信息论习题
信息理论基础习题集【考前必看】
一、判断：
1、必然事件和不可能事件的自信息量都是0 。
2、自信息量是p(x i)的单调递减函数。
3、单符号离散信源的自信息和信源熵都具有非负性。
4、单符号离散信源的自信息和信源熵都是一个确定值。
5、单符号离散信源的联合自信息量和条件自信息量都是非负的和单调递减的
6、自信息量、条件自信息量和联合自信息量之间有如下关系：
7、自信息量、条件自信息量和互信息量之间有如下关系：8当随机变量X和丫相互独立时，条件熵等于信源熵。
9、当随机变量X和丫相互独立时，I (X; Y) =H (X)。
10、信源熵具有严格的下凸性。
11、平均互信息量1(X;Y)对于信源概率分布p(X i)和条件概率分布p(y j/x i) 都具有凸函数性。
12、m阶马尔可夫信源和消息长度为m 的有记忆信源，其所含符号的依赖关系相同。
13、利用状态极限概率和状态一步转移概率来求m 阶马尔可夫信源的极限熵。
14、定长编码的效率一般小于不定长编码的效率。
15、信道容量C是I (X；丫)关于p (X)的条件极大值。
16、离散无噪信道的信道容量等于log2n，其中n是信源X的消息个数。
17、信道无失真传递信息的条件是信息率小于信道容量。
18、最大信息传输速率，即：选择某一信源的概率分布(p (X),使信道所能传送的信息率的最大值。
19、信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿收到消息后对信源存在的不确定性就越小，获得的信息量就越小。
20、率失真函数对允许的平均失真度具有上凸性。
21、信源编码是提高通信有效性为目的的编码。
22、信源编码通常是通过压缩信源的冗余度来实现的。
23、离散信源或数字信号的信源编码的理论基础是限失真信源编码定理。
24、一般情况下，哈夫曼编码的效率大于香农编码和费诺编码。
25、在编m (m>2)进制的哈夫曼码时，要考虑是否需要增加概率为0的码字，以使平均码长最短。
26、对于BSC信道，信道编码应当是一对一的编码，因此，消息m的长度等于码字 c 的长度。
27、汉明码是一种线性分组码。
28、循环码也是一种线性分组码。
卷积码是一种特殊的线性分组码。
可以用克劳夫特不等式作为唯一可译码存在的判据。 线性码一定包含全零码。
确定性信源的熵H(0,0,0,1)=1。
33、 信源X 的概率分布为P(X)={1/2, 1/3, 1/6},对其进行哈夫曼编码得到的码是唯一的
(
34、 离散无记忆序列信源中平均每个符号的符号熵等于单个符号信源的符号熵。 ( 35、 非奇异的定长码一定是唯一可译码。
( 36、 信息率失真函数R(D)是在平均失真不超过给定失真限度 D 的条件下，信息率容许
压缩的最小值。
()
37、信源X 的概率分布为P(X)={1/2, 1/3, 1/6},信源Y 的概率分布为P(Y)={1/3,1/2,1/6}，则
信源X 和丫的熵相等。
() 38、 互信息量l(X;丫表示收到丫后仍对信源X 的不确定度。 ()
39、 对信源符号X={a 1,a 2,a 3,a 4}进行二元信源编码，4个信源符号对应码字的码长分别为 Ki=1,
K 2=2, K 3=3, K 3=3,满足这种码长组合的码一定是唯一可译码。
()
40、 设 C = {000000, 001011,010110, 011101, 100111, 101100, 110001, 11101是一个二 元线性
分组码，则该码最多能检测出3个随机错误。 二、选择题(共10分，每题2分)
1.下面表达式中正确的是( A. 送 p(y j /x) =1
j
C.' p(x,y j )二(y j )
j
4. 线性分组码不具有的性质是( A. 任意多个码字的线性组合仍是码字 B. 最小汉明距离等于最小非0重量 C 最小汉明距离为3
D 任一码字和其校验矩阵的乘积C m H T =0 5. 率失真函数的下限为()o A .H(U) B.0
C.I(U; V)
6.
纠错编码
中，下列哪种措施不能减小差错概率(
)o
A.
增大信道容量
B.增大码长
C.减
小码率
7. 一珍珠养殖场收获240颗外观及重量完全相同的特大珍珠，
重量仅有微小差异的假珠换掉1颗。一人随手取出3颗，经测量恰好找出了假珠，不 巧假珠又滑落进去，那人找了许久却未找到，但另一人说他用天平最多 6次能找出，
结果确是如此，这一事件给出的信息量( )o
29
、
30
、 32、 B 〕p(y j /x j=1
i
D 〕p(X i ,y j )=q(X i )
i
D.没有下限
D.减小带宽 但不幸
被人用外观相同但
A. 0bit
B. Iog6bit
C.6bit
D. Iog240bit
8?下列陈述中，不正确的是（ ）。
A. 离散无记忆信道中，H （Y ）是输入概率向量的凸函数
B. 满足格拉夫特不等式的码字为惟一可译码
C 一般地说，线性码的最小距离越大，意味着任意码字间的差别越大，则码的检错、 纠错
能力越强
D.满足格拉夫特不等式的信源是惟一可译码 10?下列离散信源，熵最大的是（ ）。
12.
为提高通信系统传输消息有效性，信源编码采用的方法是（
）。
A.压缩信源的冗余度
B.在信息比特中适当加入冗余比特
13.
最大似然译码等价于最大后验
概率译码的条件是（
）。
A.离散无记忆信道
B.无错编码 C 无扰信道 D.消息先验等概
14.
下列说法正确的是（ ）。
A. 等重码是线性码
B. 码的生成矩阵唯一
C 码的最小汉明距离等于码的最小非 0重量 D.线性分组码中包含一个全 0码字
15. 二进制通信系统使用符号0和1,由于存在失真，传输时会产生误码，用符号表示
下列事件，u0:一个0发出
u1:一个1发出
v0 :—个0收到 v1:一个1收到
则已知收到的符号，被告知发出的符号能得到的信息量是（ ）。
A. H （U/V ）
B. H （V/U ）
C. H （U,V ）
D. H （UV ）
16. 同时扔两个正常的骰子，即各面呈现的概率都是1/6，若点数之和为12,贝U 得到的 自
信息为（）。
C. — log (11/36)bit
D. log (11/36)bit 17.
下列组合中不属于即时码的是（ 。
A. { 0, 01，011}
B. {0, 10，110}
C. {00, 10，11}
D. {1，01，00}
111010
18. 已知某（6, 3）线性分组码的生成矩阵G = 110001 ，则不用计算就可判断出下列
.011101一
码中不是该码集里的码是（
A. 000000
B. 110001
A. H ( 1/3,1/3,1/3)；
B. H ( 1/2,1/2)；
C. H （ 0.9,0.1）; 11?下列不属于消息的是（ A.文字 B 信号
D. H ( 1/2,1/4,1/8,1/8)
)。
D.语言
C 研究码的生成矩阵 D.对多组信息进行交织处理
A. — Iog36bit
B. Iog36bit
C. 011101
D. 111111
20.设有一个无记忆信源发出符号 A 和B ,已知p(A)二；，p(B)二弓，发出二重符号序列
T X T F T r\- 耳小.kJ k 1 r ” ?
V —[ 寸 J*
2) '「此时输入概率分布为等概率分布。
四、已知信源
(1) 用霍夫曼编码法编成二进制变长码；(6分) (2) 计算平均码长L ; (4分) (3) 计算编码信息率R ; (2分) (4) 计算编码后信息传输率R ; (2分) (5) 计算编码效率 。(2分) (1) 编码结果为：
消息的信源，无记忆信源熵H (X 2
)为()。
21.给定X i 条件下随机事件y 所包含的不确定度和条件自信息量
A .数量上不等，单位不同 C. 数量上相等，单位不同 22. 条件熵和无条件熵的关系是：
A . H(WX)v H(Y) C.
23. 根据树图法构成规则，
A .在树根上安排码字 C.
安排码字
24. 下列说法正确的是：
A .奇异码是唯一可译码 C.
异码不是唯一可译码
25. 下面哪一项不属于熵的性质：
A .非负性 C.对称性
三、二元对称信道如图。
3 1
1)若 p 0 ， p 1 ，求 HX 、
4 4
2)求该信道的信道容量。 解：1)共6
分
H(_X) = 0.8113引打符号
H X |Y i 〕=0.749bit /符号
p(y j /X i )，()
B.数量上不等，单位相同 D .数量上相等，单位相同
()
B. H(Y/X)> H(Y)
H(Y/X) < H(Y) D . H(Y/X) > H(Y)
()
B.在树枝上安排码字
在中间节点上安排码字 D.在终端节点上
()
B.非奇异码是唯一可译码
非奇异码不一定是唯一可译码
D .非奇
()
B.完备性
H X |Y 和 I X;Y ;
信息论试题1
《信息论基础》答案 一、填空题（本大题共10小空，每小空1分，共20分） 1.按信源发出符号所对应的随机变量之间的无统计依赖关系，可将离散信源分为有记忆信源和无记忆信源两大类。 2.一个八进制信源的最大熵为3bit/符号 3.有一信源X，其概率分布为 123 x x x X 111 P 244 ?? ?? ? = ?? ? ?? ?? ，其信源剩余度为94.64%；若 对该信源进行十次扩展，则每十个符号的平均信息量是15bit。 4.若一连续消息通过放大器，该放大器输出的最大瞬间电压为b，最小瞬时电压为a。若消息从放大器中输出，则该信源的绝对熵是∞；其能在每个自由度熵的最大熵是log（b-a）bit/自由度；若放大器的最高频率为F，则单位时间内输出的最大信息量是2Flog （b-a）bit/s. 5.若某一信源X，其平均功率受限为16w，其概率密度函数是高斯分布时，差熵 的最大值为1 log32e 2 π；与其熵相等的非高斯分布信源的功率为16w ≥ 6、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。 7、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H(S)/logr= H r(S)）。 8、当R=C或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。 9、根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。 10、在下面空格中选择填入数学符号“,,, =≥≤?”或“?” （1）当X和Y相互独立时，H（XY）=H(X)+H(X/Y)。 （2）假设信道输入用X表示，信道输出用Y表示。在无噪有损信道中，H(X/Y)> 0, H(Y/X)=0,I(X;Y) 1、有一个二元对称信道，其信道矩阵如下图所示。设该信道以1500个二元符号/秒的速度传输输入符号。现有一消息序列共有14000个二元符号，并设在这消息中P(0)=P(1)=1/2。问从信息传输的角度来考虑，10秒钟内能否将这消息序列无失真地传送完？ 解答：消息是一个二元序列，且为等概率分布，即P(0)=P(1)=1/2，故信源的熵为H(X)=1(bit/symbol)。则该消息序列含有的信息量＝14000(bit/symbol)。 下面计算该二元对称信道能传输的最大的信息传输速率： 信道传递矩阵为： 信道容量（最大信息传输率）为： C=1-H(P)=1-H(0.98)≈0.8586bit/symbol 得最大信息传输速率为： Rt ≈1500符号/秒× 0.8586比特/符号 ≈1287.9比特/秒 ≈1.288×103比特/秒 此信道10秒钟内能无失真传输得最大信息量＝10× Rt ≈ 1.288×104比特 可见，此信道10秒内能无失真传输得最大信息量小于这消息序列所含有的信息量，故从信息传输的角度来考虑，不可能在10秒钟内将这消息无失真的传送完。 2、若已知信道输入分布为等概率分布，且有如下两个信道，其转移概率矩阵分别为： 试求这两个信道的信道容量，并问这两个信道是否有噪声？ 3 、已知随即变量X 和Y 的联合分布如下所示： 01 100.980.020.020.98P ?? =?? ??11112222 1111222212111122221111222200000000000000000000000000000000P P ????????????==????????????11 222 2111 2222 2 log 4(00)1/()log 42/log 8(000000)2/(),H bit symbol H X bit symbol C C H bit symbol H X C =-===>=-==1解答：(1)由信道1的信道矩阵可知为对称信道故C 有熵损失，有噪声。(2)为对称信道，输入为等概率分布时达到信道容量无噪声 一、（11’）填空题 （1）1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。 （2）必然事件的自信息是 0 。 （3）离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的 N倍。 （4）对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为__信源符号等概分布_。 （5）若一离散无记忆信源的信源熵H（X）等于2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为 3 。 （6）对于香农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码方法惟一的是香农编码。（7）已知某线性分组码的最小汉明距离为3，那么这组码最多能检测出_2_______个码元错误，最多能纠正___1__个码元错误。 （8）设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，只要待传送的信息传输率R__小于___C（大于、小于或者等于），则存在一种编码，当输入序列长度n足够大，使译码错误概率任意小。（9）平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还与___译码规则____________和___编码方法___有关 三、（5'）居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高1.6米以上的，而女孩中身高1.6米以上的占总数的一半。 假如我们得知“身高1.6米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？ 解：设A表示“大学生”这一事件，B表示“身高1.60以上”这一事件，则 P(A)=0.25 p(B)=0.5 p(B|A)=0.75 （2分） 故 p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375 （2分） I(A|B)=-log0.375=1.42bit （1分） 四、（5'）证明：平均互信息量同信息熵之间满足 I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY) 证明： 一、（25分）如果X 和Y 相互独立，证明X 和Y 的熵满足可加性，即 H(Y)H(X)Y)H(X,+= 证明：设P(x,y)=P(x)P(y),则有 1 H(X,Y)()()log P()()11()()log ()()log ()()11()log ()log ()() ()() xy xy xy x y P x P y x P y P x P y P x P y P x P y P x P y P x P y H X H Y ==+=+=+∑∑∑∑∑ 二、（50分）联合总体X ，Y 具有如下联合分布。 X Y 分别计算 (1) 联合熵H(X,Y)是多少？ (2)边缘熵H(X)和H(Y)是多少? (3)对于每一个y 值，条件熵H(X ︱y)是多少？ (4)条件熵H(X ︱Y)是多少？ (5)X 和Y 之间的互信息是多少？ 解答：(1) H(X,Y)=3.375 (2) H(X)=2, H(Y)=1.75 (3) H(X|y=1)=2,H(X|y=1)=1.875,H(X|y=1)=1.875, H(X|y=4)=0.5 (4)H(X|Y)=1.1264 (5)I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=2-1.1264=0.8736 三、（25分）考虑一个差错概率为f=0.15的二进制对称信道。输入总体为x Ω:{0P =0.9，1p =0.1}，假设观察到y=1，请计算(1|1)P x y ==？ 解： (1|1)P x y === (1|1)(1) (1|)() x P y x P x P y x P x ===∑= = 9.015.01.085.01 .085.0?+?? =22 .0085 .0=0.39 一填空题 1、平均自信息为 表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。 平均互信息 表示从Y 获得的关于每个X 的平均信息量，也表示发X 前后Y 的平均不确定性减少的量，还表示通信前 后整个系统不确定性减少的量。 2、最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大,最大熵值为。 3、香农公式为 为保证足够大的信道容量，可采用（1）用频带换信噪比； （2）用信噪比换频带。 4、只要，当N 足够长时，一定存在一种无失真编码。 5、当R ＜C 时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。 6、1948年，美国数学家 香农 发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。 7.人们研究信息论的目的是为了 高效、可靠、安全 地交换和利用各种各样的信息。 8.信息的 可度量性 是建立信息论的基础。 9.统计度量 是信息度量最常用的方法。 10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用 随机矢量 描述。 11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为 其发生概率对数的负值 。 12、自信息量的单位一般有 比特、奈特和哈特 。 13、必然事件的自信息是 0 。 14、不可能事件的自信息量是 ∞ 。 15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于 两个自信息量之和 。 16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量 趋于变小 。 17、离散平稳无记忆信源X 的N 次扩展信源的熵等于离散信源X 的熵的 N 倍 。 18、离散平稳有记忆信源的极限熵，=∞H )/(lim 121-∞→N N N X X X X H 。 19、对于n 元m 阶马尔可夫信源，其状态空间共有 n m 个不同的状态。 20、一维连续随即变量X 在[a ，b]区间内均匀分布时，其信源熵为 log2（b-a ） 。 一、概念简答题（每题5分，共40分） 1.什么是平均自信息量与平均互信息，比较一下这两个概念的异同？ 答：平均自信息为 表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。 平均互信息 表示从Y获得的关于每个X的平均信息量，也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。 2.简述最大离散熵定理。对于一个有m个符号的离散信源，其最大熵是多少？ 答：最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。 最大熵值为。 3.解释信息传输率、信道容量、最佳输入分布的概念，说明平均互信息与信源的概率分布、信道的传递概率间分别是什么关系？ 答：信息传输率R指信道中平均每个符号所能传送的信息量。信道容量是一个信道所能达到的最大信息传输率。信息传输率达到信道容量时所对应的输入概率分布称为最佳输入概率分布。 平均互信息是信源概率分布的∩型凸函数，是信道传递概率的U型凸函数。 4.对于一个一般的通信系统，试给出其系统模型框图，并结合此图，解释数据处理定理。 答：通信系统模型如下： 数据处理定理为：串联信道的输入输出X、Y、Z组成一个马尔可夫链，且有， 。说明经数据处理后，一般只会增加信息的损失。 5.写出香农公式，并说明其物理意义。当信道带宽为5000Hz，信噪比为30dB时求信道容量。 .答：香农公式为，它是高斯加性白噪声信道在单位时间内的信道容量，其值取决于信噪比和带宽。 由得，则 6.解释无失真变长信源编码定理。 .答：只要，当N足够长时，一定存在一种无失真编码。 7.解释有噪信道编码定理。 答：当R＜C时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。 8.什么是保真度准则？对二元信源，其失真矩阵，求a>0时率失真函数的和？ 答：1）保真度准则为：平均失真度不大于允许的失真度。 2）因为失真矩阵中每行都有一个0，所以有，而。 二、综合题（每题10分，共60分） 1.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求： 《信息论基础》试卷第1页 《信息论基础》试卷答案 一、填空题（共25分，每空1分） 1、连续信源的绝对熵为 无穷大。（或()()lg lim lg p x p x dx +∞-∞ ?→∞ --?? ） 2、离散无记忆信源在进行无失真变长信源编码时，编码效率最大可以达到 1 。 3、无记忆信源是指 信源先后发生的符号彼此统计独立 。 4、离散无记忆信源在进行无失真变长编码时，码字长度是变化的。根据信源符号的统计特性，对概率大的符号用 短 码，对概率小的符号用 长 码，这样平均码长就可以降低，从而提高 有效性(传输速率或编码效率) 。 5、为了提高系统的有效性可以采用 信源编码 ，为了提高系统的可靠性可以采用 信道编码 。 6、八进制信源的最小熵为 0 ，最大熵为 3bit/符号 。 7、若连续信源输出信号的平均功率为1瓦特，则输出信号幅度的概率密度函数为 高斯分布(或()0,1x N 2 2 x - )时，信源具有最大熵，其值为 0.6155hart(或 1.625bit 或 1lg 22 e π)。 8、即时码是指 任一码字都不是其它码字的前缀 。 9、无失真信源编码定理指出平均码长的理论极限值为 信源熵(或H r (S)或()lg H s r )，此 时编码效率为 1 ，编码后的信息传输率为 lg r bit/码元 。 10、一个事件发生的概率为0.125，则自信息量为 3bit/符号 。 11、信源的剩余度主要来自两个方面，一是 信源符号间的相关性 ，二是 信源符号概率分布的不均匀性 。 12、m 阶马尔可夫信源的记忆长度为 m+1 ，信源可以有 q m 个不同的状态。 13、同时扔出一对均匀的骰子，当得知“两骰子面朝上点数之和为2”所获得的信息量为 lg36=5.17 比特，当得知“面朝上点数之和为8”所获得的信息量为 lg36/5=2.85 比特。 14.在下面空格中选择填入的数学符号“=，≥，≤，>”或“<” H(XY) = H(Y)+H(X ∣Y) ≤ H(Y)+H(X) 信息论试卷题目及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 中国海洋大学2008—2009学年第一学期 一、填空题（每空2分，共20分） 1、1948年，美国数学家 香农 发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。 2、信源编码的目的是提高通信的有效性。信道编码的最终目的是提高信号传输的可靠性。 3、离散平稳无记忆信源X 的N 次扩展信源的熵等于离散信源X 的熵的N 倍。 4、对于香农编码、费诺编码和哈夫曼编码，编码方法惟一的是香农编码。 5、信道输入与输出间的平均互信息是信道转移概率的 下凸 函数，是输入概率的 上凸 函数。 6、信道矩阵??????10002/12/1代表的信道的信道容量C=符号/1bit ，达到信道容量的条件是输入符号等概分布。 7、 设某二进制码｛00011，10110，01101，11000，10010，10001｝，则码的最小距离是2 ，假设码字等概分布，则该码的码率为 0.517比特/符号 ，这时若通过二元对称信道接收码字为01100和00110时，应译为01101 ， 10110 。。 二、判断题（每题2分，共10分） 1、必然事件和不可能事件的自信息量都是0 。（错） 2、最大后验概率准则与最大似然准则是等价的。（错） 3、如果信息传输速率大于信道容量，就不存在使传输差错率任意小的信道编码。（对） 4、连续信源和离散信源的熵都具有非负性。（错） 5、相同功率的噪声中，高斯噪声使信道容量最小。（对） 三、简答题（第1、2题各6分，第三题10分，共22分） 1、简述最大离散熵定理。对于一个有m 个符号的离散信源，其最大熵是什么？ 答：最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。 (3分) 最大熵值为 m H 2max log = (3分) 2、对于任意概率事件集X 、Y 、Z ，证明下述三角不等式成立()()()Z X H Z Y H Y X H ≥+ 证：因为)|()|(Y X H YZ X H ≤ ，(3分) 所以： ) |()|()|() |,() |()|()|()|(Z Y H XZ Y H Z Y H Z Y X I YZ X H Z X H Y X H Z X H ≤-==-≤-(3分) 1． 有一个马尔可夫信源，已知p(x 1|x 1)=2/3，p(x 2|x 1)=1/3，p(x 1|x 2)=1，p(x 2|x 2)=0，试画出该信源的香农线图，并求出信源熵。 解：该信源的香农线图为： 1/3 ○ ○ 2/3 (x 1) 1 (x 2) 在计算信源熵之前，先用转移概率求稳定状态下二个状态x 1和 x 2 的概率)(1x p 和)(2x p 立方程：)()()(1111x p x x p x p =+)()(221x p x x p =)()(2132x p x p + )()()(1122x p x x p x p =+)()(222x p x x p =)(0)(2131x p x p + )()(21x p x p +=1 得4 3 1)(=x p 4 12)(=x p 马尔可夫信源熵H = ∑∑- I J i j i j i x x p x x p x p )(log )()( 得 H=0.689bit/符号 2．设有一个无记忆信源发出符号A 和B ，已知4 341)(.)(= =B p A p 。求： ①计算该信源熵； ②设该信源改为发出二重符号序列消息的信源，采用费诺编码方法，求其平均信息传输速率； ③又设该信源改为发三重序列消息的信源，采用霍夫曼编码方法，求其平均信息传输速率。 解：①∑- =X i i x p x p X H )(log )()( =0.812 bit/符号 ②发出二重符号序列消息的信源,发出四种消息的概率分别为 用费诺编码方法 代码组 b i BB 0 1 BA 10 2 AB 110 3 AA 111 3 无记忆信源 624.1)(2)(2 ==X H X H bit/双符号 平均代码组长度 2B =1.687 bit/双符号 B X H R )(22==0.963 bit/码元时间 ③三重符号序列消息有8个,它们的概率分别为 用霍夫曼编码方法 代码组 b i BBB 64 27 0 0 1 BBA 64 9 0 )(6419 1 110 3 2009-2010学年第二学期末考试试题 信息论与编码理论 一、（共10分） 简述最大熵原理与最小鉴别信息原理,并说明两者之间的关系。 二、（共12分） 某一无记忆信源的符号集为{0, 1}，已知P(0) = 1/4，P(1) = 3/4。 1) 求符号的平均熵； 2) 有100个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m个“0”和（100 - m）个“1”）的自信息量的表达式； 3) 计算2)中序列的熵。 三、（共12分） 一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。信源X 的符号集为{0, 1, 2}。 1) 求平稳后信源的概率分布； 2) 求)(X H ； 3) 求上述一阶马尔可夫信源的冗余度。 P P 四、（共10分） 设离散型随机变量XYZ 的联合概率满足xyz ?)()()()(y z p x y p x p xyz p =。 求证：);();(Z Y X I Y X I ≥ 五、（共12分） 设有一离散无记忆信道，输入信号为321,,x x x ，输出为321,,y y y ，其信道转移矩阵为???? ??????=214141412141414121Q ，61)(,32)(21==x P x P 。 试分别按理想译码准则与最大似然译码准则确定译码规则，并计算相应的平均译码差错概率。 六、（共14分） 设有一离散信道，输入X ，输出Y ，其信道转移矩阵为?? ????7.01.02.02.01.07.0， 求：1）信道的信道容量及达到信道容量时的输入分布？ 2）当输入X 分布为7.0)(1=x P 3.0)(2=x P 时，求平均互信息);(Y X I 及信道疑义度)(X Y H 。 信息论与编码期中试题答案 一、（10’）填空题 （1）1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。 （2）必然事件的自信息是0 。 （3）离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的N倍。 （4）对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为__信源符号等概分布_。 （5）若一离散无记忆信源的信源熵H（X）等于2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为 3 。 二、（10?）判断题 （1）信息就是一种消息。（? ） （2）信息论研究的主要问题是在通信系统设计中如何实现信息传输、存储和处理的有效性和可靠性。（? ） （3）概率大的事件自信息量大。（? ） （4）互信息量可正、可负亦可为零。（? ） （5）信源剩余度用来衡量信源的相关性程度，信源剩余度大说明信源符号间的依赖关系较小。 （? ） （6）对于固定的信源分布，平均互信息量是信道传递概率的下凸函数。（? ） （7）非奇异码一定是唯一可译码，唯一可译码不一定是非奇异码。（? ） （8）信源变长编码的核心问题是寻找紧致码（或最佳码）。 （? ） （9）信息率失真函数R(D)是关于平均失真度D的上凸函数. ( ? ) 三、（10?）居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高1.6米以上的，而女孩中身高1.6米以上的占总数的一半。 假如我们得知“身高1.6米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？ 解：设A表示“大学生”这一事件，B表示“身高1.60以上”这一事件，则 P(A)=0.25 p(B)=0.5 p(B|A)=0.75 （5分） 故p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375 （4分） I(A|B)=-log0.375=1.42bit （1分） 模拟试题一 一、概念简答题（共10题，每题5分） 1.简述离散信源和连续信源的最大熵定理。 2.什么是平均自信息（信息熵）？什么是平均互信息？比较一下两个概念的异同之处。 3.解释等长信源编码定理和无失真变长信源编码定理，说明对于等长码和变长码，最佳码的每符号平均码长最小为多少？编码效率最高可达多少？ 4.解释最小错误概率译码准则，最大似然译码准则和最小距离译码准则，说明三者的关系。 5.设某二元码字C={111000，001011，010110，101110}， ①假设码字等概率分布，计算此码的编码效率？ ②采用最小距离译码准则，当接收序列为110110时，应译成什么码字？ 6.一平稳二元信源，它在任意时间，不论以前发出过什么符号，都按 发出符号，求 和平均符号熵 7.分别说明信源的概率分布和信道转移概率对平均互信息的影响，说明平均互信息与信道容量的关系。 8.二元无记忆信源，有求：（1）某一信源序列由100个二元符号组成，其中有m个“1”，求其自信息量？（2）求100个符号构成的信源序列的熵。 9.求以下三个信道的信道容量： ，， 10.已知一（3，1，3）卷积码编码器，输入输出关系为： 试给出其编码原理框图。 二、综合题（共5题，每题10分） 1.二元平稳马氏链，已知P（0/0）=0.9，P（1/1）=0.8，求： （1）求该马氏信源的符号熵。 （2）每三个符号合成一个来编二进制Huffman码,试建立新信源的模型，给出编码结果。 （3）求每符号对应的平均码长和编码效率。 2.设有一离散信道，其信道矩阵为，求：（1）最佳概率分布？ 第二章 信息量和熵 2.2 八元编码系统，码长为3，第一个符号用于同步，每秒1000个码字，求它的 信息速率。 解：同步信息均相同，不含信息，因此 每个码字的信息量为 2?8log =2?3=6 bit 因此，信息速率为 6?1000=6000 bit/s 2.3 掷一对无偏骰子，告诉你得到的总的点数为：(a) 7; (b) 12。问各得到多少信 息量。 解：(1) 可能的组合为 {1，6},{2，5},{3，4},{4，3},{5，2},{6，1} )(a p =366=6 1 得到的信息量 =) (1 log a p =6log =2.585 bit (2) 可能的唯一，为 {6，6} )(b p =361 得到的信息量=) (1 log b p =36log =5.17 bit 2.4 经过充分洗牌后的一副扑克（52张），问： (a) 任何一种特定的排列所给出的信息量是多少？ (b) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同时得到多少信息量？ 解：(a) )(a p =! 521 信息量=) (1 log a p =!52log =225.58 bit (b) ???????花色任选 种点数任意排列 13413!13 )(b p =13 52134!13A ?=1352 13 4C 信息量=1313 52 4log log -C =13.208 bit 2.9 随机掷3颗骰子，X 表示第一颗骰子的结果，Y 表示第一和第二颗骰子的 点数之和，Z 表示3颗骰子的点数之和，试求)|(Y Z H 、)|(Y X H 、 ),|(Y X Z H 、)|,(Y Z X H 、)|(X Z H 。 解：令第一第二第三颗骰子的结果分别为321,,x x x ，1x ，2x ，3x 相互独立， 则1x X =，21x x Y +=，321x x x Z ++= )|(Y Z H =)(3x H =log 6=2.585 bit )|(X Z H =)(32x x H +=)(Y H =2?( 361log 36+362log 18+363log 12+364log 9+365log 536)+36 6 log 6 =3.2744 bit )|(Y X H =)(X H -);(Y X I =)(X H -[)(Y H -)|(X Y H ] 而)|(X Y H =)(X H ，所以)|(Y X H = 2)(X H -)(Y H =1.8955 bit 或)|(Y X H =)(XY H -)(Y H =)(X H +)|(X Y H -)(Y H 而)|(X Y H =)(X H ，所以)|(Y X H =2)(X H -)(Y H =1.8955 bit ),|(Y X Z H =)|(Y Z H =)(X H =2.585 bit )|,(Y Z X H =)|(Y X H +)|(XY Z H =1.8955+2.585=4.4805 bit 2.10 设一个系统传送10个数字，0，1，…，9。奇数在传送过程中以0.5的概 率错成另外一个奇数，其余正确接收，求收到一个数字平均得到的信息量。 解： 8,6,4,2,0=i √ );(Y X I =)(Y H -)|(X Y H 因为输入等概，由信道条件可知， 一填空题（本题20分，每小题2分） 1、平均自信息为 表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。 平均互信息 表示从Y获得的关于每个X的平均信息量，也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。 2、最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。 3、最大熵值为。 4、通信系统模型如下： 5、香农公式为为保证足够大的信道容量，可采用（1）用频带换信噪比；（2）用信噪比换频带。 6、只要，当N足够长时，一定存在一种无失真编码。 7、当R＜C时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。 8、在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到形式、含义和效用三个方面的因素。 9、1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。 按照信息的性质，可以把信息分成语法信息、语义信息和语用信息。 按照信息的地位，可以把信息分成客观信息和主观信息。 人们研究信息论的目的是为了高效、可靠、安全地交换和利用各种各样的信息。 信息的可度量性是建立信息论的基础。 统计度量是信息度量最常用的方法。 熵是香农信息论最基本最重要的概念。 事物的不确定度是用时间统计发生概率的对数来描述的。 10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用随机矢量描述。 11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为其发生概率对数的负值。 12、自信息量的单位一般有比特、奈特和哈特。 13、必然事件的自信息是 0 。 14、不可能事件的自信息量是∞。 15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于两个自信息量之和。 16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量趋于变小。 17、离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的 N倍。 18、离散平稳有记忆信源的极限熵，。 19、对于n元m阶马尔可夫信源，其状态空间共有 nm 个不同的状态。 20、一维连续随即变量X在[a，b]区间内均匀分布时，其信源熵为 log2（b-a）。 1. 在无失真的信源中，信源输出由 H (X ) 来度量；在有失真的信源中，信源输出由 R (D ) 来度量。 2. 要使通信系统做到传输信息有效、可靠和保密，必须首先 信源 编码， 然后_____加密____编码，再______信道_____编码，最后送入信道。 3. 带限AWGN 波形信道在平均功率受限条件下信道容量的基本公式，也就是有名的香农公式是log(1)C W SNR =+；当归一化信道容量C/W 趋近于零时，也即信道完全丧失了通信能力，此时E b /N 0为 -1.6 dB ，我们将它称作香农限，是一切编码方式所能达到的理论极限。 4. 保密系统的密钥量越小，密钥熵H (K )就越 小 ，其密文中含有的关于明文的信息量I (M ；C )就越 大 。 5. 已知n ＝7的循环码4 2 ()1g x x x x =+++，则信息位长度k 为 3 ，校验多项式 h(x)= 3 1x x ++ 。 6. 设输入符号表为X ＝{0，1}，输出符号表为Y ＝{0，1}。输入信号的概率分布为p ＝(1/2，1/2)，失真函数为d (0，0) = d (1，1) = 0，d (0，1) =2，d (1，0) = 1，则D min ＝ 0 ，R (D min )＝ 1bit/symbol ，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x )]＝1001?? ???? ；D max ＝ 0.5 ，R (D max )＝ 0 ，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x )]＝1010?? ? ??? 。 7. 已知用户A 的RSA 公开密钥(e,n )=(3,55)，5,11p q ==,则()φn = 40 ，他的秘密密钥(d,n )＝(27,55) 。若用户B 向用户A 发送m =2的加密消息，则该加密后的消息为 8 。 二、判断题 1. 可以用克劳夫特不等式作为唯一可译码存在的判据。 （√ ） 2. 线性码一定包含全零码。 （√ ） 3. 算术编码是一种无失真的分组信源编码，其基本思想是将一定精度数值作为序列的 编码，是以另外一种形式实现的最佳统计匹配编码。 （×） 4. 某一信源，不管它是否输出符号，只要这些符号具有某些概率特性，就有信息量。 （×） 5. 离散平稳有记忆信源符号序列的平均符号熵随着序列长度L 的增大而增大。 （×） 6. 限平均功率最大熵定理指出对于相关矩阵一定的随机矢量X ，当它是正态分布时具 有最大熵。 （√ ） 7. 循环码的码集中的任何一个码字的循环移位仍是码字。 （√ ） 8. 信道容量是信道中能够传输的最小信息量。 （×） 9. 香农信源编码方法在进行编码时不需要预先计算每个码字的长度。 （×） 10. 在已知收码R 的条件下找出可能性最大的发码i C 作为译码估计值，这种译码方 法叫做最佳译码。 （√ ） 信息论与编码理论习题解 第二章-信息量和熵 解: 平均每个符号长为:154 4.0312.032= ?+?秒 每个符号的熵为9183.03log 3 1 23log 32=?+?比特/符号 所以信息速率为444.34 15 9183.0=?比特/秒 解: 同步信号均相同不含信息,其余认为等概, 每个码字的信息量为 3*2=6 比特； 所以信息速率为600010006=?比特/秒 解:(a)一对骰子总点数为7的概率是 36 6 所以得到的信息量为 585.2)366(log 2= 比特 (b) 一对骰子总点数为12的概率是36 1 所以得到的信息量为 17.536 1 log 2= 比特 解: (a)任一特定排列的概率为 ! 521 ,所以给出的信息量为 58.225! 521 log 2 =- 比特 (b) 从中任取13张牌,所给出的点数都不相同的概率为 1352 13 13 521344!13C A =? 所以得到的信息量为 21.134 log 1313 52 2=C 比特. 解:易证每次出现i 点的概率为 21 i ,所以 比特比特比特比特比特比特比特398.221 log 21)(807.1)6(070.2)5(392.2)4(807.2)3(392.3)2(392.4)1(6,5,4,3,2,1,21 log )(26 12=-==============-==∑ =i i X H x I x I x I x I x I x I i i i x I i 解: 可能有的排列总数为 27720! 5!4!3! 12= 没有两棵梧桐树相邻的排列数可如下图求得， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y 图中X 表示白杨或白桦，它有???? ??37种排法，Y 表示梧桐树可以栽 种的位置，它有???? ??58种排法，所以共有???? ??58*???? ??37=1960种排法保证没有 两棵梧桐树相邻，因此若告诉你没有两棵梧桐树相邻时，得到关于树排列的信息为1960log 27720log 22-= 比特 解: X=0表示未录取，X=1表示录取； Y=0表示本市，Y=1表示外地； Z=0表示学过英语，Z=1表示未学过英语，由此得 《信息论与编码（第二版）》曹雪虹答案 第二章 2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,u u u ，转移概率为：()11|1/2p u u =，()21|1/2p u u =， ()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出各符号稳态概率。 解：状态图如下 状态转移矩阵为： 1/21/2 01/302/31/32/30p ?? ?= ? ??? 设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3 由1231WP W W W W =??++=?得1231132231231 112331223231W W W W W W W W W W W W ?++=???+=???=???++=? 计算可得1231025925625W W W ?=??? =? ? ?=?? 2.2 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =0.8，(0|11)p =0.2， (1|00)p =0.2，(1|11)p =0.8，(0|01)p =0.5，(0|10)p =0.5，(1|01)p =0.5，(1|10)p =0.5。画出 状态图，并计算各状态的稳态概率。 解：(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)0.5p p == (0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)0.5p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)0.5p p == (1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p == 一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,u u u ，转移概率为：()11|1/2p u u =，()21|1/2p u u =， ()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出各符号稳态概率。 解：状态图如下 状态转移矩阵为： 1/21/2 01/302/31/32/30p ?? ?= ? ??? 设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3 由1231WP W W W W =??++=?得1231132231231 112331223 231W W W W W W W W W W W W ?++=???+=???=???++=? 计算可得1231025925625W W W ?=??? =?? ?=?? 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =，(0|11)p =，(1|00)p =， (1|11)p =，(0|01)p =，(0|10)p =，(1|01)p =，(1|10)p =。画出状态图，并计算各状态 的稳态概率。 解：(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)0.5p p == (0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)0.5p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)0.5p p == (1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p == 一、填空题（每空1分，共35分） 1、1948年，美国数学家 发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。信息论的基础理论是 ，它属于狭义信息论。 2、信号是 的载体，消息是 的载体。 3、某信源有五种符号}{,,,,a b c d e ，先验概率分别为5.0=a P ，25.0=b P ，125.0=c P ，0625.0==e d P P ，则符号“a ”的自信息量为 bit ，此信源的熵为 bit/符号。 4、某离散无记忆信源X ，其概率空间和重量空间分别为1 234 0.50.250.1250.125X x x x x P ????=??? ?????和1234 0.5122X x x x x w ???? =??????? ? ，则其信源熵和加权熵分别为 和 。 5、信源的剩余度主要来自两个方面，一是 ，二是 。 6、平均互信息量与信息熵、联合熵的关系是 。 7、信道的输出仅与信道当前输入有关，而与过去输入无关的信道称为 信道。 8、马尔可夫信源需要满足两个条件：一、 ； 二、 。 9、若某信道矩阵为????? ????? ??01000 1 000001 100，则该信道的信道容量C=__________。 10、根据是否允许失真，信源编码可分为 和 。 11、信源编码的概率匹配原则是：概率大的信源符号用 ，概率小的信源符号用 。（填 短码或长码） 12、在现代通信系统中，信源编码主要用于解决信息传输中的 性，信道编码主要用于解决信息传输中的 性，保密密编码主要用于解决信息传输中的安全性。 13、差错控制的基本方式大致可以分为 、 和混合纠错。 14、某线性分组码的最小汉明距dmin=4，则该码最多能检测出 个随机错，最多能纠正 个随机错。 15、码字101111101、011111101、100111001之间的最小汉明距离为 。 16、对于密码系统安全性的评价，通常分为 和 两种标准。 17、单密钥体制是指 。 18、现代数据加密体制主要分为 和 两种体制。 19、评价密码体制安全性有不同的途径，包括无条件安全性、 和 。 20、时间戳根据产生方式的不同分为两类：即 和 。 二、选择题（每小题1分，共10分） 1、下列不属于消息的是（ ）。 A. 文字 B. 信号 C. 图像 D. 语言 2、设有一个无记忆信源发出符号A 和B ，已知4341)(,)(==B p A p ，发出二重符号序列消息的信源， 无记忆信源熵)(2X H 为（ ）。 A. 0.81bit/二重符号 B. 1.62bit/二重符号 C. 0.93 bit/二重符号 D . 1.86 bit/二重符号 3、 同时扔两个正常的骰子，即各面呈现的概率都是1/6，若点数之和为12，则得到的自信息为（ ）。 A. －log36bit B. log36bit C. －log (11/36)bit D. log (11/36)bit 4、 二进制通信系统使用符号0和1，由于存在失真，传输时会产生误码，用符号表示下列事件，x0: 发出一个0 、 x1: 发出一个1、 y0 : 收到一个0、 y1: 收到一个1 ，则已知收到的符号，被告知发出的符号能得到的信息量是（ ）。 A. H(X/Y) B. H(Y/X) C. H( X, Y) D. H(XY) 5、一个随即变量x 的概率密度函数P(x)= x /2，V 20≤≤x ，则信源的相对熵为（ ）。 A . 0.5bit B. 0.72bit C. 1bit D. 1.44bit 6、 下面哪一项不属于熵的性质： （ ） A ．非负性 B ．完备性 C ．对称性 D ．确定性 信息论与编码 信息论与编码 一、填空题（共15分，每空1分） 1、当 时，信源与信道达到匹配。 2、若高斯白噪声的平均功率为6 W ，则噪声熵为 。如果一个平均功率为9 W 的连续信源的熵等于该噪声熵，则该连续信源的熵功率为 。 3、信源符号的相关程度越大，信源的符号熵越 ，信源的剩余度越 。 4、离散无记忆信源在进行无失真变长信源编码时，码字长度是变化的。根据信源符号的统计特性，对概率 的符号用短码，对概率 的符号用长码，从而减少平均码长，提高编码效率。 8、香农第一编码定理指出平均码长的理论极限值为 ，此时编码效率为 。 4、在下面空格中选择填入数学符号“=，≥，≤，>”或“<” （1）()()2212X X H H = X ()X 3H = ()3 321X X X H （2）()XY H ()()Y X H Y H |+ ()()X H Y H +。 9、有一信源X ，其概率分布为??? ? ????=??????818141214321x x x x P X ，若对该信源进行１００次扩展， 则每扩展符号的平均信息量是 。 11、当时，信源熵为最大值。８进制信源的最大熵为。 二、判断题（正确打√，错误打×）（共5分，每小题1分） 1）噪声功率相同的加性噪声信道中以高斯噪声信道的容量为最大。 （） 2）即时码可以在一个码字后面添上一些码元构成另一个码 字。（） 3）连续信源的熵可正、可负、可为 零，（） 4）平均互信息始终是非负 的。（） 5）信道容量C只与信道的统计特性有关，而与输入信源的概率分布无关。（） 三、（10分）计算机终端发出A 、B 、C 、D 、E 五种符号，出现概率分别为1/16，1/16，1/8，1/4，1/2。通过一条带宽为18kHz 的信道传输数据，假设信道输出信噪比为2047，试计算： 1） 香农信道容量； 2） 无误码传输的最高符号速率。 四、（10分）有一信源发出恒定宽度，但不同幅度的脉冲，幅度值x 处在1a 和2a 之间。此信源连至信道，信道接收端接收脉冲的幅度y 处在1b 和2b 之间。已知随机变量X 和Y 的联合概率密度函数 ) )((1)(1212b b a a xy p --= 试计算)(),(),(XY h Y h X h 和);(Y X I答案~信息论与编码练习
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