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2007年全国数学建模大赛A题中国人口增长预测与控制题目和论文赏析(1)(1)

中国人口增长预测与控制

摘要

近年来，中国人口最突出的特点是：老龄化加速、出生人口性别比持续增高和乡村人口城镇化。针对这些特点，建立各个影响因素的数学模型，最后建立中国人口的增长模型。

对于问题一，首先将人口增长的预测问题转化为对出生率、死亡率和城镇乡转移率的预测。通过原题附录3数据的分析研究，发现影响人口增长的主要因素可以归结为出生率、死亡率和城镇乡转移率，并依此建立了不同参数随时间变化的递推数学模型，讨论了各个参数对人口增长的影响。其次，分别拟合死亡率和生育率、城镇乡转移率对年龄的分布。建立了差分数学模型，将死亡率、生育率与城镇乡转移率的预测归结到总和死亡率、总和生育率与城镇乡总和转移率的预测，由于概率分布是相对稳定的，模型参数整体健壮。对中短期的预测而言，总和死亡率、生育率和转移率的变化是近似线性的；对长期的预测，采用SI和SIS模型来描述其非线性变化，其模型的控制参数变化体现了国家人口政策的控制力度，结果表明模型具有长期可控性。

对于问题二，采用所建模型对0—90岁人口做出中短期和长期预测。2006-2030年总人口逐年增加，2006年为13.062亿，2007年为13.109亿，2008年为13.158亿，2010年为13.3亿，2023年达到高峰期13.829亿，以后开始下降趋于平缓，到2030年为13.805；乡城转移率逐年增加，短期线性变化，2006年为0.454，2007年为0.471，2008年为0.490，2010年为0.526，长期由非线性模型描述，到2030年，城乡比例为0.901；整体老龄化程度增大，2006年为0.129，2007年为0.134，2008年为0.139，2010年为0.150，到2030年为0.325，在农村老龄化尤其严重，可以确定为地区间的迁移。同时在做长期预测时，不同的国家策略导致不同的人口状况(见图[26-30])，得到的结论可以作为国家制定人口方针的建议。

对于问题三，指出模型的优缺点。通过求解经典的Logistic模型和Leslie模型，并将所得结果与本文模型结果比较，发现本文模型具有易操作性、可控性、健壮性等优点；主要缺点是在短期预测时准确度稍差。

关键词：人口控制差分模型预测拟和Leslie模型Logistic方程

一、问题重述

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007 年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口

增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；还要指出你们模型中的优点与不足之处。

二、问题分析

为了与机理分析结合求得较精确的结果，可以建立递推模型，利用附录中所给数据确定未知参数，进而确定描述中国人口增长的数学模型，并用此进行中短期、长期预测。

首先，由于人口增长受多个因素影响，我们分别建立描述各因素的数学模型，包括：死亡率模型、出生人口模型、生育性别比模型和迁移模型。由于死亡率模型和生育性别比有性别差异，各模型皆有城、镇、乡差异，所以需将男性人口与女性人口，城、镇、乡人口分开考虑。

其次，由于中短期、长期预测时问题的复杂程度不同，侧重点不同，因此中短期、长期预测的模型有所差异。中短期预测仅利用现有数据的变化趋势进行预测，长期预测需要通过机理分析得到。

最后，要检验模型的准确性，必须参照别的模型实际数据，因此我们用两个经典的模型：Logistic 模型和Leslie 模型进行求解并与本文模型进行比较。

三、问题的假设

假设一每一年的人口总数，人口结构及分布和其他有关各量仅在年末发生变化，变化顺序是：一部分人先死亡，然后一部分人生小孩，最后一部分人迁移

假设二本文中所提到的婴儿出生率指的是婴儿出生且在一岁前存活的概率假设三生育妇女一年只生一胎

假设四九十岁以上的人口变化对总人口变化影响不大，因此不予以考虑假设五人口的迁移路径仅考虑从村到镇，从村到城假设六国际迁入迁出对于人口的影响较小

四、符号说明

()i P t

第t 年初年龄为i 的总人数 ()i t μ

第t 年末年龄为i 的人的死亡率 ()t β 第t 年末平均每个育龄女性的生育数 i h

生育加权因子（即生育模式）

()t σ

第t 年末生育性别比 ()i t λ

第t 年末迁移人口比例 ()O t 老龄化程度 ()A t 城镇化程度 ()G t

性别比

五、模型建立与求解

5.1中国人口增长的影响因素分析

人口变化包括人口增长及人口性别结构、年龄结构的变化。其中，人口性别结构、年龄结构的变化影响人口增长量及增长速度。

为了建立中国人口增长的数学模型，并进行预测，首先须考虑人口变化的影响因素。其中，老龄化、城镇化、性别比的增高等中国人口变化的特点须给与考虑。

当前各地区的人口总数和人口比例、人口年龄结构决定以后的人口总数和人口比例、人口年龄结构。人口总数和人口比例、人口年龄结构表现为老龄化程度、城镇化程度和性别比。其变化情况由出生率、死亡率、迁移率决定。国家政策影响出生率、死亡率、迁移率。

5.2中国人口增长总模型

将男、女人口，城、镇、村的人口分开考虑，得到六个子对象，如图2所示：

图2

以下建立适用于各个子对象的通用模型。男、女性分别用下标m ，w 表示；城、镇、村分别用下标,,c t v 表示。

总人口

男性人口女性人口

城市男

性人口城镇男性人口农村男性人口城市女性人口城镇女性人口农村女性人口

将第1t +年初的人口分为在第t 年末出生的人口与第t 年末未死亡未迁出的非新生人口两类，即：

(1)()()born other P t P t P t +=+

设有年龄结构向量：

01n ()[(),(),

,()]T P t P t P t P t =

其中，()i P t 为第t 年初年龄为i 的该类地区人数

4.1.1求第t 年末出生的人口数()born P t

设()i t μ为第t 年末年龄为i 的人的死亡率，()i h t 表示各年龄生育的女性占总生育女性的概率分布（即生育模式），()t β为第t 年末平均每个育龄女性的生育数，可以得到：

第t 年末年龄为i 的妇女人数为,,()[1()]w i w i P t t μ-

第t 年末年龄为i 的妇女生下的婴儿数量为,,()[1()]()()w i w i P t t h i t μβ- 另外，设()t σ为第t 年末生育性别比，则有：

第t 年末年龄为i 的妇女生下的男婴数量为,,()

()[1()]()()

()1

w i w i t P t t h i t t σμβσ-+

第t 年末年龄为i 的妇女生下的女婴数量为,,1

()[1()]()()()1

w i w i P t t h i t t μβσ-+

表示为矩阵形式可得：第t 年末出生的男婴数量为

12,,00()()0

00000()()()

[1()]()()10

0m born w i w h i h i t P t t t P t t σβμσ??

????=?-??

?+????

第t 年末出生的女婴数量为

12,,00()()0

000001()()

[1()]()()10

0w born w i w h i h i P t t t P t t βμσ??

????=?-??

?+????

5.1.2求第t 年末未死亡未迁出的非新生人口数()other P t

设从农村到城镇迁移率、从农村到城市迁移率分别为

t i ()t i ti t λ=第年末从农村迁往城镇的年龄为的人数

第年末年龄为的农村人数

t i ()t i ci t λ=

第年末从农村迁往城市的年龄为的人数

第年末年龄为的农村人数

则第t 年末未死亡未迁出的非新生人口数可表示为：对农村人口

111,222000

01()()()000()01()()()

001()()()0()

c t c c other c t c cn tn cn c t t t P t t t t t t t P t μλλμλλμλλ?

??---?

???

=---????

??---?

对城镇人口，未死亡未迁出的非新生人口包括城镇原来的剩下人口加上从农村迁移至

城镇的人口：

,220

000

01()000()000()01()

00()0()

00()

1()0()0t t t other t t t v tn tn t t P t t P t t P t t t μλμλμλ????

????-?

???????=-+???????

????-?

同理得，对于城市人口：

,2c2000

000

01()000()000()01()

00()0()

00()

1()0()0c c c other c c v cn cn t t P t t P t t P t t t μλμλμλ?

???

????-?

???????=-+???????

????-?

5.3各影响因素模型 5.3.1死亡率模型

记死亡率()i t i t t i μ=

第年末年龄为的死亡人数

第年末年龄为的总人数

（1）年龄对死亡率的影响

众所周知，在同一时期的人口中，少年儿童的死亡率随年龄增长而下降，中青年人的死亡率变化较平稳，老年人的死亡率随年龄增长快速升高；总体来说，死亡率-年龄曲线为一“U ”字型。因此，考虑利用Kannisto 模型（文献[11]）通过数据拟合对死亡率随年龄增长的变化进行描述：

1(1)

i i e e γγφμφ=

+- 其中，i μ为年龄为i 的人的死亡率，φ和γ为参数，通过数据拟合得到。对于城市、乡镇拟合曲线大致如图3所示（不考虑90岁以上的人口）

02040

6080100

0.010.020.030.040.050.060.07

0.080.090.1年龄

图3

通过对上面图形分析可知：

1 死亡率大致与年龄反相关，这说明中国的城镇医疗发展水平以已经较高，儿童的成活率比较高。

2 随着年龄的增加，死亡率明显增大，而且增大的趋势明显。对于乡村死亡率，变化图形如图4所示：

死亡率

010

00.01

0.020.030.040.050.060.070.080.09

0.1放大此区域

0246810

1.5

22.533.544.555.56x 10

-4

图4

通过图4分析可知：

1. 小于10岁的人口死亡率比较高，整个趋势大体为U 字型。这说明乡村的医疗等水平比较低，严重影响了儿童的成活率，因此对于乡村来说，提高医疗水平是非常重要的。

2. 随着年龄的增长，死亡率逐渐增加。

通过上面拟合可以得到市，镇，乡0岁到90岁死亡率的离散化数据。用于后面人口的预测。

（2）时间对()i t μ的影响

a. 中短期内，()i t μ随时间的变化速度改变不大，我们采用线性回归的方法，得出如下结果：

对于城市男性：()278.3 3.135cm t t μ=- 对于城市女性：()205.9 4.357cw t t μ=- 对于城镇男性：()276.6 4.81tm t t μ=+ 对于城镇女性：()18210.07tw t t μ=+ 对于农村男性：()372.59.766vm t t μ=+ 对于农村女性：()280.27.605vw t t μ=+ 各方程均通过显著性检验。回归情况如图5：

1.5

2.5

3.5

4.5

200

250

300

350

400

cm_die fit 1cw_die fit 2tm_die fit 3vw_die fit 6vm_die fit 5tw_die fit 4

图5

可见，短期内农村和城镇的死亡率在增加，主要原因是农村和城镇的老龄化程度不断加深，以及从农村迁出的中青年人口增多。

b. 长期内，由于()i t μ不断降低，最终将会趋于一个理想值，我们利用SIS 模型对其进行描述，体现制约与控制因素。有：

11()

()[1()]()d t t t t dt

μλμμγμ=?--?，0(0)μμ= 其中，1λ，1γ为参数，()i t μ的终值为11

λγμλ∞-= 改变1λ和1γ对终值的影响如图6：

死亡率

时间

0.05

0.10.150.20.250.30.35

0.40.450.5

图6

其中： 1101101101.4,1.3,0.5

1.4,1.2,0.5)1.4,1,0.5

λγμλγμλγμ=========曲线一(实线)：曲线二(星号)：曲线三(加号：

城、镇、村不同初值的影响如图7所示：

05101520253035404550

0.05

0.10.150.20.250.30.350.4

0.450.5

图7

其中： 1101101101.4,1.3,0.0005

1.4,1.3,0.0004)1.4, 1.3,0.0003

λγμλγμλγμ=========曲线一(实线)：曲线二(加号)：曲线三(星号：

4.3.2出生人口模型

出生人口的影响因素如图8所示：

死亡率

时间

死亡率

时间

图8

生育人数对年龄符合一定的概率分布，每个年龄段的生育率归结为总和生育率与生育概率的乘积。这样对于生育率的预测，归结为总和生育率的预测上。

以下分别讨论各个子模型。

4.3.2.1生育模式模型

记()i h t 为各年龄生育的女性占总生育女性的概率分布，即生育模式（生育加权因子）。由于生育模式主要受生理因素影响，假设其不随时间变化。考虑到生育的女性中中青年人口占较大比例的特点，我们设不同年龄女性的生育加权因子满足Γ分布：

11111()()

i i i i i e h αθαθα--

--=

Γ，1i i >

数据的选取，在模型中用到附录中的数据。用附录中的数据进行分析,初步发现2003年的数据与其余数据相差较大：我们选用更权威的数据。两组数据的对照表所示：

统计年鉴数据附表三中数据

23.83 1.86 39.79 3.73 60.56 6.18 95.77 8.94 117.78 11.37 123.85 11.51 123.66 10.65 108.12 9.91 86.54 7.53 66.38 5.57 49.39 4.51 36.77

3.29

出生人口

男女性别比k

生育性别比σ

平均生育数

生育模式i h

生育数

因此我们采用统计年鉴的数据来代替附表三中的数据。通过对数据进行拟合得到： a. 对城市：1α=19.86，1θ=1.232 拟合情况见图9

20253035404550

020

100

120

图9

b. 对城镇：1α=19.213，1θ=1.011 拟合情况见图10

20253035404550

050

100

150

图10

c. 对农村：1α=24.023，1θ=0.932 拟合情况见图11

生育加权因子

年龄

生育加权因子

年龄

20253035404550

00.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

图11

从结果可知，对于三类地区，用此模型得到的从23岁到28岁的生育模式比较准确。由于这一年龄段时生育高峰期，其他年龄段的生育模式微小变化对总人口的变化影响较小，所以用Gamma 分布描述生育模式随年龄的分布是合理的。

另外，受当前农村人口文化、经济条件影响，早生现象存在，这一点从对农村生育模式的拟合情况图也可以看出来。但是，由于将来农村的发展，早生现象必会慢慢消除。因此用此模型对农村地区作长期预测将会得到更准确的结果。

4.3.2.2平均生育数模型

记平均生育数()t β=

每年总出生婴儿数

每年总生育女性数

通过分析数据，我们发现从2001年到2005年平均生育数上下波动，但总体来说有所减小。

（1）中短期内，采用如下线性回归方程：

3()(0)t d t ββ=-

根据各年平均生育数数据，利用软件SAS 得到如下结果：对城市人口：()0.002298 2.053c t t β=- 对城镇人口：()0.005433 2.053v t t β=- 对乡村人口：t ()0.005981 1.931t t β=- 三方程均通过显著性检验。回归情况如图12。

生育加权因子

年龄

12345678910

br_village fit 1br_town fit 2br_city fit 3

图12

（2）长期内，平均生育数下降必将趋近一个定值。我们采用SIS 模型：

22()

()[1()]()d t t t t dt

βλββγβ=?--?，0(0)ββ= 终值为22

λμβλ∞-=

改变终值可以体现国家政策影响的力度，如下对此做出分析： a. 初值相同，终值设定不同的情况：

2λ

2μ

0β

曲线一 0.5 0.35 0.00035 曲线二 0.5 0.40 0.00035 曲线三

0.5

0.40

0.00035

曲线比较如图13

05101520253035404550

0.2

0.220.240.260.280.30.32

0.340.36

平均生育数

时间

平均生育数

时间

图13

b. 城、镇、乡初值不同的影响：参数选择为：

220220220:0.5,0.4,0.000260.5,0.4,0.00032:0.5,0.4,0.00040

λμβλμβλμβ=========城镇:乡如图14，初值不同不影响终值。

05101520253035404550

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

图14

4.3.2.3生育性别比模型

记

生育性别比t ()100%t t σ=

?第年末出生的男婴数

第年末出生的女婴数

由于中国当前对女性的歧视，许多女婴不能正常出生或存活。但由于社会的进步，

()t σ必会下降。

a. 在中短期内，农村生育性别比降低趋势较为明显，城镇生育性别比在一定值周围上下波动。简单起见，我们采用如下线性回归方程：

010203()()()v v t t c c t d t t d t t d t

σσσσσσ=+?=+?=+? 其中0σ为初始时刻生育性别比，d 为表示其变化快慢的系数。利用SAS 软件得到如下结果：

平均生育数

城市城镇乡村 0σ

116.8 117.4 111.1 d

0.4357

0.08427

0.1051

方程通过显著性检验。

b. 在长期内，生育性别比不断上升，最后必将趋近1。我们采用SI 模型来描述生育性别比：

3()

()[1()]d t t t dt

σλσσ=?-，0(0)σσ= 其中3λ，0σ为参数。

()t t σ-曲线斜率最大点在130

ln(

1)m t λσ-=-处，因此在初值一定的情况下，控制3

λ的值就可以控制生育性别比变化的快慢。

4.3.3迁移模型

记迁移率t i ()t i i t λ=

第年末该类地区迁移的年龄为的人数

第年该类地区末年龄为的总人数

()t t λ、()c t λ分别是从村到镇、从村到城的迁移率。

(),(),()c t v A t A t A t 分别为城、镇、乡外来人口比重。

在中国经济快速发展的一个很长的时期内，国内人口迁移主要是从乡到镇、从乡到城，因此只考虑这两种迁移。

假设迁移率没有性别差异。从数据得出迁移率的性别区别不明显，而且随着迁出的人在城镇的工作多元化，迁移率的性别区别将会减小。

（1）时间的影响：

迁移率长期发展情况将是先增大后减小。这是由于当前城镇发展速度高于农村，所以中短期内迁移率将增加；但是，经济发展最终将消灭城乡差别，外来人口比重最终将变为零。

a. 中短期内，外来人口比重变化速率改变不大，假设其随时间线性增加，通过线性回归得到如下结果：

()0.002380.006694c A t t =+ ()0.00110.01113t A t t =+ ()0.00652-0.01782v A t t =+

三个线性回归方程均通过显著性检验。

b.长期内，城镇的外来人口比重减小并最终趋于零，我们采用SIS 模型描述其变化：

33()

()[1()]()dA t A t A t A t dt

λγ=?--， 0(0)A A =且33λγ≤ 由附录数据计算出城、镇的外来人口比例初值及变化趋势，求得其随时间的长期变化曲线如图15：

00.010.020.030.040.050.060.070.08

0.090.1

图15

其中，绿线为转移到城市的比例，红线为转移到镇的比例。（2）年龄的影响：

对数据的初步分析可以得知：青年和中年人口迁移率比幼年和老年人口迁移率高得多；迁移率在25岁到30岁间达到峰值；迁移率的变化率随青少年的年龄增长不断增高，遂老年人的年龄增长不断降低。所以，我们考虑用Gamma 分布来描述迁移率随年龄增长的变化：

2122()

i i e αθαλθα-

-=Γ，1i i >

其中2α，2θ为参数。下面通过数据拟合确定2α，2θ。 a. 对于从村到城的迁移率：拟合得到：

2α= 2.73

2θ=2.21

拟合情况如图16

外来人口比重

时间

0102030405060708090

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

图16

b. 对于从村到城的迁移率：拟合得到：

2α= 13.03

2θ=2.414

拟合情况如图17

00.005

0.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05

图17

可见，用离散化的Gamma 分布来描述迁移率随年龄增长的变化结果非常准确。

4.4中国人口增长的特点 4.4.1 老龄化程度

题目附录一指出，60岁以上的人属于老年人。设第t 年末中国老年人总数为()old P t ，则

909090

i=60

()()()()old ci ti vi P t P t P t P t =++∑∑∑

老龄化程度描述老年人口在总人口中的比例，所以老龄化程度表示为

()

()()

old P t O t P t =

其中，()P t 为第t 年末全国的总人口数。

4.4.2 性别比

第t 年末的公民性别比为男性公民总人数与女性公民总人数之比，可表示为

()

()()

m w P t G t P t =

其中()m P t 、()w P t 分别为第t 年末男性公民、女性公民总人数。

4.4.3 城镇化程度

第t 年末城镇化程度体现出此时城镇人口与乡村人口之比，可表示为：

()()

c t v P t P t A t P t +=

其中，()c P t ，()t P t ，()v P t 分别为第t 年末城、镇、乡人口总数。

4.5中国人口增长的中短期预测

通过对上面影响因素模型的求解，我们得到各个参数及其变化规律

将上面的参数带入模型求解，首先通过01-04年的数据05年的数据进行检测，得到图18中比较曲线：

0.20.40.60.811.21.4181522293643505764717885

模型预测2005年各年龄段比例世纪2005年各年龄段比例

图18（横坐标表示年龄，纵坐标表示各年龄段人数占总人数的比例）

通过对此图分析可以知道：

1 除少数比较不规则的点外，在整个年龄上，预测得数据与实际数据吻合的比较好。1-8岁阶段，实际预测的数之比实际数值稍小，假设实际数据准确，那么可能时我们对生育率的把握不够准确，体现在参数上，可能是1-8岁的概率分布并不能和实际某一年的数据完全吻合，但在允许变动的范围内，本文的模型还是较好的进行了预测。8-30岁阶段，预测不是非常吻合。这可能体现在概率分布的问题上，也可能体现在迁移率上。30-50岁阶段较好的吻合，而且还表现了一个人口高峰期。50-90岁阶段实际数值比预测数值稍小，可能是死亡率预测的问题。

2 预测数据成功的预测了三个人口高峰期，说明，模型能够较好的反映年龄结构的变化，随着时间的变化，此模型的预测峰值还会变化。

3 模型比较健壮，能够较好的反映在整个年龄上的分布。在模型中我们引入了三个概率密度，这三个密度总和起来使得模型比较强壮，对于预测问题有较好的稳定性。

通过上面的分析，发现模型比较适于预测，而且准确度比较高，下面我们用01-05年的数据进行短期预测。

4.4.1 对总人口增长的预测

通过模型的求解得到结果如图19

12.95

1313.05

13.113.15

13.2

13.2513.313.35亿人20062007200820092010

系列1

图19

由此可知：

在2006-2007年期间，人口增长比较平缓，每年平均增加500万人，虽然总和生育率小于更替水平。但由于人口基数巨大，使得总人口仍然在增加。

在2010年人口大体达到13亿3千万人左右。国家的发展计划是将人口控制在13亿6千万以内，因此反映了我们的模型较好的进行了预测。

下面我们对每个年龄段的数据进行分析，得到图20：

10000

200003000040000500001917253341495765738189

2006年预测数据2007年预测数据2008年预测数据2009年预测数据2010年预测数据

图20（横坐标表示人数，纵坐标表示年龄）

由图20得知：

1. 对于年龄在小于18岁的人，人口数目逐年减小，这说明，人口的总和生育率在一

定时期内发挥了作用，大约在30年前开始计划生育，这可以体现出计划生育政策对控制小孩的出生发挥了作用，但有一定的延时。

2. 对于年龄在18岁以上的人，随时间的增加越来越多，这说明计划生育之前那部分

人对中国人口的增长产生了剧烈的冲击。

3. 在曲线上有三个高峰，19岁左右，41岁左右，64岁左右，这三个高峰期的存在，

使得人口的变化很不规律。一个高峰期的来临可能直接影响到人口的变化。 4. 曲线的高峰在逐渐的变化，人口结构正在向老龄化迈进。

5. 新出生的婴儿在总人口中的比例有增加的趋势，很有可能是婴儿的父母是处于生

育高峰。（1983—1989是一个生育高峰）

4.4.2 对老龄化程度的预测

分别对农村城镇，城市的老年人数进行统计可以得到图21

2016年数学建模国赛A题

2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题系泊系统的设计近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。图1 传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）

系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。说明近海风荷载可通过近似公式F=0.625×Sv2(N)计算，其中S为物体在风向法平面的投影面积(m2)，v为风速(m/s）。近海水流力可通过近似公式F=374×Sv2(N)计算，其中S为物体在水流速度法平面的投影面积(m2)，v为水流速度(m/s）。

2013全国数学建模大赛a题优秀论文

车道被占用对城市道路通行能力的影响摘要随着城市化进程加快，城市车辆数的增加，致使道路的占用现象日益严重，同时也导致了更多交通事故的发生。而交通事故发生过程中，路边停车、占道施工、交通流密增大等因素直接导致车道被占用，进而影响了城市道路的通行能力。本文在视频提供的背景下通过数据采集，利用数据插值拟合、差异对比、车流波动理论等对这一影响进行了分析，具体如下：针对问题一，首先根据视频1中交通事故前后道路通行情况的变化过程运用物理观察测量类比法、数学控制变量法提取描述变量（如事故横断面处的车流量、车流速度以及车流密度）的数据，从而通过研究各变量的变化，来分析其对通行能力的影响。而视频1中有一些时间断层，我们可根据现有的数据先用统计回归对各变量数据插值后再进行拟合，拟合过程中利用残差计算值的大小来选择较好的模型来反应各变量与事故持续时间的关系，进而更好地说明事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。针对问题二：沿用问题一中的方法，对视频2中影响通行能力的各个变量进行数据采集，同样使用matlab对时间断层处进行插值拟合处理，再将所得到的的变化图像与题一中各变量的变化趋势进行对比分析，其中考虑到两视频的时间段与两视频的事故时长不同，从而采用多种对比方式（如以事故发生前、中、后三时段比较差值、以事故相同持续时间进行对比、以整个事故时间段按比例分配时间进行对比）来更好地说明这一差异。由于小区口的位置不同、时间段是否处于车流高峰期以及1、2、3道车流比例不同等因素的影响，采用不同的数据采集方式使采集的变量数据的实用性更强，从而最后得到视频1中的道路被占用影响程度高于视频2中的影响程度，再者从差异图像的变化波动中得到验证，使其合理性更强。针对问题三：运用问题1、2中三个变量与持续时间的关系作为纽带，再根据附件5中的信号相位确定出车流量的测量周期为一分钟，测量出上游车流量随时间的变化情况，而事故横断面实际通行能力与持续时间的关系已在1、2问中由拟合得到，所以再根据波动理论预测道路异常下车辆长度模型的结论，结合采集数据得到的函数关系建立数学模型，最后得出事故发生后，车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间以及路段上游车流量这三者之间的关系式。针对问题四：在问题3建立的模型下，利用问题4中提供的变量数据推导出其它相关变量值，然后代入模型，估算出时间长度，以此检验模型的操作性及可靠性。关键词：通行能力车流波动理论车流量车流速度车流密度

2010年数学建模a题

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：A甲2410 所属学校（请填写完整的全名）：山东科技大学参赛队员(打印并签名) ：1. 王宗炎 2. 虞鑫栋 3. 宋婉莹指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张玉林日期： 2010 年 9 月13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

题目储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文分别建立了小椭圆型储油罐及实际储油罐的变位识别模型。针对小椭圆型储油罐的变位识别问题，采用积分方法，给出无变位时储油量与油位高度的计算公式并得到正常的罐容表标定。对于小椭圆型储油罐纵向倾斜变位问题，讨论了其截面是三角形和梯形两种情况，利用积分法给出了纵向倾斜变位问题的计算公式，给出了修正后的罐容表标定值，并与正常标定值进行比较。针对实际大储油罐的变位识别问题，给出无变位时储油量与油位高度的计算公式，根据计算公式得到正常罐容表标定值。对于倾斜变位问题，用积分方法在不同油高下分别计算出球冠部分和中间圆柱体部分的油量，并求和给出大储油罐纵向倾斜变位后的修正公式。然后对储油罐横向偏转角度进行分析，给出横向偏转后实际油面高度与正常时油面高度的关系式。最后结合纵向倾斜角度及横向偏转角度参数公式推导得到罐内储油量与油位高度及两个变位参数间的函数式。结合附件二中所给数据，利用非线性最小二乘法通过遍历搜索算法求出纵向倾斜角度及横向偏转角度值，最后利用附件二中的数据对模型的可靠性进行了检验，检验结果表明模型较为合理。关键词：积分，数值积分，复化梯度法，非线性最小二乘法，罐容表，标定

2013年全国研究生数学建模竞赛A题

2013年（第十届）全国研究生数学建模竞赛A题变循环发动机部件法建模及优化由飞机/发动机设计原理可知，对于持续高马赫数飞行任务，需要高单位推力的涡喷循环，反之，如果任务强调低马赫数和长航程，就需要低耗油率的涡扇循环。双涵道变循环发动机可以同时具备高速时的大推力与低速时的低油耗。变循环发动机的内在性能优势，受到了各航空强国的重视，是目前航空发动机的重要研究方向。 1 变循环发动机的构`造及基本原理 1.1 基本构造双涵道变循环发动机的基本构造见图1、图2，其主要部件有：进气道、风扇、副外涵道、CDFS涵道、核心驱动风扇级（CDFS）、主外涵道、前混合器、高压压气机、主燃烧室、高压涡轮、低压涡轮、后混合器、加力燃烧室、尾喷管。双涵道模式下，选择活门和后混合器（后VABI）全部打开；单涵道模式下，选择活前混合器主外涵道主燃烧室加力燃烧室

图2 双涵道变循环发动机结构示意图图中数字序号表示发动机各截面参数的下脚标各部件之间的联系如图3所示，变循环发动机为双转子发动机，风扇与低压涡轮相连，CDFS、高压压气机与高压涡轮相连，如图3下方褐色的线所示。蓝色的线表示有部件之间的气体流动连接（图3中高压压气机后不经主燃烧室的分流气流为冷却气流，在本题中忽略不计）。图3 变循环发动机工作原理图 1.2工作原理变循环发动机有两种工作模式，分别为涡喷模式和涡扇模式。发动机在亚音速巡航的低功率工作状态，风扇后的模式转换活门因为副外涵与风扇后的压差打开，使更多空气进入副外涵，同时前混合器面积开大，打开后混合器，增大涵道比，降低油耗，此时为发动机的涡扇模式。发动机在超音速巡航、加速、爬升状态时，前混合器面积关小，副外涵压力增大，选择活门关闭，迫使绝大部分气体进入核心机，产生高的推力，此时为发

2013年全国大学生数学建模竞赛A题

车道被占用对城市道路通行能力的影响摘要在城市道路常会发生交通异常事件，导致车道被占用，事发地段的通行能力也会因此受到影响。当交通需求大于事发断剩余通行能力时，车辆排队，产生延误，行程时间增加，交通流量发生变化。根据这些特点，我们以城市道路基本路段发生交通事故为例，主要分析了交通事故发生后道路的通行能力的变化，以及不同时间段事故点及其上下游路段交通流量的变化，用于以后进一步突发事件下交通流的预测。针对问题一，根据道路通行能力的定义，考虑到车身大小不同，我们把所有车辆进行标准化。运用统计估算模型对视频一的车辆进行分段统计，得出未发生事故前道路通行能力2555(辆/h )。因为车辆所占车道未达到数学理论计算要求，所以我们利用修正过后城市干道通行能力的数学计算模型，计算出交通事故发生至撤离期间的理论通行能力为1356（辆/h ），进而与实际数据对比，得出相对误差。针对问题二，我们基于问题一的模型，以及附件三数据分析所得，不同车道的通行流量比例不同，对视频二的车辆各项数据的分段统计分析，得到道路实际通行能力。再根据修正的理论数学计算模型，得出理论通行能力。得到的结果与问题一的结果相比较，得出结论：在同一横断面上的实际通行能力与交通事故所占车道的车流量呈负相关性。针对问题三，我们运用了两种模型，一种结合层次分析与线性回归模型，得到理想化的函数关系式。基于层次分析模型，我们将进行问题分解，把车辆长度作为目标层，其他三个量作为准则层。通过查阅资料对各因素进行打分，计算出事故持续时间、车道通行能力、上游车流量对车辆排队长度的权重。层次分析模型得到各个指标对目标层的影响关系的大小，然后我们用线性回归模型求出各指标与目标层的具体的函数关系式为130.0430.09263.623y x x =-+-。第二，我们运用车流波动相关理论，得到理论模型，继而得出它们之间的关系。针对问题四，我们首先考虑的是上游来车在红绿灯下的时间间断问题，所以把来车的情况作周期性分析，假设来车是间隔相同的时间连续的到来，求出一个周期能通过的最大车流量数。然后运用等待制排队模型，当累计车辆排队长度到达上游路口后，可以通过排队论计算出时间15min 。关键词：通行能力统计估算层次分析非线性回归方程 SPSS 软件排队论车流波动一、问题重述

2003年数学建模A题

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”） A题 SARS的传播 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。

（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。附件1： SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测 2003年5月8日在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。 1 模型与参数假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K

2019数学建模国赛a题答案

中国大学生数学建模竞赛：全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。2018年，来自全国34个省/市/区(包括香港、澳门和台湾)及美国和新加坡的1449所院校/校区、42128个队（本科38573队、专科3555队）、超过12万名大学生报名参加本项竞赛。赛事设置：竞赛宗旨创新意识团队精神重在参与公平竞争。指导原则指导原则：扩大受益面，保证公平性，推动教学改革，提高竞赛质量，扩大国际交流，促进科学研究。规模与数据全国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课外科技活动之一。该竞赛每年9月（一般在上旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学生均可参加，专科组竞赛只有专科生（包括高职、高专生）可以参加）。同学可以向该校教务部门咨询，如有必要也可直接与全国竞赛组委会或各省（市、自治区）赛区组委会联系。全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞

赛。2014年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡、美国的1338所院校、25347个队（其中本科组22233队、专科组3114队）、7万多名大学生报名参加本项竞赛。比赛时间 2017年比赛时间是9月14号20:00到9月17号24:00，总共76小时，采取通讯方式比赛，比赛地点在各个高校。比赛时间全国统一的，不可以与老师交流，可以在互联网查阅资料。同学们在比赛期间应该注意安排时间，以免出现时间不够用的情况。组委名单注：第五届专家组任期两年（2010-2011）。2011年底任期届满后，组委会对专家组进行了调整，并决定此后不再对外公布专家组成员名单。第五届组委会成员名单（2010-2013）及下属专家组成员名单第四届组委会成员名单及下属专家组成员名单第一、二、三届组委第一、二、三届组委会成员名单及下属专家组成员名单引各赛区组委会各赛区联系方式列表引 [注1] 各赛区联系人请注意：若本赛区联系e-mail地址发生变化，请通知全国组委会进行修改。 [注2] 全国已成立赛区的有28个省、市、自治区，国内尚未成立赛区的区域组成联合赛区，其他（境外参赛学生）组成国际赛区，共30个赛区。

2013年数学建模A题概念解释--通行能力

实际通行能力由于道路、交通和管制条件以及服务水平不同，通行能力分为：基本（理论）通行能力，可能（实际）通行能力和设计（规划）通行能力。理论通行能力是理想的道路与交通条件下的通行能力。以理论通行能力为基础，考虑到实际的地形、道路和交通状况，确定其修正系数，再以此修正系数乘以前述的理论通行能力，即得实际道路、交通在一定环境条件下的可能通行能力。公式（参《路网环境下高速公路交通事故影响传播分析与控制》）：单向车行道的可能通行能力Qx=CB*N*fw*fHV*fp Qx是单向车行道可能通行能力，即在具体条件下，采用四级服务水平时所能通过的最大交通量veh/h。 CB是基本（理论）通行能力。 N是单向车行道的车道数。 fw是车道宽度和侧向净宽对通行能力的修正系数。 fHV是大型车对通行能力的修正系数，计算公式是：fHV=1/[1+ PHV（EHV-1）]，EHV 是大型车换算成小客车的车辆换算系数；PHV是大型车交通量占总交通量的百分比。 fp驾驶员条件对通行能力的修正系数，一般在0.9~1之间基本通行能力基本通行能力【basic traffic capacity】指的是在理想的道路和交通条件下，单位时间一个车道或一条道路某一路段通过小客车最大数，是计算各种通行能力的基础。通行能力通行能力【traffic capacity】指的是在一定的道路和交通条件下，道路上某一路段单位时间内通过某一断面的最大车辆数。可分为基本通行能力、可能通行能力和设计通行能力三种。

计算公式为：CAP=s1*λ1+s2*λ2+....+sn*λn（s为饱和流量，λ为绿信比）全红时间越长，通行能力越小周期时长一定的情况下，相位数越多，通行能力越大它是指道路上某一地点、某一车道或某断面处，单位时间内可能通过的最大的交通实体(车辆或行人)数，亦称道路容量、交通容量或简称容量。一般以辆/h、人/h表示。车辆多指小汽车，当有其它车辆混入时，均采用等效通行能力的当量小客车单位道路通行能力与交通量不尽相同，交通量是指道路在某一定时段内实际通过的车辆数。一般道路的交通量均小于道路的通行能力，当道路上的交通量比其通行能力小得多时，则司机驾车行进时操作的自由度就越大，既可以随意变更车速，转移车道，还可以方便地实现超车。当交通量等于或接近于道路通行能力时，车辆行驶的自由度就逐渐降低，一般只能以同一速度循序行进，如稍有意外，就会发生降速、拥挤，甚至阻滞。当交通量超过通行能力时，车辆就会出现拥挤，甚至堵塞。因此，道路通行能力同河流的过水能力一样，是道路在一定条件下所能通过的车辆的极限数值，条件不同，要求不同，其通行能力也就不同。故通行能力是一个变数

2006年全国数学建模A题题目和优秀论文赏析

2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”） A题:出版社的资源配置出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书号上，经过各个部门的运作，形成成本（策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、销售成本、财务与管理成本等）和利润。某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地分配给各个分社，使出版的教材产生最好的经济效益。事实上，由于各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。资源配置完成后，各个分社（分社以学科划分）根据分配到的书号数量，再重新对学科所属每个课程作出出版计划，付诸实施。资源配置是总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社的当年经济效益和长远发展战略。由于市场信息（主要是需求与竞争力）通常是不完全的，企业自身的数据收集和积累也不足，这种情况下的决策问题在我国企业中是普遍存在的。本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料，请你们根据这些数据资料，利用数学建模的方法，在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础的资源（书号）配置方法，给出一个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。 [附录] 附件1：问卷调查表；附件2：问卷调查数据（五年）；附件3：各课程计划及实际销售数据表（5年）；附件4：各课程计划申请或实际获得的书号数列表（6年）；附件5：9个分社人力资源细目。

出版社的资源优化配置摘要本文针对出版社资源分配问题，在满足利润最大化的追求目标的前提下，以量化分析为基础，对出版社的资源进行优化合理的分配。首先，对题目给出的海量数据进行分析，提取有用的信息，以学科为基本单位，从市场满意度，市场占有率和经济效益三项指标来综合考虑总的效益。根据盈利和销售额的同一性，预测出06年的实际销售额。利用层次分析法，确定了三项指标的权重，将所得数据归一化得到最后的分社的综合排名。其次，根据出版社人力资源的限制，考虑到每年有限的工作能力问题，求的各分社的工作能力的最小值。而对于各分社计划销量过多与实际销量，为了资源的有效利用，降低申请书号的浪费，又对申请书号进行了校正，得到校正后的有效书号。最后应用贪心算法对06年实际分配到的书号做出了分配。

车道被占用对城市道路通行能力的影响-2013年全国大学生数学建模竞赛A题

1 车道被占用对城市道路通行能力的影响摘要在城市道路中通常会发生交通异常事件，导致车道被占用，事发地段的通行能力也会因此受到影响。当交通需求大于事发断剩余通行能力时，车辆排队，产生延误，行程时间增加，交通流量发生变化。根据这些特点，我们以城市道路基本路段发生交通事故为例，主要分析了交通事故发生后道路的通行能力的变化，以及不同时间段内事故点及其上下游路段交通流量的变化，用于以后进一步突发事件下交通流的预测。针对问题一，根据道路通行能力的定义，考虑到车身大小不同，我们把所有车辆进行标准化。运用统计估算模型对视频一的车辆进行分段统计，得出未发生事故前道路通行能力2555(辆/h )。因为车辆所占车道未达到数学理论计算要求，所以我们利用修正过后城市干道通行能力的数学计算模型，计算出交通事故发生至撤离期间的理论通行能力为1356（辆/h ），进而与实际数据对比，得出相对误差。针对问题二，我们基于问题一的模型，以及附件三数据分析所得，不同车道的通行流量比例不同，对视频二的车辆各项数据的分段统计分析，得到道路实际通行能力。再根据修正的理论数学计算模型，得出理论通行能力。得到的结果与问题一的结果相比较，得出结论：在同一横断面上的实际通行能力与交通事故所占车道的车流量呈负相关性。针对问题三，我们运用了两种模型，一种结合层次分析与线性回归模型，得到理想化的函数关系式。基于层次分析模型，我们将进行问题分解，把车辆长度作为目标层，其他三个量作为准则层。通过查阅资料对各因素进行打分，计算出事故持续时间、车道通行能力、上游车流量对车辆排队长度的权重。层次分析模型得到各个指标对目标层的影响关系的大小，然后我们用线性回归模型求出各指标与目标层的具体的函数关系式为 130.0430.09263.623y x x =-+-。第二，我们运用车流波动相关理论，得到理论模型，继而得出它们之间的关系。针对问题四，我们首先考虑的是上游来车在红绿灯下的时间间断问题，所以把来车的情况作周期性分析，假设来车是间隔相同的时间连续的到来，求出一个周期内能通过的最大车流量数。然后运用等待制排队模型，当累计车辆排队长度到达上游路口后，可以通过排队论计算出时间15min 。关键词：通行能力统计估算层次分析非线性回归方程 SPSS 软件排队论车流波动

2013年数学建模A题

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题车道被占用对城市道路通行能力的影响车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。 1、视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题：根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。 1、先增后降 2、根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。差异：事故持续时间、和问题三的一起结合来 https://www.wendangku.net/doc/4e17659815.html,/p/2593135966?pn=7 3、构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。排队长度就以每一次的堵塞时到事故发生时的车辆数；路段上游车流量：就以堵塞时上游流下的车辆数；事故横断面通行能力就以堵塞时长时流走的车辆数的时间的关系事故持续时间：每一小堵塞的时间之后；

2008年数学建模竞赛题目(A题)

2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题数码相机定位数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。

图 1 靶标上圆的像有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC 边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。

图3 靶标的像请你们：（1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的焦点，x-y平面平行于像平面；（2）对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即焦点到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×786；（3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；

数学建模A题优秀论文

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：河南科技大学参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2011 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

城市表层土壤重金属污染分析摘要随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。城市工业、经济的发展，污水排放和汽车尾气排放等均能引起城市表层土壤重金属污染。而重金属污染对城市环境和人类健康造成了严重的威胁，因此对城市表层土壤重金属污染的研究具有重大意义。对于问题1，先用MATLAB软件对所给数据进行处理，插值拟合得出8种主要重金属元素在该城区的空间分布图；再用内梅罗综合污染指数评价法建立模型进行求解。首先用EXCEL对数据进行分析，得出各区的8种重金属的平均浓度；然后结合MATLAB软件求出各各种元素之间及其与海拔之间的相关系数矩阵和相关度；然后结合第一问给出的空间分布图和区域散点图，参照主要重金属含量土壤单项污染的指数，分析得出各重金属污染的主要原因主要来自工业区、主干道路区和生活区。对于问题3，由上述问题的分析可以认为重金属的分布是连续的，物质的扩散从高浓度向低浓度进行。在模型一数据处理基础上建立遍历搜索模型，结合MATLAB软件求出重金属空间分布中的极值点即可能的污染源，得出极值点后再结合《国家土壤环境质量标准》通过MATLAB软件对极值点进行筛选，得出8种重金属元素的主要污染源。对于问题4，对所建立的模型进行分析，找出了各个模型的优缺点。然后分析影响城市地质演化模型的因素，为更好地研究城市地质环境的演变模式，从动态和多元的角度出发，还应搜集采样点的长期动态数据和岩石、土壤、大气、水和生物等因素的相关信息，分别建立动态动态传播模型和城市地质环境的综合评价预测模型。关键词：梅罗综合污染指数评价法污染等级相关矩阵遍历搜索模型污染源一、问题重述随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0-10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自

2013年全国大学生数学建模竞赛A题

1 车道被占用对城市道路通行能力的影响摘要在城市道路常会发生交通异常事件，导致车道被占用，事发地段的通行能力也会因此受到影响。当交通需求大于事发断剩余通行能力时，车辆排队，产生延误，行程时间增加，交通流量发生变化。根据这些特点，我们以城市道路基本路段发生交通事故为例，主要分析了交通事故发生后道路的通行能力的变化，以及不同时间段事故点及其上下游路段交通流量的变化，用于以后进一步突发事件下交通流的预测。针对问题一，根据道路通行能力的定义，考虑到车身大小不同，我们把所有车辆进行标准化。运用统计估算模型对视频一的车辆进行分段统计，得出未发生事故前道路通行能力2555(辆/h )。因为车辆所占车道未达到数学理论计算要求，所以我们利用修正过后城市干道通行能力的数学计算模型，计算出交通事故发生至撤离期间的理论通行能力为1356（辆/h ），进而与实际数据对比，得出相对误差。针对问题二，我们基于问题一的模型，以及附件三数据分析所得，不同车道的通行流量比例不同，对视频二的车辆各项数据的分段统计分析，得到道路实际通行能力。再根据修正的理论数学计算模型，得出理论通行能力。得到的结果与问题一的结果相比较，得出结论：在同一横断面上的实际通行能力与交通事故所占车道的车流量呈负相关性。针对问题三，我们运用了两种模型，一种结合层次分析与线性回归模型，得到理想化的函数关系式。基于层次分析模型，我们将进行问题分解，把车辆长度作为目标层，其他三个量作为准则层。通过查阅资料对各因素进行打分，计算出事故持续时间、车道通行能力、上游车流量对车辆排队长度的权重。层次分析模型得到各个指标对目标层的影响关系的大小，然后我们用线性回归模型求出各指标与目标层的具体的函数关系式为130.0430.09263.623y x x =-+-。第二，我们运用车流波动相关理论，得到理论模型，继而得出它们之间的关系。针对问题四，我们首先考虑的是上游来车在红绿灯下的时间间断问题，所以把来车的情况作周期性分析，假设来车是间隔相同的时间连续的到来，求出一个周期能通过的最大车流量数。然后运用等待制排队模型，当累计车辆排队长度到达上游路口后，可以通过排队论计算出时间15min 。关键词：通行能力统计估算层次分析非线性回归方程 SPSS 软件排队论车流波动

2010年全国数学建模A题答案

储油罐的变位识别与罐容表标定摘要加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，需要采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。但是许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。需要定期对罐容表进行重新标定。在求解过程中，我们对于罐体无变位、罐体产生纵向变位、罐体在水平和纵向都产生变位三种情况，利用解析几何的方式计算出体积与变位参数之间的关系，同时应用契比雪夫多项式对体积值进行近似多项式展开用以对标高和出油量的关系进行拟合表示，得到较为满意的效果。第一问、(1)针对无变位情况，我们计算得到椭圆油罐容积表达式为： abl v b h v b h v b h V ??????-+---+=arcsin )(12 2' π椭，利用契比雪夫多项式方法在提高拟合精度的前提下用5阶多项式拟合处标高和容量之间的函数关系；(2)对于纵向变位的情况，当椭圆型罐体发生变位纵向变位角度O =1.4α时,我们利用体积等效思想，讲上述罐内不规则油量容积的计算转为(1)中规则油容进行计算，利用附件 (1)中数据利用最小二乘拟合方法算出油位高度的真实值，继而利用拟合多项式： 408.5976 -H 395.774852.5322H -13.2498H 1.1361H - 0.0320H 2345++=椭变V 进行间隔为1cm 的此罐容表进行标定，得出的表标定值如下： 1cm 2cm 3cm 4cm ??? 118cm 119cm 120cm 0L 0L 0L 0L ??? 4017.26L 4050.08L 4082.80L 第二问、(1)利用第一问中等体积的思想，我们同样可以对纵向倾斜角度α和横向倾斜角度β时进行数学模型的建立。(2)在模型的建立过程中得到一个关于浮游子高度H 和偏转角α、β以及等效高度h 之间的一个表达式，从而利用最小二乘拟合确定变位参数α、β。(3)利用已给数据求得表达式： ααηtan 2tan 10++-=+h R z ，继而再次利用拟合拟合多项式得出间隔为10cm 值： 10cm 20cm 30cm ??? 280cm 290cm 300cm 1352.17 2223.85 3082.13 ??? 60303.88 60690.98 61807.31 利用附表（2）中的数据进而进行模型正确性与可靠性的检验。关键词：储油罐罐容表变位契比雪夫公式等效高度最小二乘拟合

2010全国大学生数学建模竞赛A题

2010全国大学生数学建模竞赛A题合作人：何争流，史剑作者：学院：计算机科学与技术；学号：文摘：加油站、燃油生产厂一般都用储油罐来储存燃油，并通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。但许多储油罐在使用一段时间后，罐体位置会因地基变形等原因发生变化，从而导致罐容表发生改变，故需定期对罐容表进行重新标定。关键词：储油罐，变位，重新标定，几何法，拟合--插值法。正文：储油罐可能发生纵向倾斜和横向偏转，故需从这两方面研究罐体变位后的标定问题，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系，进而对罐容表进行重新标定。两端平头的小椭圆形储油罐情形拟合—插植法首先我们根据所给的数据，求出拟合函数：设x为测得油位高度，y为罐内油量。 (1)进油情形：1、无变位进油，初值为262L。设v为测量体积，h为测量高度，对表中数据进行拟合。2、斜变位进油（θ=4.1），初始值为215L。设v2为测量体积，h2为测量高度，则由表中数据进行拟合。对无变位（θ=0）和斜变位（θ=4.1）进油时的数据作图、拟合得到油位高度与罐内储油量的函数关系。函数的差别为系数不同，而系数不同是由角度不同引起的，所以我们想到对系数关于θ插值，得出θ为变位角，转化为弧度表示则 a7 = -2.7165e-005*g-5.5000e-008 a6=0.0134*g+2.4000e-005 a5= -2.7332*g+0.0043 a4=315.3631*g+0.42 a3= -2.0587e+004*g-26 a2=8.0726e+005*g+1200 a1= -1.6824e+007*g+4600 a0=1.5337e+008*g+19000 当θ=1.8时，g=0.0314,带入上面的式子得到： y=-9.0841e-007*x^7+4.4497e-004*x^6-0.0816*x^5+10.3274*x^4-672.7597*x^3+

2014年全国数学建模a题解析

承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要嫦娥三号卫星着陆器实现了我国首次地外天体软着陆任务。要保证准确的在月球预定区域内实现软着陆轨道与控制策略的设计。问题一运用活力公式[1]来建立速度模型，利用matlab软件代入数值计算出。所求速度33 ?? (=1.692210m/s,=1.613910m/s) v v 远近采用轨道六根数[2]来建立近月点，远月点位置的模型。轨道根数是六个确定椭圆轨道的物理量，也是联系赤道直角坐标与轨道极坐标重要夹角的关系。通过着陆点的位置求出轨道根数各个值的数据，从而确定近月点，远月点的位置，坐标分别为(19.51W 27.88N 15KM),(160.49 27.885S 100KM) E。问题二“嫦娥三号”软着陆过程中需要经历6个不同的阶段,对于主减速阶段，在极坐标系下建立其运动方程。结合Pontryagin极大值原理[3]和哈密顿函数[4]，化简出燃料最省的软着陆轨道方程，得出最优控制变量的变化规律。对于其它各阶段，将其简化为加速度不同的线性运动模型，利用动能定理得出相应轨道方程和控制策略。问题三对第二问中求出的“嫦娥三号”推力和速度切线方向夹角?,给?增加或减小一个角度?,分别求出各个对应的近月点坐标'y。之后求各个坐标与其原始值之间的变化量'y并求其平均值'y，得到其敏感性因数，敏感性系数越大，说明该属性对模型的影响越大。关键字：活力公式轨道六根数 Pontryagin极大值原理燃料最省

数学建模2010A题

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：大学参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

日期： 2016 年 7 月 7 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：摘要本文主要研究当卧式储油罐发生位变时罐油位高度和储油量的变化情况。储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。所以需要用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定。针对问题一，要求研究罐体变位后对罐容表的影响问题，首先建立椭圆柱体在无变位时体积与高度的计算模型，并通过解析几何知识和微积分原理求解出液面高度与体积的关系模型为： 2**h a V l b -=? 利用Matlab 最终求解出椭圆柱体储油罐无变位时储油量与罐油位高度的对应关系表达式。然后再利用二重积分的方法建立了变位后的储油罐液面高度与体积之间的关系： 20.5 4z V --=??