突破向量问题的四个切入点
向量是近年考试的热点,也是同学们普遍感觉知识虽然清楚,但解题却经常困难的一类问题。尤其碰到条件中数形关系繁杂,条件隐蔽或抽象的问题,常会感觉缺乏解题思路,不知如何下手。事实上突破向量问题有“法”可依,可总结为:“化归基底,善用坐标,关注几何,突显意义”。下面我们就以一道题为例,来谈谈突破向量问题的四个切入点。
例 已知O 是ABC ?的外心,23+2=1AB AC x y ==,,,若AO xAB yAC =+ ,则
cos =BAC ∠ .
一、化归“基底”是根本出发点
通常向量问题的考查都是需要用已知向量来表示目标,通过已知向量的运算解决目标问题。因此,在解决向量有关问题时,我们首先要在题目描述的众多向量中,找出哪些是已知的可作为基底的向量,以及如何用它们得到目标?可以说,化归基底是解决许多向量问题的关键切入点及基本思想.
解法一:根据已知条件23AB AC ==,,我们可将,AB AC 看作基底,结合ABC ?外
接圆的半径O A O B O C == 建立方程:由A O x A B =+ 可得
222||4912c o s A O x y x y B A C
=++∠ (①),又AO AC CO =+ ,所以 (1)CO AO AC xAB y AC =-=+- ,所以222||49(1)12(1)cos CO x y x y BAC =+-+-∠ (②).
②-①可得189cos 12y BAC x -+∠=,代入+2=1x y ,可得cos =BAC ∠34
=. 点评:根据向量的基本定理,平面上任意两个不共线的向量可表示其它任意向量,空间任意两个不共面的向量可表示其它任意向量,我们知道向量的运算需要它们的模长和夹角,因此,解决向量问题时,一定要关注那些已知长度、夹角或数量积等具有基底特征的向量,将要解决的目标向量问题化归为基底向量的问题.
二、利用坐标简化基底运算
如果能以正交单位向量为基底,就可考虑采用坐标表示法的坐标表示解决向量问题,这样会比采用一般向量为基底来运算更简捷.
解法二:如图1所示,以A 为坐标原点,AC 为x 轴建立坐标系.设
BAC α∠=,则(2cos ,2sin )B αα.因为O 为ABC ?的外心,设O 的纵坐标为
0y ,则03,2O y ?? ???.因为AO xAB y AC =+ ,提取AO x AB y AC
,,的横坐标,可得32cos 32x y α=+,代入21x y +=有32cos 2x x α=,解得3cos 4
α=,即cos =BAC ∠34
. 点评:解法二用向量的坐标形式简化了运算.建立恰当的坐标系,常常能有效地简化解题过程.解题时应关注题目中所描述图形的垂直、直角或对称等信息,通过恰当建立直角坐标系,精简运算,方便发现其中特征或关系,从而切入正题,突破疑难.
三、结合图形几何性质优化解题
恰当的结合图形几何性质,是优化向量解题的常用思路.
解法三:如图2
所示,根据三角形外心是三角形中垂线交点这一几何性图
1
图2
质,我们取AC 的中点M ,根据0M O
A C ?= 建立目标方程:因为AO AM MO xA
B yA
C =+=+ ,又12AM AC = ,所以12MO x AB y AC ??=+- ??
? ,该式两边同乘AC ,可得210=2MO AC xAB AC y AC ???=?+- ??? ,即11923cos +9=022x AB AC y x BAC y ?????+-?=???∠-? ? ????? ,代入+2=x y ,可得
3c o s 4
BAC ∠=
. 点评:解决向量问题时,应留心题中是否能构建三角形、圆等图形,关注其中的平行、垂直、中点、向量成比例等条件,如由垂直联想直径所对圆周上的点,角分线分对边与所对两边的比值相等等.通过联系相关的几何性质和几何特征,构造符合条件的几何模型,是切入向量问题经常使用的方法.
四、根据向量几何意义妙解
向量兼有“数”“形”的双重特点,同学们应注意发现向量的运算及关系式的几何意义,结合“数”“形”特征分析切入问题,往往能抓住关键,事半功倍. 解法四:根据21x y +=联想向量共线的几何意义:取AC 的中点M ,可得
13=22
AM AC =,因为2AO xAB y AM =+ ,由21x y +=可得,,O B M 共线,由三角形外心的性质可得OM AC ⊥,即ABM ?为直角三角形,所以
cos =BAC ∠3
32cos 24
AM BAM AB ∠===. 点评:向量的运算都有其几何意义,如由向量的加法或减法可以联想到平行四边形或三角形,由数量积可以联想一个向量在另一向量上的投影,由共起点向量的关系式可以联想终点共线的特征等,之后我们就可以结合图形特点高效解题.
【练一练】
1、已知ABC ?
中,4,AB AC BC ===,点P 为BC 边所在直线上的一个动点,则()AP AB AC ?+ 满足( )
A.最大值为16
B.为定值8
C.最小值为4
D.与P 的位置有关
2、在直角坐标系xoy 中,已知点(0,1)A 和点(3,4)B -,C 点在AB 上且OC 是AOB ∠的角平
分线,则OC = .
【参考答案】
1、B 解析:切入法一:利用数量积的几何意义求,因为是等腰三角形2AB AC AM += ,AM
为高,所求为22||8AM = .切入法二:化基底求:基底显然为AB AC 、
,利用共线
(1)AP AB AC λλ=+- ,代入化为λ的函数求.
2、13(,)22
-解析:切入法一:(由角分线的向量表示): 由题设知(0,1)OA = ,(3,4)OB =- OC 是∠AOB 的角平分线∴可设()5OA OB OC OA OB OA OB
λλλ=+=+ 又C 点在AB 上所以15λλ+=,解得56
λ=故5113(,)6622OC OA OB =+=- .切入法二(由角分线的几何性质):15
OA AC OB CB == ,故5166OC OA OB =+ 13(,)22=-
平面向量常见题型与解题方法归纳 (1) 常见题型分类 题型一:向量的有关概念与运算 例1:已知a是以点A(3,-1)为起点,且与向量b = (-3,4)平行的单位向量,则向量a的终点坐标是. 例2:已知| a |=1,| b |=1,a与b的夹角为60°, x =2a-b,y=3b-a,则x与y的夹角的余弦是多少 题型二:向量共线与垂直条件的考查 r r r r 例1(1),a b r r为非零向量。“a b⊥r r”是“函数()()() f x xa b xb a =+?-
为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 (2)已知O ,N ,P 在ABC ?所在平面内,且 ,0OA OB OC NA NB NC ==++=,且PA PB PB PC PC PA ?=?=?,则点O ,N ,P 依次是ABC ?的 A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 例2.已知平面向量a =(3,-1),b =(21, 2 3).(1) 若存在实数k 和t ,便得x =a +(t 2-3)b , y =-k a +t b ,且x ⊥y ,试求函数的关系式k =f(t);(2) 根据(1)的结论,确定k =f(t)的单调区间. 例3: 已知平面向量a ?=(3,-1),b ?=(2 1,23),若存在不为零的实数k 和角α,使向量c ?=a ?+(sin α -3)b ?, d ?=-k a ?+(sin α)b ?,且c ?⊥d ?,试求实数k 的
取值范围. 例4:已知向量)1,2(),2,1(-==b a ,若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2 +-=++=与垂直,求k 的最小值. 题型三:向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合,题目新颖而又精巧,既符合在知识的“交汇处”构题,又加强了对双基的考查. 例7.设函数f (x )=a · b ,其中向量a =(2cos x , 1), b =(cos x ,3sin2x ), x ∈R.(1)若f(x )=1-3且x ∈[-
一,向量重要结论 (1)、向量的数量积定义:||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=, 22||a a a a ?== (2)、向量夹角公式:a 与b 的夹角为θ,则cos |||| a b a b θ?= (3)、向量共线的充要条件:b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈,使b a λ=。 (4)、两向量平行的充要条件:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= (5)、两向量垂直的充要条件:向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += (6)、向量不等式:||||||a b a b +≥+,||||||a b a b ≥? (7)、向量的坐标运算:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =,则a b ?=1212x x y y + (8)、向量的投影:︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 (9)、向量:既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。相等 向量:长度相等且方向相同的向量。 (10)、零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a = 0 ?|a |=0 由于0的方向是任意的, 且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) (11)、单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?| 0a |=1 (12)、平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b (即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 注:解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ,要会求出直线的斜率; (2)给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; (3)给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; (4)给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; (5)给出以下情形之一:①AC AB //;②存在实数,AB AC λλ=使;③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. (6) 给出λλ++=1OP ,等于已知P 是AB 的定比分点,λ为定比,即λ= (7) 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 ( 8)给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ (9)在平行四边形ABCD 中,给出0)()(=-?+,等于已知ABCD 是菱形;
对阅读教学中切入点的一些体会 发表时间:2011-02-13T11:05:35.780Z 来源:《中小学教育》2011年第1期下供稿作者:邹平东 [导读] 只有这样,找准切入点,开展扎实的语文训练,才能实现朱作仁教授提出的“三实”即真实、朴实、扎实。 邹平东江苏省灌云县下坊中心小学222213 不知不觉,在三尺讲台上已奋斗了几十年,聆听过名师的教学,欣赏过新秀的课堂,每一次,都仿佛被洗礼一番,总觉得他们的课高不可攀,令自己望尘莫及。为什么他们的课上得那么轻松自如呢?我一直在思索,语文课究竟该怎么上?虽然我一直在努力,可课后总觉得美中不足,仿佛自己就是一只井底的青蛙,只看到井口那么大的天。究竟何时才能领悟阅读教学的真谛呢?下面我就谈谈阅读教学切入点的一点思考。 一、如何找准小学语文阅读教学的切入点? 我们教学所面临的共同的难题,就是怎样抓住这个点、抓准这个点、抓好这个点。多年的语文教学,我摸索着边学习、边前进,下面就谈一谈我的一些想法。 第一,从课题入手。 例如: 《鼎湖山听泉》,这是著名散文家谢大光的一篇优美的写景散文,记叙了游览鼎湖山时的所见、所闻、所感。重点介绍了鼎湖山奇妙的泉声和听泉时美妙的感受,字里行间处处流露出作者对鼎湖山泉水、对大自然的深爱之情。在出示题目的时候,我让学生找出题目中的关键词——听泉,然后问学生:围绕“听泉”课文会写些什么内容?通过讨论,学生初步明确了应该写奇妙的泉水声和听泉时的奇妙感受。我接着问:怎样写出泉水声呢?学生回答:应展开丰富的想象,并适当写点听泉的感受。这样,经过对这两个问题的讨论,学生一下子明确了课文的主要内容,起到了事半功倍的效果;再加上老师声情并茂的范读,更是把这节课推向了高潮。 第二,从中心句(关键句)入手。 例如:《莫高窟》,这篇课文语言优美、结构清晰,生动地介绍了莫高窟精美绝伦的彩塑、宏伟瑰丽的壁画和曾藏有数万件珍贵文物的藏经洞,向我们展示了莫高窟这一举世闻名的艺术宝库,赞扬了古代劳动人民的无穷智慧和伟大的创造力。教学《莫高窟》,我没有按照平常的教法,而是我首先抓住文章的关键句子——“莫高窟不仅有精美绝伦的彩塑,还有四万五千多宏伟瑰丽的壁画”,以此为切入点,抓住关键词语“精妙绝伦”、“宏伟瑰丽”,然后围绕它们整合话题:从课文哪些语句可以看出彩塑的精美绝伦?又从哪些语句能看出壁画的宏伟瑰丽呢?学生紧紧抓住这两个问题阅读文本、解读文本,所有难题迎刃而解。教师再加以适当的朗读指导和扎实的语言训练,真可谓“牵一发而动全身”。 第三,篇末切入,逆向思维,直奔主题。 例如:《只拣儿童多处行》,这是现代著名作家、儿童文 学作家冰心的一篇散文。冰心说过:“世界上没有一朵鲜花不美丽,也没有一个学生不可爱。”文章以欢快的笔调描写了生机勃勃的“赶春”儿童和春天里充满旺盛生命力的花儿,字里行间洋溢着一种勃勃的生机,流露出冰心奶奶对儿童深深的爱意,令人感到无限的快乐。在进行教学设计时,我根据散文“形散而神不散”这一特点,紧紧地抓住文中冰心奶奶说的那句诗——“游人不解春何在,只拣儿童多处行”,直接导入了课文第九自然段——朋友,春天在哪里?记住,“只拣儿童多处行”,是永远不会找不到春天的。进行质疑,揭示中心话题——为什么“只拣儿童多处行”就一定能找到春天?再围绕话题,展开教学活动。 只有这样,找准切入点,开展扎实的语文训练,才能实现朱作仁教授提出的“三实”即真实、朴实、扎实。 二、找准阅读教学的切入点,要求老师做些什么呢? “潜心会文”至关重要。张庆老师也说:“务本的本,有三层意思:一指以学生为本位;二指语文的本体;三指文本。语文教学应在这“三本”上下功夫。识、写、读、背、作、说、习就是听说读写,是语文的本体。三个目标的落实主要靠文本,本体不能忽略,丢掉就不是语文课了。教师引导学生去钻研文本,教师本人更应该去认真钻研文本,要在钻研文本上下功夫。” 记得有位特级教师曾说过:这法、那法,不吃透教材就没法。于永正老师也说过:语文老师不要带着疑点进课堂;走进课堂时应自问,自己还有没有疑点。课标中所说的钻研文本,可不是一般地读,而是要深入进去读,要吃透教材,能够与作者对话。只有认真地研读文本、钻研教材、吃透教材,才能加强课堂的预设。预设得很成功,才会有精彩的生成。所谓生成与精彩的生成,要有一定的情绪场,这个情绪场就来自老师和学生对文本的吃透程度。教师要做一个文本阅读的先行者,真正深入文本,以切入点为圆心,紧扣文本语言,引导学生揣摩,仔细品味;借助这个点,从一个词入手,从一个关键句入手,在阅读文本的过程中激发共鸣,做到“提领而顿,百毛皆顺”。 三、找准阅读教学的切入点,要求学生做些什么呢? 张庆老师说:课文不读熟,决不开讲。当前的阅读教学还是应该以读书、去进行读书的教学实践作为主线,应当以读书作为课堂教学的主线,要强化初读环节。我们都知道初读是改革阅读教学的突破口,在初读这一环节要求学生一定要把课文读熟,要读得准确、流畅,这样在阅读教学中才能实现学生与老师的对话、学生与文本的对话,真正达成阅读教学的高效性。 四、找准阅读教学的切入点,吹尽狂沙始到金。 刘禹锡在《浪淘沙》里写道:千淘万漉虽辛苦,吹尽狂沙始到金。是的,“潜心会文”,只有做到这一点,我们才能把握“读什么”、“教什么”,领会阅读教学的真谛;才能做到丰富而不繁杂,简简单单教语文,真正实现张庆老师说的“倡简、务本、求实、有度” 的八字方针。
平面向量部分常见的题型练习 类型(一):向量的夹角问题 1.平面向量, 4==且满足2.=,则与的夹角为 2.已知非零向量, (2-⊥=,则与的夹角为 类型(二):向量共线问题 1. 已知平面向量),(x 32=,平面向量),,(182--=b 若a ∥b ,则实数x 2. 设向量),(,(3212==若向量b a +λ与向量)74(--=,共线,则=λ 3.已知向量) ,(,(x 211==若24-+与平行,则实数x 的值是( ) A .-2 B .0 C .1 D .2 类型(三): 向量的垂直问题 1.已知向量b a b x a ⊥==且),()6,3(,1,则实数x 的值为 2 .已知向量=--==b b a n b n a 与),若,(),,(211 3.已知=(1,2),=(-3,2)若k +2与2-4垂直,求实数k 的值 4. 42==,且b a 与的夹角为 3 π ,若的值垂直,求与k b a k b a k 22-+。 类型(四)投影问题 1. ,45==,与的夹角3 2π θ=,则向量在向量上的投影为 2. 在Rt △ABC 中,===∠AC C .,4,2 则π 类型(四)求向量的模的问题 1. 已知零向量====b a a ,则),(2510.,12 2. 已知向量, ====221 3. 已知向量a )3,1(= ,=+-=)0,2( 4. 设向量, 1== 及34=- ,求3+的值 类型(五)平面向量基本定理的应用问题 1.若=(1,1),=(1,-1),=(-1,-2),则等于 ( ) (A) 2321+- (B)2321-- (C)b a 2123- (D)b a 2 123+-
如何找准小学语文阅读教学的切入点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
牵一发而动全身 ——关于文本解读研讨总结 辛安二小 一、问题的提出: 什么是切入点?王松舟说是“语言的秘妙”;支玉恒说是“最触动自己的一个词或者一句话”;我的理解是能引发学生触及作者“情动”的一道“门”,找到这个“门”,老师就可以“造势”与“顺势而导”,学生就能进入了课文的情境中,顺着作者的“情感历程”感受语言的魅力(魔力)。 如何找准这道“门”这是这次集体研讨的重要内容。 二、选择切入点的策略 阅读教学是学生、教师、文本之间对话的过程,从什么地方开始对话,用怎样的话题和方式开展对话,这就是教学的切入点。一个好的切入点,能使学生产生学习的兴趣、研究的欲望、思维的火花。选择阅读教学的最佳切入点,往往能体现教师的教学艺术和业务素养。(一)从文章题目切入 题目是文章的眼睛,眼睛是心灵的窗户,抓住文章的题目,打开心灵之窗是迅速切入文章内容的有效途径。如朱自清的《匆匆》一课,根据题目,我们可以提出一个问题:课文写的什么匆匆呢(时间)那么作者是怎样写出时间来去匆匆呢 (二)从文章开头切入 每篇文章的开头都是精心雕琢的,也是最有意味的。如《手指》一课开头一段:我们每个人,都随时随地随身带着十根手指,永不离身。一只手上的五根手指,各有不同的姿态,各具不同的性格,各有所长,各有所短。那么这五根手指都有什么特点呢?由文章的开头直接引出切入点。
(三)从文眼切入 课文里常有或者点明主旨、或者概括内容、或者凝聚情感的句子。这类句子往往起着统摄全文的作用。教学时,我们抓住这类句子并且以此为切入点,梳理出它与课文各个部分的联系,往往会收到纲举目张的效果。如:《一夜的工作》一课中有这样一句话:我看见了他一夜的工作。他是多么劳苦,多么简朴。抓住这句话,我提出一个问题做为本课的切入点:从哪些地方能看出总理劳苦、简朴? (四)从文章结尾切入 龙头,猪肚,豹尾。好文章的结尾总是意犹未尽,余味无穷。如:《匆匆》一课结尾:你聪明的,告诉我,我们的日子为什么一去不复返呢借此,我提出了一个切入点:从课文的哪些描写中能感受到我们的日子一去不复返呢 (五)阅读教学选择切入点还应该注意:第一,切口要精道小巧。“一千个读者就有一千个哈姆雷特”。一篇文章,无论从那个角度都有无尽的味道,选取切入点的目的就是要确定阅读的方向。切点越小,越便于师生集中有限的时间突破重点难点。第二,切点要提纲挈领。好的切入点,是能够发散和收缩全文内容的,即“牵一发而动全身”。所以选择切入点之前,必须整体把握教材,全面了解学生。第三,切法要富于变化。八仙过海,各显神通。具体操作起来,因课而异,因人而异。但只要我们用心思考,用心创造,阅读教学课堂既可以精彩纷呈,还可以事半功倍,何乐而不为呢? 二、今后备课研讨的流程。 1、第一次备课。教研组确定上课教师后、上课教师按确定的教学课题进行基于个人经验进行备课。备课的流程大约分为:文本解读、教学目标、教学重难点、教学过程。
第五章 平面向量 题型57 平面向量的概念及线性运算 ? 知识点摘要: 1. 向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量,一般用c b a ,,来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如AB (其中A 为起点,B 为终点)。 2. 向量的大小:又叫向量的模,也就是向量的长度,记作||a 或||AB 。 3. 零向量:长度为0的向量,记作0,其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线(平行),即a ∥0。 4. 单位向量:模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时,很明显| |a a ± 是与向量a 共线(平行)的单位向量。 5. 相等向量:大小相等,方向相同的向量,记为b a =。 6. 相反向量:大小相等,方向相反的向量,向量a 的相反向量记为a -。 7. 共线向量(平行向量):方向相同或方向相反的向量,叫做平行向量,也叫做共线向量,因为任何平行向量经过平移后,总可以移到同一条直线上。 一、向量的线性运算 1. 向量的加法: 1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,,在平面内任取一点A ,作b BC a AB ==,,则向量AC 叫做向量a 和b 的和(或和向量),即AC BC AB b a =+=+。 1.2. 向量加法的几何意义:向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则,如图: 1.3. 若向量b a ,不共线,加法的三角形法则和平行四边形法则都适用;当向量b a ,共线时,只能用三角形法则。 1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和,如图:
2. 向量的减法: 2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量,即)(b a b a -+=-。 2.2. 向量减法的几何意义:向量的减法符合三角形法则,同起点,指向被减数,如图: 3. 向量的数乘运算: 3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量,记为a λ,其长度与方向规定如下: ①||||||a a λλ= ②当0>λ时,a λ与a 的方向相同;当0<λ时,a λ与a 的方向相反;当0=λ时,0=a λ,方向不确定。 3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ,为实数,则 ①a a a μλμλ+=+)(; ②a a )()(λμμλ=; ③b a b a λλλ+=+)(。 二、重要定理和性质 1. 共线向量基本定理:如果)(R b a ∈=λλ,则b a ∥;反之,如果b a ∥且0≠b 时,一定存在唯一实数λ,使b a λ=。 2. 三点共线定理:平面内三点A,B,C 共线的充要条件是,存在实数μλ,,使μλ+=,其中 1=+μλ,O 为平面内任一点。即A,B,C 三点共线?OC OB OA μλ+=(1=+μλ) ? 典型例题精讲精练: 57.1平面向量相关概念 1. 给出下列命题:①若a =b ,b =c ,则a =c ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB ―→=DC ―→ 是四 边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③a =b 的充要条件是|a |=|b |且a ∥b ;④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ;其中正确命题的序号是________.[答案] ①② 2. 给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;②λa =0(λ为实数),则λ必为零;③λ, μ为实数,若λa =μb ,则a 与b 共线.其中错误的命题的个数为( )D A .0 B .1 C .2 D .3
平面向量部分常见的题型练习 类型(一):向量的夹角问题 1?平面向量a,b,满足a =1,b =4且满足a.b = 2,则a与b的夹角为 _________ 2?已知非零向量a,b满足a = b,b丄(b—2a),则a与b的夹角为___________ 3?已知平面向量a,b满足(a -b).(2a - b) —4且*2,” 以且,则a与b的夹角为_________________ 4?设非零向量a、b、c满足| a |=| b |=| c |,a ■ b = c,则:::a, b = ____ 5?已知a =2」b| =3, a +b = J7,求a与b的夹角。 6?若非零向量a,b满足a = b ,(2a+b).b=0,则a与b的夹角为____________ 类型(二):向量共线问题 1. 已知平面向量a =(2,3x),平面向量b =( 一2,18),若a // b,则实数x ____________ 2. 设向量a = (2,1),b = (2,3)若向量,a - b与向量c = (- 4, - 7)共线,则,- 3?已知向量a (1,1),b (2, x)若a b与4b - 2a平行,则实数x的值是( ) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 4已知向量OA =(k,12),0B =(4,5),OC =(-k,10),且A, B, C三点共线, 则k = ___ 5. 已知A (1,3), B (—2,—3), C (x,7),设AB =a , BC = b 且a // b,则x 的值为() (A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 18 6. 已知a= (1, 2), b= (-3 —2)若k a+2b与2a-4b共线,求实数k的值; 7. 已知a —c是同一平面内的两个向量,其中 a = (1 —2)若|^ = 2. 5,且a // c,求c的坐标 —I- 8. n为何值时,向量a ( n ,1)与b = (4, n)共线且方向相同? 9. 已知a = 3,b = (1,2),且a // b,求a的坐标。 10. 已知向量a (2, -1),b ( -1, m),c =(-1,2),若(a b)// c,则m= ________________ 11. 已知a,b不共线,c =ka ? b,d =a -b,如果c // d,那么k= _________ ,c与d的方向关系
《平面向量》题型汇总 类型(一):向量的夹角问题 1.平面向量b a ,41==且满足 2.=b a ,则b a 与的夹角为 . 2.已知非零向量b a ,)(a b b 2-⊥=,则b a 与的夹角为 . 3.已知向量,满足 424)2.(==-=+-b a b a )(,则与的夹角为 . 4.设非零向量、、满足=+==|,|||||,则>=<, . 类型(二):向量共线问题 1.已知向量),(,(x 211==若24-+与平行,则实数x 的值是 . 2.已知),(),,(),,(73231x C B A --=,=且∥, 则x= . 3.已知a =(1,2),=(-3,2)若k +2与2-4共线,则k= . 4.已知,不共线,k -=+=,,如果∥,那么k= ,与的方向关系是 . 5. 已知向量且),(,(,221m -==a ∥b ,则=+b a 32 . 类型(三): 向量的垂直问题 1.已知向量=--==n n 与),若,(,(211 . 2.已知),1,1(),0,1(==b a 当λ= 时,与λ+垂直? 3.已知,24),(=与垂直的单位向量的坐标为 . 4. 已知向量的值为垂直,则实数与且向量),(λλb a b a b a 2)0,1(,23-+-=-= 5. =⊥-===k k 若(),(),2,()3,1(,13 . 6. ,若向量),(+-==)3,2(,21∥b ,___=+⊥(
类型(四)投影问题 1.已知,4,5==b a ,b a 与的夹角32πθ=,则向量b 在向量a 上的投影为 2.在Rt △ABC 中,===∠AC AB AC C .,4,2则π 3.关于c a b a ..=且0≠a ,下列几种说法正确的是 ① )(c b a -⊥; ② b ⊥c ; ③0).(=-c b a ④b 在a 方向上的投影等于c 在a 方向上的投影 ; ⑤a b λ=; ⑥c b = 类型(四)求向量的模的问题 1. 已知零向量==+==b b a b a a ,则),(25,10.,12 . 2. 已知向量b a ,满足=+=-==b a b a b a ,则2,2,1 . 3. 已知向量a )3,1(=,=+-=b a b ,则)0,2( . 4.已知向量b a b a -==则),cos ,1(),sin ,1(θθ的最大值为 . 5. 设向量a ,b 满足的值为则b a b a a b a +-⊥==2),2(,2,1 . 类型(五)平面向量基本定理的应用问题 1.若a =(1,1),b =(1,-1),c =(-1,-2),则c 等于 ( ) (A) b a 2321+- (B)b a 2 321-- (C)b a 2123- (D)b a 2 123+- 2.如图,已知O 为平行四边形ABCD 内一点,OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,则OD →= . 3.已知b a c c b a μλμλ+=-===的值,使和),求,(),,(),,(011101
找准文本解读的切入点,提高阅读教学有效性 组别:小语高段组 成员:段成英张德平余志红段来玉白璐李静 1、课题界定及理论依据 【课题界定】 阅读教学中有效切入点就是一篇文章中最能起到“牵一发而动全身”效应的内容部位。这内容部位不仅仅局限于构成文章的主要元素——字、词、句、段、图,也可以是其它相关的内容,如文章题目、作者的思路、读者的疑问,甚至是各种学习方法……借用“庖丁解牛”喻之:文本是“全牛”,而切入点就是那“节之有间”中的“间”,只有找准了“间”,才能“以无厚入之有间,恢恢乎其于游刃必有余地矣”。 【理论依据】 (1)、有效教学理论:有效教学的理论源于20世纪上半叶,是20世纪极具代表性的教学思想。代表人物有斯蒂文思、斯金纳、加涅等,是本课题研究的已有经验和理论基础。 (2)、进行小学阅读教学中有效切入的探究,符合心理学原理。根据心理学研究的小学生注意规律表明,在语文的阅读教学实践中,有效的切入点寓含了作者传递的重要信息,如对中心事件或主旨的概括,对作品人物和对象的标的,对行文线索的显示,对作者情感的涵蕴,对文本体裁的表明等。作为教师,应根据文本的内容和学生的兴趣,找准切入点,利用学生注意的年龄特点,使他们产生学习的兴趣、研究的欲望、思维的火花,使学生的学习转向随意注意和随意后注意,从而使阅读教学事半功倍,大大提高课堂实效。 (3)、现代教育学证明:有效的切入是一种艺术,被喻为教师谱写的教学乐章的“前奏”,是师生间情感共鸣的“第一个音符”,是师生心灵沟通的“第一座桥梁”。成功的阅读教学总是与有效的切入有着重要的关系。 2、选题背景及研究意义: 【选题背景】 做为小学语文教师,要清楚在不同的年级,不同的课文里,都有学习的重点,不要全面铺开,否则就会“语文课模糊,学生迷糊”。任何一篇课文都包含很多的教学内容,这些内容我们在一堂具体的课文教学中若要面面俱到,是不可能的,那只会导致“老虎吃天无从下口”的局面以及课堂教学的低效和混乱。
平面向量题型归纳 一。向量有关概念:【任何时候写向量时都要带箭头】 1。向量得概念:既有大小又有方向得量,记作:或。注意向量与数量得区别.向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。 例:已知A(1,2),B(4,2),则把向量按向量=(-1,3)平移后得到得向量就是 2、向量得模:向量得大小(或长度),记作:或. 3。零向量:长度为0得向量叫零向量,记作:,注意零向量得方向就是任意得; 4.单位向量:单位向量:长度为1得向量。若就是单位向量,则。(与共线得单位向量就是); 5。相等向量:长度相等且方向相同得两个向量叫相等向量,相等向量有传递性; 6。平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反得非零向量、叫做平行向量,记作:∥,规定零向量与任何向量平行。 提醒:①相等向量一定就是共线向量,但共线向量不一定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行就是不同得两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合; ③平行向量无传递性!(因为有); ④三点共线共线; 如图,在平行四边形中,下列结论中正确得就是( ) A、B、 C、D、 7.相反向量:长度相等方向相反得向量叫做相反向量.得相反向量就是-、。例:下列命题:(1)若,则。(2)若,则。(6)若,则。(3)若,则就是平行四边形。(4)若就是平行四边形,则。其中正确得就是_______ 题型1、基本概念 1:给出下列命题: ①若||=||,则=;②向量可以比较大小;③方向不相同得两个向量一定不平行; ④若=,=,则=;⑤若//,//,则//;⑥;⑦; 其中正确得序号就是。 2、基本概念判断正误:(1)共线向量就就是在同一条直线上得向量。 (2)若两个向量不相等,则它们得终点不可能就是同一点. (3)与已知向量共线得单位向量就是唯一得。 (4)四边形ABCD就是平行四边形得条件就是。
平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与 终点的大写字母表示,如:几何表示法 AB ,a ;坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行a = ? |a |=0 由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共 线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?|0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同 一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的 平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a =大小相等,方向相同),(),(2211y x y x =???==?21 2 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==,则a +b =AB BC +=AC (1)a a a =+=+00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量
平面向量经典例题: 1. 已知向量a =(1,2),b =(2,0),若向量λa +b 与向量c =(1,-2)共线,则实数λ等于( ) A .-2 B .-13 C .-1 D .-23 [答案] C [解析] λa +b =(λ,2λ)+(2,0)=(2+λ,2λ),∵λa +b 与c 共线,∴-2(2+λ)-2λ=0,∴λ=-1. 2. (文)已知向量a =(3,1),b =(0,1),c =(k , 3),若a +2b 与c 垂直,则k =( ) A .-1 B .- 3 C .-3 D .1 [答案] C [解析] a +2b =( 3,1)+(0,2)=( 3,3), ∵a +2b 与c 垂直,∴(a +2b )·c = 3k +3 3=0,∴k =-3. (理)已知a =(1,2),b =(3,-1),且a +b 与a -λb 互相垂直,则实数λ的值为( ) A .- 611 B .-116 C.611 D.11 6 [答案] C [解析] a +b =(4,1),a -λb =(1-3λ,2+λ), ∵a +b 与a -λb 垂直, ∴(a +b )·(a -λb )=4(1-3λ)+1×(2+λ)=6-11λ=0,∴λ=611 . 3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |=|b |=|c |,a +b =c ,则向量a 、b 间的夹角为( ) A .150° B .120° C .60° D .30° [答案] B [解析] 如图,在?ABCD 中, ∵|a |=|b |=|c |,c =a +b ,∴△ABD 为正三角形,∴∠BAD =60°,
找准教学切入点,提高课堂有效性 杨坤 课堂教学有效性指的是在有效的时间里体现出来的教学效果和教学效率,这已经引起大家足够的重视。随着新课改地深入,我在平时的许多公开课教学中发现有不少的老师在进行阅读教学设计的时候,往往会觉得无从下手。不少老师在教授课文时也经常按照“整体感知——理清结构——探究问题——赏析语言(分析人物形象)——概括中心——探究写法”的步骤进行“旧瓶装新酒”式的教学。这样安排虽然条理清晰、面面俱到,但是课堂却显得环节太多,缺乏整体美,损害了语文学科特有的美感,淡化语文教学的艺术性。因此,我们语文教师在处理教材时要讲究方法,讲究策略,我认为最好是要找准教学切入点。许多教学经验证明:一个好的教学切入点,既可使课堂教学纲举目张,层次清晰,有利于教学重点、难点的突破,又可激起学生的学习兴趣﹑探究欲望、思维火花,并能确保顺利而正确地引导学生学习课文,理解课文,欣赏课文。成功的切入是一种艺术,是教师谱写的教学乐章的“前奏”,是师生间情感共鸣的“第一个音符”,是师生心灵沟通的“第一座桥梁”。 那么什么是切入点?切入点,即是分析理解课文内容的入手处。所谓“点”,即一篇课文最敏感、最关键的部位,它可以是一个词、一个句子、一个过渡段、一幅插图等。这些关键处或者揭示了文章的中心,或者点明了文章的情感,或者概括了文章的主要内容,或者暗示了文章的思路。好的切入点,应是文章思想内容、人物特点、故事情节、篇章结构的聚散点。它常常会起到“牵一发而动全身”的作用。由这一点可以向课文各部分发散、辐射,也可以由课文各部分向这一点聚拢、集中。教学时,选好切入点,可以提高阅读教学的效率和质量,同时对培养学生的思维能力、阅读能力大有好处,当然也有利于调动学生学习语文的积极性。 教学的切入点与教学导入点既有区别又有联系,联系是作用相同,两者都可以激发学生阅读的兴趣,区别是切入点高于导入点,是解决文章内容和教学重点的一个重要手段,是培养学生的鉴赏力、感悟力以及应用、整合和探究的能力的一条途径,也是教师课堂驾驭能力的一个体现。它的存在可以让语文课堂成为一个有机的整体。一条主线贯穿始终,不但教学思路明晰,而且学生也可以在老师恰如其分的引领下,发挥主体作用,有所感悟,有所体味,促使阅读达到预期效果,从而提高学生的阅读能力。所以对语文教学切入点的研究也是探索新的教学模式的一种重要手段。 选准教学切入点,不是主观臆断的。教师对教材解读的高下深浅,对学生理解能力的分析把握,对教学效果的预测和控制,都尽显在切入点的选择与确定之中。切入点的选择是灵活的,可以因教材而异、因教学对象而异、因教学目标而异、因教师运用教材而异,看起来似乎无方法可以参照,然而却有原则与规律可循。下面我从常用的切入方法和遵循的原则谈谈怎样找准教学切入点,从而提高教学的有效性。 一、常用的方法 1、从题眼切入 题目是文章的眼睛,眼睛是心灵的窗户,抓住文章的题目,打开心灵之窗是迅速切入文章内容的有效途径。 一些老作家总是在题目的设计上独具匠心。通过精心设计题目,或概括全文的中心事件和中心思想,如:《走一步,再走一步》、《散步》、《童趣》、《斑羚飞渡》、《曹刿论战》、《范进中举》、《香菱学诗》、《智取生辰纲》、《唐雎不辱使命》、等;或交待写作对象,如《春》、《济南的冬天》、《孔乙己》、
平面向量题型归纳 题型一 平面向量的线性运算 例 1:记 N ?? ?,y = ?t ? ≤ y t N i !{?,y }= y t ? ≤ y 设 a t b 为平面向量,则( ) yt ? ? y ?t ? ? y A .N i !{ a + b t |a -b |} ≤ N i !{ a t |b |} B .N i !{ a + b t |a -b |} ≤ N i !{ a t |b |} C .N ?? a + b 2t a -b 2 ≤ a 2 + b 2 D .N ?? a + b 2t a -b 2 ≤ a 2 + b 2 【答案】:D 【解析】 方法一:对于平面向量 a t b t |a + b |与|a -b |表示以 a t b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度,而根据平面几何知识可得,平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者,没有确定的大小关系,故选项A ,B 均错;又 a + b t |a -b |中的较大者与 a t |b |一定构成非锐角三角形的三条边,由余弦定理知,必有 N ?? a + b 2t a -b 2 ≤ a 2 + b 2 ,故选项 D 正确,选项 C 错误. 方法二:若 a t b 同向,令 a =2t |b |=3,这时 |a + b |=5,|a -b |=1,N i !{|a + b |,|a -b |}=1,N i !{|a |,|b |}=2;若令|a |=2,|b |=6,这时 a + b =8t a -b =4t N i !{ a + b t |a -b |}=4 , 而 N i !{ a t |b |}=2 , 显然对任意 a t b , N i !{|a + b |,|a -b |} 与 N i !{ a t |b |}的大小关系不确定, 即选项 A 、B 均错. 同理, 若 a t b 同向, 取|a |=1t |b |=2, 则 a + b =3t |a -b |=1,这时 N ?? a + b 2 t a -b 2 = ?,而 a 2 + b 2 =5,不可能有 N ?? a + b 2t a -b 2 ≤ a 2 + b 2,故选 C 项错. 【易错点】平面向量加减法线性运算性质。 【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义,加减运算的几何意义,通过图形分析得到正确选项; 也可从选择题的特点入手,通过对 a t b 特殊化,从而得到 a + b t |a -b |的值,通过比较大小关系排除错误选项,得出正确答案. 题型二 共线向量定理、平面向量基本定理的应用 例 1.O A B C 中,A B 边的高为 C ?,若ˉC ˉˉB ˉ˙=a t ˉC ˉˉA ˙=b t a ·b =O t a =1t b =2t 则ˉA ˉˉ?ˉ˙=( ) A.1 a -1 b B.2 a -2 b C.3 a -3 b D.4 a -4 b 3 3 3 3 5 5 5 5 【答案】 D 【解析】方法一: a ·b =0t ?A C B =?0°t A B = 5t C ?= 2 5 . 5 B ?= 5 t A ?= 4 5 t A ? : B ?=4 : 1. ˉA ˉˉ?ˉ˙=4 ˉA ˉˉB ˉ˙=4 (ˉC ˉˉB ˉ˙ — ˉC ˉˉA ˙)= 4 a -4 b .
平面向量 题型1.基本概念判断正误: 例2 (1)化简:①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___;②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r ____;③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r _____ (2)若正方形ABCD 的边长为1,,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ,则||a b c ++r r r =_____ (3)若O 是ABC V 所在平面内一点,且满足2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,则ABC V 的形状为_ 9.与向量a =(12,5)平行的单位向量为 ( ) A .125,1313??- ??? B .12 5,1313??-- ??? C .125125,,13131313????-- ? ?????或 D .125125,,13131313???? -- ? ????? 或 10.如图,D 、E 、F 分别是?ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点,则下列等式中成立的有_________: ①+-=u u u r u u u r u u u r FD DA AF 0 ②+-=u u u r u u u r u u u r FD DE EF 0 ③+-=u u u r u u u r u u u r DE DA BE 0 ④+-=u u u r u u u r u u u r AD BE AF 0 11.设P 是△ABC 所在平面内的一点,2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r ,则( ) A.0PA PB +=u u u r u u u r r B.0PC PA +=u u u r u u u r r C.0PB PC +=u u u r u u u r r D.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r 12.已知点(3,1)A ,(0,0)B ,(3,0)C .设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ,那么有BC CE λ=u u u r u u u r ,其中λ等于 ( ) A.2 B. 1 2 C.-3 D.-13 13.设向量a=(1, -3),b=(-2,4),c =(-1,-2),若表示向量4a ,4b -2c ,2(a -c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形, 则向量d 为 ( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 14.如图2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若AD xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ,则 x = ,y = . 图2 15、已知O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 那么( ) A.AO OD =u u u r u u u r B.2AO OD =u u u r u u u r C.3AO OD =u u u r u u u r D.2AO OD =u u u r u u u r 题型3平面向量基本定理 F E C B A
平面向量 题型1.基本概念判断正误: 例 2 (1)化简:①AB BC CD ++=___;②AB AD DC --=____;③ ()()AB CD AC BD ---=_____ (2)若正方形ABCD 的边长为1,,,AB a BC b AC c ===,则||a b c ++=_____ (3)若O 是ABC 所在平面内一点,且满足2OB OC OB OC OA -=+-,则ABC 的形状为_ 9.与向量a =(12,5)平行的单位向量为 ( ) A .125,1313??- ??? B .12 5,1313??-- ??? C .125125,,13131313????-- ? ?????或 D .125125,,13131313???? -- ? ????? 或 10.如图,D 、E 、F 分别是?ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点,则下列等式中成立的有_________: ①+-=FD DA AF 0 ②+-=FD DE EF 0 ③+-=DE DA BE 0 ④+-=AD BE AF 0 11.设P 是△ABC 所在平面内的一点,2BC BA BP +=,则( ) A.0PA PB += B.0PC PA += C.0PB PC += D.0PA PB PC ++= 12.已知点(3,1)A ,(0,0)B ,(3,0)C .设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ,那么有BC CE λ=,其中λ等于( ) A.2 B. 1 2 C.-3 D.-13 13.设向量a=(1, -3),b=(-2,4),c =(-1,-2),若表示向量4a ,4b -2c ,2(a -c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形, 则向量d 为 ( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 14.如图2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若AD xAB yAC =+,则 x = ,y = . 图2 15、已知O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点且20OA OB OC ++=那么( ) A.AO OD = B.2AO OD = C.3AO OD = D.2AO OD = F E C B A