==，
（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证；AC ⊥平面PDO ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；
（Ⅲ）若2BC =，点E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．
解：（Ⅰ）在AOC ?中，因为OA OC =，D 为AC 的中点， 所以AC DO ⊥，
又PO 垂直于圆O 所在的平面， 所以PO AC ⊥， 因为DO
PO O =，
所以AC ⊥平面PDO ．
（Ⅱ）因为点C 在圆O 上，
所以当CO AB ⊥时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1， 又2AB =，所以ABC ?面积的最大值为1
2112
??=，
又因为三棱锥P ABC -的高1PO =，
故三棱锥P ABC -体积的最大值为：11
1133
??=．
（Ⅲ）在POB ?中，1PO OB ==，90POB ∠=?， 所以22112PB =+=，
同理2PC =，所以PB PC BC ==，
在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示，
当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值， 又因为OP OB =，C P C B '='，
所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点． 从而2626
OC OE EC +'=+'=
+=
． 亦即CE OE +的最小值为：
26
+．
4．（2014?四川）在如图所示的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形 （Ⅰ）若AC BC ⊥，证明：直线BC ⊥平面11ACC A ；
（Ⅱ）设D 、E 分别是线段BC 、1CC 的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线//
DE
平面1A MC ？请证明你的结论．
（Ⅰ）证明：四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形， 1AA AB ∴⊥，1AA AC ⊥， AB
AC A =，
1AA ∴⊥平面ABC ，
BC ?平面ABC ， 1AA BC ∴⊥，
AC BC ⊥，1
AA AC A =，
∴直线BC ⊥平面11ACC A ；
（Ⅱ）解：取AB 的中点M ，连接1A M ，MC ，1A C ，1AC ，设O 为1A C ，1AC 的交点，则O 为1AC 的中点．
连接MD ，OE ，则//MD AC ，12MD AC =，//OE AC ，1
2
OE AC =， //MD OE ∴，MD OE =，
连接OM ，则四边形MDEO 为平行四边形， //DE MO ∴，
DE ?/平面1A MC ，MO ?平面1A MC ，
//DE ∴平面1A MC ，
∴线段AB 上存在一点M （线段AB 的中点），使直线//DE 平面1A MC ．
5．（2014?福建）如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，CD BD ⊥． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；
（Ⅱ）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积．
（Ⅰ）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ?平面BCD ，
AB CD ∴⊥， CD BD ⊥，AB
BD B =，
CD ∴⊥平面ABD ；
（Ⅱ）解：AB ⊥平面BCD ，BD ?平面BCD ，
AB BD ∴⊥． 1AB BD ==，
1
2
ABD S ?∴=
， M 为AD 中点，
11
24
ABM ABD S S ??∴==，
CD ⊥平面ABD ，
11
312
A MBC C ABM ABM V V S CD --?∴===．
6．（2014?广东）如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1AB =，2BC PC ==作如图2折叠；折痕//EF DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点
P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF CF ⊥．
（1）证明：CF ⊥平面MDF ； （2）求三棱锥M CDE -的体积．
解：（1）证明：
PD ⊥平面ABCD ，PD ?平面PCD ，
∴平面PCD ⊥平面ABCD ；
又平面PCD ?平面ABCD CD =，MD ?平面ABCD ，MD CD ⊥，
MD ∴⊥平面PCD ，CF ?平面PCD ，CF MD ∴⊥；
又CF MF ⊥，MD 、MF ?平面MDF ，MD M F M =，
CF ∴⊥平面MDF ；
（2）CF ⊥平面MDF ，CF DF ∴⊥， 又Rt PCD ?中，1DC =，2PC =， 30P ∴∠=?，60PCD ∠=?， 30CDF ∴∠=?，1122CF CD ==；
//EF DC ，∴DE CF
DP CP =
1
22
3=， 3DE ∴=
33PE ∴=
132CDE S CD DE ?∴==
； 22223336
(
)()44MD ME DE =--=， 11362
33M CDE CDE V S MD -?∴==? 7．（2014?新课标Ⅰ）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．
（1）证明：1B C AB ⊥；
（2）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=?，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．
（1）证明：连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点， 侧面11BB C C 为菱形， 11BC B C ∴⊥，
AO ⊥平面11BB C C ， 1AO B C ∴⊥， 1AO
BC O =，
1B C ∴⊥平面ABO ，
AB ?平面ABO ，
1B C AB ∴⊥；
（2）解：作OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ， BC AO ⊥，BC OD ⊥，AO
OD O =，
BC ∴⊥平面AOD ， OH BC ∴⊥， OH AD ⊥，BC
AD D =，
OH ∴⊥平面ABC ， 160CBB ∠=?， 1CBB ∴?为等边三角形，
1BC =，3OD ∴=
1AC AB ⊥，111
22
OA B C ∴==，
由OH AD OD OA =，可得2274AD OD OA =+=，2114
OH ∴=， O 为1B C 的中点， 1B ∴到平面ABC 的距离为
21
7， ∴三棱柱111ABC A B C -的高
217
．
8．（2014?山东）如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，1
2
AB BC AD ==
，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．
（Ⅰ）求证：//AP 平面BEF ； （Ⅱ）求证：BE ⊥平面PAC ．
证明：（Ⅰ）连接CE ，则 //AD BC ，1
2
BC AD =
，E 为线段AD 的中点， ∴四边形ABCE 是平行四边形，BCDE 是平行四边形，
设AC BE O =，连接OF ，则O 是AC 的中点，
F 为线段PC 的中点，
//PA OF ∴，
PA ?/平面BEF ，OF ?平面BEF ，
//AP ∴平面BEF ；
（Ⅱ）BCDE 是平行四边形， //BE CD ∴，
AP ⊥平面PCD ，CD ?平面PCD ，
∴⊥，
AP CD
∴⊥，
BE AP
=，四边形ABCE是平行四边形，
AB BC
∴四边形ABCE是菱形，
∴⊥，
BE AC
=，
AP AC A
∴⊥平面PAC．
BE
9．（2013?安徽）如图，四棱锥P ABCD
∠=?．已
BAD
-的底面ABCD是边长为2的菱形，60
知2
PB PD
==，6
PA=．
（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC
（Ⅱ）若E为PA的中点，求三菱锥P BCE
-的体积．
（Ⅰ）证明：连接BD，AC交于O点，
=，
PB PD
∴⊥，
PO BD
又ABCD是菱形，
∴⊥，
BD AC
=，
PO?平面PAC，AC?平面PAC，AC PO O
∴⊥平面PAC．
BD
（Ⅱ）则23AC =，
ABD ?和PBD ?的三边长均为2， ABD PBD ∴???，
3AO PO ∴==，
222AO PO PA ∴+=， AC PO ∴⊥， 1
32
PAC S AC PO ?=
=， 111111
31223232
P BCE B PEC B PAC PAC V V V S BO ---?====???=．
10．（2013?重庆）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，23PA =，2BC CD ==，3
ACB ACD π
∠=∠=
．
（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =，求三棱锥P BDF -的体积．
解：（Ⅰ）2BC CD ==，BCD ∴?为等腰三角形，再由3
ACB ACD π
∠=∠=，BD AC ∴⊥．
再由PA ⊥底面ABCD ，可得PA BD ⊥． 而PA
AC A =，故BD ⊥平面PAC ．
（Ⅱ）侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =，
∴三棱锥F BCD -的高是三棱锥P BCD -的高的18
．
BCD ?的面积112sin 22sin 3223
BCD S BC CD BCD π
?=∠=???=．
∴三棱锥P BDF -的体积11171
33883
P BCD F BCD BCD BCD BCD V V V S PA S PA S PA --???=-=
-=? 77
323244
=
??=． 11．（2013?新课标Ⅰ）如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=? （Ⅰ）证明：1
AB AC ⊥； （Ⅱ）若2AB CB ==，16A C =，求三棱柱111ABC A B C -的体积．
（Ⅰ）证明：如图，
取AB 的中点O ，连结OC ，1OA ，1A B ． 因为CA CB =，所以OC AB ⊥．
由于1AB AA =，160BAA ∠=?，故△1AA B 为等边三角形， 所以1OA AB ⊥． 因为1OC
OA O =，所以AB ⊥平面1
OAC ． 又1A C ?平面1OAC ，故1
AB AC ⊥； （Ⅱ）解：由题设知ABC ?与△1AA B 都是边长为2的等边三角形， 所以13OC OA ==
又16A C =2
221
1AC OC OA =+，故1OA OC ⊥． 因为OC
AB O =，所以1OA ⊥平面ABC ，1OA 为三棱柱111ABC A B C -的高．
又ABC ?的面积3ABC S ?=，故三棱柱111ABC A B C -的体积1333ABC V S OA ?=?=?=．
12．（2019?新课标Ⅲ）图1是由矩形ADEB ，Rt ABC ?和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB =，2BE BF ==，60FBC ∠=?．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．
（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积．
解：（1）证明：由已知可得//AD BE ，//CG BE ，即有//AD CG ， 则AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面； 由四边形ABED 为矩形，可得AB BE ⊥， 由ABC ?为直角三角形，可得AB BC ⊥， 又BC
BE B =，可得AB ⊥平面BCGE ，
AB ?平面ABC ，可得平面ABC ⊥平面BCGE ；
（2）连接BG ，AG ，
由AB ⊥平面BCGE ，可得AB BG ⊥，
在BCG ?中，2BC CG ==，120BCG ∠=?，可得2sin 6023BG BC =?= 可得2213AG AB BG =+
在ACG ?中，5AC 2CG =，13AG ，
可得
cos 225
5
ACG ∠=
=-
??，即有sin 5
ACG ∠=
，
则平行四边形ACGD 的面积为2545??
=．
13．
（2018?江苏）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥． 求证：（1）//AB 平面11A B C ； （2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ．
证明：（1）平行六面体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，
11//AB A B ，AB ?/平面11A B C ，11//A B ?平面11//A B C AB ?平面11A B C ；
（2）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，?四边形11ABB A 是菱形，11AB A B ⊥⊥．
在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，1111AB B C AB BC ⊥?⊥． ∴11111
11,,AB A B AB BC A B BC B A B A BC BC A BC
⊥⊥??
=?????面面 1AB ?⊥面1A BC ，且1AB ?平面11ABB A ?平面11ABB A ⊥平面1A BC ．
14．（2018?新课标Ⅲ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．
（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？说明理由．