【高中数学】数学《推理与证明》复习知识点
一、选择题
1.观察下列各式:2x y ?=,224x y ?=,339x y ?=,4417x y ?=,5531x y ?=,6654x y ?=,7792x y ?=,L ,根据以上规律,则1010x y ?=( ) A .255
B .419
C .414
D .253 【答案】B
【解析】
【分析】
每个式子的值依次构成一个数列{}n a ,然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算.
【详解】
以及数列的应用根据题设条件,设数字2,4,9,17,31,54,92,L 构成一个数
列{}n a ,可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()
*3,n n ≥∈N , 则876854928154a a a =++=++=,
9879154929255a a a =++=++=,10981025515410419a a a =++=++=. 故选:B .
【点睛】
本题主要考查归纳推理,解题关键是通过数列的项归纳出递推关系,从而可确定数列的一些项.
2.已知0x >,不等式12x x +≥,243x x +≥,3274x x
+≥,…,可推广为1n a x n x
+≥+ ,则a 的值为( ) A .2n
B .n n
C .2n
D .222n - 【答案】B
【解析】
【分析】
由题意归纳推理得到a 的值即可.
【详解】
由题意,当分母的指数为1时,分子为111=;
当分母的指数为2时,分子为224=;
当分母的指数为3时,分子为3327=; 据此归纳可得:1n a x n x
+
≥+中,a 的值为n n . 本题选择B 选项.
【点睛】
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理,由归纳推理所得的结论不一定正确,通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法.
3.给出下面类比推理:
①“若2a<2b ,则a
②“(a +b)c =ac +bc(c≠0)”类比推出“a b a b c c c
+=+ (c≠0)”; ③“a ,b ∈R ,若a -b =0,则a =b ”类比推出“a ,b ∈C ,若a -b =0,则a =b”; ④“a ,b ∈R ,若a -b>0,则a>b”类比推出“a ,b ∈C ,若a -b>0,则a>b(C 为复数集)”. 其中结论正确的个数为( )
A .1
B .2
C .3
D .4 【答案】B
【解析】
【分析】
在数集的扩展过程中,有些性质是可以传递的,但有些性质不能传递,因此,要判断类比的结果是否正确,关键是要在新的数集里进行论证,当然要想证明一个结论是错误的,也可以直接举一个反例,要想得到本题的正确答案,可对四个结论逐一进行分析,不难解答.
【详解】
①若“22a b <,则a b <”类比推出“若22a b <,则a b <”,不正确,比如1,2a b ==-; ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“(0)a b a b c c c c
+=+≠”,正确; ③在复数集C 中,若两个复数满足0a b -=,则它们的实部和虚部均相等,则,a b 相等,故正确;
④若,a b C ∈,当1,a i b i =+=时,10a b -=>,但,a b 是两个虚数,不能比较大小,故错误;
所以只有②③正确,即正确命题的个数是2个,
故选B.
【点睛】
该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题,涉及到的知识点有式子的运算法则,数相等的条件,复数不能比较大小等结论,属于简单题目.
4.分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力,在一定条件下两个原子接近,则彼此因静电作用产生极化,从而导致有相互作用力,称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子,原子核正电荷的电荷量为q ,这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为
212121111U kcq R R x x R x R x ??=+-- ?+-+-??
,其中,kc 为静电常量,1x 、2x 分别表示
两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -?
?+-=+ ???,111x R x R R ??+=+ ???,221x R x R R ??-=- ??
?,且()1211x x x -+≈-+,则U 的近似值为( )
A .2123
kcq x x R B .2123kcq x x R - C .21232kcq x x R D .2123
2kcq x x R - 【答案】D
【解析】
【分析】 将12121x x R x x R R -??+-=+ ??
?,111x R x R R ??+=+ ???,221x R x R R ??-=- ???代入U ,结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.
【详解】
221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ????????=+--=+-- ?-+-+-??????????++- ? ? ???????????
2222
121211221111x x x x x x x x kcq R R R R R R R ??--??????=+-+-+----?? ? ? ???????????
21232kcq x x R =-. 故选:D.
【点睛】
本题考查U 的近似计算,充分理解题中的计算方法是解答的关键,考查推理能力与计算能力,属于中等题.
5.在平面几何中,与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个,类似的,在立体几何中,与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有( )
A .1个
B .5个
C .7个
D .9个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面图形的结论,通过想象类比得出立体图形对应的结论.
【详解】
根据三角形的内切圆和旁切圆可得
与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个,
由此类比到四面体中,
四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等,
还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等,
因此这样的点有且只有5个.
故选:B
【点睛】
本题考查的是类比推理,找出切入点是解题的关键.
6.小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时,
小赵说:我没去过;小钱说:小李去过;小孙说;小钱去过;小李说:我没去过.假定四人中只有一人说的是假话,由此可判断一定去过北京的是( )
A .小钱
B .小李
C .小孙
D .小赵 【答案】A
【解析】
由题意的,如果小赵去过长城,则小赵说谎,小钱说谎,不满足题意;
如果小钱去过长城,则小赵说真话,小钱说谎,小孙、小李说真话,满足题意,故选A.
7.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃,B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是 ( )
A .各月的平均最低气温都在0℃以上
B .七月的平均温差比一月的平均温差大
C .三月和十一月的平均最高气温基本相同
D .平均最高气温高于20℃的月份有5个
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析:由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上,A 正确;由图可知在七月的平均温差大于7.5C ?,而一月的平均温差小于7.5C ?,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,B 正确;由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ?,基本相同,C 正确;由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7,8两个月,所以不正确.故选D .
【考点】
统计图
【易错警示】
解答本题时易错可能有两种:(1)对图形中的线条认识不明确,不知所措,只觉得是两把雨伞重叠在一起,找不到解决问题的方法;(2)估计平均温差时易出现错误,错选B .
8.已知()sin cos f x x x =-,定义1()()f x f x '=,
[]'21()()f x f x =,…[]1()()n n f x f x '
+=,(*n N ∈),经计算,1()cos sin f x x x =+,2()sin cos f x x x =-+,3()cos sin f x x x =--,…,照此规律,2019()f x =( ) A .cos sin x x --
B .cos sin x x -
C .sin cos x x +
D .cos sin x x -+ 【答案】A
【解析】
【分析】
根据归纳推理进行求解即可.
【详解】
解:由题意知:()sin cos f x x x =-, 1()()cos sin f x f x x x '==+,
[]1'
2()()sin cos f x f x x x ==-+,
[]'23()()cos sin f x f x x x ==--,
[]'34()()sin cos f x f x x x ==-,
L
照此规律,可知: []'
201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=,
故选:A.
【点睛】
本题考查函数值的计算,利用归纳推理是解决本题的关键.
9.设
a ,
b ,
c 都大于0,则三个数1a b +,1b c +,1c a +的值( ) A .至少有一个不小于2
B .至少有一个不大于2
C .至多有一个不小于2
D .至多有一个不大于2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据基本不等式,利用反证法思想,即可得出答案
【详解】
因为
a ,
b ,
c 都大于0
1111116a b c a b c b c a a b c +++++=+++++≥ 当且仅当1a b c ===时取得最小值 若12a b +
<,12b c
+<,12c a +< 则1116a b c b c a +++++<,与前面矛盾 所以三个数1a b +,1b c +,1c a
+的值至少有一个不小于2 故选:A
【点睛】
本题是一道关于基本不等式应用的题目,掌握基本不等式是解题的关键.
10.曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取,他们分别被哪个学校录取,同学们做了如下的猜想
甲同学猜:曾玉被武汉大学录取,李梦被复旦大学录取
同学乙猜:刘云被清华大学录取,张熙被北京大学录取
同学丙猜:曾玉被复旦大学录取,李梦被清华大学录取
同学丁猜:刘云被清华大学录取,张熙被武汉大学录取
结果,恰好有三位同学的猜想各对了一半,还有一位同学的猜想都不对
那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是( )
A .北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学
B .武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学
C .清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学
D .武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学
【答案】D
【解析】
【分析】
推理得到甲对了前一半,乙对了后一半,丙对了后一半,丁全错,得到答案.
【详解】
根据题意:甲对了前一半,乙对了后一半,丙对了后一半,丁全错,
曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 (另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足).
故选:D .
【点睛】
本题考查了逻辑推理,意在考查学生的推理能力.
11.用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=63
2
n n +,n ∈N*”,则当n=k+1时,应当在n=k 时对应的等式左边加上( )
A .k 3+1
B .(k 3+1)+(k 3+2)+…+(k+1)3
C .(k+1)3
D .63(1)(1)2
k k +++ 【答案】B
【解析】 分析:当项数从n k =到1n k =+时,等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。 详解:当n k = 时,等式左边3123....k =+++
当1n k =+时,等式左边33333123....(1)(2)(3)...(1)k k k k k =+++++++++ 所以增加的项为3333(1)(2)(3)...(1)k k k k +++++
所以选B
点睛:本题考查了数学归纳法的应用,当项数变化时分析出增加的项,属于简单题。
12.某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召,积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外,还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来学习.该校学生小刚选完课后,本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断:甲说:小刚选的不是书法,选的是篮球;乙说:小刚选的不是篮球,选的是排球;丙说:小刚选的不是篮球,选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对,有一人说对了一半,另一个人说的全不对,由此推断小刚的选择的( )
A .可能是国画
B .可能是书法
C .可能是排球
D .一定是篮球
【答案】B
【解析】
【分析】
依次假定小刚的选择,逐一验证得到答案.
【详解】
若小刚选择的是国画,则甲对一半,乙对一半,丙对一半,不满足,排除;
若小刚选择的是书法,则甲全不对,乙对一半,丙全对,满足;
若小刚选择的是排球,则甲对一半,乙全对,丙全对,不满足,排除;
若小刚选择的是篮球,则甲全对,乙全不对,丙对一半,满足;
故小刚可能选择的是书法和篮球.
故选:B .
【点睛】
本题考查了推理分析,意在考查学生的逻辑推理能力.
13.已知()()2739n
f n n =+?+,存在自然数m ,使得对任意*n N ∈,都能使m 整除()f n ,则最大的m 的值为( )
A .30
B .9
C .36
D .6
【答案】C
【解析】
【分析】 依题意,可求得(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 的值,从而可猜得最大的m 的值为36,再利用数学归纳法证明即可.
【详解】
由()(27)39n f n n =+?+,得(1)36f =,
(2)336f =?,(3)1036f =?,
(4)3436f =?,由此猜想36m =.
下面用数学归纳法证明:
(1)当1n =时,显然成立。
(2)假设n k =时,()f k 能被36整除,即
()(27)39k f k k =+?+能被36整除;
当1n k =+时,
1[2(1)7]39k k +++?+
13(27)391823k k k +??=+?+-+???
()
13(27)391831k k k -??=+?++-?? 131k --Q 是2的倍数,
()
11831k -∴-能被36整除,
∴当1n k =+时,()f n 也能被36整除.由(1)(2)可知对一切正整数n 都有()(27)39n f n n =+?+能被36整除,
m 的最大值为36.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查的是数学归纳法的应用,解题的关键是熟练掌握数学归纳法解题的一般步骤,考查的是推理计算能力,是中档题.
14.新课程改革后,某校的甲、乙、丙三位同学都选了A 、B 、C 三门课中的两门,且任何两位同学选修的课程有且仅有一门相同.其中甲、乙共同选修的课不是B ,乙、丙共同选修的课不是A ,B 和C 两门课程有一个丙没有选,则甲选修的两门课程是( ) A .A 和B
B .B 和
C C .A 和C
D .无法判断
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知丙一定选了A 课程,结合题意进行推理,可得出甲所选修的两门课程,由此
可得出结论.
【详解】
B 和
C 两门课程有一个丙没有选,所以丙肯定选了A ,
乙、丙共同选修的课不是A ,则乙选择了B 、C 两门课程,
由于甲、乙共同选修的课不是B ,则甲、乙共同选修的是C ,但甲不能选择B 课程. 因此,甲选修是A 、C 两门课程.
故选:C.
【点睛】
本题考查简单的合情推理问题,考查推理能力,属于中等题.
15.下面几种推理中是演绎推理的为( )
A .高二年级有12个班,1班51人,2班53人,3班52人,由此推测各班都超过50人
B .猜想数列111,,122334
?????的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C .半径为r 的圆的面积2S r π=,则单位圆的面积S π=
D .由平面三角形的性质推测空间四面体的性质
【答案】C
【解析】
【分析】
根据归纳推理,类比推理和演绎推理的定义分别进行判断即可.
【详解】
对于A ,高二年级有12个班,1班51人,2班53人,3班52人,由此推测各班都超过50人,是归纳推理;
对于B ,归纳出{}n a 的通项公式,是归纳推理;
对于C ,半径为r 的圆的面积2πS r =,则单位圆的面积πS =,演绎推理;
对于D ,由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,为类比推理.故选C .
【点睛】
该题考查的是有关演绎推理的判断,涉及到的知识点有判断一个推理是合情推理还是演绎推理,关键是要明确合情推理和演绎推理的定义,属于简单题目.
16.对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”:
333137
3152{3{94{5171119
L ,,,仿此,若3m 的“分裂数”中有一个是73,则m 的值为( ) A .8
B .9
C .10
D .11
【答案】B
【解析】
由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数,设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ,则由题意可得:3273422a a -=-==?,43137623a a -=-==?,…,
12(1)m m a a m --=-,将以上2m -个式子叠加可得
2(422)(2)(1)(2)2
m m m a a m m +---==+- ∴22(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+
∴当9m =时,73m a =,即73是39的“分裂数”中第一个数
故选B
17.观察下列一组数据
11a =
235a =+
37911a =++
413151719a =+++
…
则20a 从左到右第一个数是( )
A .379
B .383
C .381
D .377 【答案】C
【解析】
【分析】
先计算前19行数字的个数,进而可得20a 从左到右第一个数.
【详解】
由题意可知,n a 可表示为n 个连续的奇数相加,从1a 到19a 共有
()119191902
+?=个奇数,
所以20a 从左到右第一个数是第191个奇数,第n 个奇数为21n -,
所以第191个奇数为21911381?-=.
故选:C.
【点睛】
本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.
18.设x 、y 、0z >,1a x y =+,1b y z =+,1c z x =+,则a 、b 、c 三数( ) A .都小于2
B .至少有一个不大于2
C .都大于2
D .至少有一个不小于2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本不等式计算出6a b c ++≥,于此可得出结论.
【详解】 由基本不等式得
111111a b c x y z x y z y z x x y z ????????????++=+++++=+++++ ? ? ? ? ? ??????????
???
6≥=, 当且仅当1x y z ===时,等号成立,因此,若a 、b 、c 三数都小于2,则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾,即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2,
故选D.
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用,考查反证法的基本概念,解题的关键就是利用基本不等式求最值,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
19.0=,则0x y ==,假设为( ) A .,x y 都不为0
B .,x y 不都为0
C .,x y 都不为0,且x y ≠
D .,x y 至少有一个为0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反证法,假设要否定结论,根据且的否定为或,判断结果.
【详解】 0x y ==的否定为00x y ≠≠或,即x ,y 不都为0,选B.
【点睛】
本题考查反证法以及命题的否定,考查基本应用能力.属基本题.
20.设x ,y ,z >0,则三个数
,,y y z z x x x z x y z y +++ ( ) A .都大于2
B .至少有一个大于2
C .至少有一个不小于2
D .至少有一个不大于2
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
假设这三个数都小于2,则三个数之和小于6,又y
x
+
y
z
+
z
x
+
z
y
+
x
z
+
x
y
=(
y
x
+
x
y
)+
(y
z
+
z
y
)+(
z
x
+
x
z
)≥2+2+2=6,当且仅当x=y=z时取等号,与假设矛盾,故这三个数
至少有一个不小于2.
1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点;
(ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:.
6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;
1 2019届高三第三次模拟考试卷 理 科 数 学(四) 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.[2019·温州适应]已知i 是虚数单位,则2i 1i +等于( ) A .1i - B .1i + C .1i -- D .1i -+ 2.[2019·延边质检]已知1=a ,2=b ,()-⊥a b a ,则向量a 、b 的夹角为( ) A . π6 B . π4 C . π3 D . π2 3.[2019·六盘水期末]在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且1a = ,b =, π 6A =,则B =( ) A . π6 B . π3 C . π6或5π6 D . π3或2π 3 4.[2019·厦门一模]《易经》是中国传统文化中的精髓,下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成( 表示一根阳线, 表示一根阴线),从八 卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为( ) A . 328 B . 332 C . 532 D . 556 5.[2019·重庆一中]已知某几何体的三视图如图所示(侧视图中曲线为四分之一圆弧),则该几何体的体积为( ) A .24 π + B .12 π- C .14π- D .13 6.[2019·江西联考]程序框图如下图所示,若上述程序运行的结果1320S =,则判断框中应填入( ) A .12k ≤ B .11k ≤ C .10k ≤ D .9k ≤ 7.[2019·江门一模]若()ln f x x =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共 切线,则a =( ) A .1 B .2 C .3 D .3或1- 8.[2019·湖师附中]已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,准线:1l x =-,点M 在拋物线C 上,点M 在直线:1l x =-上的射影为A ,且直线AF 的斜率为MAF △的面积为( ) A B . C .D .9.[2019·河南名校]设点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点,平面α过点P ,且与 直线1BD 垂直,平面α平面ABCD m =,则m 与1A C 所成角的余弦值为( ) A B C .13 D . 3 10.[2019·合肥质检]“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”:自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n 件.已知第一层货物单价1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单 价的910.若这堆货物总价是910020010n ?? - ??? 万元,则n 的值为( ) 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号