现代控制理论基础周军第三章能控性和能观测性

3.1 线性定常系统的能控性

线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状

态空间结构的关系。

第一节线性定常系统的能控性

能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：

一、离散系统的状态可控性

引例设单输入离散状态方程为：

初始状态为：

用递推法可解得状态序列：

可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。系统中只要有一个状态变量不受控制，

便称作状态不完全可控，简称不可控。可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。下面来进行一般分析。

设单输入离散系统状态方程为：

(3-1) 式中，为维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；为维输入矩阵：表示离散瞬时，为采样周期。

初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为，为研究方便，且不失一般性地假定。

单输入离散系统状态可控性定义如

下：

在有限时间间隔内，存在无约束的阶梯控制信号，, ，能使系统从任意初态转移到任意终态，则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。

由方程(3-1)的解

(3-2)

可导出可控性应满足的条件。按定义，令，且，方程两端左乘，给出：

(3-3) 令

(3-4) 该阵为维。方程(3-3)表示非齐次线性方程组，含个方程，含个未知数, 。根据线性方程组解存在定理可知，当矩阵的秩与增广矩阵的秩相等时，方程有解，否则无解。在任意的情况下，要使方程组有解的充分必要条件是：能控阵满秩，即

(3-5)

或能控阵的行列式不为零

det

(3-6) 或能控阵是非奇异的。这时，方程组存在唯一解，即任意给定，可求出确定的，, 。

已知满秩矩阵与另一满秩矩阵相乘，其秩不变，故

ran rank

rank(3-7

) 交换矩阵的列，且记为，其秩也不变，于是有：

ran

rank

(3-8) 使用该式判断能控性比较方便，不必进行求逆运算，式(3-5)至式(3-8)均称为能控性判据。，均称为单输入离散系统能控性矩阵，由该式显见状态能控性取决于系统矩阵及输入矩阵。

当rank 时，系统不可控，不存在能使任意转移到的控制。

从以上推导看出，当不受约束时，能使任意转移到，意味

着至多经过个采样周期便可完成转移，而乃是系统矩阵的阶数，或系统特征方程的阶次数。

以上研究假定了终态。若令终态为任意给定状态，则方程(3-2)变为：

(3-9)

方程两端左乘，有

(3-10) 该式左端完全可看作任意给定的另一初态，其状态能控性条件能用以上推导方法得出完全相同的结论，故假定是不失一般性的。

例3-1利用递推法研究下列离散系统

初态为，试选择，，使系统状态在时转移到零。

解令0，1，2，得状态序列：

令，即解如下方程组：

系数矩阵即能控阵，当其非奇异时，可解出：

即取时，可在第三个采样周期瞬时使系统转移到零状态，因而系统是能控的。

若想研究可否在第二个采样周期内便使转移到零状态，只需研究时是否存在令，解如下方程组：

容易看出系数矩阵的秩为2，但增广矩阵的秩为3，两个秩不等，故

无解，表示不能在第二个采样周期内使给定初态转移到零。对于某些系统则是可能的。

例3-2试用能控性判据判断例3-1的状态能控性。

解 ran rank rank；

或，故能控。

例3-3设同例3-1，，试判断能控性。

解 rank rank rank故不能控。

关于研究单输入离散系统状态可控性的方法可推广到多输入系统。设系统状态方程为：

(3-11)

式中为维控制向量，为维输入矩阵。问题转化为能否求出无约束的控制向量，, ，使系统从任意初态转移到。

方程(3-11)的解为：

(3-12) 令，且两端左乘得：

(3-13) 令(3-14)

该阵为维矩阵；同, 子列向量构成的控制列向量是

维的。式(3-13)含有个方程，个待求控制量。由于初态可任意给定，根据解存在定理，唯有矩阵的秩为时，方程组才有解，于是多输入离散系统状态能控的充要条件是：

rank

(3-15) 或

ran

(3-16) 或

rank rank

rank (3

-17) 或

rank

rank

(3-18) 式(3-15)至式(3-18)均称为多输入离散系统能控性判据。

一般多输入系统，式(3-13)所含的方程个数总少于未知数个数，方程组的解不唯一，可以任意假定个控制量，其余个控制量才能唯一确定，这意味着控制序列的选择将有无穷多种方式。

例3-4试判断下列双输入三阶离散系统的状态可控性：

式中

解计算；

故

显见由前三列组成的矩阵的行列式

det

故ran，系统可控。

显见出现全零行，rank，故不能控。

多输入系统能控阵，其行数小于列数，在计算列写能控阵时，若显见

矩阵的秩为，便不必把矩阵的所有列都写出。有时可通过计算的秩是否为来判断多输入系统的能控性。这是因为，当非奇异时，必非奇异，而为方阵，只需计算一次阶行列式即可确定能控性，但在计算时，可能需多次计算阶行列式。

在多输入系统中，使任意初态转移至原点一般可少于个采样周期。见例3-4，令，可给出；

则

已知，若能唯一确定，便表示能在第一个采样周期将转移到原点。

一、连续系统的状态能控性

引例设单输入连续系统方程为：

其中，第二个方程只与状态变量本身有关，且与无关，是不能控状态变量；受控制，是能控状态变量。显见可影响而不能影响，

于是使状态微量不能在作用下任意转移，称状态不完全能控，简称不能控。

为导出连续定常系统的状态能控性矩阵，需应用凯莱-哈密尔顿定理的推论，故先介绍该定理。

关于凯莱-哈密尔顿定理及其推论

设阶矩阵的特征多项式为：

(3-19) 则矩阵满足

(3-20) 证明据逆矩阵定义有：

(3-21)

式中为元素埏是的伴随矩阵。方程(3-21)两端右乘得：

(3-22)

由于的元素代数余子式，均为次多项式，故据矩阵加法运算规则，可将其分解为个矩阵之和：

(3-23)

式中均为阶矩阵。将式(3-23)代入式(3-22)并展开两端：

(3-24)

利用两端同次项相等的条件有：

(3-25) 将式(3-25)按顺序两端右乘，可得：

现代控制理论试题

现代控制理论试题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

现代控制理论试题 一、名词解释（15分） 1、能控性 2、能观性 3、系统的最小实现 4、渐近稳定性 二、简答题（15分） 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系 统的那些性质 2、如何判断线性定常系统的能控性如何判断线性定常系统的能观性 3、传递函数矩阵的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么 4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么 5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么 三、计算题（70分） 1、RC 无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，为系统的输入，选两端的电压为状态变量,两端的电压为状态变量,电压为为系统的输出y。 2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s) 图1：RC无源网络 3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程： 其中，采样周期为T=2. 4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解和 5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的 取值范围： 6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即是否为大范围渐 近稳定： 7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为 试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为,和。 现代控制理论试题答案 一、概念题 1、何为系统的能控性和能观性 答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。 （2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。

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现代控制理论基础考试题 西北工业大学考试题（A卷） （考试时间120分钟） 学院：专业：姓名：学号： 一．填空题（共27分，每空1.5分） 1.现代控制理论基础的系统分析包括___________和___________。 2._______是系统松弛时，输出量、输入量的拉普拉斯变换之比。 3.线性定常系统齐次状态方程是指系统___________时的状态方程。 4.推导离散化系统方程时在被控对象上串接一个开关，该开关以T 为周期进行开和关。这个开关称为_______。 5.离散系统的能______和能______是有条件的等价。 6.在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现，也称为 __________。 7.构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x, t)来表征系统的广义 能量， V(x, t)称为___________。 8.单输入-单输出线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函

数的所有极点具有______。 9. 控制系统的综合目的在于通过系统的综合保证系统稳定，有满意的_________、_________和较强的_________。 10. 所谓系统镇定问题就是一个李亚普诺夫意义下非渐近稳定的 系统通过引入_______，以实现系统在李亚普诺夫意义下渐近稳定的问题。 11. 实际的物理系统中，控制向量总是受到限制的，只能在r 维控 制空间中某一个控制域内取值，这个控制域称为_______。 12. _________和_________是两个相并行的求解最优控制问题的 重要方法。 二． 判断题（共20分，每空2分） 1. 一个系统，状态变量的数目和选取都是惟一的。 （×） 2. 传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关。 （√） 3. 状态方程是矩阵代数方程，输出方程是矩阵微分方程。 （×） 4. 对于任意的初始状态)(0t x 和输入向量)(t u ，系统状态方程的解存在并且 惟 一 。 （√） 5. 传递函数矩阵也能描述系统方程中能控不能观测部分的特性。 （×）

现代控制理论第3章答案

第三章习题 3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？ （1）系统如图3.16所示： 图3.16 系统模拟结构图 解：由图可得： 3 43432112332 211x y dx x x cx x x x x cx x bx x u ax x =-=-+=++-=-=+-=???? 状态空间表达式为： []x y u x x x x d c b a x x x x 01 000001100 011000000 43214321=? ???????????+????????????????????????----=??????? ? ??????????? ? 由于? 2x 、?3x 、? 4x 与u 无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y 只与3x 有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。 （3）系统如下式：

x d c y u b a x x x x x x ?? ????=??????????+????????????????? ???---=?????? ?????????? ?00000012200010011321321 解：如状态方程与输出方程所示，A 为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有0,0≠≠b a 。 要使系统能观，则C 中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有0,0≠≠d c 。 3-2时不变系统 X y u X X ?? ????-=?? ? ???+??????--=? 111111113113 试用两种方法判别其能控性和能观性。 解：方法一： []?? ?? ??==?? ????-=????? ?=??????--=2-2-1 12-2-1 1AB B M 1111,1111,3113C B A 系统不能控。 ,21<=rankM ??? ? ? ???????----= ??????=44221111CA C N 系统能观。,2=rankN 方法二：将系统化为约旦标准形。 ()4 20133113 A I 212 -=-==-+=+--+= -λλλλλλ，

(完整版)现代控制理论考试卷及答案

西北工业大学考试试题（卷）2008 －2009 学年第2 学期

2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案 第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分） （1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分） （1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分 ? ? ? ???+-+---=-=Φ?? ?? ??????+- +-+- +-+- ++-+=??????-+++=-??? ???+-=------------t t t t t t t t e e e e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221 11 2222}){()(22112 21221112112 213)2)(1(1 )(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分 ??????-+-+-=????? ???????+-+++-+++-++??????+--=??????????? ???????++-++++-=-+-=??????---+-=????? ?+--+??? ???+--=??????-Φ+Φ=------------------------------??t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222 21 22212 21111122)(02222210 2344}2414)1(42212)1(4 {2)()(} )2()1(4) 2()1()3(2{)}0(){()() ()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者 ττ τττττττ 第三题（15分，答案不唯一，这里仅给出可控标准型的结果） （1） 系统动态方程（3分） []x y u x x 0010 1003201 00010=???? ??????+??????????--=&

现代控制理论第三章

2.6 可控性与可观性 26 2.6.1 概述 经典控 制论中： 系统用传递函数描述。 只注重输入-输出间的直接关系！ 低阶系统，输出可控制亦可测量。 可控性与可观性不是问题。

现代控制论中： 系统描述：状态方程＋输出方程 由于状态?输入，输出?状态 所以要控制输出，首先要控制状态 并且使输出随状态发生变化输 （1）输入?状态间的问题： 输入是否使状态发生希望的变化？ ? 可控性问题 要使状态发生某种变化，输入？ 要使状态发生某种变化，输入＝？ ? 最优控制问题

（2）输出?状态间的问题： 状态可否从输出得到？ ? 可观测性问题 如何从输出得到？ ? 最优估计问题 &可控性、可观性为现代控制理论的基础，例如最优控制与最优估计的基础！ &如何处理可控性？可观测性？

可控性：系统输入对系统状态的有效控制能力 可观性：系统输出对系统状态的确切反映能力 问题： 状态可控？系统可控？ 状态不可控？系统不可控？ 状态可观测系统可测观 状态可观测？系统可测观？ 状态不可观测？系统不可观测？

个系统的可控性和可观测性 ?分析如下4个系统的可控性和可观测性：x x 111001/????+??????=u dt d []x 11=???y x x 101/????+???????=u dt d x x 001/??+???=u dt d []x 01110=? ??y x 11110=?????????x x 0111/? ???+???=u dt d []y []x 0110=???????y

?x x 111001/????+??????=u dt d []x 11=? ??y x ∫ ?1 u y 1 2 x ∫ 1?

哈尔滨工业大学2010《现代控制理论基础》考试题A卷及答案

哈工大2010年春季学期 现代控制理论基础 试题A 答案 一．（本题满分10分） 如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，1θ与2θ分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当12θθ=时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力()f t 作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin θθ=，cos 1θ=。 （1）写出系统的运动微分方程； （2）写出系统的状态方程。 【解】 （1）对左边的质量块，有 ()2111211cos sin sin cos sin 222 L L L ML f k MgL θθθθθθ=?-?-?- 对右边的质量块，有 ()221222sin sin cos sin 22 L L ML k MgL θθθθθ=?-?- 在位移足够小的条件下，近似写成： ()112124f kL ML Mg θθθθ=--- ()21224kL ML Mg θθθθ=--

即 112442k g k f M L M ML θθθ??=-+++ ??? 21244k k g M M L θθθ??=-+ ??? （2）定义状态变量 11x θ=，21x θ=，32x θ=，42x θ= 则 12 2133441344244x x k g k f x x x M L M ML x x k k g x x x M M L =?? ???=-+++ ???? ? =????=-+? ????? 或写成 11 22334401 000014420001000044x x k g k x x M L M f ML x x x x k k g M M L ? ? ?? ?????????? ??-+???? ? ??????????=+??? ? ????? ?????????????????? ?????-+?? ? ? ?????? ? 二．（本题满分10分） 设一个线性定常系统的状态方程为= x Ax ，其中22R ?∈A 。 若1(0)1?? =??-??x 时，状态响应为22()t t e t e --??=??-?? x ；2(0)1??=??-??x 时，状态响应为 2()t t e t e --?? =??-?? x 。试求当1(0)3??=????x 时的状态响应()t x 。 【解答】系统的状态转移矩阵为()t t e =A Φ，根据题意有 221()1t t t e t e e --????==????--???? A x 22()1t t t e t e e --????==????--???? A x 合并得

现代控制理论试题

现代控制理论试题 一、名词解释（15分） 1、能控性 2、能观性 3、系统的最小实现 4、渐近稳定性 二、简答题（15分） 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性 质？ 2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？ 3、传递函数矩阵错误！未找到引用源。的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么？ 4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？ 5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？ 三、计算题（70分） 1、RC无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，错误！未找到引用源。为系统的输入，选错误！未找到引用源。两端的电压为状态变量错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。两端的电压为状态变量错误！未找到引用源。,电压错误！未找到引用源。为为系统的输出y。 图1：RC无源网络 2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s) 3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程： 其中，采样周期为T=2. 4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解错误！未找到引用源。和错误！ 未找到引用源。

5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的 取值范围： 6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即错误！未找到引用源。是 否为大范围渐近稳定： 7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为 试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。。

现代控制理论试题答案 一、概念题 1、何为系统的能控性和能观性？ 答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。 （2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。 2、何为系统的最小实现？ 答：由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。 3、何为系统的渐近稳定性？ 答：若错误！未找到引用源。在时刻错误！未找到引用源。为李雅普若夫意义下的稳定，且存在不依赖于错误！未找到引用源。的实数错误！未找到引用源。和任意给定的初始状态错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。时，有错误！未找到引用源。，则称错误！未找到引用源。为李雅普若夫意义下的渐近稳定 二、简答题 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性 质？ 答：系统做线性变换后，不改变系统的能控性、能观性，系统特征值不变、传递函数不变 2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？ 答：方法1：对n维线性定常连续系统，则系统的状态完全能控性的充分必要条件为：错误！未找到引用源。。 方法2：如果线性定常系统的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后A阵变换成对角标准形，且错误！未找到引用源。不包含元素全为0的行 线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵错误！未找到引用源。满秩。即：错误！未找到引用源。 3、传递函数矩阵错误！未找到引用源。的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么？

《现代控制理论基础》考试题B卷及答案

一．（本题满分10分） 请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。 【解答】根据基尔霍夫定律得： 1113222332 1L x Rx x u L x Rx x Cx x x ++=?? +=??+=? 改写为1 13111 22 322 312 11111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ? =--+?? ?=-+???=-?? ，输出方程为2y x = 写成矩阵形式为

[]11 111222 2 331231011000110010R L L x x L R x x u L L x x C C x y x x ??? --???????????????? ???????=-+???? ??????? ??????????????? ? ???-?????? ? ? ??? ?? ?=??? ?????? 二．（本题满分10分） 单输入单输出离散时间系统的差分方程为 (2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++ 回答下列问题： （1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性； （3）取状态变量为1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。 【解答】 （1）在零初始条件下进行z 变换有： ()()253()2()z z Y z z R z ++=+ 系统的脉冲传递函数： 2()2 ()53 Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为 2()530D z z z =++= 特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。 （3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到 21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+ 由已知得 (2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+- []212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有： 212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为 12(1)()()x k x k r k +=+ 所以状态空间表达式为

《现代控制理论》第3版课后习题答案

《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式。 解:系统的模拟结构图如下: 系统的状态方程如下: 令y s =)(θ,则1x y = 所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流与电容上的电压作为状态变量的状态方程,与以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 解:由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y = 有电路原理可知:? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为: 1-4 两输入1u ,2u ,两输出1y ,2y 的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式与传递函数阵。 解:系统的状态空间表达式如下所示: 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述 列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图。 解:令.. 3. 21y x y x y x ===，，,则有 相应的模拟结构图如下: 1-6 (2)已知系统传递函数2 )3)(2() 1(6)(+++= s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图 解:s s s s s s s s s W 31 233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++- ++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式 []??? ? ? ?????=???? ??????+????????????????????----=??????????321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘ （1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数

现代控制理论考试卷及答案

西北工业大学考试试题（卷） 2008 －2009 学年第2 学期 ? 2? 设系统的传递函数为

[y b =21x x kx =-- · @

} 2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案 第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分） （1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分） （1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分 ? ? ? ???+-+---=-=Φ?? ?? ??????+- +-+-+-+- ++-+=??????-+++=-? ?? ???+-=------------t t t t t t t t e e e e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221 11 2222}){()(22112 2 1221112112213)2)(1(1 )(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分 ??????-+-+-=????? ???????+-+++-+++-++??????+--=??????????? ???????++-++++-=-+-=??????---+-=????? ?+--+??? ???+--=??????-Φ+Φ=------------------------------??t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222 21 22212 21111122)(02222210 2344}2414)1(42212)1(4 {2)()(} )2()1(4) 2()1()3(2{)}0(){()() ()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者 ττ τττττττ *

《现代控制理论基础》第3章

第一和第二讲小结 一、状态空间表达式的标准形式 能控标准形 能观测标准形 对角线标准形 Jordan标准形 二、矩阵的特征值及对角线化 矩阵是能控标准形时的变换矩阵求法（1）特征值互异 （2）重根 （3）一般情形 三、利用MATLAB进行系统模型之间的相互转换 [A, B, C, D] = tf2ss (num, den) [num,den] = ss2tf [A,B,C,D,iu] 四、时域分析的基本概念 状态转移矩阵及其性质，凯莱-哈密尔顿定理 最小多项式 五、矩阵指数计算 级数法，对角线标准形与Jordan标准形法 拉氏变换法凯莱-哈密尔顿定理

II、分析部分 第三章线性多变量系统的能控性与能观测性分析 能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。 在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。 3.1 线性连续系统的能控性 3.1.1 概述 能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”的内部的状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。 例1．给定系统的描述为

u x x x x ??????+????????????-=??????2150042121 []?? ? ???-=2160 x x y 将其表为标量方程组的形式，有： u x x +=114 u x x 2522+-= 26x y -= 例3－2：判断下列电路的能控和能观测性 ) (t u + y C R ) (t u L y 2

东北大学现代控制理论试题及答案

2008 现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ????=+=????-???? &能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。（4分） 2试从高阶微分方程385y y y u ++=&&&&&求得系统的状态方程和输出方程（4分） 解： 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2． 解：选取状态变量1 x y =，2x y =&，3x y =&&，可得 …..….…….（1分） 12 23 3131 835x x x x x x x u y x ===--+=&&& …..….…….（1分） 写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? & …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分） 二、1给出线性定常系统(1)()(), ()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。 （3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ????==?? ??-?? &，判定该系统是否完全能观？(5分) 解： 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-L ，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=???? ??????-=CA ………..……….（1分）

现代控制理论试题(详细答案)

现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ? ??? =+=????-???? 能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。 2试从高阶微分方程385y y y u ++= 求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2．选取状态变量1x y =，2x y = ，3x y = ，可得 …..….…….（1分） 12233131 835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分） 写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分） 二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。 （3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ?? ??==?? ??-?? ，判定该系统是否完 全能观？(5分)

解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++- ，时系统从第 k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于 0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=?? ?? ? ?????-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=?? ?? ? ?????--=CA ……..……….（1分） ???? ? ?????-=??????????=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….……. （2分） 三、已知系统1、2的传递函数分别为 2122211 (),()3232 s s g s g s s s s s -+==++-+ 求两系统串联后系统的最小实现。（8分） 解 112(1)(1)11 ()()()(1)(2)(1)(2)4 s s s s g s g s g s s s s s s -+++== ?=++--- …..….……. （5分） 最小实现为

能控性和能观性

第五章能控性和能观性 5－1 离散时间系统的可控性 定义设单输入n阶线性定常离散系统状态方程为： ……………………………………………………………（5－1） 其中 X(k)__n维状态向量； u(k) __1维输入向量； G__n×n系统矩阵； h__n×1输入矩阵； 如果存在有限步的控制信号序列u(k)，u(k+1)，…，u(N-1)，使得系统第k步上的状态X(k) 能在第N步到达零状态，即X(N)＝0，其中N是大于k的有限正整数，那么就说系统第k步上的状态X(k)是能控的；如果第k步上的所有状态都能控，则称系统（5－1）在第k步上是完全能控的。进一步，如果系统的每一步都是可控的，那么称系统（5－1）完全可控，或称系统为能控系统。 定理1单输入n阶离散系统（5－1）能控的充要条件是，能控判别阵： 的秩等于n，即：

……………………………………（5－2） 【证】：因为系统为一线性系统，不妨设系统从任一初态X(0)开始，在第n步转移到零状态，即X(n)=0。根据离散状态方程的解： ……………………………………………………（5－3） 因为X(n)＝0，所以： 写成矢量形式： …………………………………（5－4） 从线性代数知识可知，上式中对于任意的初始状态X(0)，要求都存在一组控制序列u(0)，u(1)，…，u(n-1)的充要条件是阶系数矩阵 满秩，即

【例5－1】设离散系统状态方程为： 判断系统的可控性。 解： M是一方阵，其行列式为： 所以系统能控判别阵满秩，系统可控。 定理2考虑多输入离散系统情况，假如线性定常离散系统状态方程为： ………………………………………………………（5－5） 其中X为阶矢量，U为阶矢量，G为阶矩阵，H为n×r阶能控矩阵。那么离散系统（5－5）能控的充要条件是：能控判别阵 的秩等于n。 （证略）。

现代控制理论试题及答案 研究生现代控制工程试卷

现代控制理论试题及答案 一、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。 解 f ma =……………………………….……1分 令位移变量为x 1，速度变量为x 2，外力为输入u ，有 122u kx kx mx --=&………………………………2分 于是有 12x x =&………………………………..……………1分 2121 k h x x x u m m m =- -+&……….….……………….2分 再令位移为系统的输出y ，有 1y x =…………………………….……….1分 写成状态空间表达式，即矩阵形式，有 11 220101x x u k h x x m m m ???? ????????=+???? ????--?? ?????? &&………..……………..2分 []1210x y x ?? =???? ……………………..……….……….2分 二、（8分）矩阵A 是22?的常数矩阵，关于系统的状态方程式=&x Ax ，有 1(0)1??=??-??x 时，22t t e e --??=??-??x ；2(0)1?? =??-??x 时，2t t e e --??=??-?? x 。 试确定状态转移矩阵(,0)t Φ和矩阵A 。 解 因为系统的零输入响应是 ()(,0)(0)t t =x x Φ……………..……….……….2分 所以

221(,0)1t t e t e --????=????--???? Φ，22(,0)1t t e t e --???? =????--????Φ 将它们综合起来，得 22122(,0)11t t t t e e t e e ----???? =????---?? ??Φ……………….……….2分 1 22222222122(,0)11122112222t t t t t t t t t t t t t t t t e e t e e e e e e e e e e e e e e -----------------???? =????----?? ??--????=????--??????--=??--?? Φ …………….……….2分 而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵0(,)t t Φ满足微分方程 ()()00,,d t t t t dt =A ΦΦ 和初始条件 ()00,t t =I Φ 因此代入初始时间00t =可得矩阵A 为： 01000 22220 (,)(,) 222424t t t t t t t t t t t d t t t t dt e e e e e e e e -==--------=?? =??????-+-+=??-+-+??A ΦΦ…………….……….1分 0213?? =?? --?? …………………………………….……….1分 三、（10分）（1）设系统为 ()()()011, (0)011a t t u t x b -?????? =+=?????? -?????? &x x 试求出在输入为(0)u t t =≥时系统的状态响应（7分）。 (2)已知系统[]011, 11341u y ???? =+=-?? ??-???? &x x x ，写出其对偶系统（3分）。 解 （1）

现代控制理论试卷答案与解析

现代控制理论试卷作业 一．图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流 11121222121212010Y x U R R R R Y x R R R R R R ????????????=+????????-????+++???????? 和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考 方向）。 解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。 以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： 从上述两式可解出1x ?，2x ? ，即可得到状态空间表达式如下： ??????21y y =????????++-211212110R R R R R R R ??????21x x +u R R R ????????+2120 二、考虑下列系统： （a ）给出这个系统状态变量的实现； （b ）可以选出参数K （或a ）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。 解：（a ）模拟结构图如下： 则可得系统的状态空间表达式： （b ） 因为 3023A -??=??? 0013 k k a -??-??-? 110b ????=?????? 所以：当1a =时，该系统不能控；当1a ≠时，该系统能控。 又因为：[2C = 1 ]0 所以：当0k =或1a =时，该系统不能观；当0k ≠且1a ≠时，该系统能观。 综上可知：当1a =时或0k =且1a =时，该系统既不能控也不能观。 三、已知系统. Ax x =?的状态转移矩阵为： （1）试确定矩阵A ，并验证At e 确为上式。

(整理)控制系统的能控性和能观测性

第三章 控制系统的能控性和能观测性 3-1能控性及其判据 一：能控性概念 定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t 1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。 可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。 二：线性定常系统能控性判据 设系统动态方程为： x 2不能控 y 2则系统不能控 ，若2121,C C R R ==?? ?+=+=Du Cx y Bu Ax x

设初始时刻为t 0=0，对于任意的初始状态x(t 0)，有： 根据系统能控性定义，令x(t f )=0，得： 即： 由凯莱-哈密尔顿定理： 令 上式变为： 对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是Q C 满秩。 判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是： ?-+=f t f f f d Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ??---=--=-f f t f f t f f d Bu t t d Bu t t x 0 1)()()()()()()0(τ ττφφτττφφ?--=f t d Bu x 0)()()0(τττφ∑-=-==-1 )()(n k k k A A e τατφτ ∑??∑-=-=-=-=1 01 )()()()()0(n k t k k t n k k k f f d u B A d Bu A x τ τταττταk t k u d u f =? )()(ττταU Q u u u u B A B A AB B Bu A x c k n n k k k -=???? ? ?? ?????????-=-=--=∑ 321121 ],,,[)0(

现代控制理论期末试卷

一、（10分，每小题1分） 1、任一线性连续定常系统的系统矩阵均可对角形化。(×) 2、对SISO 线性连续定常系统，传递函数存在零极点对消，则系统一定不能观且不能控制。(×) 3、对线性连续定常系统，非奇异变换后的系统特征值不变。(√) 4、对于线性连续定常系统的最小实现是唯一的。(×) 5、稳定性问题是相对于某个平衡状态而言的。(√) 6、Lyapunov 第二法只给出了判定稳定性的充分条件。(√) 7、对于SISO 线性连续定常系统，状态反馈后形成的闭环系统零点与原系统一样。(√) 8、对于一个系统，只能选取一组状态变量。(×) 9、对于一个n 维的线性定常连续系统，若其完全能观，则利用状态观测器实现的状态反馈闭环系统是2n 维的。(√) 10、对线性定常系统，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵特征值都具有负实部是一致的。(√) 二（10分，每小题5分） （1）简述平衡状态及平衡点的定义。 （2）简述状态方程解的意义。 解：（1）状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点。由平衡状态在状态空间中所确定的点称之为平衡点。 （2）线性连续定常系统状态方程的解由两部分组成，一部分是由初始状态所引起的自由运动即零输入响应，第二部分是由输入所引起的系统强迫运动，与输入有关称为零状态响应。 三、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。 解： f ma =……………………………….……1分 令位移变量为x 1，速度变量为x 2，外力为输入u ，有 122u kx kx mx --=………………………………2分 于是有 12x x =………………………………..……………1分 2121k h x x x u m m m =--+……….….……………….2分 再令位移为系统的输出y ，有

实验三 利用Matlab分析能控性和能观性

实验三利用Matlab分析能控性和能观性 实验目的：熟练掌握利用Matlab中相关函数分析系统能控能观性、求取两种标准型、系统的结构分解的方法。 实验内容： 1、能控性与能观性分析中常用的有关Matlab函数有： Size(a,b) 获取矩阵的行和列的数目 Ctrb(a,b) 求取系统能控性判别矩阵 Obsv(a,c) 求取能观性判别矩阵 Rank(t) 求取矩阵的秩 Inv(t) 求矩阵的逆 [abar,bbar,cbar,t,k]=ctrbf(a,b,c) 对系统按能控性分解，t为变换阵，k为各子系统的秩[abar,bbar,cbar,t,k]=obsvf(a,b,c) 对系统按能观性分解 2、利用Matlab判定系统能控性和能观性 A、求取判别矩阵的秩，而判别矩阵可用两种方法得到： M=ctrb(a,b) 或者M=[b,a*b,a^2*b,……] B、将系统变换为对角线型或者约当标准型，根据结果直接判断。化为标准型可以使用第 一次实验中介绍的ss2ss、canon等函数。 3、化为能控标准型和能观标准型 如：>> a=[1 0 1;0 1 0;1 0 0]; >> b=[0 1 1]'; >> c=[1 1 0]; >> m=ctrb(a,b) m = 0 1 1 1 1 1 1 0 1 >> n=length(a);tc1=eye(n);tc2=eye(n); >> tc1(:,1)=m(:,3) tc1 = 1 0 0 1 1 0 1 0 1 >> tc1(:,2)=m(:,2) tc1 = 1 1 0 1 1 0 1 0 1

>> tc1(:,3)=m(:,1) tc1 = 1 1 0 1 1 1 1 0 1 >> qc=rank(m) qc = 3 >> den=poly(a) den = 1.0000 - 2.0000 0.0000 1.0000 >> tc2(2,1)=den(2) tc2 = 1 0 0 -2 1 0 0 0 1 >> tc2(3,2)=den(2);tc2(3,1)=den(3) tc2 = 1.0000 0 0 -2.0000 1.0000 0 0.0000 -2.0000 1.0000 >> tc3=tc1*tc2;tc4=inv(tc3); >> a1=tc4*a*tc3 a1 = -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0 1.0000 -1.0000 0.0000 2.0000 >> b1=tc4*b b1 = 0.0000 1.0000 >> c1=c*tc3 c1 = -2.0000 0 1.0000 参照该例，掌握其他标准型的求解办法。 4、系统的结构分解 A 、 找到变换矩阵c R 或者o R ，利用线性变换进行结构分解。